26.2 二次函数的图象与性质（分层作业，7大题型）（题型专练）数学华东师大版九年级下册

26.2 二次函数的图象与性质 二次函数的图象和性质 1. 对于抛物线，下列说法不正确的是　　 A．图象开口向下 B．随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．对称轴为轴 【解答】解：、，抛物线开口向下，故本选项不符合题意； 、，抛物线开口向下，对称轴为轴， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故本选项符合题意； 、，顶点坐标为，故本选项不符合题意； 、，对称轴为轴，故本选项不符合题意． 故选：． 2. 抛物线的顶点坐标为　　 A． B． C． D． 【解答】解：抛物线， 该函数的顶点坐标为， 故选：． 3. 如图所示，在同一坐标系中，作出①；②；③的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数为　　 A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 【解答】解：①；②；③的图中，二次项系数分别为2、1、， 又， 抛物线的开口最宽，抛物线的开口最窄， 从里到外的三条抛物线对应得函数依次是①②③， 故选：． 4. 下列二次函数：①，②，③，按抛物线开口从大到小排列正确的是　　 A．③①② B．②③① C．②①③ D．③②① 【解答】解：在①，②，③中， ， 按抛物线开口从大到小排列正确的是③②①， 故选：． 5. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【解答】解：解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以、错误，正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以错误． 解法二：项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与轴的交点，知，故不符合题意； 项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故符合题意； 项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故不符合题意； 项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故不符合题意． 故选：． 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、二次函数的图象开口向下， ； 又该二次函数与轴交于负半轴， ； 一次函数的图象应该经过第二、三、四象限，与原图不符； 故本选项错误； 、二次函数的图象开口向下， ； 又该二次函数与轴交于正半轴， ； 一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，与原图相符； 故本选项正确； 、二次函数的图象开口向上， ； 又该二次函数与轴交于负半轴， ； 一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，与原图不符； 故本选项错误； 、二次函数的图象开口向上， ； 又该二次函数与轴交于正半轴， ； 一次函数的图象应该经过第一、二、三象限与原图不符； 故本选项错误． 故选：． 二次函数顶点坐标 1. 抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：抛物线顶点坐标是， 故选：． 2. 抛物线的开口方向和顶点坐标分别是　　 A．开口向下， B．开口向上， C．开口向下， D．开口向上， 【解答】解：， 该抛物线的开口向上，顶点坐标是， 故选：． 3. 抛物线的顶点是　　 A． B． C． D． 【解答】解： ， 顶点坐标为， 故选：． 4. 二次函数的图象的对称轴是　　 A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【解答】解：二次函数图象与轴的交点为，， 对称轴为直线， 故选：． 二次函数比较大小 1. 已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解答】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 故选：． 2. 设点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解答】解：当时，， 当时，， 当时，， ． 故选：． 3. 已知函数为常数）图象经过点，，，则有　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 对称轴直线为， ， 当时，随的增大而增大， ， ， 故选：． 4. 已知抛物线过、、、四点，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 【解答】解：抛物线与轴交于、两点， 抛物线对称轴为， 、，点离对称轴较近，且抛物线开口向下， ． 故选：． 二次函数平移 1. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题知， 将二次函数的图象向左平移2个单位长度后，所得函数图象的解析式为， 再将所得函数图象向下平移2个单位长度后，所得函数图象的解析式为． 故选：． 2. 把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为． 故选：． 3. 把二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为， 故选：． 4. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是　　 A． B． C． D． 【解答】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，平移后解析式为， 故选：． 5. 已知抛物线，下列说法正确的是　　 A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【解答】解：、，开口向下，原说法错误，不符合题意； 、对称轴是直线，原说法错误，不符合题意； 、顶点坐标为，说法正确，符合题意； 、当时，随的增大而增大，原说法错误，不符合题意； 故选：． 6. 关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是　　 A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数的图象向左平移1个单位长度得到 D．