第26章 二次函数章末重点题型复习（5大题型）（题型专练）数学华东师大版九年级下册

第26章 二次函数章末重点题型复习 题型1 二次函数的定义 1. 下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 2. 下列函数：①；②；③；④，是二次函数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是　　 ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元与每件进价（元的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 题型2 二次函数的性质 1. 抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 2. 对于抛物线，下列判断正确的是　　 A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 3. 抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是　　 A．开口向上，对称轴是直线，顶点是 B．开口向上，对称轴是直线，顶点是 C．开口向上，对称轴是直线，顶点是 D．开口向下，对称轴是直线，顶点是 4. 已知二次函数，当时，的取值范围为 ． 5. 若二次函数，当时，的取值范围是 ． 6. 在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．若对于，，都有，则的取值范围 ． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线 的对称轴直线右侧的一点，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，以为边向其上方作正方形，边所在的直线交该抛物线于点、．若点的纵坐标为1，设点的横坐标为，则的值为 ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在第一象限内，，分别在轴和轴上，抛物线经过，两点，顶点在正方形内部．若点在直线上，则的值是 ． 题型3 二次函数图象与系数的关系 1. 抛物线开口向下，则的取值范围是 ． 2. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：①，②，③，④．正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3. 已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是 ． 4. 点，，，均在抛物线上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是 ． 5. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为、，抛物线为常数）和线段有公共点时，的取值范围是 ． 题型4 二次函数图象与几何变换 1. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 2. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 3. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为　　 A． B． C． D． 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 5. 如何将二次函数平移得到二次函数，下列选项正确的是　　 A．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 题型5 抛物线与x轴的交点 1. 在平面直角坐标系中，若将抛物线．向上平移个单位后的抛物线与轴只有一个交点，则的值为 ． 2. 在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，，将函数的图象向上平移，平移后的图象与轴交于点，．若，则平移后的图象对应的函数表达式为 ． 3. 如图，抛物线向下平移个单位后，交轴于，两点，则的长为 ． 4. 已知抛物线与轴只有一个交点，将其向下平移个单位长度后，抛物线与轴交于，，则 ． 题型6 二次函数的应用 1. 如图（示意图），某跳水运动员进行跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．运动员在空中最高处点的坐标为．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点距水面，若该运动员出水点在之间（包括，两点），则的取值范围 ． 2. 中考临近，我校绿星年级为缓解同学们的紧张情绪，如图①，在方厅处设置了“高粽门”气球拱门，在拱门上挂了两个粽子，让同学们跳一跳顶一顶，寓意“奋起高粽（中”．如图②，“高粽门”近似看作抛物线的一部分．当“高粽门”两地脚、的水平距离为2.8米，最高点处距地面2.8米，两个粽子分别记作点、（粽子大小形状忽略不计，看作抛物线上的两点），它们与抛物线的最高点的水平距离均为0.7米，则身高1.8米的同学至少要跳起 米，头顶才能碰到粽子． 3. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图和截面示意图（图，足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表： 0 2 3 6 0 则该运动员踢出的足球在第 落地． 4. 如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为 米． 5. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是 米． 6. 掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范围，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（米与飞行的水平距离（米之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为 ． 7. 