期中满分冲刺03之解答压轴题（九上浙教，14大考点60题）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

期中满分冲刺03之解答压轴题（九上浙教，16大考点60题） 目录 类型一、二次函数有关性质的推理计算与证明 1 类型二、二次函数的实际问题：面积问题 3 类型三、二次函数与实际问题：销售问题 6 类型四、二次函数与实际问题：投球喷水拱桥问题 8 类型五、二次函数与几何综合压轴问题 12 类型六、旋转的计算与证明综合问题 14 类型七、圆中有关性质的计算与证明问题 17 类型八、圆与尺规作图的计算与证明 19 类型九、圆与三角形、四边形综合问题 21 类型十、正多边形与圆的有关计算 23 类型十一、圆的有关新定义探究问题 24 类型十二、相似三角形的应用综合问题 25 类型十三、相似三角形与动点问题 27 类型十四、相似三角形的性质与判定综合问题 28 类型一、二次函数有关性质的推理计算与证明 1．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）设二次函数（a，c是常数）的图象与x轴有交点． (1)若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标． (2)若图象与x轴只有一个交点，且过，求此时a，c的值． (3)已知，若函数的表达式还可以写成（m，n为常数，且），设二次函数，求的最小值． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数 (，为实数)． (1)当，若图象经过点，求该函数的表达式； (2)若，①当时，随着增大而减小，求的取值范围； ②设一次函数，当函数的图象经过点时，求的值． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（b，c是常数）过点三点． (1)若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式； (2)已知， ①若，求的取值范围； ②若，试比较与的大小． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)若它的图象经过点，求，满足的关系式； (2)在（1）的条件下，当自变量的值满足时，随的增大而增大． ①求的取值范围； ②记，求的取值范围； (3)若它的图象经过点，，，且，请直接写出的取值范围． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为． (1)函数的对称轴为___________，其友好同轴二次函数为___________，两个函数表达式的二次项系数的关系是___________． (2)已知二次函数(其中且且)，其友好同轴二次函数记为． ①若函数的图象与函数的图象交于两点(点的横坐标小于点的横坐标)，求线段的长； ②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求的值． 类型二、二次函数的实际问题：面积问题 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边是够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． (1)若花园的面积为，求的值； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，矩形窗户边框由矩形，矩形，矩形组成，且.已知制作一个窗户边框的材料的总长是6米，设（米），窗户边框的面积为S（）．    (1)①用x的代数式表示； ②求x的取值范围． (2)求当x取何值时，S达到最大，并求出最大值． 8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒    素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．    【尝试解决问题】 任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 9．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如何裁剪出符合要求的长方形纸片？ 素材 如图，是腰长为的等腰直角三角形卡纸，校艺术节上，甲、乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的长方形纸片，并使长方形的四个顶点都在的边上．    素材 甲同学按图的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，乙同学按图的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，丙同学想裁出面积最大的长方形纸片．    任务 计算纸片周长 请帮甲同学计算此长方形纸片的周长． 任务 判断裁剪方案 请帮乙同学判断此裁剪方案是否能够实现，说明理由． 任务 计算最大面积 请帮丙同学计算出长方形纸片面积的最大值． 10．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    类型三、二次函数与实际问题：销售问题 11．（23-24九年级上·浙江·周测）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出与的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 12．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．手办玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 13．（23-24八年级下·浙江温州·期中）综合和实践：设计保底利润的销售方案 【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？ 思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？ 思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案． 14．（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下线索，探索完成任务． 如何绿色环保的达到利润最大化？ 素材1 中国某大型工厂销售一种化工品，其每吨利润m万元与天数x天满足关系．经市场部调研后发现，这种化工品的销售情况如下： 时间x（天） 第1天 第2天 第5天 第7天 第10天 …… 日销售量y（吨） 3 3.2 3.8 4.2 4.8 …… 素材2 第20天时，厂长发现此化工品日销售量趋于稳定，为保证每天都能售完，将第21天起的日生产量控制在6.8千克． 任务1 确定销售模型 利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． 任务2 利润最大化 求本月（30天）的日利润W万元哪一天达到最大，最大值为多少？ 任务3 绿色生产 第2个月开始，该工厂引入新技术对化工污染进行处置，使得每吨成本增加a万元，但售价保持不变．假设日销售量和上月对应天数的日销售量相同，前20天的日销售额W万元随着时间x的增大而增大，求a的取值范围． 类型四、二次函数与实际问题：投球喷水拱桥问题 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在体育课上，男生进行实心球投掷训练，实心球离手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系： 水平距离x/m 0 2 3 4 5 竖直距离y/m (1)小强进行训练时，抛实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如上：根据上述数据，直接写出小强抛出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 (2)小强改变了抛掷姿势，经多次训练后，实心球抛出的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．已知中考实心球的成绩满分标准是抛掷着陆时的水平距离至少为10米，若小强要获得满分，求a的取值范围． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计击球线路的方案 素材1 数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，兴趣小组对击球线路进行探索，如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上，且．    素材2 若选择点P扣球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系．    素材3 若选择点P吊球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系． 问题解决 任务1 确定关键数据 求a和b的值． 任务2 拟定设计方案 兴趣小组探索发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 18．（22-23九年级上·浙江台州·期中）现有一瓶洗手液如图1所示．已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧和，它们的圆心分别为点和点，下部分是矩形，且，，点到台面的距离为，如图2所示，若以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，当手按住顶部下压时，洗手液从喷口流出，其路线呈抛物线形，此时喷口距台面的距离为，且到的距离为，此时该抛物线形的表达式为，且恰好经过点． (1)请求出点E的坐标，并求出b，c的值. (2)接洗手液时，当手心距所在直线的水平距离为时，手心距水平台面的高度为多少？ 19．（22-23九年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷泉喷头的升降方案？ 素材1 如图1，湖中有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米，当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下： x（米） 0 2 3 4 y（米） 1 2 1.75 1 素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过．如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米． 问题解决 任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求y关于x的表达式． 任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形． (1)某桥主桥拱是圆弧形（如图①中，已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是 　　； (2)某桥的主桥拱是抛物线形（如图②，若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式； (3)如图③，在（1）和（2）的条件下，某个时刻桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度． 类型五、二次函数与几何综合压轴问题 21．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求点E的坐标； (2)如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为12时，求点的坐标． 22．（20-21九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）设函数和的图象相交于点，函数的图象的顶点分别为和． (1)画出当时，函数在直角坐标系中图象； (2)观察（1）中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的表达式，并说明理由； (3)设，求证：是与无关的常数，并求的最小值； (4)设直线的图象分别与函数的图象交于和，．若，写出所有实数．（直接写出的值即可，不要求写理由） 24．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值； (3)在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标． 25．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 类型六、旋转的计算与证明综合问题 26．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 27．（22-23八年级上·浙江金华·期中）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，，．当点A位于______时，线段的长取得最大值为______．（用含a，b的式子表示） （2）应用：点A为线段外一动点，且，．如图2所示，分别以、为边，作等边和等边，连接、． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接写出长的最大值． （3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标，点P为线段外一动点，且，，．请直接写出线段长的最大值及此时点P的坐标． 28．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，为等腰三角形，，，点O为的中点，过O作于点D．点P为射线上一点，Q为线段上一点（不与点B，C重合），连接． (1)求的长； (2)若，将点P绕点Q逆时针旋转，得到点E，当点E落在的一边上时，求的长； (3)当点P与点O重合时，在线段上取点F，使点C、F关于成轴对称，求点F到的距离h． 29．（22-23九年级上·浙江台州·期中）【问题背景】（1）如图1，在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：将绕A点逆时针旋转得到，连接， ①求证：G，D，F，三点共线； ②之间的数量关系为 ． 