14.1 第2课时 平移作图和平移性质的应用(5大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

14.1 第2课时 平移作图和平移性质的应用 知识点一 平移作图 1.一般步骤 (1)定：分析题目要求，确定平移的方向和平移的距离. (2)找：分析图形，找出构成图形的关键点. (3)移：沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点，得到各个关键点的对应点. (4)联：联结所作的各个关键点，并标上相应字母. (5)写：写出结论. 知识点二 平移性质的应用 1.常考题型：求线段、周长和面积等. 2.所用知识点： （1）平移后得到的新图形与原图形形状相同，大小相等. （2）一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连接的线段平行（或在同一直线上） 且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角的大小相等. （3）图形经过平移运动后，图形上的任何一点平移的距离都相等. 题型一 利用平移的性质作图 解题技巧提炼 作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为： ①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点； ②确定图形中的关键点； ③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点； ④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形． 1．下列平移作图错误的是　　 A． B． C． D． 2．如果将三角形的三个顶点的横坐标都加上5，纵坐标都减去4，得到三角形，则由三角形到三角形的平移方式是　　 A．先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度 3．如图所示，将平移，可以得到，点的对应点为点，请画出点的对应点、点的对应点的位置，并作出． 4．如图，经过平移，小船上的点移到了点． （1）请画出平移后的小船． （2）该小船向下平移了　 　格，向　 　平移了　 　格． 5．画出如图四边形向右平移四格，向下平移3格后的图形． 6．经过平移，小鱼上的点移到了点． （1）请画出平移后的小鱼； （2）该小鱼是怎样从点移到了点？（上下左右） 7．如图，画出方格上的小鱼图形向右平移4格，再向上平移3格后的图形． 8．如图，将方格上的图形向右平移4格，再向上平移3格，画出平移后的图形． 9．如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到△． （1）画出△； （2）画出边上的中线和高线；（利用网格点和直尺画图） （3）的面积为　 　． 10．如图，方格纸中每个小格子的边长均为1个单位长度．的三个顶点和点都在方格纸的格点上． （1）若将平移，使点恰好落在平移后得到的△的内部，则符合要求的格点三角形能画出　 　 个，请在方格纸中画出符合要求的一个三角形； （2）在（1）的条件下，若连接对应点、，则这两条线段的位置关系是　　； （3）画一条直线，将分成两个面积相等的三角形． 题型二 利用平移的性质计算线段长度 解题技巧提炼 此类题型主要考查平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离，再利用线段的和差关系求解，注意数形结合思想的应用． 1．（2022秋•宝山区期末）如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是　　 A．4 B．6 C．8 D．9 2． （2023秋•金山区期末）如图，将沿方向平移之后得到，若，则　 　 ． 3．（易错题）已知线段的长度为9厘米，现将线段沿所在直线向左平移得到线段，点对应点，点对应点，那么的长度是 　 　厘米． 4．已知线段的长为6厘米，将它向左平移2厘米，点平移到，点平移到，得到线段，那么线段　 　厘米． 5．已知线段的长度为3厘米，现将线段向左平移4厘米得到线段，那么线段的长度为　　厘米． 6．将3厘米长的线段向右平移4厘米得到线段，那么线段的长度为 　 　厘米． 7．如图，将右平移得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么　 　． 8．如图，△是由沿射线方向平移得到，若，则　　． 9．如图，将沿方向平移到△的位置，若，则　　． 10．如图，由平行四边形的顶点、向及其延长线作垂线、，、为垂足，如果向右平移后能与重合，已知，则　　． 11．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到． （1）试求出的度数； （2）若，．请求出的长度． 题型三 利用平移的性质计算周长 解题技巧提炼 先根据平移的性质得到线段的和差关系,再建立四边形的周长与三角形的周长之间的联系. 14． 如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 　 　 ． 2．（2022秋•青浦区校级期末）如图，三角形的周长为，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移到三角形的位置，则五边形的周长为 　 　． 3．（2022秋•静安区校级期中）如图，将周长为8厘米的沿射线方向平移1厘米得到，那么四边形的周长为　 　厘米． 4．