为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积不超过15亩时，每亩可获得利润元；超过15亩时，每亩获得利润（元与种植面积（亩之间的函数关系如表（为所学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种）． （亩 20 25 30 35 （元 1800 1700 1600 1500 （1）请求出种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润与的函数关系式； （2）如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积不超过50亩，设小王家种植亩樱桃所获得的总利润为元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润（元的最大值． 8. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足抛物线解析式．已知球达到最高的点时，与点的水平距离为． （1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式； （2）球网与点的水平距离为，高度为．球场的边界距点的水平距离为．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由． 9. 如图所示，某设计公司在半径为的圆形水池中心安装调试喷水器，设垂直于水平面的喷水管高出地面，在处喷出的水流呈抛物线状．喷头与水流最高点的连线与抛物线对称轴成的角，抛物线最高点与喷水头的落差为，水流的水平落点为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）水流落点是否落在水池外？请说明理由； （3）在水压不变的情况下，请问如何调整喷头位置可使水流恰好落在池内？ 10. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 题型7 二次函数综合题 1. 已知二次函数经过点，对称轴为直线，、两点在函数图象上，其横坐标分别为，为常数），抛物线在、两点之间的部分记为图象（包括边界）． （1）求二次函数的解析式． （2）当图象中，随的增大而减小时，求的取值范围． （3）若图象中最大值与最小值的差为1，求的值． （4）点与点关于原点对称，以为对角线作矩形，且边垂直于坐标轴，当，图象在矩形内部（包括边界）的最高点为，右侧的最低点为，当到直线的距离等于到轴的距离时，直接写出的值． 2. 在平面直角坐标系中，抛物线是常数）与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标． （2）当时，的取值范围是 ． （3）抛物线上有一点，点的横坐标为． ①当点在、两点之间（包括、两点）运动时，抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围． ②已知点，以为对角线构造矩形且矩形的边与坐标轴平行．当矩形与抛物线有3个交点时，直接写出的取值范围． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线是常数）经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为，点的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）过点作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积； ②若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求的取值范围； ③若，当时，直接写出的取值范围． 4. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线，点在该抛物线上，其横坐标为．以点为中心，作正方形，轴，点的横坐标为1． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当点与点重合时，求抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边所在的直线的最短距离； （3）当正方形内部的抛物线对应的函数值随的增大而减小或随的增大而增大时，求的取值范围； （4）当抛物线与正方形的某条边或一组邻边只有2个交点，且交点的纵坐标之和为时，直接写出的值． 5. 如图，抛物线交轴于点和点在左边），与轴交于点，是抛物线上第一象限内的一个动点． （1）求，，三点的坐标； （2）连接交线段于点，当与轴不平行时，的最大值 ； （3）若直线交于点，是否存在这样的点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 6. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）请直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； （3）如图（2），点为抛物线对称轴上的动点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 7. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，若，求点的坐标； （3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第26章 二次函数章末重点题型复习 题型1 二次函数的定义 1. 下列函数中，是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：．函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； ．函数，是一次函数，故本选项不符合题意； ．函数，是二次函数，故本选项符合题意； ．函数，不是二次函数，故本选项不符合题意． 故选：． 2. 下列函数：①；②；③；④，是二次函数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①；③；④，是二次函数，共3个， 故选：． 3. 下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是　　 ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元与每件进价（元的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【解答】解：①，是的反比例函数，故此选项不符合题意； ②，是的正比例函数，故此选项不符合题意； ③，是的二次函数，故此选项符合题意； 故选：． 