【探索延伸】（2）如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】（3）如图3，在四边形中，，E是边上一点，当时，求的长度． 30．（23-24八年级下·江苏盐城·期中） [回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程． 已知：如图1，是的中位线，求证：，． 分析：因为E是的中点，可以考虑以点E为中心，把按顺时针方向旋转，得到，这样就需要证明四边形是平行四边形…… [探究发现] 如图2，等边的边长为2，点D，E分别为，边中点，点F为边上任意一点（不与B，C重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转恰好能与①拼成平行四边形，求平行四边形周长的最小值． [拓展作图] 如图3，已知四边形，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明． 类型七、圆中有关性质的计算与证明问题 31．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 32．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点D，连结，． (1)求证：． (2)当时，求的度数． (3)当是直角三角形时，求B、C两点之间的距离． 33．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 34．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知如图，内接于，为直径，于点D，于点F． (1)求证：； (2)当点C是的中点时，求证：． 35．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，是半径为5的的直径，点C、D是上的点，且分别与相交于点． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求的长； (3)若，点P是直径上任意一点，直接写出的最小值． 类型八、圆与尺规作图的计算与证明 36．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知．    (1)作的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在线段的上方作弦，使，连结，求证：． 37．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图， (1)用尺规作图作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，且，求外接圆的半径． 38．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图（保留作图痕迹）： (1)在图1中找一点D，使点D在线段上，且； (2)在图2中找一格点E，使． 39．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）作图题：上有三个点，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出你的结论． (1)在下图中作一个的角； (2)在下图中作一个的角； (3)在下图中作一个的角． 40．（2020·江西·一模）等腰中，，以为直径作圆交于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，； (2)如图2，． 类型九、圆与三角形、四边形综合问题 41．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，锐角，，以为直径作交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G，， ①求证：； ②如图3，连接，若，求的长． 42．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连． (1)求的长． (2)若，直接写出的长． (3)①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：． ②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 43．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，圆内接四边形为优弧的中点． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求的值： (3)如图3，若为的中点，为的中点，连接，求证：． 44．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，与的延长线交于点F，设半径为R． (1)若，，求： ①______（用R的代数式表示）； ②的半径长． (2)求证：． 45．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点D，． (1)求所对圆心角的度数； (2)连，求证：； (3)探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 类型十、正多边形与圆的有关计算 46．（22-23九年级下·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 47．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D．点E是圆上一点，且，连接交于点F． (1)求证： (2)当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数． (3)探究线段、、之间的数量关系，并证明． 类型十一、圆的有关新定义探究问题 48．（19-20九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 图1                图2                 图3 (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为． ①则的长是______． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． (3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 49．（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．    (1)如图1，若四边形是圆美四边形．求美角的度数； (2)在（1）的条件下，若的半径为4． ①求的长； ②连接，若平分，如图2，请判断、、之间有怎样的数量关系，并说明理由． 50．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形． (1)如图1，四边形内接于，，点C是弧的中点，连接，试说明与是偏等三角形． (2)如图2，与是偏等三角形，，，，，求的长． (3)如图3，内接于，，，，若点D在上，且与是偏等三角形，，求的值． 类型十二、相似三角形的应用综合问题 51．（21-22九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．    (1)求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？ 52．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，手电筒到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．    (1)求的长； (2)求点E到地面的高度的长． 53．（20-21九年级上·浙江金华·期中）某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上竖直的悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中米，米，米；乙组测得图中，米，同一时刻影长米，米；丙组测得图中，，，米，米，人的臂长为0.6米，请你任选两种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度． 类型十三、相似三角形与动点问题 54．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，分别是一元二次方程的两个根，连结，动点从出发，以1个单位每秒速度，沿方向运动，同时，动点从点出发，以同样的速度沿射线运动，当点到达点时，点即停止运动，设运动时间为秒.以为斜边作Rt，使点落在线段上. (1)求线段的长度； (2)求面积的最大值； (3)当与相似时，求的值. 55．（20-21九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3，BC＝4，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点． 连AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F． (1)求证：△APE∽△ADQ； (2)设AP的长为x，试求△APE的面积关于x的函数关系式； (3)设AP的长为x，试求△PEF的面积关于x的函数关系式，并求当P在何处时，取得最大值？最大值为多少？ 类型十四、相似三角形的性质与判定综合问题 56．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）【基础巩固】（1）如图1，在中，D，E分别在，上，连接，若，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连接，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连接，，若，，，，求的长． 57．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，中，，（为常数，）．点是上的一点，且，过点作于点． (1)若，，求． (2)连结，若平分，求满足的关系式． (3)设与的周长和为，的周长为．探究：的值是否存在最大或最小值？若存在，请求出这个值：若不存在，请说明理由． 58．（23-24九年级下·浙江台州·期中）如图，在正方形中，是对角线上的动点(点不与点，重合)，线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点 (1)______；与的数量关系是______； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 59．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于点G，连结并延长交于点H． (1)证明：． (2)已知，． ①求的半径， ②取上一点P，连结并延长交于点Q，当等于四边形中的一个内角时，求的面积． 60．（2021·山东济南·一模）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中满分冲刺03之解答压轴题（九上浙教，14大考点60题） 目录 类型一、二次函数有关性质的推理计算与证明 2 类型二、二次函数的实际问题：面积问题 8 类型三、二次函数与实际问题：销售问题 15 类型四、二次函数与实际问题：投球喷水拱桥问题 21 类型五、二次函数与几何综合压轴问题 28 类型六、旋转的计算与证明综合问题 40 类型七、圆中有关性质的计算与证明问题 51 类型八、圆与尺规作图的计算与证明 59 类型九、圆与三角形、四边形综合问题 65 类型十、正多边形与圆的有关计算 75 类型十一、圆的有关新定义探究问题 79 类型十二、相似三角形的应用综合问题 86 类型十三、相似三角形与动点问题 90 类型十四、相似三角形的性质与判定综合问题 93 类型一、二次函数有关性质的推理计算与证明 1．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）设二次函数（a，c是常数）的图象与x轴有交点． (1)若图象与x轴交于A，B两点的坐标分别为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标． (2)若图象与x轴只有一个交点，且过，求此时a，c的值． (3)已知，若函数的表达式还可以写成（m，n为常数，且），设二次函数，求的最小值． 【答案】(1)； (2)当时，；当时， (3) 【分析】（1）将代入，可求，进而可得，化成顶点式可得顶点坐标； （2）令，由图象与x轴只有一个交点，则，即，将代入得，，可求或或（舍去），然后求解作答即可； （3）当时，，由，，可得，即，，然后求最值即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：令， ∵图象与x轴只有一个交点， ∴，即， 将代入得，， 解得，或或（舍去）， ∴当时，；当时，； （3）解：当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的最值是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，设二次函数 (，为实数)． (1)当，若图象经过点，求该函数的表达式； (2)若，①当时，随着增大而减小，求的取值范围； ②设一次函数，当函数的图象经过点时，求的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数的性质． （1）将，代入，利用待定系数法求得函数解析式； （2）①将代入解析式可得，故抛物线与x轴交点坐标为，，进而可得抛物线对称轴为直线，由当时，随着增大而减小可得，解得； ②由的解析式可得，令可得函数图象经过，，又因为函数图象经过，故或，进而解得或． 【详解】（1）解：时，， 将代入， 得， 解得， ． （2）解：①∵， ∴， 抛物线与轴交点坐标为，， 抛物线对称轴为直线， 时，随着增大而减小，且抛物线的开口向上， ， 解得； ② ， 函数图象经过， 函数图象经过， 或， 或． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（b，c是常数）过点三点． (1)若点A为此二次函数的顶点，求函数y的表达式； (2)已知， ①若，求的取值范围； ②若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．