如图，将三角形沿直线平移得到三角形，其中点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，，那么线段的长是　　． 5．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为　 　． 6． 如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置，交于点，交于点，那么长方形的周长为 　 　． 7．如图，将周长为的沿方向平移得到，则四边形的周长为　 　． 8．如图，将边长为2个单位的等边△沿边向右平移1个单位得到△，则四边形的周长为 　　 个单位． 9．如图，长方形的对角线，，，则图中五个小长方形的周长之和为　　 A．7 B．9 C．14 D．18 10．如图，将三角形沿方向平移到三角形．已知，三角形的周长为9，则四边形的周长为 　 　． 11．如图，将周长为15的三角形沿边向右平移2个单位，得到三角形，则四边形的周长为 　 　． 题型四 利用平移的性质计算面积 解题技巧提炼 先根据平移的性质，确定平移的距离，得到线段的和差关系,再建立四边形的周长与三角形的面积之间的联系. 1．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知在直角三角形，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置，其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点，如果，，那么四边形的面积　　． 2．（2023秋•崇明区期末）如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移2，再向下平移1，得到长方形，则阴影部分的面积为 　　． 3．（2022秋•浦东新区校级期末）已知在直角三角形中，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置（如图所示），其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点，如果，，那么四边形的面积　　． 4．如图，已知直角三角形，，厘米，厘米，厘米，将沿方向平移1.5厘米，线段在平移过程中所形成图形的面积为　　平方厘米． 5．如图，的面积为10，，现将沿着射线平移个单位，得到新的△，则所扫过的面积为　 　． 6．如图，把一块等腰直角三角板，，，．现将沿方向平移到△的位置，若平移距离为，与△的重叠部分的面积，则　 　（用含的代数式表示． 7． 已知圆的半径为2，将其向左平移2个单位后，再向下平移3个单位，则平移后所得圆的面积是　 　 取． 8．和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． （1）如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ （2）平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 9．如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移 ，再向下平移后到长方形的位置． （1）用的代数式表示长方形与长方形的重叠部分的面积，这时应满足怎样的条件？ （2）用的代数式表示六边形（阴影部分）的面积． 10．在长方形地块上建造公共绿地（图中阴影部分），其余的部分小路．根据图中的设计方案，利用你所学习的有关图形运动的知识， （1）用含有的代数式表示出公共绿地的面积； （2）当米时，计算出绿地的面积． 11．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为　　 A．57 B．30 C．42 D．36 12．如图，台阶的宽度为2米，其高度米，水平距离米，现要在台阶上铺满地毯，则地毯的面积为　　平方米 A．6 B．12 C．14 D．16 13．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过一次平移后得到△，图中标出了点的对应点． （1）在给定方格纸中画出平移后的△； （2）画出边上的高线； （3）求平移过程中线段扫过的面积 　 　． 14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点分别在格点（网格线的交点）上． （1）将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，请直接画出平移后的三角形； （2）求三角形的面积． 15．如图，在边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到△，图中标出了点的对应点． （1）补全△； （2）这个平移过程可以看作先向 　 　平移 　　个单位，再向 　　平移 　　个单位； （3）求线段平移过程中扫过的面积． 题型五 平移的规律探究题 解题技巧提炼 1.转化法：通过平移，将不容易求出面积的图形转化为容易求出面积的图形，而图形的平移在其中起着重要的过渡作用. 2.解决规律探究问题,通常先从简单或特殊情况入手,再由简单或特殊情况总结出一般规律. 1．（易错题）已知，大正方形的边长为5厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．当时，小正方形平移的时间为　　秒． 2．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：　 　，　　． 