题型2 二次函数的性质 1. 抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【解答】解：的顶点坐标为， 故选：． 2. 对于抛物线，下列判断正确的是　　 A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是 C．对称轴为直线 D．当时， 【解答】解：、，抛物线的开口向下，本选项错误， 、抛物线的顶点为，本选项错误， 、抛物线的对称轴为：，本选项正确， 、把代入，解得：，本选项错误， 故选：． 3. 抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是　　 A．开口向上，对称轴是直线，顶点是 B．开口向上，对称轴是直线，顶点是 C．开口向上，对称轴是直线，顶点是 D．开口向下，对称轴是直线，顶点是 【解答】解：抛物线， ，开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是， 故选：． 4. 已知二次函数，当时，的取值范围为 　　． 【解答】解：二次函数， 该函数图象开口向下，对称轴为直线， ， 当时，取得最小值0；当时，取得最大值4； 当时，的取值范围为， 故答案为：． 5. 若二次函数，当时，的取值范围是 　　． 【解答】解：， 对称轴是直线，且当时，取最小值是5． 又当时，函数值为7，当时，函数值为13， ， 故答案为：． 6. 在平面直角坐标系中，，，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．若对于，，都有，则的取值范围 　　． 【解答】解：，， ， ，， 点，离对称轴距离更近， 又， ，与，的横坐标中点在对称轴的右侧， ，即． 故答案为：． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线 的对称轴直线右侧的一点，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，以为边向其上方作正方形，边所在的直线交该抛物线于点、．若点的纵坐标为1，设点的横坐标为，则的值为 　　． 【解答】解：对称轴为直线， ， ， 抛物线解析式为， 四边形为正方形， ，轴， 轴， 的纵坐标为1， 点的横坐标为，点是抛物线上的点， 设，， ， ，两点关于对称轴直线对称， 的横坐标为， ， 四边形为正方形， ， ， 解得（舍去）， ． 故答案为：． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在第一象限内，，分别在轴和轴上，抛物线经过，两点，顶点在正方形内部．若点在直线上，则的值是 　10　． 【解答】解：抛物线， 顶点为， 在上， ， 正方形的边长为， ， 将点代入得到， ， ， ， ， 故答案为10． 题型3 二次函数图象与系数的关系 1. 抛物线开口向下，则的取值范围是 　　． 【解答】解：抛物线开口向下， ， 解得：， 的取值范围是． 故答案为：． 2. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：①，②，③，④．正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①根据抛物线开口向下可知： ， 因为对称轴在轴右侧， 所以， 因为抛物线与轴正半轴相交， 所以， 所以， 所以①错误； ②因为抛物线对称轴是直线， 即， 所以， 所以， 所以②正确； ③， ， 如果， 那么， ， ， 而根据抛物线与轴的交点，可知， 结论③错误； ④当时，， 即， 因为， 所以， 所以④正确． 所以正确的是②④，共2个． 故选：． 3. 已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，若，则的取值范围是 　　． 【解答】解：二次函数，当时，该函数取最大值12， ，该函数解析式可以写成， 设该函数图象与轴的一个交点的横坐标为，， 当时，， 即，解得，， 的取值范围是， 故答案为：． 4. 点，，，均在抛物线上，且为抛物线的顶点．若，则的取值范围是 　　． 【解答】解：由题意得：抛物线对称轴， 点为抛物线的顶点，且， 抛物线开口向上， ， 当，即时， ， ， 解得：， 即此时， 当，即时，点在点的右侧，不符合题意； 综上分析可知：． 故答案为：． 5. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为、，抛物线为常数）和线段有公共点时，的取值范围是 　　． 【解答】解：抛物线， 分三种情况：①当顶点在上时，有，解得：， ②抛物线过， ， 解得或3， ③抛物线过， ， 或， 所以当时，抛物线与线段有一个公共点． 故答案为： 题型4 二次函数图象与几何变换 1. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 【解答】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数解析式是：． 故选：． 2. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 【解答】解：抛物线向右平移1个单位，得：； 再向下平移2个单位，得：． 故选：． 3. 将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位所得到的抛物线解析式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移2个单位所得抛物线的解析式为：． 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移1个单位所得抛物线的解析式为：，即． 故选：． 4. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：向上平移2个单位长度， ， 故选：． 5. 如何将二次函数平移得到二次函数，下列选项正确的是　　 A．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【解答】解：抛物线的顶点坐标是． 抛物线的顶点坐标是． 则由二次函数将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位即可得到二次函数的图象． 故选：． 