需要熟练掌握二次函数的性质方可解答该题． （1）根据顶点式写出即可； （2）①由抛物线过点A，得到，由，可知，得到，即可得到，由，可得；②由，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为二次函数的顶点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵， ∴ ，得， 将代入，得到， ， ， ； ② ， ， ，， ∴， ， ． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知二次函数． (1)若它的图象经过点，求，满足的关系式； (2)在（1）的条件下，当自变量的值满足时，随的增大而增大． ①求的取值范围； ②记，求的取值范围； (3)若它的图象经过点，，，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并灵活运用是关键． （1）依据题意，将点代入解析式即可得解； （2）①依据题意，由，抛物线开口向上，故在对称轴右侧随的增大而增大，进而可以得解； ②依据题意，结合的范围，将看作的二次函数进行计算可以得解； （3）依据题意，可得对称轴是直线，在结合图象过点，又经过点，，，且，依据点与对称轴的距离进而可以计算得解． 【详解】（1）解：将点代入解析式得，， ； （2）解：①由，抛物线开口向上，故在对称轴右侧随的增大而增大， 又时，随的增大而增大． ． ． 由， ． 又由（1）， ． ． ②由题意， ． 又， ； （3）解：由题意， 二次函数过点，， 对称轴是直线． 当时，， 二次函数图象过． 抛物线开口向上， 在对称轴直线左侧随的增大而减小，在对称轴的右侧是随的增大而增大． 图象过，， ，而， ，在对称轴直线的左侧或两侧． ①当，在对称轴直线的左侧， 又由题意，也在左侧，且， ． ． ②，在对称轴直线的两侧， 在左侧，在右侧． 又， ． ． 综上，或． 5．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为． (1)函数的对称轴为___________，其友好同轴二次函数为___________，两个函数表达式的二次项系数的关系是___________． (2)已知二次函数(其中且且)，其友好同轴二次函数记为． ①若函数的图象与函数的图象交于两点(点的横坐标小于点的横坐标)，求线段的长； ②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求的值． 【答案】(1)直线；；和为1 (2)①4；②或3 【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得； （2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数，联立函数，，解方程可求出点的坐标，由此即可得； ②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：函数的对称轴为：直线， 因为， 所以设函数的友好同轴二次函数为， 因为与y轴的公共交点是， 所以，解得， 所以函数的友好同轴二次函数为， 由定义可知：两个函数表达式的二次项系数的关系是和为1． 故答案为：直线；；和为1． （2）解：①二次函数， 则设， 所以，解得， 所以， 联立得：， 解得或， 当时，；当时，， 所以， 所以； ②函数的对称轴为直线， (Ⅰ)当且且时，抛物线的开口向上， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 则当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为4， 所以， 解得，符合题设； (Ⅱ)当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为4， 所以， 解得，符合题设； 综上，的值为或3． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键． 类型二、二次函数的实际问题：面积问题 6．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边是够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设． (1)若花园的面积为，求的值； (2)若在处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值． 【答案】(1)的值为12或16 (2)花园面积S的最大值为192平方米 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系式是解题关键． （1）根据题意得出长×宽，进而得出答案； （2）由题意可得出：，再利用二次函数增减性求得最值． 【详解】（1）解：∵，则， ∴， 解得：，， 答：的值为12或16； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵在处有一株树与墙，的距离分别是和， ∵， ∴， ∴当时，S取到最大值为：， 答：花园面积S的最大值为192平方米． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，矩形窗户边框由矩形，矩形，矩形组成，且.已知制作一个窗户边框的材料的总长是6米，设（米），窗户边框的面积为S（）．    (1)①用x的代数式表示； ②求x的取值范围． (2)求当x取何值时，S达到最大，并求出最大值． 【答案】(1)①  ② (2)当时S有最大值，最大值为 【分析】本题考查二次函数的实际应用、二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）①设，根据题意列式即可得到结论；②解不等式即可得到结论； （2）根据题意求得函数的解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵制作一个窗户边框的材料的总长是6米， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴且 解得 ：； （2）， ∴当时S有最大值，最大值为． 8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期中）某校九年级学生在数学社团课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】如何设计纸盒？ 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”设计了“任务1”“任务2”的实践活动． 请你尝试帮助他们解决相关问题． 素材1 利用一边长为的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒    素材2 如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．    【尝试解决问题】 任务1．初步探究：折一个底面积为无盖纸盒，求剪掉的小正方形的边长为多少？ 任务2．折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由． 【答案】任务1 ，剪掉的正方形的边长为；任务2，当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的定义，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据各数量之间的关系得出关于函数关系式，是解此题的关键． 任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形，根据“折一个底面积为无盖纸盒”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； 任务2：设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为，根据题意得出关于函数关系式，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：任务1：设剪掉的小正方形的边长为，则折成的无盖纸盒的底面边长为的正方形， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 剪掉的正方形的边长为； 任务2：折成的无盖纸盒的侧面积有最大值， 设剪掉的小正方形的边长为，折成的无盖纸盒的侧面积为， 由题意得：，即， ， 当时，取得最大值，最大值为， 当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为． 9．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如何裁剪出符合要求的长方形纸片？ 素材 如图，是腰长为的等腰直角三角形卡纸，校艺术节上，甲、乙、丙三名同学分别用这样的卡纸试图裁剪出不一样的长方形纸片，并使长方形的四个顶点都在的边上．    素材 甲同学按图的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，乙同学按图的方式裁剪，想裁出面积为三角形面积的的长方形纸片，丙同学想裁出面积最大的长方形纸片．    任务 计算纸片周长 请帮甲同学计算此长方形纸片的周长． 任务 判断裁剪方案 请帮乙同学判断此裁剪方案是否能够实现，说明理由． 任务 计算最大面积 请帮丙同学计算出长方形纸片面积的最大值． 【答案】任务1：80cm；任务2：乙同学不能实现，见解析；任务3： 【分析】任务设，则，依据题意列出方程求得值，再利用正方形的周长公式解答即可； 任务设，则，依据题意列出方程，通过计算，方程没有实数根，说明乙同学的方案不能实现； 任务利用配方法，分别求得两个方案中的面积的最大值即可得出结论． 【详解】解：任务由题意得：， ， ． 设，则， 矩形的面积为三角形面积的， ， 化简得， 解得：或， 矩形的边长为，， 周长为； 任务由题意得：，， ，， ． 设，则， 矩形的面积为三角形面积的， ， 整理得：． ， 方程无实数根， 乙同学的方案不能实现； 任务图方案：， 当时，矩形的面积最大为； 图方案：， 当时，面积最大为， 长方形纸片面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，配方法，二次函数的性质，函数的极值，利用配方法解答是解题的关键． 10．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路𝑂𝑃，𝑂𝑄，中间有一正方形𝐴𝐵𝐶𝐷水池，已知水池的边长为4米，𝐴𝐵∥𝑂𝑄，𝐴𝐷∥𝑂𝑃，且𝐴𝐵与𝑂𝑄的距离为10米，𝐴𝐷与𝑂𝑃的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若𝐸𝐹=16米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：图4方案的最大面积更大，为273；项目反思：图5方案最大面积更大 【分析】任务1：根据矩形面积公式和正方形面积公式求解即可； 任务2：由图3，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结合一次函数的性质计算该方案的最大面积；由图4，设，花圃面积为，则，由题意可得花圃面积，结二次函数的性质计算该方案的最大面积，即可获得答案； 项目反思：延长交于点，过点作于点，易得为矩形，进而可知，设，花圃面积为 ，则，，，由题意得列出函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：任务1：如图2， 由题意可知，则， 矩形面积为 ， ()， 答：花圃的面积为208； 任务2：由图3，设，花圃面积为，则， 由题意得：， 因为， ∴当时，有最大值，最大值为()； 由图4，设，花圃面积为， 则， 由题意得：， ∴当时，y有最大值为273， 所以，图4方案的最大面积更大，为273； 项目反思：如下图，    延长交于点，过点作于点， 易得为矩形， ∴， ∵， ， 设，花圃面积为 ， 则，，， 由题意得：， ∴当时，花圃面积有最大值， ∵， ∴图5方案最大面积更大． 【点睛】本题主要考查了矩形面积公式、一次函数的应用、二次函数的应用等知识，正确的求出函数解析式是解题的关键． 类型三、二次函数与实际问题：销售问题 11．（23-24九年级上·浙江·周测）杭州亚运会期间，某网店经营亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，每盒进价为30元，出于营销考虑，要求每盒商品的售价不低于30元且不高于38元，在销售过程中发现该商品每周的销售量𝑦（件）与销售单价𝑥（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为32元时，销售量为36件；当销售单价为34元时，销售量为32件． (1)请求出𝑦与𝑥的函数关系式； (2)设该网店每周销售这种商品所获得的利润为元， ①写出与的函数关系式； ②将该商品销售单价定为多少元时，才能使网店每周销售该商品所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)①；②该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用、待定系数法等知识点，灵活应用这些知识解决问题并构建二次函数解决问题成为解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）①根据“总利润=每件产品利润×数量”即可列出函数关系式；②利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 把和分别代入得， ，解得：． ∴y与x的函数关系式为． （2）解：①由题意可得， ∴w与x的函数关系式为． ②， ∵且对称轴为直线， ∴抛物线开口向下， ∵在对称轴左侧，即时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）． 答：该商品销售单价定为38元时，才能使网店销售该该商品所获利润最大，最大利润是192元． 12．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．