结论应用在图③中，请你类似地画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积　　． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 3．如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量” 可平移到点． （1）填空，点可看作点位“平移量” 　 　，　　平移得到． （2）若将依次按“平移量” 平移得到△，请在图中画出△． （3）将点按“平移量“平移得到点（点在直线上），使写出此时的平移量． （4）将点按平移量” 平移得到点，连接、，若的面积与的面积相等，写出、满足的关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.1 第2课时 平移作图和平移性质的应用 知识点一 平移作图 1.一般步骤 (1)定：分析题目要求，确定平移的方向和平移的距离. (2)找：分析图形，找出构成图形的关键点. (3)移：沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点，得到各个关键点的对应点. (4)联：联结所作的各个关键点，并标上相应字母. (5)写：写出结论. 知识点二 平移性质的应用 1.常考题型：求线段、周长和面积等. 2.所用知识点： （1）平移后得到的新图形与原图形形状相同，大小相等. （2）一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连接的线段平行（或在同一直线上） 且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角的大小相等. （3）图形经过平移运动后，图形上的任何一点平移的距离都相等. 题型一 利用平移的性质作图 解题技巧提炼 作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为： ①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点； ②确定图形中的关键点； ③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点； ④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形． 1．下列平移作图错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平移变换的性质进行解答即可． 【解答】解：、、符合平移变换，是轴对称变换． 故选：． 【点评】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 2．如果将三角形的三个顶点的横坐标都加上5，纵坐标都减去4，得到三角形，则由三角形到三角形的平移方式是　　 A．先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．先向左平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度 D．先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度 【答案】 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【解答】解：三角形的三个顶点的横坐标都加上5，纵坐标都减去4，得到三角形， 由三角形到三角形的平移方式是：先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度， 故选：． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化—平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 3．如图所示，将平移，可以得到，点的对应点为点，请画出点的对应点、点的对应点的位置，并作出． 【分析】连接，过、分别做的平行线，并且在平行线上截取，连接，，，得到的即为平移后的新图形． 【解答】解：如图 【点评】用到的知识点为：平移前后的图形的对应点的连线平行且相等． 4．如图，经过平移，小船上的点移到了点． （1）请画出平移后的小船． （2）该小船向下平移了　 　格，向　 　平移了　 　格． 【分析】（1）将所给图形的各个顶点按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形； （2）观察图形即可数出． 【解答】解：（1）所画图形如下所示： （2）观察图形即可看出，该小船向下平移了4格，向左平移了3格． 故答案为：4，左，3． 【点评】本题考查了作图平移变换的知识，注意利用数学知识对图形的阅读以及理解，做题的关键是作各个关键点的对应点． 5．画出如图四边形向右平移四格，向下平移3格后的图形． 【分析】将、、、按平移条件找出它的对应点、、、，后顺次连接各边即得到平移后的图形． 【解答】解：如图所示： ． 6．经过平移，小鱼上的点移到了点． （1）请画出平移后的小鱼； （2）该小鱼是怎样从点移到了点？（上下左右） 【分析】（1）将所给图形的各个顶点按平移条件找出它的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形； （2）观察图形即可数出． 【解答】解：（1）所画图形如下所示： （2）观察图形即可看出，先向右平移9个方格，再向下平移5个方格（或先向下平移5个方格，再向右平移9个方格）． 【点评】本题考查了作图平移变换的知识，注意利用数学知识对图形的阅读以及理解，做题的关键是作各个关键点的对应点． 