题型5 抛物线与x轴的交点 1. 在平面直角坐标系中，若将抛物线．向上平移个单位后的抛物线与轴只有一个交点，则的值为 　3　． 【解答】解：抛物线向上平移个单位后的抛物线解析式为， 抛物线与轴只有一个交点， △， 解得． 故答案为：3． 2. 在平面直角坐标系中，函数的图象与轴交于点，，将函数的图象向上平移，平移后的图象与轴交于点，．若，则平移后的图象对应的函数表达式为 　　． 【解答】解：当时，， 解得，， ，， ， ， ， 函数的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线， ，， 平移后抛物线的解析式为， 即． 故答案为：． 3. 如图，抛物线向下平移个单位后，交轴于，两点，则的长为　4　． 【解答】解：因为抛物线的对称轴是：， 所以平移后抛物线的对称轴仍然是． 因为， 所以， 所以． 故答案为：4． 4. 已知抛物线与轴只有一个交点，将其向下平移个单位长度后，抛物线与轴交于，，则　9　． 【解答】解：抛物线与轴只有一个交点， △． ． 抛物线为． 向下平移个单位长度后解析式为． 又平移后过，， ，且． ． ． ． ． 故答案为：9． 题型6 二次函数的应用 1. 如图（示意图），某跳水运动员进行跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．运动员在空中最高处点的坐标为．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为，且顶点距水面，若该运动员出水点在之间（包括，两点），则的取值范围 　　． 【解答】解：，， 点的坐标为，． 点，的坐标分别为，． ， 可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为． 又此时抛物线过， ． ． 运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为． 令， ． 或（舍去）． ． 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为， 当抛物线过点时，顶点为． 此时，把代入，得． 同理，当抛物线过点时，， 由点在之间得的取值范围为． 2. 中考临近，我校绿星年级为缓解同学们的紧张情绪，如图①，在方厅处设置了“高粽门”气球拱门，在拱门上挂了两个粽子，让同学们跳一跳顶一顶，寓意“奋起高粽（中”．如图②，“高粽门”近似看作抛物线的一部分．当“高粽门”两地脚、的水平距离为2.8米，最高点处距地面2.8米，两个粽子分别记作点、（粽子大小形状忽略不计，看作抛物线上的两点），它们与抛物线的最高点的水平距离均为0.7米，则身高1.8米的同学至少要跳起 　0.3　米，头顶才能碰到粽子． 【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 米，最高点处距地面2.8米， 米，米， ，， 设抛物线解析式为， 将代入得，， 解得， 抛物线解析式为， 点、与抛物线的最高点的水平距离均为0.7米， 点的横坐标为0.7， 将代入得，， 点的纵坐标为2.1， （米， 身高1.8米的同学至少要跳起0.3米，头顶才能碰到粽子． 故答案为：0.3． 3. 如图，这是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图和截面示意图（图，足球的飞行轨迹可看成抛物线，足球离地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系的部分数据如下表： 0 2 3 6 0 则该运动员踢出的足球在第 　8　落地． 【解答】解：所以设抛物线的解析式为， 将，，，，代入得 ， 解得，，， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得或， 所以该运动员踢出的足球在第落地， 故答案为：8． 4. 如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为 　6　米． 【解答】解：由题意，如图，建立平面直角坐标系． 由顶点为， 可设抛物线的解析式为． 又， ． ． 抛物线为． 显示屏底部距离地面至少8米， 令． ． 或． ． 又显示屏两侧留1米， （米，此时是最大值． 故答案为：6． 5. 小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是 　　米． 【解答】解：根据图中信息可设抛物线表达式为， 由抛物线过点， 得， 解得：， 铅球路径所在抛物线的表达式为； 令，则， 解得：， 点在轴正半轴上， ， 米， 故答案为：． 6. 掷实心球是中学生体质健康检测中的一项，体育老师给出标准示范围，小明发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度（米与飞行的水平距离（米之间具有函数关系，则小明这次实心球训练的成绩为 　　． 【解答】解：令，即， 解得：， 故答案为：． 7. 为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，当种植樱桃的面积不超过15亩时，每亩可获得利润元；超过15亩时，每亩获得利润（元与种植面积（亩之间的函数关系如表（为所学过的一次函数，反比例函数或二次函数中的一种）． （亩 20 25 30 35 （元 1800 1700 1600 1500 （1）请求出种植樱桃的面积超过15亩时每亩获得利润与的函数关系式； （2）如果小王家计划承包荒山种植樱桃，受条件限制种植樱桃面积不超过50亩，设小王家种植亩樱桃所获得的总利润为元，求小王家承包多少亩荒山获得的总利润最大，并求总利润（元的最大值． 【解答】解：（1）设， 将、和、代入得：， 解得：， ， （2）当时，， 当时，元； 当时， ， ， 当时，最大元， 综上，小王家承包50亩荒山获得的总利润最大，并求总利润的最大值为60000元． 8. 如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足抛物线解析式．已知球达到最高的点时，与点的水平距离为． （1）在图中建立恰当的直角坐标系，并求出此时的抛物线解析式； （2）球网与点的水平距离为，高度为．球场的边界距点的水平距离为．该球员判断此次发出的球能顺利过网并不会出界，你认为他的判断对吗？请说明理由． 【解答】解：（1）如图， 以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则点，，的坐标分别为，， 设球运行的高度与运行的水平距离的抛物线解析式为 由题意知抛物线的顶点为 故 将点代入得 ， 故此时抛物线的解析式为 （2）该球员的判断不对，理由如下： 当时， 球能过网； 当时， 解得：，（舍 故球会出界． 