期中满分冲刺02之填空压轴题（九上浙教，精选期中66道好题）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

期中满分冲刺02之填空压轴题（九上浙教，精选期中66道好题） 一、填空题 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么 （填“”、“”或“”）． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数，当时，则函数值的取值范围为 ． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在抛物线和直线的图象上有三点，则的结果是 ． 5．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）若关于的二次函数的图象过点，，其中是常数，则 ． 6．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为 ． 7．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数  ，当时， y的最大值为5，那么a的值为 ． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值为，最小值为， （请用含的代数式表示）． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则 ． 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于两点，则关于的不等式的解集为 ． 11．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知点和点都在抛物线上． （1）若，则 ； （2）若，则k的取值范围是 ． 12．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的是 （填序号）． 14．（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，函数（，，为常数，且）经过点，，且，下列结论：；；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是．其中结论正确的有 ．（填序号） 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若存在，满足，则．其中正确的有 ．（填写序号） 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知一次函数，二次函数． （1）当时，则的最小值为 ． （2）若，若点都在函数y的图象上，且，则a的取值范围 ．（用含k的式子表示） 17．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）小飞研究二次函数（为常数）性质时，有如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，当，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为．其中正确结论的序号是 ． 18．（19-20九年级·浙江·期末）在平面直角坐标系中，函数，，，其中a，b，c为常数，且a<0，函数的图象经过点A（1，0），B（，0），且满足，函数y2的图象经过点（x2，0）；函数y3的图象经过点（x3，0），若，且m，n是整数，则m= ；n= ． 19．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中米，米．如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F，则 米．现需要调整钢架结构，将抛物线顶点移至右侧处，到的水平距离为1米，且使抛物线经过点F，与钢柱有交点，则此时顶点的纵坐标k的取值范围是 ． AI 20．（24-25九年级上·福建·开学考试）如图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ． 21．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 月． 22．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线和直线相交与点A，B．点P是抛物线上一点，且在直线的下方，连接，，当的面积最大时，则点P的坐标是 ． 23．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为 ． 24．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 ． 25．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 26．（2023·浙江台州·三模）点分别是上边上的中点，为阴影部分．现有一小孩向投一小石子且已投中，则石子落在阴影部分的概率为 ． 27．（2024·山西晋中·三模）生肖也称属相，是中国传统文化中的一种记年方式，是一种十二年一个循环的纪年系统，每年用一种动物来代表，是由十二地支演变而来的．小明手绘了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三种生肖卡，准备将其中的两张送给好朋友小亮．小明将它们洗匀后背面朝上放在桌面上（手绘生肖卡背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是 ． 28．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，点P是边长为6的等边内一点，连接，且，则的面积是 ． 29．（2024·浙江台州·一模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形，其中点恰好在上，与交于点E，若，，，则 （1）的长为 ； （2）的值为 ． 30．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是 ． 31．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在矩形中，，，，，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最小值为 ． 32．（22-23八年级下·辽宁辽阳·期中）已知等边的边长为，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是 ．    33．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接，将绕点顺时针旋转．若，则在旋转过程中，则线段的最大值为 ． 34．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是圆的直径，弦交于点，，点在线段的延长线上，与圆交于点．已知，，则 ． 35．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为 ． 36．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为 ． 37．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ． 38．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ． 39．（2023九年级·全国·专题练习）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ．    40．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如图，是的直径，点C是半径的中点，过点C作，交于D，E两点，过点D作直径，连结．则 ． 41．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 42．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，的直径，点是上一动点，弦，在点的运动过程中，弦的长度不变，作于点，点为中点，连结，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ． 43．（2024·北京·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作，点A 、C分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么的度数是 ． 44．（2024·江苏·模拟预测）如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    45．（2024·广东江门·二模）如图，四边形内接于以为直径的，平分，，交的延长线于点E．若四边形的面积是，则 ．    46．（2024·广东惠州·二模）如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ． 47．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 48．（24-25九年级上·浙江·假期作业）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为的正方形的中心为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 49．