7．如图，画出方格上的小鱼图形向右平移4格，再向上平移3格后的图形． 【分析】将图中三角形鱼的顶点分别向右平移四个单位，再向上平移三个单位，然后连接各点即可． 【解答】解：如图： 【点评】本题考查了利用平移设计图案，对于此类直线型的图案，平移关键点再连接关键点即可． 8．如图，将方格上的图形向右平移4格，再向上平移3格，画出平移后的图形． 【分析】将图形中五边形的各关键点先向右平移4格，再向上平移3格，然后顺次连接各关键点，即可得到平移后的五边形，然后以为圆心，单位1为半径作圆弧即可． 【解答】解：如图： 【点评】本题考查了利用平移设计图案，对于直线型图案，直接平移关键点再连接即可，而对于圆等图案，要利用网格特点进行解答． 9．如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到△． （1）画出△； （2）画出边上的中线和高线；（利用网格点和直尺画图） （3）的面积为　4　． 【分析】（1）将三角形的三顶点分别向右平移4个单位得到对应点，再顺次连接可得； （2）根据中线和高的定义作图可得； （3）利用割补法求解可得． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求； （2）如图所示，、即为所求； （3）的面积为， 故答案为：4 【点评】本题主要考查作图平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的定义和性质及割补法求三角形的面积． 10．如图，方格纸中每个小格子的边长均为1个单位长度．的三个顶点和点都在方格纸的格点上． （1）若将平移，使点恰好落在平移后得到的△的内部，则符合要求的格点三角形能画出　 　 个，请在方格纸中画出符合要求的一个三角形； （2）在（1）的条件下，若连接对应点、，则这两条线段的位置关系是　　； （3）画一条直线，将分成两个面积相等的三角形． 【分析】（1）依据内部有10个格点，即可得到符合要求的格点三角形能画出10个； （2）依据平移后的三角形的位置，即可得到两条线段的位置关系； （3）画出三条中线所在的直线，即可将分成两个面积相等的三角形． 【解答】解：（1）内部有10个格点， 使点恰好落在平移后得到的△的内部，则符合要求的格点三角形能画出10个， 如图所示，△即为所求（答案不唯一）； 故答案为：10； （2）连接对应点、，则这两条线段的位置关系是平行或在同一条直线上； 故答案为：平行或在同一条直线上； （3）如图所示，直线即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查了利用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 题型二 利用平移的性质计算线段长度 解题技巧提炼 此类题型主要考查平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离，再利用线段的和差关系求解，注意数形结合思想的应用． 1．（2022秋•宝山区期末）如图，以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是　　 A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】 【分析】根据平行的性质即可得到结论． 【解答】解：以每秒的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是， ， ， ， ， 故选：． 2． （2023秋•金山区期末）如图，将沿方向平移之后得到，若，则　 　 ． 【答案】7． 【分析】先利用平移的性质得，然后利用，即可求出答案． 【解答】解：沿方向平移得到， ， ． 故答案为：7． 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 3．（易错题）已知线段的长度为9厘米，现将线段沿所在直线向左平移得到线段，点对应点，点对应点，那么的长度是 　 　厘米． 【答案】14或4． 【分析】根据平移的性质直接求解即可． 【解答】解：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．将线段向左平移5厘米得到线段， 则厘米， 当点在点左边时， ， 当点在点左边时， ， 故答案为：14或4． 【点评】本题考查了平移的基本性质，掌握平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是关键． 4．已知线段的长为6厘米，将它向左平移2厘米，点平移到，点平移到，得到线段，那么线段　 　厘米． 【答案】2． 【分析】根据对应点的连线的长等于平移的距离直接写出答案即可． 【解答】解：线段的长为6厘米，将它向左平移2厘米，点平移到，点平移到，得到线段， 平移的距离厘米， 故答案为：2． 【点评】本题考查了平移的性质，掌握任意一对对应点的连线的长等于平移的距离是解题的关键． 5．已知线段的长度为3厘米，现将线段向左平移4厘米得到线段，那么线段的长度为　　厘米． 【答案】3． 【分析】根据平移的性质直接求解即可． 【解答】解：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．将线段向左平移4厘米得到线段， 则厘米． 故答案为：3． 【点评】本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 6．将3厘米长的线段向右平移4厘米得到线段，那么线段的长度为 　 　厘米． 【答案】7． 【分析】利用平移的性质得到厘米，然后计算即可． 