在轴的左侧，随的增大而增大，在轴的右侧，随的增大而减小 【解答】解：、由二次函数得，对称轴为直线；故本项错误； 、由二次函数得，顶点坐标为；故本项错误； 、由二次函数的图象可由二次函数的图象向上平移1个单位得到；故本项错误； 、由二次函数得，其开口向下，顶点为，则在轴的左侧，随的增大而增大，在轴的右侧，随的增大而减小；故本项正确． 综上，正确的是． 故选：． 二次函数图像与系数的关系 1. 已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D．为任意实数） 【解答】解：由函数图象可知， ，，， 所以． 故选项不符合题意． 因为抛物线经过点和， 所以抛物线的对称轴为直线， 则， 所以． 故选项不符合题意． 将代入得， ， 所以． 故选项不符合题意． 因为抛物线与轴的交点坐标为和， 所以抛物线的对称轴为直线． 又因为抛物线开口向下， 所以当时，函数取得最大值， 所以对于抛物线上的任意一点（横坐标为，总有， 即． 故选项符合题意． 故选：． 2. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 3 5 0 则下列关于这个二次函数的结论正确的是　　 A．图象的开口向上 B．当时，的值随值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【解答】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 因为， 所以抛物线的开口向下． 故选项不符合题意． 因为， 所以当时，随的增大而减小． 故选项不符合题意． 令得， ， 解得，， 所以抛物线与轴的交点坐标为和． 又因为抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线经过第一、三、四象限． 故选项不符合题意． 因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线． 故选项符合题意． 故选：． 3. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是　　 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【解答】解：①图象开口向上，与轴交于负半轴，能得到：，， 对称轴在轴左边， ， ，故①错误； ②当时，由图象知， 把，代入解析式得：，故②正确； ③由图象得，， ， 由①②得，，， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ④由图象得，当时，， 由①②得，，， ， ， ，故④错误； 综上，②③正确． 故选：． 4. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为　　 ①；②；③；④为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：抛物线开口向上， ， 对称轴， 、同号，而， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 因此①正确； 由于抛物线过点点， ， 又对称轴为，即， ， ， 即， 而， ， 因此②正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，而对称轴为，由对称性可知， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， 因此③正确； 由二次函数的最小值可知， 当时，， 当时，， ， 即， 因此④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个， 故选：． 求二次函数解析式 1. 抛物线经过，，三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 【解答】解：（1）将，，代入抛物线中得： ，解得：， 抛物线的解析式为：． （2）， 顶点坐标为． 2. 已知二次函数的图象经过， （1）求二次函数的表达式． （2）将二次函数写成的形式，并求出顶点坐标． 【解答】解：（1）二次函数的图象经过，， ，解得：， ； （2）， 顶点坐标为． 3. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求图象的顶点坐标和对称轴； （2）若是该抛物线上在第四象限的一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，求四边形周长的最大值． 【解答】解：（1）将和代入得，， 解得，， ， 图象的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）当时，方程整理得，， 解得：，， 设，，则，， 四边形周长， 当时，四边形周长最大值为． 4. 已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为． 【解答】解：（1）将点坐标代入得， ， 解得， 则二次函数解析式为， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）由旋转可知， 抛物线的开口大小不变，但方向相反，顶点坐标不变， 所以旋转后的抛物线的表达式为． 5. 已知：二次函数中的与满足下表： 0 1 2 3 4 5 3 0 0 8 （1）可求得的值为　3　； （2）二次函数图象所对应的顶点坐标为　　； （3）求出这个二次函数的解析式． 【解答】解：（1）由所给表格可知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 将代入函数解析式得， ． 故答案为：3． （2）由（1）知， ， 所以二次函数图象所对应的顶点坐标为． 故答案为：． （3）由（1）知， 这个二次函数的解析式为． 6. 已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，求的最大值． 【解答】解：（1）函数的图象经过点，，将数据代入解析式可得： ， ； （2）由（1）得：函数解析式为， 抛物线开口向下，对称轴为直线，且当时，的值最大，最大值为6， ， 当时，的值最大，最大值为6． 7. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 5 2 1 2 5 （1）求该二次函数的关系式． （2）当为何值时，有最小值？最小值是多少？ （3）若，两点都在该函数的图象上，当时，求的取值范围． 【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，， ， 解得：， 该二次函数的关系式是； （2）， 当时，有最小值，最小值为1； （3）由（1）可得：，即， ， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 关于直线对称的点的坐标为， ，两点都在该函数的图象上，， ． 