手办玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润与销售价之间的函数关系式，再依据函数的增减性求出最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的的取值范围即可； 【详解】（1）解：根据题意得： 与之间的函数关系式为： （2）根据题意得： ， 时有最大值，最大值为：， 将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大；最大利润是元 （3）解：依题意可得：剩余利润为元， 即 由 解得：或 的取值范围为：， 捐款后剩余利润不低于时，， 答：捐款后每天剩余利润不低于时，销售单价的取值范围是． 13．（23-24八年级下·浙江温州·期中）综合和实践：设计保底利润的销售方案 【背景素材】某公司需处理100件成本为20元，售价为80元的库存产品，计划全部销售给两个经销商，以获得4400元的保底利润．经协商，公司给经销商的优惠条件是∶当购买量超过30件时，每多购买1件，每件产品售价下降1元，并规定售价不能低于40元．公司给经销商的优惠条件是：当购买量达到30件及以上时，每件产品售价降低20元． 【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究． 思考1(特值分析)∶若公司将产品平均出售给两个经销商，则可以获利多少钱？ 思考2(逐步求解)∶当公司出售给经销商A的数量超过70件时，能否实现保底利润？ 思考3(方案探究)：若公司要实现保底利润，请设计所有可能的销售方案． 【答案】思考1：4000元；思考2：不能实现保底利润；思考3：经销商A购买件（包括20件，40件），经销商B购买件（包括80件，60件），能实现保底利润． 【分析】本体考查二次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，列出函数关系，利用函数的性质求解． 思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买件，再按优惠条件计算即可； 思考2：设公司出售给经销商A的数量件，其中，则出售给经销商B的数量件，列出函数关系，根据函数的性质即可求解； 思考3：设公司出售给经销商A的数量件，则出售给经销商B的数量件，分三种情况，当，则，当，即时，当时，分别讨论求解即可． 【详解】解：思考1：公司将产品平均出售给两个经销商，每个经销商购买件， 则元， 即：公司将产品平均出售给两个经销商，可以获利4000元； 思考2：设公司出售给经销商A的数量件，其中，则出售给经销商B的数量件， 则公司可获利 ， 当时，， ∵， ∴，则随增大而减小，即获利小于3200元， ∴不能实现保底利润； 思考3：设公司出售给经销商A的数量件，则出售给经销商B的数量件， ①当，则， 由题意可得：公司可获利 当时，， ∵，则随增大而增大， ∴当时，能实现保底利润； ②当，即时， 由题意可得：公司可获利 当时，（不符题意，舍去）， ∵，则当时，随增大而减小， ∴当时，能实现保底利润； ③当时，由思考2可知，不能实现保底利润； 综上，经销商A购买件（包括20件，40件），经销商B购买件（包括80件，60件），能实现保底利润． 14．（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【素材一】每年春季，是凤梨的旺季．某水果店热销一批凤梨，其进价为每个5元，当售价为25元时，平均每天可以卖出120个． 【素材二】经市场调研发现：售价每上涨1元/个，每天要少卖出5个；售价每下降1元/个，每天可多卖出10个． 【素材三】“五一”假期将至，该水果店计划只调整一次售价，以获得更高利润． 【任务一：分析变量关系】 若涨价2元/个，则平均每天销售数量为__________个； 若设降价x元/个，则平均每天销售数量为__________个（用含x的代数式表示）． 【任务二：探索调整方案】 该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【任务三：拟定最优方案】 为保证凤梨的最佳风味，该水果店决定采取适当的降价措施，尽快减少库存，应如何调整售价才能使每天的利润最高？ 【答案】【任务一】110；；【任务二】将售价下降2元或6元能使利润达到2520元；【任务三】将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． [任务一]依据题意，由售价每上涨1元个，每天要少卖出5个，再结合涨价2元个，即可得平均每天销售数量；依据售价每下降1元个，每天可多卖出10个，可得当降价元个时，可得平均每天销售数量； [任务二]依据题意，若设涨价元个时，可得，进而可得△，故可判断涨价不能使利润达到2520元；若设降价元个时，则得，进而计算可以得解； [任务三]依据题意，为尽快减少库存，故采取降价促销，从而可得每天的利润，再由二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：[任务一] 由题意，售价每上涨1元个，每天要少卖出5个， 又涨价2元个， 平均每天销售数量为：（个）． 又售价每下降1元个，每天可多卖出10个， 当降价元个时，平均每天销售数量为：个． 故答案为：110；． [任务二] 由题意，若设涨价元个时， 得， 化简得． ． 涨价不能使利润达到2520元． 若设降价元个时， 得， 化简得， 解得，． 将售价下降2元或6元能使利润达到2520元． [任务三] 尽快减少库存， 采取降价促销． 每天的利润． 将售价下降4元，能使每天的利润最高，达到2560元． 15．（23-24九年级上·浙江温州·期中）根据以下线索，探索完成任务． 如何绿色环保的达到利润最大化？ 素材1 中国某大型工厂销售一种化工品，其每吨利润m万元与天数x天满足关系．经市场部调研后发现，这种化工品的销售情况如下： 时间x（天） 第1天 第2天 第5天 第7天 第10天 …… 日销售量y（吨） 3 3.2 3.8 4.2 4.8 …… 素材2 第20天时，厂长发现此化工品日销售量趋于稳定，为保证每天都能售完，将第21天起的日生产量控制在6.8千克． 任务1 确定销售模型 利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式． 任务2 利润最大化 求本月（30天）的日利润W万元哪一天达到最大，最大值为多少？ 任务3 绿色生产 第2个月开始，该工厂引入新技术对化工污染进行处置，使得每吨成本增加a万元，但售价保持不变．假设日销售量和上月对应天数的日销售量相同，前20天的日销售额W万元随着时间x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】任务1：； 任务2：本月（30天）的日利润W万元第20天达到最大，最大值万元； 任务3： 【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． 任务1：利用猜想y与x之间是一次函数关系，设，利用待定系数法求出函数解析式，并验证即可； 任务2：分和两种情况分别进行求解即可； 任务3：根据任务2得到二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：任务1：由表格中的数据可知y与x之间是一次函数关系，设， 当时，；当时，，则 ， 解得 ∴y与x之间的关系式是， 当时，； 当时，， 当时，， 即一次函数模型成立， ∴y与x的函数关系式为． 任务2：由题意得，当时，， 令，得 ∴对称轴 ∵ ∴当时，随着x的增大增大， ∴当时，此时， 取得最大值为：（万元） 即本月前20天的日利润W万元第20天达到最大，最大值为万元； 当时，， ∵ ∴当时，随着x的增大而减小， 综上可知，本月（30天）的日利润W万元第20天达到最大，最大值万元； 任务3：由题意可得， 令，得 ∴对称轴 ∵前20天的日销售额W'万元随着时间x的增大而增大 ∴，且， 解得， 即a的取值范围为． 类型四、二次函数与实际问题：投球喷水拱桥问题 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在体育课上，男生进行实心球投掷训练，实心球离手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系： 水平距离x/m 0 2 3 4 5 竖直距离y/m (1)小强进行训练时，抛实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如上：根据上述数据，直接写出小强抛出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 (2)小强改变了抛掷姿势，经多次训练后，实心球抛出的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．已知中考实心球的成绩满分标准是抛掷着陆时的水平距离至少为10米，若小强要获得满分，求a的取值范围． 【答案】(1)实心球竖直高度的最大值是，抛物线的函数解析式为 (2)抛掷着陆时的水平距离至少为10米，a的取值范围是 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确读懂表格，利用表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据表格中的数据求出顶点坐标为，则抛物线解析式为，再把代入抛物线解析式中计算求解出抛物线解析式，再根据，即可求出实心球的竖直高度的最大值； （2）先求出水平距离恰好为10米时a的值，再由水平距离越大，则开口越大，即a的值越大，由此可得答案． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴在时，实心球的竖直高度最大，最大为； （2）解：当着陆时的水平距离为10米时，即时，， ∴， 解得， ∵抛掷着陆时的水平距离越大，说明抛物线开口越大， ∴抛掷着陆时的水平距离大于10米时，， ∴， ∴抛掷着陆时的水平距离至少为10米，a的取值范围是． 17．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计击球线路的方案 素材1 数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，兴趣小组对击球线路进行探索，如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上，且．    素材2 若选择点P扣球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系．    素材3 若选择点P吊球，如图2，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系． 问题解决 任务1 确定关键数据 求a和b的值． 任务2 拟定设计方案 兴趣小组探索发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】任务一：的值是；b的值是2.8 任务二：选择吊球方式，球的落地点到点的距离更近 【分析】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出一次函数和二次函数解析式，掌握函数图象上点坐标的特征． 任务一：先求出点的坐标，再分别 代入一次函数与二次函数解析式计算即可求解； 任务二：在中，令得，在中，令可得（舍去）或，由，即可得到答案． 【详解】解：任务一：∵， ∴， 把代入得：， 解得：， 的值是； 把代入得， ∴b的值是2.8． 任务二：，， ， ， 在中，令得， 在中，令得（舍去）或， ， 选择吊球方式，球的落地点到点的距离更近． 18．（22-23九年级上·浙江台州·期中）现有一瓶洗手液如图1所示．已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧和，它们的圆心分别为点和点，下部分是矩形，且，，点到台面的距离为，如图2所示，若以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，当手按住顶部下压时，洗手液从喷口流出，其路线呈抛物线形，此时喷口距台面的距离为，且到的距离为，此时该抛物线形的表达式为，且恰好经过点． (1)请求出点E的坐标，并求出b，c的值. (2)接洗手液时，当手心距所在直线的水平距离为时，手心距水平台面的高度为多少？ 【答案】(1)，的值是1，的值是18 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算． （1）由图可得的坐标，再根据待定系数法可得与的值； （2）把代入解析式可得答案． 【详解】（1）由题意得，，， 代入可得， 解得：， ， 答：，的值是1，的值是18； （2），， ， 把代入关系式为， 答：手心距水平台面的高度为． 19．（22-23九年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷泉喷头的升降方案？ 素材1 如图1，湖中有一个可垂直升降的喷泉，喷出的水柱呈抛物线．记水柱上某一点到喷头的水平距离为x米，到湖面的垂直高度为y米，当喷头位于起始位置时，测量得x与y的四组数据如下： x（米） 0 2 3 4 y（米） 1 2 1.75 1 素材2 公园想设立新的游玩项目，通过升降喷头，使游船能从水柱下方通过．如图2，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米． 问题解决 任务1 确定喷泉形状 结合素材1，求y关于x的表达式． 任务2 探究喷头升降方案 为使游船按素材2要求顺利通过，求喷头距离湖面高度的最小值． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】任务1：设抛物线的解析式，用待定系数法即可求解； 任务2：设二次函数图象平移后的解析式，根据题意列出不等式，即可得到答案． 【详解】任务1：设抛物线的解析式为： 把代入得：， 解得：， ； 任务2：设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为， 当横坐标为时，函数值， 解得：； 即水管高度至少向上调节米， 所以（米）， 即喷头离湖面高度最小值为． 【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，关键由二次函数的图象建立二次函数模型． 20．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形． (1)某桥主桥拱是圆弧形（如图①中，已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是 　　； (2)某桥的主桥拱是抛物线形（如图②，若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式； (3)如图③，在（1）和（2）的条件下，某个时刻桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质． （1）设主桥拱的半径是 ，根据勾股定理可得，即可解得答案； （2）以为原点，平行水面的直线为轴，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为； （3）桥的桥下水位上升了，用勾股定理可得桥的水面宽度为；桥的桥下水位上升了，在中，令得或，即可得此时桥的水面宽度为． 