【解答】解：将3厘米长的线段向右平移4厘米得到线段， 厘米， （厘米）． 故答案为：7． 【点评】本题考查了平移的性质：新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 7．如图，将右平移得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么　 　． 【分析】首先根据平移的性质得到，然后根据的长求得的长即可． 【解答】解：将右平移得到， ， ， ， 故答案为5． 【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 8．如图，△是由沿射线方向平移得到，若，则　　． 【分析】根据平移的性质可得，再根据代入数据计算即可得解． 【解答】解：△是由沿射线方向平移得到， ， ． 故答案为：10． 【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 9．如图，将沿方向平移到△的位置，若，则　　． 【分析】根据平移的性质，对应点的连线的长度等于平移的距离可得，代入即可． 【解答】解：将沿方向平移到△的位置， ， ， ． 故答案为8． 【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 10．如图，由平行四边形的顶点、向及其延长线作垂线、，、为垂足，如果向右平移后能与重合，已知，则　　． 【分析】根据平移的性质，对应点的连线的长度等于平移的距离可得，然后解答即可． 【解答】解：向右平移后能与重合， 、是对应点，、是对应点， ， ， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查了平移的性质，主要利用了对应点间的距离等于平移距离的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 11．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到． （1）试求出的度数； （2）若，．请求出的长度． 【分析】（1）根据平移可得，对应角相等，由的度数可得的度数； （2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由的长可得的长． 【解答】解：（1）在中，，， ， 由平移得，； （2）由平移得，， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了平移的性质，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等． 题型三 利用平移的性质计算周长 解题技巧提炼 先根据平移的性质得到线段的和差关系,再建立四边形的周长与三角形的周长之间的联系. 14． 如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 　 　 ． 【答案】24． 【分析】根据平移的性质可得，再求出四边形的周长等于的周长加上与，然后计算即可得解． 【解答】解：沿方向平移得到， ，， 四边形的周长 的周长 ． 故答案为：． 【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，确定出四边形的周长与的周长的关系是解题的关键． 2．（2022秋•青浦区校级期末）如图，三角形的周长为，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移到三角形的位置，则五边形的周长为 　 　． 【答案】． 【分析】根据平移的性质得到，，再将五边形的五条边相加即可得到周长． 【解答】解：根据题意得：，， 三角形的周长为， ， ， 五边形的周长． 故答案为：． 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状大小完全相同，各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 3．（2022秋•静安区校级期中）如图，将周长为8厘米的沿射线方向平移1厘米得到，那么四边形的周长为　 　厘米． 【分析】利用平移的性质得到，，然后根据可计算出四边形的周长． 【解答】解：沿射线方向平移1厘米得到， ，， ， ． 即四边形的周长为． 故答案为10． 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 4．如图，将三角形沿直线平移得到三角形，其中点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，，那么线段的长是　3　． 【分析】首先根据平移的性质得到，然后根据的长求得的长即可． 【解答】解：根据平移的性质可得：， ， 故答案为：3 【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 5．如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为　 　． 【分析】先根据平移的性质得到，，而，则四边形的周长，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：沿方向平移得到， ，， 的周长为， ， 四边形的周长 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 6． 如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移，再向下平移后到长方形的位置，交于点，交于点，那么长方形的周长为 　 　． 