8. 画出二次函数的图象． 列表： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 （1）抛物线图象的顶点坐标 　　，对称轴 　　，当 　　时，函数值随的增大而减小． （2）若时，与其对应的函数值的取值范围 　　． 【解答】解：列表： 0 1 2 3 0 0 3 函数图象如图； （1）由图象可知，顶点坐标为， 对称轴为直线， 当时，函数值随的增大而减小． 故答案为：；直线；； （2）当时，， 当时，有最小值为， 所以当时，与其对应的函数值的取值范围． 故答案为：． 9. 已知二次函数． （1）画出函数的图象： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 （2）函数的最小值为 　　； （3）当时，最小值为 　　； （4）当时，最小值为 　　，最大值为 　　． 【解答】解：（1）列表： 0 1 2 3 3 0 0 3 描点，连线画函数图象如图所示： （2）由函数图象可知，在顶点处函数有最小值为， 故答案为：； （3）抛物线开口向上，顶点为，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时， 故答案为：0； （4）当时，在处取得最小值， 观察图象可知，时，取得最大值，此时， 故答案为：，8． 二次函数与动点问题 1. 如图，、为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点、的横坐标分别为0、4．为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求、的值； （2）求△的面积的最大值． 【解答】解：（1）当时，；当时，，则，， 则， 解得：； （2）由（1）可得：，设，作，交于， 则，则， ， 当时，最大值为8． 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交轴于点，经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）是线段上一点，是抛物线上一点，当轴且时，求点的坐标． 【解答】解：（1）经过原点的抛物线交直线于点，将点和代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）一次函数经过点，交轴于点，将点，点的坐标代入得： ， 解得， 一次函数解析式为， 是线段上一点，是抛物线上一点，轴，设，，其中， 当在点的上方时，如图： ， 解得：，（舍去）， ； 当在点下方时， ， 解得：，， ，， 综上，满足条件的点的坐标有三个或或． 1. 如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为　　 A．1 B． C． D．3 【解答】解：点在抛物线上， ， 或（舍去）， ， ， 四边形是正方形， ， 正方形面积为：． 故选：． 2. 已知抛物线经过，，三点，且恒成立，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：抛物线，，抛物线的顶点坐标为， 抛物线开口向下，抛物线的顶点坐标为， ， ， ， 解得， ， 解得， 综上，存在实数，使得恒成立，的取值范围为． 故选：． 3. 已知二次函数是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【解答】解：图象经过第一、二、四象限， ， ， ，△， 解得， 的取值范围为． 故选：． 4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ， ，即， 解得， ， ， 解得， ， 故选：． 5. 已知二次函数为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则的值为　　 A．3或4 B．0或4 C．或 D．或 【解答】解：函数图象开口方向向下， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ①若，当时，取最大值， 可得：， 解得或（舍去）， ②若，当时，取最大值， 可得：， 解得或（舍去）， 又时，的最大值为2， 不符合题意， 综上，的值为或． 故选：． 6. 数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： 【观察探究】： 方程的解为：　或或　； 【问题解决】： 若方程有四个实数根，分别为、、、． ①的取值范围是 　　； ②计算　　； 【拓展延伸】： ①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程； ②观察平移后的图象，当时，直接写出自变量的取值范围 　　． 【解答】解：（1）观察探究： ①由图象可知，当函数值为时，直线与图象交点的横坐标就是方程的解． 故答案为：或或． （2）问题解决： ①若方程有四个实数根，由图象可知的取值范围是． 故答案为：． ②由图象可知：四个根是两对互为相反数．所以． 故答案为：0． （3）拓展延伸： ①将函数的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数的图象， ②当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.2 二次函数的图象与性质 二次函数的图象和性质 1. 对于抛物线，下列说法不正确的是　　 A．图象开口向下 B．随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．对称轴为轴 2. 抛物线的顶点坐标为　　 A． B． C． D． 3. 如图所示，在同一坐标系中，作出①；②；③的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数为　　 A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②① 4. 下列二次函数：①，②，③，按抛物线开口从大到小排列正确的是　　 A．③①② B．②③① C．②①③ D．③②① 5. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 6. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是　　 A． B． C． D． 二次函数顶点坐标 1. 抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 2. 抛物线的开口方向和顶点坐标分别是　　 A．开口向下， B．开口向上， C．开口向下， D．开口向上， 3. 