【详解】（1）设主桥拱所在的圆弧形圆心为，连接，如图： 由拱高的定义可知，，，共线，设主桥拱的半径是 ， 在中，，， ， ， 解得， 故答案为：10； （2）以为原点，平行水面的直线为轴，建立直角坐标系，如图： 设桥拱抛物线的解析式为， 水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面， ， ， 解得， 桥拱抛物线的解析式为； （3）桥的桥下水位上升了，如图： 根据题意，，， ； 此时桥的水面宽度为； 桥的桥下水位上升了， 在中，令得：， 解得或， ， 此时桥的水面宽度为． 类型五、二次函数与几何综合压轴问题 21．（23-24九年级上·浙江温州·期中）二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． (1)求点E的坐标； (2)如图①，是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当的垂直平分线恰好经过点时，求点的坐标； (3)如图②，是该二次函数图象上的一个动点，连接，取中点，连接，，，当的面积为12时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 或 (3)或 【分析】（1）将，代入，即可得解析式，配成顶点式得坐标； （2）连接，，设，的垂直平分线恰好经过点，可得，据此列出方程即可求解； （3）设交抛物线的对称轴于点，设，则，设直线的解析式为，则，解得 求出，，由面积公式可求出的值，则可得出答案． 【详解】（1）将，代入得： ， 解得， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标； （2）如图1.1，图1.2，连接，，由点在线段的垂直平分线上，得． 设， ，由勾股定理可得： ， 解得， 满足条件的点的坐标为 或 ； （3）如图2，设交抛物线的对称轴于点， 设，则，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ， 当时，， ，， ， ， 解得或， 当 时，，当 时，． 综合以上可得，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键． 22．（20-21九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的坐标为 (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算． 23．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）设函数和的图象相交于点，函数的图象的顶点分别为和． (1)画出当时，函数在直角坐标系中图象； (2)观察（1）中所画函数图象的顶点位置，发现它们均分布在某个函数的图象上，请写出这个函数的表达式，并说明理由； (3)设，求证：是与无关的常数，并求的最小值； (4)设直线的图象分别与函数的图象交于和，．若，写出所有实数．（直接写出的值即可，不要求写理由） 【答案】(1)见解析 (2)（1）中所画函数图象的顶点均在直线上，理由见解析 (3)证明见解析，y的最小值为 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，画二次函数图象，一元二次方程与二次函数之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先分别求出当时，当时，对应的函数解析式，再描点，连线，画出对应的函数图象即可； （2）分别求出两个函数的顶点坐标为，，由点和点都在直线图象上可得结论； （3）联立两函数解析式得到，进而推出，要想恒成立，则，即是与无关的常数，再由，，可得； （4）联立得，设，则，，利用勾股定理得到 ，同理可得，再由，推出，由此可得． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，，， 函数图象如下所示： （2）解：（1）中所画函数图象的顶点均在直线上，理由如下： ∵， ∴函数的顶点坐标为，函数的顶点坐标为， ∵点和点都在直线图象上， ∴（1）中所画函数图象的顶点均在直线上； （3）证明：联立得， ∴， ∴， ∴， ∴当时， 符合题意； 当，则，即， ∴要想恒成立，则， ∴是与无关的常数， ∵，， ∴， ∴y的最小值为； （4）解：联立得， 整理得， 设，则，， ∴ ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当时，，，此时线段重合，不符合题意， ∴， ∴． 24．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点，交于点N，连接．的面积记为，的面积记为，当时，求m的值； (3)在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线与直线交于点H，当与相似时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)2 (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）求出，直线解析式为，由直线轴，，得，，，故，而，根据，有，即可解得的值； （3）由，，得，而与相似，且，可知在的右侧，且或，设，当时，，可解得，直线解析式为，联立解析式可解得的坐标；当时，同理得的坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为， 直线轴，， ，， ， ， ，，， ， ， ， 解得或（与重合，舍去）， 的值为2； （3）解：，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 与相似，且， 在的右侧，且或， 设， 由（2）知，，，， ，，，， 当时，如图： ， 解得或（此时在左侧，舍去）， ， 由，，同（2）得直线解析式为， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当时，如图： ， 解得（舍去）或， ， 由，，同（2）得直线解析式为， ， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，三角形相似的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 25．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线交轴于，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现：无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的面积为定值，其面积为2 【分析】（1）将代入，即可求出答案； （2），中点为，且，可求出过两点所在直线的一次函数表达式，为抛物线上的一点，所以，此点在，可证得三点共线； （3）设与分别关于直线对称，则关于直线对称，且与的面积不相等，所以的面积不为定值；如图，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离，所以的面积小于的面积，故的面积不为定值；故的面积为定值，由（2）求出，此时的面积为2． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线对应的函数表达式为， ∵为中点， ∴． 又∵， ∴， 解得， ∴直线对应的函数表达式为． ∵点在抛物线上，所以， ∴ 解得，或． 又∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴满足直线对应的函数表达式， ∴点在直线上，即三点共线； （3）解：的面积为定值，其面积为2．理由如下： 如图1，当分别运动到点的位置时，与分别关于直线对称，此时仍有三点共线． 设与的交点为，则关于直线对称，即轴．此时，与不平行，且不平分线段，故，到直线的距离不相等，即在此情形下与的面积不相等， ∴的面积不为定值．      如图2，当分别运动到点的位置，且保持三点共线．此时与的交点到直线的距离小于到直线的距离， ∴的面积小于的面积，则的面积不为定值． 又∵中存在面积为定值的三角形， ∴的面积为定值， 在（2）的条件下，直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为， 联立， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为2， 综上所述，的面积为定值，其面积为2． 【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键． 类型六、旋转的计算与证明综合问题 26．（23-24九年级下·浙江宁波·开学考试）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、． (1)求证：； (2)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)正方形的边长为 【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，由旋转的性质可得，，据此利用即可证明； （2）证明是等边三角形，得到，则根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为．过点作交的延长线于，求出，设正方形的边长为，则，．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明，是等边三角形， ，． 由旋转的性质可得， ．即， ． （2）解：连接， 由（1）知，， ， ，， 是等边三角形． ． ． 根据“两点之间线段最短”可知，若、、、在同一条直线上时，取得最小值，最小值为． 过点作交的延长线于， ． 设正方形的边长为，则，． 在中， ， ． 解得，（舍去负值）． 正方形的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定等等，证明是解题的关键． 27．（22-23八年级上·浙江金华·期中）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，，．当点A位于______时，线段的长取得最大值为______．（用含a，b的式子表示） （2）应用：点A为线段外一动点，且，．如图2所示，分别以、为边，作等边和等边，连接、． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接写出长的最大值． （3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标，点P为线段外一动点，且，，．请直接写出线段长的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1）的延长线上，；（2）①，理由见解析；②4；（3）最大值为；． 【分析】（1）根据点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可求解； （2）①根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论； ②根据点D位于的延长线上时，线段的长取得最大值，即可求解； （3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，证明，得到，由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点，易证是等腰直角三角形，得到，，即可求出线段长的最大值及此时点P的坐标． 【详解】（1）解：当点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值为， 故答案为：的延长线上，； （2）解：①，理由如下： 和是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②由（1）可知，当点D位于的延长线上时，线段的长取得最大值为， 是等边三角形， ， ，即线段的长的最大值为4， 长的最大值4； （3）解：如图，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，当点N位于的延长线上时，线段的长取得最大值，如图，过点作轴于点， 由旋转的性质可知，，， 是等腰直角三角形， ，， 点A的坐标为点B的坐标， ， ， 即线段长的最大值为， ， ， 点P的坐标为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 28．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，为等腰三角形，，，点O为的中点，过O作于点D．点P为射线上一点，Q为线段上一点（不与点B，C重合），连接． (1)求的长； (2)若，将点P绕点Q逆时针旋转，得到点E，当点E落在的一边上时，求的长； (3)当点P与点O重合时，在线段上取点F，使点C、F关于成轴对称，求点F到的距离h． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【分析】（1）根据三线合一得出，根据勾股定理求得，进而根据等面积法求得； （2）当点在上时，过点作交于点，过点作于点，设交于点，证明，进而求得是等腰直角三角形，，进而求得的长，当点在上时，证明即可求解； （3）连接，证明，勾股定理求得，进而求得，，等面积法即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 在中，， ∵， ∴； （2）当点在上时，如图， 过点作交于点，过点作于点，设交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点，， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点绕点逆时针旋转，得到点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， 当点在上时，如图， ∵，，， ∴， ∴； 综上所述：的长为或； （3）解：如图，连接， 根据题意，得点和点F关于对称， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即点到的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 29．