【分析】根据平移的距离表示出长方形的长和宽，即可求出结论． 【解答】解：由题意得到，， ，， ，， 长方形的周长， 故答案为20． 【点评】本题考查了平移的性质，认准图形，准确求出长方形的长和宽是解题的关键． 7．如图，将周长为的沿方向平移得到，则四边形的周长为　 　． 【分析】根据平移的基本性质，得出四边形的周长即可得出答案． 【解答】解：根据题意，将周长为的沿向右平移得到， ，，； 又， 四边形的周长． 故答案为：10． 【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到，是解题的关键． 8．如图，将边长为2个单位的等边△沿边向右平移1个单位得到△，则四边形的周长为 　　 个单位． 【分析】根据平移的基本性质作答． 【解答】解：根据题意，将边长为2个单位的等边△沿边向右平移1个单位得到△， 故四边形的边长分别为个单位，个单位，个单位； 故其周长为8个单位． 故答案为：8． 【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 9．如图，长方形的对角线，，，则图中五个小长方形的周长之和为　　 A．7 B．9 C．14 D．18 【答案】 【分析】把图中五个小长方形的边长进行平移，可得到图中五个小长方形的周长之和等于矩形的周长． 【解答】解：图中五个小长方形的周长之和． 故选：． 【点评】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 10．如图，将三角形沿方向平移到三角形．已知，三角形的周长为9，则四边形的周长为 　 　． 【答案】15． 【分析】根据平移的性质得到，，，再根据三角形的周长为9，即得到四边形的周长为即可． 【解答】解：由平移的性质可知，，，， 三角形的周长为9，即， 四边形的周长为． 故答案为：15． 【点评】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键． 11．如图，将周长为15的三角形沿边向右平移2个单位，得到三角形，则四边形的周长为 　 　． 【答案】19． 【分析】根据平移的性质得到，，再根据三角形的周长公式、四边形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：的周长为15， ， 由平移的性质可知：，， 四边形的周长为：， 故答案为：19． 【点评】本题考查的是平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． 题型四 利用平移的性质计算面积 解题技巧提炼 先根据平移的性质，确定平移的距离，得到线段的和差关系,再建立四边形的周长与三角形的面积之间的联系. 1．（2023秋•浦东新区期末）如图，已知在直角三角形，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置，其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点，如果，，那么四边形的面积　9　． 【答案】9． 【分析】根据平移的性质求出三角形的边长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：由平移变换的性质可知，， ， ， ， ． 故答案为：9． 【点评】本题考查平移的性质，理解平移的性质是正确解答的前提，求出三角形的面积是得出正确答案的关键． 2．（2023秋•崇明区期末）如图，将长为6，宽为4的长方形先向右平移2，再向下平移1，得到长方形，则阴影部分的面积为 　12　． 【答案】12． 【分析】利用平移的性质求出阴影部分矩形的长与宽，即可解决问题． 【解答】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长，宽， 阴影部分的面积， 故答案为：12． 【点评】本题考查平移的性质，矩形的性质等知识，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 3．（2022秋•浦东新区校级期末）已知在直角三角形中，，将此直角三角形沿射线方向平移，到达直角三角形的位置（如图所示），其中点落在边的中点处，此时边与边相交于点，如果，，那么四边形的面积　18　． 【答案】18． 【分析】根据平移的性质求出三角形的边长，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：由平移变换的性质可知，， ，，，， 四边形的面积的面积△的面积， 即 ， 故答案为：18． 【点评】本题考查平移的性质，理解平移的性质是正确解答的前提，求出三角形的面积是得出正确答案的关键． 4．如图，已知直角三角形，，厘米，厘米，厘米，将沿方向平移1.5厘米，线段在平移过程中所形成图形的面积为　6　平方厘米． 【答案】6． 【分析】在平移过程中所形成图形为平行四边形，根据平行四边形的面积公式即可求得结果． 【解答】解：△为沿方向平移1.5厘米得到的图形， 连接， 则四边形为平行四边形，厘米，厘米，， （平方厘米）， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的面积公式，掌握平移的性质是解决问题的关键． 5．如图，的面积为10，，现将沿着射线平移个单位，得到新的△，则所扫过的面积为　　． 【分析】要求所扫过的面积，即求梯形的面积，根据题意，可得，，所以重点是求该梯形的高，根据直角三角形的面积公式即可求解； 【解答】解：所扫过面积即梯形的面积，作于， ，，， ； 故答案为：． 