第二十六章 反比例函数（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（安徽专用,人教版）

第二十六章 反比例函数（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列函数是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（     ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数 ，则下列说法正确的是（     ） A．函数图像分布在第二、四象限 B．随的增大而减小 C．如果两点，都在图像上，则 D．图像关于原点中心对称 4．如图，在同一坐标系中，函数和的图象大致可能是（   ） A．B．C． D． 5．在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 7．已知闭合电路的电压为定值，电流与电路的电阻是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是（　　） 5 … a … … … b … … 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A．I与R的关系式为 B． C． D．当时， 8．李白《望天门山》诗中写道：“天门中断楚江开，碧水东流至此回．两岸青山相对出，孤帆一片日边来．”这首诗的意境可以用如图所示的函数图象进行直观描述，则y与x的函数关系式可以是（　　） A． B． C． D． 9．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 10．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．写出一个反比例函数，使在每一个象限内，y随x的增大而增大，其解析式为 ．（写出一个符合条件的即可） 12．已知是反比例函数，则 ． 13．已知，是反比例函数图象上的两点：若，则 （填“<”、“=”或“>”） 14．如图，点是反比例函数图像上一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点，，若四边形的面积是4，则 ． 15．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 16．如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ． 17．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 18．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）已知与成反比例，且当时，，求： (1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 20．（5分）世界的面食之根就在山西．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值． 21．（6分）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 22．（6分）如图，反比例函数 的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求k和a的值． (2)若，则x的取值范围是 ． 23．（6分）已知反比例函数，为常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 24．（6分）如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)求三角形的面积． 25．（7分）如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C，经过点C的直线与反比例函数图象交于点B，直线与x轴的负半轴交于点E． (1)如图1，求m的值． (2)如图2，若点C是线段的中点，作轴于点D，求的面积． 26．（7分）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/米是其两腿迈出的步长之差/厘米（）的反比例函数，与之间有如下关系： /厘米 /米 请根据表中的信息解决下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式是______； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为______米； (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 28．（10分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求直线和反比例函数的表达式． (2)结合图象，请直接写出不等式的解集． (3)连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 反比例函数（单元培优卷 人教版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列函数是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是反比例函数，故此选项符合题意； B、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意； C、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意； D、不是反比例函数，故此选项不合题意； 故选：A． 2．若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ， 又， ∴该图象也过点， 故选：C． 3．已知反比例函数 ，则下列说法正确的是（     ） A．函数图像分布在第二、四象限 B．随的增大而减小 C．如果两点，都在图像上，则 D．图像关于原点中心对称 【答案】D 【详解】解：A．， 反比例函数图像分布在第一、三象限，故该选项错误，不符合题意； B．在每一象限内，随的增大而减小，故该选项错误，不符合题意； C．，， ，故该选项错误，不符合题意； D．反比例函数的图像关于原点中心对称，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 4．如图，在同一坐标系中，函数和的图象大致可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两个函数的比例系数均为k， ∴两个函数图象必有交点， 又交y轴的正半轴， ∴符合这两个条件的选项只有C． 故选：C． 5．在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解∶∵在反比例函数的图象上有三个点，，， ∴，，， ∵， ∴， 故选：A． 6．若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限， 故选：C 7．已知闭合电路的电压为定值，电流与电路的电阻是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是（　　） 5 … a … … … b … … 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A．I与R的关系式为 B． C． D．当时， 【答案】D 【详解】解：∵闭合电路的电压为定值， ∴， ∴，故A错误，不符合题意； 当时，，故B错误，不符合题意； 当时， ∴，故C错误，不符合题意； 当时， 当时，， ∴当时，，故D正确，符合题意； 故选：D． 8．李白《望天门山》诗中写道：“天门中断楚江开，碧水东流至此回．两岸青山相对出，孤帆一片日边来．”这首诗的意境可以用如图所示的函数图象进行直观描述，则y与x的函数关系式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由函数图象的两条曲线位于第一和第二象限可知，因变量，故选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 9．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 10．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，若的面积是，则的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，设与轴交点为， ∵轴， ∴轴，， ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴， 解得， ∵双曲线分布在二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：共8题，每题3分，共24分。 11．写出一个反比例函数，使在每一个象限内，y随x的增大而增大，其解析式为 ．（写出一个符合条件的即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据题意，此反比例函数， 函数为（答案不唯一）中的，符合条件 故答案为：（答案不唯一）． 