（22-23九年级上·浙江台州·期中）【问题背景】（1）如图1，在四边形中， ，点E、F分别是边上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：将绕A点逆时针旋转得到，连接， ①求证：G，D，F，三点共线； ②之间的数量关系为 ． 【探索延伸】（2）如图2，若在四边形中，，点E、F分别是边上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】（3）如图3，在四边形中， ，E是边上一点，当时，求的长度． 【答案】（1）①见解析②（2）成立，理由见解析（3）5 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定结合求解的综合题．解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． （1）①证明，得到，结合，得出结论； ②由得到，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （3）过点C作交的延长线于点G，利用勾股定理求得的长． 【详解】（1）①证明：将绕A点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴G，D，F，三点共线； ②解：．理由如下： 由①知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立；理由如下： 如图2，延长到点G．使．连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图3，过点C作，交的延长线于点G， 由【探索延伸】可知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． ∴． 故答案为：5． 30．（23-24八年级下·江苏盐城·期中） [回顾课本]苏教版八年级下册数学教材“9.5三角形的中位线"一课中给出了“三角形的中位线定理”的证明思路，请根据分析完成证明过程． 已知：如图1，是的中位线，求证：，． 分析：因为E是的中点，可以考虑以点E为中心，把按顺时针方向旋转，得到，这样就需要证明四边形是平行四边形…… [探究发现] 如图2，等边的边长为2，点D，E分别为，边中点，点F为边上任意一点（不与B，C重合），沿，剪开分成①，②，③三块后，将②，③分别绕点D，E旋转恰好能与①拼成平行四边形，求平行四边形周长的最小值． [拓展作图] 如图3，已知四边形，现要将其剪成四块，使得剪成的四块能通过适当的摆放拼成一个平行四边形，请在图3中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明． 【答案】[探究发现] ；[拓展作图] 作图见解析，说明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质等知识，理解题意是解决问题的关键． [探究发现] 由旋转及平行四边形的性质可知，，，要使得平行四边形周长最小，则只需要最小，即：最小即可，亦即当时，取得最小值，当时，，利用含的直角三角形即可求解； [拓展作图]取，，，边中点，，，，再根据旋转和平移即可求解． 【详解】解：[探究发现] ∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， 由旋转可知，，，， 则在平行四边形中，，， 要使得平行四边形周长最小，则只需要最小， 即：最小即可，亦即当时，取得最小值， 当时，，则， ∴， ∴的最小值为， 此时平行四边形周长的最小，最小为； [拓展作图] 方法一：如图，点，，，分别为，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，③分别绕点，旋转至④，⑥，再将②平移至⑤，恰好能与⑦拼成平行四边形； 方法二：点，，，分别为，，，边中点，沿，剪开分成①，②，③，⑦四块后，将①，②分别绕点，旋转至④，⑤，再将②平移至⑥，恰好能与⑦拼成平行四边形． 类型七、圆中有关性质的计算与证明问题 31．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知是的直径，，是两侧圆上的动点，且，过点作，交直径于点，连结，． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，详见解析 (3)或8 【分析】本题是圆的综合题，考查了弧、弦、圆心角的关系，垂径定理推论，勾股定理，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由弧、弦、圆心角的关系和垂径定理推论可得出答案； （2）证明，得出，证出四边形是平行四边形，由（1）得，则可得出结论； （3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， 是直径， ， ； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）得， 四边形是菱形； （3）解：，， ①如图1，当点在点左侧时， ， ， ， 在中，， ． ②如图2，当点在点右侧时， ， ， ， 在中，， ． 32．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知的半径长为1，、是的两条弦，且，的延长线交于点D，连结，． (1)求证：． (2)当时，求的度数． (3)当是直角三角形时，求B、C两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据证明即可； （2）由（1）得：，则，又由可得，在中，根据三角形内角和定理可得，由此可得，即的度数为． （3）分两种情况：①当时，可得是等边三角形，则中，，，则可得，，则；②当时，可得． 【详解】（1）解：在和中， ，，， ． （2）解：由（1）得：， ， ， ， 在中，， 即， ， ， ∴的度数为． （3）解：①当时，如图： ，， ， ， 是等边三角形， 在中，，， ， ， ． ②当时，如图： 是等腰直角三角形， ． 综上，或． 【点睛】本题考查圆的基本性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，勾股定理，弧的度数等于它所对圆心角的度数等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是发现并证明三角形全等，掌握直角三角形的性质和理解“弧的度数等于它所对圆心角的度数”． 33．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知，A、F、E、C四点在上，延长，交于点B，且． (1)若， ①求证：； ②当时，求的度数； (2)若的半径为3，求的最大值． 【答案】(1)①证明过程见详解；② (2)的最大值为104． 【分析】 （1）①根据等腰三角形性质证，再用等弧所对圆周角相等证明，即可得证； ②由①的结论可以求得，，利用三角形外角定理可证，根据顶角为的等腰三角形可证，角度相减即可求得； （2）过A点作的垂线构建直角三角形，根据勾股定理用和去表示，根据已知数据整理得，在中根据勾股定理即可得，圆上两点间的线段直径最大即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ∵A、F、E、C四点在上， 、为弧所对圆周角， ， ， 即． ②解：由①可知， , ， ， ； （2）过A点作的垂线，垂足为P， ， 则，， ， 即， 在中，， 即当最大时，最大， 即当过圆心O时为直径最大， 的半径为3， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角性质、勾股定理、圆周角的定理等．利用勾股定理把转化为是解决此题的关键． 34．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知如图，内接于，为直径，于点D，于点F． (1)求证：； (2)当点C是的中点时，求证：． 【答案】(1)证明过程见详解; (2)证明过程见详解. 【分析】本题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦直径的关系定理、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）连接，证明，根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， ； （2）证明:连接， ∵点C是的中点， ， ， ，， ， 在和中， , ， ． 35．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，是半径为5的的直径，点C、D是上的点，且分别与相交于点． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求的长； (3)若，点P是直径上任意一点，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的最小值为 【分析】对于（1），先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据平行线得性质得，然后根据垂径定理得出答案； 对于（2），先说明是的中位线，可得，即可得出答案；     对于（3），作点C关于的对称点，可得，连接，再确定点P的位置，然后求出，再根据含直角三角形的性质得，根据勾股定理求得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：是的直径， ．          ， ， ，             ， 即点D是的中点． （2）解：为的中点， ∴是的中位线， ．         又∵半径为5， ． （3）解：作点C关于的对称点，即交于点P，连接， ． ， 此时的值最小， ， ， ． ∵点C与关于对称， ， ，． 作交于点H， 则，则， 在中，， 根据勾股定理，得， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，垂径定理，勾股定理，根据轴对称求线段和最小等，构造辅助线是解题的关键． 类型八、圆与尺规作图的计算与证明 36．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知．    (1)作的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)在线段的上方作弦，使，连结，求证：． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）分别作线段的垂直平分线，相交于点，以点为圆心，的长度为半径画圆，则即为所求； （）由得到，进而得到，根据平行线的判定即可求证； 本题考查了作三角形的外接圆，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，平行线的判定，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）如图，即为所求；    （2）证明：如（）图， ∵， ∴， ∴， ∴． 37．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图， (1)用尺规作图作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，且，求外接圆的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)外接圆半径为 【分析】（1）作出AC与AB的垂直平分线交点即是圆心，以到任意顶点的距离为半径画圆即可； （2）作直径AD，连接CD，在中利用勾股定理可求出直径，即可知半径． 本题考查了三角形外接圆的作法、圆周角定理、勾股定理等，融会贯通运用所学的定理解题是关键． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）在中作直径，连接． 则，（同弧上的圆周角相等） ∴， ∴ 由勾股定理得： ∴， 即外接圆半径为． 38．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图（保留作图痕迹）： (1)在图1中找一点D，使点D在线段上，且； (2)在图2中找一格点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）取格点，连接交于D，点D即为所求； （2）如图所示，取格点O，以点O为圆心，的长为半径，该圆与格点的交点（在下方）即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 取格点，连接交于D，点D即为所求； 根据网格的特点可知垂直平分，则， ∴， ∴； （2）解：如图所示，取格点O，以点O为圆心，的长为半径，该圆与格点的交点（在下方）即为所求； 由网格的特点可得点O是的垂直平分线的交点，即点O是的外接圆圆心，根据圆内接四边形对角互补可得． 39．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）作图题：上有三个点，请只用无刻度的直尺作出符合要求的角，并写出你的结论． (1)在下图中作一个的角； (2)在下图中作一个的角； (3)在下图中作一个的角． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形，直角三角形性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． （）连接，，同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可； （）在上任取一点，由圆内接四边形性质可得； （）延长交于点，连接，，再根据直角三角形性质即可； 【详解】（1）解：连接，， 根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得：， ∴即为所求； （2）在上任取一点，由圆内接四边形性质可得， ∴即为所求； （3）如图， 延长交于点，连接，， ∴，， ∴， ∴即为所求． 40．（2020·江西·一模）等腰中，，以为直径作圆交于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，； (2)如图2，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图1，设与圆交于点E，连接，则就是所求作的弦； （2）如图2，延长交圆于E，连接，则就是所求作的弦． 