【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 6．如图，把一块等腰直角三角板，，，．现将沿方向平移到△的位置，若平移距离为，与△的重叠部分的面积，则　　（用含的代数式表示． 【分析】根据等腰三角形的性质得出，进而求出即可． 【解答】解：由题意可得：，， 故． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了平移的性质以及等腰三角形的性质，得出是解题关键． 7． 已知圆的半径为2，将其向左平移2个单位后，再向下平移3个单位，则平移后所得圆的面积是　 　 取． 【分析】根据平移前后，新图形与原图形的形状和大小完全相同，可知平移后所得圆的面积没有变化． 【解答】解：根据平移的性质可知，平移后圆的面积与平移前相等， 平移后所得圆的面积． 故答案为：12.56． 【点评】本题考查平移的性质，属于基础题，注意掌握平移前后新图形与原图形的形状和大小完全相同． 8．和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． （1）如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ （2）平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 【分析】（1）根据平移的性质结合图形即可确定平移方向为沿方向，对应点之间的距离为平移距离； （2）由面积法求出的长度，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【解答】解：（1）由图可知，平移的方向沿方向， ， 平移距离是； （2）， ， 的面积． 【点评】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质，（2）利用相似三角形求出的长度是解题的关键． 9．如图，在长方形中，，，现将长方形向右平移 ，再向下平移后到长方形的位置． （1）用的代数式表示长方形与长方形的重叠部分的面积，这时应满足怎样的条件？ （2）用的代数式表示六边形（阴影部分）的面积． 【分析】（1）表示出重叠部分的长与宽，然后根据长方形的面积公式列式整理即可，根据重叠部分的宽为正数求的取值范围； （2）方法一：利用平移前后的长方形的面积的和加上两个正方形的面积，然后再减去重叠部分的面积列式进行计算即可得解； 方法二：利用六边形所在的长方形的面积减去两个小直角三角形的面积，根据面积公式列式进行计算即可得解． 【解答】解：（1），， 重叠部分的长为，宽为， 重叠部分的面积， ， ， 解得， 应满足的条件是：； （2）方法一：， ， ； 方法二：， ， ， ． 【点评】本题考查了平移的性质，整式的混合运算，认准图形，准确列出所求部分的面积是解题的关键． 10．在长方形地块上建造公共绿地（图中阴影部分），其余的部分小路．根据图中的设计方案，利用你所学习的有关图形运动的知识， （1）用含有的代数式表示出公共绿地的面积； （2）当米时，计算出绿地的面积． 【分析】（1）题干要求根据图中的设计方案，利用有关图形运动的知识，所以我们通过平移，可知绿地部分可以拼成一个矩形，其长为，宽为，继而求出其面积； （2）将代入（1）中的代数式即可计算出绿地的面积． 【解答】解：（1）由题意得：通过平移，绿地部分可以拼成一个矩形， 它的长为：；宽为：， 面积为：． 答：公共绿地的面积是． （2）当米时，绿地的面积． 【点评】本题考查平移的性质及整式的混合运算，难度适中，解答本题注意平移的灵活运用． 11．如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移距离为6，则图中阴影部分的面积为　　 A．57 B．30 C．42 D．36 【答案】 【分析】由题意易证：即可解决问题． 【解答】解：将沿点到点的方向平移到的位置， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 12．如图，台阶的宽度为2米，其高度米，水平距离米，现要在台阶上铺满地毯，则地毯的面积为　　平方米 A．6 B．12 C．14 D．16 【答案】 【分析】根据平移的性质可得，地毯的长为，宽为台阶的宽度，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： （平方米）， 地毯的面积为14平方米， 故选：． 【点评】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 13．画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将经过一次平移后得到△，图中标出了点的对应点． （1）在给定方格纸中画出平移后的△； （2）画出边上的高线； （3）求平移过程中线段扫过的面积 　38　． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）38． 【分析】（1）根据点的对应点可以确定向下平移1个单位，向左平移了7个单位，确定出和的位置，连接即可； （2）找到格点，连接、即可； （3）由题意可得，线段扫过的面积是四边形的面积，利用“割补法”求解即可． 【解答】解：（1）如图，△即为所求， （2）如图，线段即为所求， （3）线段扫过的面积是四边形的面积， 则， 故答案为：38． 【点评】此题考查了图形的平移，三角形的角平分线，作三角形的高，解题的关键是掌握平移的性质，正确作出△． 14．