9. 如图所示，某设计公司在半径为的圆形水池中心安装调试喷水器，设垂直于水平面的喷水管高出地面，在处喷出的水流呈抛物线状．喷头与水流最高点的连线与抛物线对称轴成的角，抛物线最高点与喷水头的落差为，水流的水平落点为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）水流落点是否落在水池外？请说明理由； （3）在水压不变的情况下，请问如何调整喷头位置可使水流恰好落在池内？ 【解答】解：（1）由题意，过点作，垂足为． 又，， 为等腰直角三角形． ． ． 故可设抛物线的函数解析式为， 将点代入解析式， ． ． ．抛物线的解析式为． （2）由题意得，水流落点落在水池外． 理由：点为抛物线 的图象与轴的交点， 当时，即： 解得 舍）． ． 水流落点落在水池外． （3）由题意，设将喷头沿铅垂方向调整米， 新的函数解析式为． 将坐标代入，得， 解得． 答：将喷头向下平移可使水流恰好落在池内． 10. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为，跨度为．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中． （1）求这条抛物线的解析式． （2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？ 【解答】解：（1）由图象可知， 抛物线的顶点坐标为，过点， 设抛物线的解析式为：， 则， 解得，， 即这条抛物线的解析式为：； （2）当时，， 货船能顺利通过此桥洞． 题型7 二次函数综合题 1. 已知二次函数经过点，对称轴为直线，、两点在函数图象上，其横坐标分别为，为常数），抛物线在、两点之间的部分记为图象（包括边界）． （1）求二次函数的解析式． （2）当图象中，随的增大而减小时，求的取值范围． （3）若图象中最大值与最小值的差为1，求的值． （4）点与点关于原点对称，以为对角线作矩形，且边垂直于坐标轴，当，图象在矩形内部（包括边界）的最高点为，右侧的最低点为，当到直线的距离等于到轴的距离时，直接写出的值． 【解答】解：（1）二次函数经过点，对称轴为直线， ， 解得：， 二次函数的解析式为． （2）点、的横坐标分别为，，且抛物线在、两点之间的部分随的增大而减小， 或， 解得：或； （3）由题意得：，， ①当时，，，且， 图象中最小值为，最大值为4， 图象中最大值与最小值的差为1， ， 解得：，， 与矛盾； ②当或时，图象位于对称轴的右侧， 图象中最大值与最小值的差为1， 或， 解得：或； ③当时，，，且， 图象中最小值为，最大值为4， 图象中最大值与最小值的差为1， ， 解得：， ， 不符合题意，舍去； 综上所述，的值为或． （4）由题意得：，， 点与点关于原点对称， ， 由题意：以为对角线作矩形，且边垂直于坐标轴， 当时，点在轴下方，如图， 则点的纵坐标为，点的横坐标为， 到直线的距离等于到轴的距离， 或， 解得：，，，， ， ； 当时，点在轴上方，如图， 则点的纵坐标为，点的横坐标为，到直线的距离等于到轴的距离， 或， 解得： 或（舍去），或或（舍去）； 综上所述，的值为或或． 2. 在平面直角坐标系中，抛物线是常数）与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点坐标． （2）当时，的取值范围是 　　． （3）抛物线上有一点，点的横坐标为． ①当点在、两点之间（包括、两点）运动时，抛物线在、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求与之间的函数关系式并写出自变量的取值范围． ②已知点，以为对角线构造矩形且矩形的边与坐标轴平行．当矩形与抛物线有3个交点时，直接写出的取值范围． 【解答】解：（1）抛物线 过点， ， 解得， 抛物线对应的函数表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为； （2）在中，令得，令时， 抛物线的顶点坐标为， 当时，的取值范围是； 故答案为：； （3）在中，令得， 解得或， ，， 由题意得，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ①当在对称轴直线左侧（包括在对称轴直线上），即时，图象的最高点为，最低点为， ； 当在对称轴直线右侧，即时，图象的最高点为顶点，最低点为， ， ； ②点的横坐标为，点， 而以为对角线的矩形的中心是的中点， 矩形的中心在直线上， （Ⅰ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有4个交点； （Ⅱ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有3个交点； （Ⅲ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点； （Ⅳ）当时，矩形不存在； （Ⅴ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有1个交点； （Ⅵ）当时，矩形不存在； （Ⅶ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有2个交点； （Ⅷ）当，即时，如图： 此时矩形与抛物线有3个交点； （Ⅸ）当时，矩形不存在； Ⅱ当，即，如图： 此时矩形与抛物线有4个交点； 综上所述，当矩形与抛物线有3个交点时，的取值范围是或． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线是常数）经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为，点的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； （2）过点作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积； ②若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求的取值范围； ③若，当时，直接写出的取值范围． 