【详解】（1）解：如图，为所作， 理由：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴平分，即， ∴； （2）解：如图，为所作， 理由：延长交圆于E，连接，同（1）可证， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，以及等腰三角形的性质等知识． 类型九、圆与三角形、四边形综合问题 41．（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，锐角，，以为直径作交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点G，， ①求证：； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】题目主要考查圆内接四边形及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据圆内接四边形的性质得出，结合邻补角即可证明； （2）①根据等边对等角得出，再由等量代换确定，再由等角对等边即可证明； ②作于K，交的延长线于点M，根据全等三角形的判定和性质得出，再由三角形等面积法得出，结合图形利用勾股定理及全等三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是内接四边形， ∴， 又， ∴； （2）①证明：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴； ②解：作于K，交的延长线于点M， ∴，， ∴（AAS）， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴（SAS）， ∴． 42．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，弦与点E，已知，，点P为上任意一点，（点P不与A、B重合），连接并延长与交于点Q，连． (1)求的长． (2)若，直接写出的长． (3)①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：． ②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求与满足的关系． 【答案】(1)8 (2)5或8 (3)①证明见解析；② 【分析】（1）如图1，连接，由是的直径，弦，可得，勾股定理得，然后求解即可； （2）由题意知，分是直径，则重合；是不为直径的弦，则重合；两种情况求解即可； （3）①如图2，连接，由题意知，垂直平分，证明，则，由，可得，进而结论得证；②如图3，连接，同理①可得，，，由圆内接四边形可得，，进而可得． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）解：∵， ∴平分， 由题意知，分是直径，是不为直径的弦两种情况求解： ①当是直径，则重合， ∴； ②当是不为直径的弦，则重合， ∴， ∴的长为5或8； （3）①证明：如图2，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：； 如图3，连接， 由题意知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆内接四边形可得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补等知识．熟练掌握垂径定理，垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补是解题的关键． 43．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图1，圆内接四边形为优弧的中点． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求的值： (3)如图3，若为的中点，为的中点，连接，求证：． 【答案】(1) (2) (3)详见解析 【分析】（1）连接，由弧中点得，结合已知得是等边三角形，由圆内接四边形性质即可求得结果； （2）上截取，连接，证明得；过作于H， （3）连接，取中点，连接，过作交于点，连接，则由直角三角形斜边中线性质、含角直角三角形性质可得，，再证明，即可证明，从而问题解决． 【详解】（1）解：连接，如图， 为优弧的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ； （2）解：上截取，连接， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ∴； 在与中，， ， ； 设，则， ； 过作于H， ∵， ， ∴由勾股定理得， ； （3）连接，取中点，连接，如图， ， ∴， 过作交于点，连接， ， ， 为中点， ， ， 又， ， 而， ， 在与中， ， ， ． 【点睛】本题考查了弧与弦的关系，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，有一定的综合性，（3）问构造并证明全等三角形是问题的难点． 44．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知，如图，是的直径，弦于点E，G是上一点，与的延长线交于点F，设半径为R． (1)若，，求： ①______（用R的代数式表示）； ②的半径长． (2)求证：． 【答案】(1)①；②5 (2)见解析 【分析】（1）①利用减去即可表示；②连接，设的半径为．在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）连接，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质证明即可． 【详解】（1）解：①设的半径为． ∴； ②连接． ， ， 在中，， ， 解得． （2）证明：连接， 弦 ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ． 【点睛】本题考查的是圆周角定理和垂径定理的应用，以及圆内接四边形的性质，掌握相应定理，学会添加常用辅助线是解题的关键． 45．（21-22九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点D，． (1)求所对圆心角的度数； (2)连，求证：； (3)探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）先由邻补角的定义可得，再由同弧所对的圆周角相等可推出，最后利用圆周角定理即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，得出是等边三角形，即可得证； （3）延长至，使，连接，证明 ，继而得出是等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所对圆心角； （2）证明：∵是的外角的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴； （3），证明：如图，延长至，使，连接， ∵四边形是圆内四边形， ∴, ∵， ∴, 由（2）知是等边三角形， ∴， ∴ ， ∴，, ∴是等边三角形， ∴, 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 类型十、正多边形与圆的有关计算 46．（22-23九年级下·浙江台州·期中）李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【答案】(1) (2)， (3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析 【分析】（1）根据“正圆度”的定义进行求解即可； （2）设正方形边长和正六边形的边长都为1，求出此情形下对应的内切圆半径，再根据“正圆度”的定义进行求解即可； （3）根据（1）（2）所求可知随着n的增大，越来越接近于1，再由张衡和祖冲之对圆周率的研究即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：假设正方形边长1， ∴此时正方形的内切圆半径为， ∴； 设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键． 47．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D．点E是圆上一点，且，连接交于点F． (1)求证： (2)当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数． (3)探究线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）连接PE，根据等边三角形的性质可得AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠PEB＝∠ACB＝60°，从而可得∠A＝∠PEB，然后利用等弧所对的圆周角相等可得∠PBD＝∠PBE，从而利用AAS证明△ABP≌△EBP，进而可得AB＝EB，最后利用等量代换可得EB＝BC； （2）根据等弧所对的圆周角相等可得∠DEP＝∠EBP，然后利用三角形的外角性质可得∠BFD＝∠PEB＝60°，即可解答； （3）延长交于点，先证明是等边三角形，然后证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接PE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC，∠A＝∠ACB＝60°， ∴∠PEB＝∠ACB＝60°， ∴∠A＝∠PEB， ∵， ∴∠PBD＝∠PBE， ∵BP＝BP， ∴△ABP≌△EBP（AAS）， ∴AB＝EB， ∴EB＝BC； （2）解：当点P运动时，∠BFD的度数不会变化， ∵， ∴∠DEP＝∠EBP， ∵∠BFD＝∠EBP＋∠DEB， ∴∠BFD＝∠DEP＋∠DEB ＝∠PEB ＝60°， ∴∠BFD的度数为60°； （3），理由如下： 延长交于点， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ，， ， 连接， 四边形是圆的内接四边形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型十一、圆的有关新定义探究问题 48．（19-20九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 图1                图2                 图3 (1)如图1，若四边形是圆美四边形，求美角的度数． (2)在（1）的条件下，若的半径为． ①则的长是______． ②如图2，在四边形中，若平分，求证：． (3)在（1）的条件下，如图，若是的直径，请用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②证明见解析． (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了四边形的性质，圆的性质，全等三角形的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据圆美四边形的定义，四边形的性质，得到，，由此得到答案． （2）①连接并延长，交圆于点，连接，则，，，由勾股定理得到的长． ②连接，根据已知条件，得到是等边三角形，延长到，使得，得到，由此得到为等边三角形，． （3）延长和交于点，在（1）的条件下，，，由已知条件，得到，在中，根据勾股定理得到． 【详解】（1）解：由题意得： 四边形是圆美四边形， ， ， ． （2）①如图，连接并延长，交圆于点，连接， ，，， ， ，， ． 故答案为：． ②如图，连接，在（1）的条件下， ，， 平分， ， ， ， 是等边三角形，延长到，使得， 又 ，， ， ，， ， 为等边三角形， 则， 即， ． （3）如图，延长和交于点， 在（1）的条件下，，， 是直径， ，， ， ，， 在中， ， ， 即， 解得：． 49．（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．    (1)如图1，若四边形是圆美四边形．求美角的度数； (2)在（1）的条件下，若的半径为4． ①求的长； ②连接，若平分，如图2，请判断、、之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）由题意得：，而即可求解； （2）①如图1，连接并延长交于点，连接，则，根据勾股定理即可求出的长；②理由如下：如图2，延长到，使得，连接，由圆的相关性质和已知条件可证，从而证出结论． 【详解】（1）由题意得：， ， ， ． （2）①如图1，连接并延长交于点，连接，    的半径为4， ， ， ． ②． 理由如下：如图2，延长到，使得，连接，    ， ． 平分， ，． ， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，以及全等三角形的判定与性质和勾股定理，结合条件，添加适当的辅助线是解本题的关键． 50．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若两个不全等三角形中，有两组边对应相等且其中一组相等的边所对的角也相等，我们就称这两个三角形为偏等三角形． (1)如图1，四边形内接于，，点C是弧的中点，连接，试说明与是偏等三角形． (2)如图2，与是偏等三角形，，，，，求的长． (3)如图3，内接于，，，，若点D在上，且与是偏等三角形，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值为8或 【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得出，再由公共边即可证明与是偏等三角形； （2）作于E，于F，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得出和的长，设，再根据和勾股定理列出等式求解即可； （3）分类讨论：①当时和②当时，再由圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理即可解答． 【详解】（1）∵点C是弧BD的中点， ∴，， 又∵， ∴与是偏等三角形； （2）作于E，于F， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴符合题意， ∴； ②当时， 如图，过点D作于点E， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，符合题意， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 综上可知AD的值为8或． 