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形的顶点分别在格点（网格线的交点）上． （1）将三角形向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，请直接画出平移后的三角形； （2）求三角形的面积． 【答案】（1）作图见解析； （2）3.5． 【分析】（1）将三个顶点分别向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到对应点，再首尾顺次连接即可； （2）利用三角形所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示，三角形即为所求． （2）三角形的面积为：． 【点评】本题主要考查作图平移变换以及三角形面积求法，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 15．如图，在边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到△，图中标出了点的对应点． （1）补全△； （2）这个平移过程可以看作先向 　左　平移 　　个单位，再向 　　平移 　　个单位； （3）求线段平移过程中扫过的面积． 【答案】（1）图形见解析过程； （2）左，5，下，2； （3）22． 【分析】（1）根据点和点的位置，得出平移的方向和距离，据此可解决问题． （2）根据（1）所画图形即可解决问题． （3）根据平移的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）△如图所示， （2）由（1）中所画图形可知， 将先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度可得△． 故答案为：左，5，下，2． （3）连接和， 则线段扫过的面积， 所以线段平移过程中扫过的面积为22． 【点评】本题考查平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键． 题型五 平移的规律探究题 解题技巧提炼 1.转化法：通过平移，将不容易求出面积的图形转化为容易求出面积的图形，而图形的平移在其中起着重要的过渡作用. 2.解决规律探究问题,通常先从简单或特殊情况入手,再由简单或特殊情况总结出一般规律. 1．（易错题）已知，大正方形的边长为5厘米，小正方形的边长为2厘米，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．当时，小正方形平移的时间为　　秒． 【分析】先求出重叠部分长方形的宽，再分重叠部分在大正方形的左边和右边两种情况讨论求解． 【解答】解：当时，重叠部分长方形的宽， 重叠部分在大正方形的左边时，秒， 重叠部分在大正方形的右边时，秒， 综上所述，小正方形平移的时间为1或6秒． 故答案为：1或6． 【点评】本题考查了平移的性质，主要利用了长方形的面积，难点在于分两种情况解答． 2．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：　　，　　． 结论应用在图③中，请你类似地画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积　　． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明，； 结论应用； 联系拓展，理由见解答过程． 【分析】探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【解答】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展 空白部分表示的草地面积是：， 证明：1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的矩形 理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 【点评】本题主要考查了矩形的性质和平移的性质．能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简单图形来计算草地的面积是解题的关键． 3．如图，图形在方格（小正方形的边长为1个单位）上沿着网格线平移，规定：若沿水平方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿竖直方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．如图，已知，点按“平移量” 可平移到点． （1）填空，点可看作点位“平移量” 　　，　　平移得到． （2）若将依次按“平移量” 平移得到△，请在图中画出△． （3）将点按“平移量“平移得到点（点在直线上），使写出此时的平移量． （4）将点按平移量” 平移得到点，连接、，若的面积与的面积相等，写出、满足的关系式． 【答案】（1）， （2）作图见解析部分； （3）或； （4）当点在的下方时．点在的上时，． 【分析】（1）根据“平移量”（的定义判断即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）判断出点的位置，可得结论； （4）取格点，作直线，当点在直线上时，满足条件． 【解答】解：（1）点可看作点位“平移量” 平移得到． 故答案为：，2； （2）如图，△即为所求； （3）如图点或即为所求， 平移量或； （4）取格点，作直线，当点在直线上时，满足条件，此时． 当点在的上方直线上时，也满足条件，此时． 【点评】本题考查作图平移变换，正数与负数，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$