12．已知是反比例函数，则 ． 【答案】4 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：4． 13．已知，是反比例函数图象上的两点：若，则 （填“<”、“=”或“>”） 【答案】 【详解】解：∵，是反比例函数图象上的两点： ∴函数图象在第二，四象限，随着的增大而增大， ∴时，； 故答案为：． 14．如图，点是反比例函数图像上一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点，，若四边形的面积是4，则 ． 【答案】 【详解】解：∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∵图像在二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 15．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ． 【答案】4 【详解】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 16．如图，的半径为2，圆心P在函数的图象上运动，当与坐标轴相切时，点P的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：∵与坐标轴相切， ∴分两种情况讨论： ①当与x轴相切时， 则点P的纵坐标为2， ∴ ， ∴点P的坐标为． ②与y轴相切时， 则点P的横坐标为2， ∴ ∴ ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为：或， 故答案为：或． 17．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为3，则 ． 【答案】6 【详解】解：矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点， 由反比例函数中的几何意义知，， 四边形的面积为3， 由图可知，， 即，解得， ， 故答案为：6． 18．小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【详解】解：①， ， 故①正确； ②当时，， 该函数与轴交于点， 故②正确； ③，， ∴当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 该函数图象不经过第四象限； 故③正确； ④若该函数图象关于轴对称， 则函数图象的每一个点都关于轴对称， 当时，， 当时，， ∵， 而与不关于轴对称， 故④错误； ⑤当时，取，时， ∴，， 则， 故⑤错误， 故答案为：①②③． 三、解答题：共10题，共66分，其中第19~20题每小题5分，第21~24题每小题6分，第25~26题每小题7分，第27题8分，第28题10分。 19．（5分）已知与成反比例，且当时，，求： (1)与之间的函数关系式； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∴； （2）当时，则：， 解得：． 20．（5分）世界的面食之根就在山西．如图，厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度是面条横截面面积的反比例函数，其图象经过，两点． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，代入 （2）将代入 21．（6分）已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 22．（6分）如图，反比例函数 的图象与二次函数的图象相交于点． (1)求k和a的值． (2)若，则x的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过点 ∴． ∵二次函数，的图象经过点， ∴ 解得： ． （2）观察图象可得：时，x的取值范围是：或， 故答案为：或． 23．（6分）已知反比例函数，为常数，． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上，理由见解析． 【详解】（1）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得：； （2）当时，反比例函数解析式为， ∴当时，， 故在这个函数的图象上， ∴当时，， 故不在这个函数的图象上． 24．（6分）如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵反比例函数过点， ∴，即； 将，代入，得 ∴点A的坐标为， ∴将点A，B的坐标代入一次函数中， 得， 解得， ∴； （2）解：在直线中，当时， ， ∴， ∴点C的坐标为，即， ∴． 25．（7分）如图，已知反比例函数的图象经过点，过A作轴于点C，经过点C的直线与反比例函数图象交于点B，直线与x轴的负半轴交于点E． (1)如图1，求m的值． (2)如图2，若点C是线段的中点，作轴于点D，求的面积． 【答案】(1)8 (2)8 【详解】（1）解：∵过A作轴于点C，经过点C的直线 ∴当， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴； （2）解：依题意，∵点C是线段的中点，且，点E在轴上， ∴， 即， ∴ 把代入 得 ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴的面积． 26．（7分）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径/米是其两腿迈出的步长之差/厘米（）的反比例函数，与之间有如下关系： /厘米 /米 请根据表中的信息解决下列问题： (1)直接写出与之间的函数表达式是______； (2)当某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为______米； (3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？ 【答案】(1) (2) (3)两腿迈出的步长之差最多是厘米 【详解】（1）解：根据题意，设反比例函数解析式为，当时，， ∴，即， ∴与之间的函数表达式是． （2）解：某人两腿迈出的步长之差为厘米，即， ∴， ∴某人两腿迈出的步长之差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． （3）解：某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，将代入反比例函数， ∴，解方程得，， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴两腿迈出的步长之差最多是厘米． 27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)根据图象直接写出的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为30，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；直线的表达式 (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点A，点A的坐标是， ∴，即， ∴反比例函数的表达式为， ∵反比例函数的图象过点B，B的纵坐标是， ∴时，， ∴． 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 所以的解集为或； （3）解：如图，设直线与x轴交于点E，平移后的直线与x轴交于点D，连接，则， ∵， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积为30， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴平移后的直线的函数表达式为． 28．（10分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求直线和反比例函数的表达式． (2)结合图象，请直接写出不等式的解集． (3)连接，在轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；反比例函数的表达式为 (2)不等式的解集是 (3)或或 【详解】（1）解：∵直线经过点和， ∴可得方程组 解得 ∴直线的表达式为． ∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴， 解得：， ∴． ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）求不等式的解集相当于从图像上看x取何值时，反比例函数的图像不低于直线的图像． 所以从图像上看，当时，反比例函数的图像不低于直线的图像． 所以不等式的解集是． （3）∵， ∴． 当时， ∵点P在x轴上， ∴或； 当时， ∵点P在x轴上，且， ∴， ∴综上所述或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$