抛物线的顶点是　　 A． B． C． D． 4. 二次函数的图象的对称轴是　　 A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 二次函数比较大小 1. 已知二次函数为常数，且的图象上有三点，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 2. 设点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 3. 已知函数为常数）图象经过点，，，则有　　 A． B． C． D． 4. 已知抛物线过、、、四点，则与的大小关系是　　 A． B． C． D．不能确定 二次函数平移 1. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为　　 A． B． C． D． 2. 把抛物线先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为　　 A． B． C． D． 3. 把二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得的图象的函数解析式为　　 A． B． C． D． 4. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是　　 A． B． C． D． 5. 已知抛物线，下列说法正确的是　　 A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 6. 关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是　　 A．对称轴为直线 B．顶点坐标为 C．可以由二次函数的图象向左平移1个单位长度得到 D．在轴的左侧，随的增大而增大，在轴的右侧，随的增大而减小 二次函数图像与系数的关系 1. 已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D．为任意实数） 2. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： 0 3 5 0 则下列关于这个二次函数的结论正确的是　　 A．图象的开口向上 B．当时，的值随值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 3. 已知二次函数的图象如图所示，有下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论是　　 A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 4. 二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为　　 ①；②；③；④为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 求二次函数解析式 1. 抛物线经过，，三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 2. 已知二次函数的图象经过， （1）求二次函数的表达式． （2）将二次函数写成的形式，并求出顶点坐标． 3. 已知二次函数的图象经过点和． （1）求图象的顶点坐标和对称轴； （2）若是该抛物线上在第四象限的一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，求四边形周长的最大值． 4. 已知抛物线经过点． （1）求的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为． 5. 已知：二次函数中的与满足下表： 0 1 2 3 4 5 3 0 0 8 （1）可求得的值为 ； （2）二次函数图象所对应的顶点坐标为 ； （3）求出这个二次函数的解析式． 6. 已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，求的最大值． 7. 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 5 2 1 2 5 （1）求该二次函数的关系式． （2）当为何值时，有最小值？最小值是多少？ （3）若，两点都在该函数的图象上，当时，求的取值范围． 8. 画出二次函数的图象． 列表： （1）抛物线图象的顶点坐标 ，对称轴 ，当 时，函数值随的增大而减小． （2）若时，与其对应的函数值的取值范围 ． 9. 已知二次函数． （1）画出函数的图象： （2）函数的最小值为 ； （3）当时，最小值为 ； （4）当时，最小值为 ，最大值为 ． 二次函数与动点问题 1. 如图，、为一次函数的图象与二次函数的图象的公共点，点、的横坐标分别为0、4．为二次函数的图象上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求、的值； （2）求△的面积的最大值． 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数经过点，交轴于点，经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式； （2）是线段上一点，是抛物线上一点，当轴且时，求点的坐标． 1. 如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为　　 A．1 B． C． D．3 2. 已知抛物线经过，，三点，且恒成立，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 3. 已知二次函数是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 4. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是　　 A． B． C． D． 5. 已知二次函数为常数），当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最大值为，则的值为　　 A．3或4 B．0或4 C．或 D．或 6. 数形结合是解决数学问题的重要方法．小明同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题： 【观察探究】： 方程的解为： ； 【问题解决】： 若方程有四个实数根，分别为、、、． ①的取值范围是 ； ②计算 ； 【拓展延伸】： ①将函数的图象经过怎样的平移可得到函数的图象？画出平移后的图象并写出平移过程； ②观察平移后的图象，当时，直接写出自变量的取值范围 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$