【解答】解：（1）将点代入中， 得， 解得， 该抛物线对应的函数解析式为， ， 顶点坐标为． （2）①当时，，， 轴， ， ， ， ． ②点的坐标为， ，解得：， 在直线上运动． ， ， 当时，，如图1， 此时抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，符合题意； 当时，点与点重合，不存在； 当时，如图2， 此时，， 不符合题意，舍去； 当时，，如图3， 此时不符合题意，舍去； 当时，，如图4， 此时为顶点，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意； 当时，如图5， 抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意， 当时，如图6， 此时不符合题意，舍去， 综上，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，的取值范围为：或． ③， ， 设中边上的高为，中边上的高为， 如图7，当时，则， 显然，则，符合题意， 当时， ，，如图8， 此时，则，不符合题意， 当时， ，如图9， 此时，则，不符合题意； 当时， ，，如图10， 此时，则，不符合题意， 当时，，重合，不符合题意； 当， ，如图11， 此时，则，符合题意， 但是当时，，，在同一直线上， 解得：， 当时，不符合题意， 当时， ，如图， 此时，则，不符合题意， 综上：或或． 4. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线，点在该抛物线上，其横坐标为．以点为中心，作正方形，轴，点的横坐标为1． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）当点与点重合时，求抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边所在的直线的最短距离； （3）当正方形内部的抛物线对应的函数值随的增大而减小或随的增大而增大时，求的取值范围； （4）当抛物线与正方形的某条边或一组邻边只有2个交点，且交点的纵坐标之和为时，直接写出的值． 【解答】解：（1）经过点，其对称轴为直线， ， ，； 抛物线解析式为； （2）抛物线解析式为， 抛物线的顶点坐标为； 轴，即轴，点的横坐标为1， 点到轴的距离为1， 由正方形的性质可得，正方形的边长为2， 若点的坐标为，则，，，如图所示： 抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边所在的直线的最短距离为． （3）当或时，抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而减小；当抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而增大， 的取值范围是或或． （4）点与顶点重合时，．此时、的纵坐标都为．以下分三种情况讨论． 第一种情况：点在第四象限，当时，正方形变小，交点、的纵坐标都小于，相加不会等于，此种情况不合题意． 第二种情况：当且与交于、时，， ， ， 到的距离和到的距离相等，都是， ， （舍掉）或， ． 第三种情况：，，两个交点的纵坐标的和不可能为，此种情况不符合题意． 综上，． 5. 如图，抛物线交轴于点和点在左边），与轴交于点，是抛物线上第一象限内的一个动点． （1）求，，三点的坐标； （2）连接交线段于点，当与轴不平行时，的最大值　　； （3）若直线交于点，是否存在这样的点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）当时，， ， 当时，， 解得，， ，， 综上，，，； （2）过点作交于点，如图， 设直线的解析式为， 又，， 将两点坐标代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则，，， ， ， △， ， ． 抛物线开口向下，图象有最高点， 当时，的最大值为； 故答案为：； （3），，， ，， ， ， 由勾股定理得，， 过作轴于， 则， 依题意，， 设的解析式为， 是公共角， 或， 当时， ， 即， 解得：， ，， 此时， 则， 解得，， 解析式为， 解得： 或（不合题意，舍去）， 当时， ，即， 解得，， ，则， 此时， 则， 解析式为， 解得或（舍去）， 综上，点横坐标为或者时符合题意． 6. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）请直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标； （3）如图（2），点为抛物线对称轴上的动点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）在中，令有， 解得：，， 在的左侧， ，． 在中，令时，则， ， ， 顶点； （2）作点关于轴对称的点，连接交轴于点，此时的周长最小，如图： ， ． 设直线的解析式为， 则有，解得：， 直线的解析式为， 在中，令时，解得， ，， 当的周长最小，点的坐标为，； （3）存在，设， ，， ，，， ①当时，如图： ，解得或， 或； ②当时，如图： ，解得或， 或； ③当时．如图： ，解得， ， 综上所述，的坐标为：或或或或． 7. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，若，求点的坐标； （3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为， 即，解得， 故抛物线的表达式为①； （2）由抛物线的表达式知，点， 如图，过点、分别作直线、，使两条直线均与平行， 设直线、分别交轴于点、，则， 由，，， ， ， 故点， 由点、的坐标知，直线的表达式为， 而，则直线的表达式为②， 联立①②并解得或3， 故点的坐标为或． （3）存在．，，， 为等腰直角三角形， 抛物线的对称轴为， 点的横坐标为， 又点在直线上， 点的纵坐标为， ，， 设，，， ①如图2中，当，， 由， 则， 解得或（舍去）， 此时点的坐标为，， ②当，当时， 则， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为，． ③当，时， 此时与相似， 此时的点与点关于①的结果，对称， 设，， 则， 解得， ，， 此时点的坐标为，． 故在射线上存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为：，或，或，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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