【点睛】本题考查新定义，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质等知识．理解偏等三角形的定义是解题关键． 类型十二、相似三角形的应用综合问题 51．（21-22九年级上·上海宝山·期中）学习了相似三角形相关知识后，小明和小刚想利用“标杆”测量教学楼的高度．如图，小明站立在地面点处，小刚在点处坚立“标杆”，使得小明的头顶点、杆顶点、楼顶点在一条直线上（点也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．    (1)求教学楼的高度为多少米（垂直地面）？ (2)小明站在原来的位置，小刚通过移动标杆，可以用同样的方法测得教学楼上点的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向教学楼方向移动多少米？ 【答案】(1)的高度为14米 (2)标杆应该向教学楼方向移动0.5米 【分析】本题考查测高，涉及矩形判定与性质、三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握测高的题型及解法，灵活运用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键 （1）过点作于点，交于点，如图所示，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案； （2）过点作于点交于点，如图所示，设米，利用三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，交于点，如图所示：    则四边形，四边形都是矩形， ∴米，米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴米； （2）解：过点作于点交于点，如图所示：      设米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴标杆AB应该向教学楼方向移动0.5米． 52．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期中）如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，手电筒到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中，，，在同一条直线上．    (1)求的长； (2)求点E到地面的高度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，在实际问题中抽象出相似三角形模型是解答本题的关键． （1）根据光在镜面反射中的反射角等于入射角，得到，利用相似三角形的判定证明，，再利用三角形相似性质列出比例式，得到方程，即可求出答案； （2）由可证，然后利用三角形相似的性质列出比例式，得到方程，即可求出答案． 【详解】（1）光在镜面反射中的反射角等于入射角， ， ， ， ， 即， 解得：， 答：的长为； （2）由题意可得：， ， ， ， 解得：， 答：点到地面的高度的长为． 53．（20-21九年级上·浙江金华·期中）某校九年级一班的一节数学活动课安排了测量操场上竖直的悬挂国旗的旗杆的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中米，米，米；乙组测得图中，米，同一时刻影长米，米；丙组测得图中，，，米，米，人的臂长为0.6米，请你任选两种方案，利用实验数据求出该校旗杆的高度． 【答案】30米 【分析】此题三种方案均为把实际问题抽象成三角形相似的问题，解题方法都是利用相似三角形对应边成比例求出结果．采用甲组方案，证明，根据相似三角形对应边成比例列出，然后求出该校旗杆的高度即可；采用乙方案，连接，则，，根据，可得，即可求解；采用丙方案，根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：采用甲组方案， 在和中， ∵，， ∴， ∴，即， 解得米， 即该校旗杆的高度为30米． 采用乙方案， 如图，连接，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：米， 即该校旗杆的高度为30米． 采用丙方案， 如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：米， 即该校旗杆的高度为30米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是构建相似三角形，根据相似三角形的性质列式求解． 类型十三、相似三角形与动点问题 54．（22-23九年级上·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，分别是一元二次方程的两个根，连结，动点从出发，以1个单位每秒速度，沿方向运动，同时，动点从点出发，以同样的速度沿射线运动，当点到达点时，点即停止运动，设运动时间为秒.以为斜边作Rt，使点落在线段上. (1)求线段的长度； (2)求面积的最大值； (3)当与相似时，求的值. 【答案】(1) (2)面积的最大值为7.5 (3)或或或10 【分析】（1）先解方程求出的长度，再由勾股定理即可求出的长度； （2）用时间分别表示，即可表示出的面积，最后求最大值即可； （3）用时间分别表示的长，再利用相似三角形列方程计算即可，需要注意分类讨论. 【详解】（1）解方程得 或 ∵，分别是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵矩形 ∴ ∴ （2）由题意得：， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴面积的最大值为； （3）当M在P右边时，如图所示 此时即 当时 ∴ ∴ 解得 当时 ∴ ∴ 解得 同理，当M在P左边时，， 当时 当时 综上，当或或或10，与相似. 【点睛】本题考查相似三角形的动点问题，解题的关键是根据相似表示出各个边长，需要特别注意分类讨论. 55．（20-21九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3，BC＝4，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点． 连AQ、DQ，过P作PEDQ交AQ于E，作PFAQ交DQ于F． (1)求证：△APE∽△ADQ； (2)设AP的长为x，试求△APE的面积关于x的函数关系式； (3)设AP的长为x，试求△PEF的面积关于x的函数关系式，并求当P在何处时，取得最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)（0＜x＜4）； (3) （0＜x＜4），当P在AD的中点时，S△PEF取得最大值，最大值为． 【分析】（1）根据PEQD得出的同位角相等即可证得两三角形相似． （2）矩形ABCD的边长AB＝3，BC＝4，得到AD＝BC＝4，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可得到，又由，即可求得答案； （3）先证明△PDF∽△ADQ，则，由，得到，再证证四边形PEQF是平行四边形，由可以得到 ，根据二次函数的性质可以求得答案． 【详解】（1）证明：∵PEDQ， ∴∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD， ∴△APE∽△ADQ； （2）∵矩形ABCD的边长AB＝3，BC＝4， ∴AD＝BC＝4， ∵△APE∽△ADQ， ∴， ∴， ∴， ∵点P是AD边上的一动点（P异于A、D）， ∴0＜x＜4， 即△APE的面积关于x的函数关系式为（0＜x＜4）； （3）∵PFAQ交DQ于F． ∴∠DPF＝∠DAQ，∠DFP＝∠DQA， ∴△PDF∽△ADQ， ∴， ∴， ∴， ∵PEDQ交AQ于E，PFAQ交DQ于F． ∴四边形PEQF是平行四边形， ∴ ， 即 ， ∵0＜x＜4， ∴当x＝2时，即当P在AD的中点时，S△PEF取得最大值，最大值为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、矩形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． 类型十四、相似三角形的性质与判定综合问题 56．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）【基础巩固】（1）如图1，在中，D，E分别在，上，连接，若，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连接，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连接，，若，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，，证明，，，可得，结合（1）的结论代入数据即可求解； （3）延长交于点G，同（2），可得，再证明，即可． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， 解得：（负值已舍去） ∴； （3）如图，延长，交于点G， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ 解得：（负值舍去）； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即（负值已舍去）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 57．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，中，，（为常数，）．点是上的一点，且，过点作于点． (1)若，，求． (2)连结，若平分，求满足的关系式． (3)设与的周长和为，的周长为．探究：的值是否存在最大或最小值？若存在，请求出这个值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)最大值，理由见详解 【分析】（1）证明，得出对应边成比例，即可求出的长； （2）证出，证明．得出，证明，得出，则可得出结论； （3）由平行线得出，由相似三角形的性质得出，求出，由（1）得：，得出，由二次函数的性质求出最大值即可． 本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，二次函数的最值等知识；证明三角形相似是解决问题的关键． 【详解】（1）解： ，， ， ， 即， 解得：； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ，， ． ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：存在最大值；理由如下： ， ， ， ， 由（1）得：， ， 当时，即，有最大值， 最大值为． 58．（23-24九年级下·浙江台州·期中）如图，在正方形中，是对角线上的动点(点不与点，重合)，线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点 (1)______；与的数量关系是______； (2)求证：； (3)令， ①求时的值； ②若正方形边长为，直接写出的最小值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）由“”可证，可得，，通过证明是等腰直角三角形，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （2）通过证明，可得，通过证明，可得 ，即可求解； （3）①先表示出，和，在证明基础上，代入求得结果； ②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，求得，表示出，，根据列出，进一步得出结果． 【详解】（1）过点作于，交于；如图， ，四边形是正方形， ，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，，， ，，， ， ， 线段绕点逆时针旋转， ， ， 又， ，， ， ，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2），， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ； （3）将绕点逆时针旋转至，如图2， ，，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ①设，则，，，， 由（1）知：， ， ， ， ，舍去； ②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，如图3， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值是． 59．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于点G，连结并延长交于点H． (1)证明：． (2)已知，． ①求的半径， ②取上一点P，连结并延长交于点Q，当等于四边形中的一个内角时，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)①；②或 【分析】（1）证明，得出，即可得到，从而得解； （2）①连接，证明，由相似三角形的性质得出，设，，结合，求出的值即可得解；②分两种情况：当；当；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∴ ∴，即 （2）解：①连接， ， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵为直径 ∴ 设， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 化简得， 解得， (舍去) ∴半径 ②∵ ∴， ∴只有以下两种 情况1：当， 连接， ∵       ∴ 又∵， ∴ ∴ 情况2：当，即 ∴ 综上所述，的面积等于． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 60．（2021·山东济南·一模）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$