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知在中，，，，以为直径向外作圆O，P是半圆O上的一个动点，M是的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为 ． 50．（2024·浙江绍兴·模拟预测）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ． 51．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转至图➀位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转至图➁位置，…，以此类推，这样连续旋转4次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 52．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）如图，在菱形中，已知，，以为直径的与菱形ABCD相交，则图中阴影部分的面积为 ．    53．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，矩形内接于，在上取一点，连接，，过点作，交于点，，，，则阴影部分的面积为 ． 54．（2023·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，B为圆心．大于长度为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再以点C为圆心，长度为半径画弧，交于点E，则阴影部分的面积为 ． 55．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ． 56．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为 ． 57．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，，于点F，交于点E，矩形矩形． （1）的长为 ； （2）连接，与交于点M，则的长为 ． 58．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    59．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    60．（23-24九年级上·四川宜宾·开学考试）如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H，连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题：①；②；③；④， 其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号） 61．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 62．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 63．（20-21八年级下·上海静安·期末）如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ． 64．（2024·浙江湖州·模拟预测）土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 65．（2024·福建厦门·二模）台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 66．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，小华站在楼的底端A处，眺望楼的顶端D，发现视线与水平线的夹角为α；然后，小华保持身体姿势不变转身后退，当退到点F处时，发现视线与水平线的夹角也为α．已知点F恰好为的中点，点M在上，，，，，楼的高度为7米，小华眼睛距离地面的高度米，根据以上数据计算出大楼的高度为 米．    ( 15 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 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【分析】本题考查了二次函数图形上点的坐标特征，二次函数的对称性，利用二次函数的对称性得到，进而得到，得到，把代入二次函数解析式计算即可求出，根据二次函数的对称性得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象过点，， ∴，关于直线对称， ∴， ∴， 把点代入得， ， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查根据二次函数图象确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键．由抛物线图象经过点，对称轴是直线，则抛物线一定经过点关于直线的对称点，从而可得答案． 【详解】解：由二次函数图象可得， 抛物线图象经过点，对称轴是直线， 则抛物线一定经过点关于直线的对称点， 当时，关于x的方程的两个解为：，． ∴方程的解为，； 故答案为：1或3． 7．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数  ，当时， y的最大值为5，那么a的值为 ． 【答案】1或或9 【分析】本题考查二次函数的最值问题，先求出抛物线的对称轴为直线，分三种情况：当，即时，当，即时，当，即时，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向下， 当，即时， ∴当时，函数有最大值5， ∴， 整理得：， 解得：或； 当，即时， ∴当时，函数有最大值5， ∴， 整理得：， ， ∴此方程无解； 当，即时， ∴当时，函数有最大值5， ∴， 整理得：， 解得：； 综上分析可知：a的值为1或或9； 故答案为：1或或9． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值为，最小值为， （请用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴所在范围、确定函数的最大值是时所对应的的函数值，函数的最小值是时所对应的的函数值是解题的关键．由二次函数的图象经过点两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的的函数值，函数的最小值是时所对应的的函数值，求解即可． 【详解】解：二次函数的图象经过点两点， 图象开口向下，对称轴为直线，即， ， ， 当时，函数的最大值是时所对应的的函数值，函数的最小值是时所对应的的函数值， ，， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，数形结合是解题的关键． 结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行分类讨论解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上，大致图象如下： 且， ， 分两种情况讨论： 第种情况：当时，此时， ∴当时，y随x增大而减小， 当时，y取最小值，即， 当时，最大值为，， 解得：或（舍） ∴， 当时，此时， 根据图象可得：当时，函数取得最小值，解得（舍） 故答案为：0． 10．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，已知二次函数与一次函数的图像相交于两点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】由，得，根据图像找到二次函数在一次函数图像上方的部分对应的x的范围即可． 此题考查了一次函数与二次函数图像交点问题，熟练掌握数形结合的数学思想，掌握“图像在下方的部分对应的函数值较小”是解答本题的关键． 【详解】由，得 ， ∴， 由图可知关于的不等式的解集为：或， ∴关于的不等式的解集为：或， 故答案为：或． 11．（23-24九年级上·浙江台州·期末）已知点和点都在抛物线上． （1）若，则 ； （2）若，则k的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的性质．（1）先求得抛物线的对称轴为直线，由，得到，据此求解即可；（2）由，求得；由，得到，求得或，据此求解即可． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴点和点关于直线对称， ∴， 解得， 故答案为：； （2）当时， ∵， ∴， 解得； ∵， ∴， 整理得，即， ∴或， 解得或， 综上或． 故答案为：或． 12．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，根据新定义得出二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得出，计算即可得解． 【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 13．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）下列结论：①；②当时，；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据对称轴为知，结合可判断①；由抛物线对称性知抛物线与x轴的另一个交点为，根据当时，函数图象位于x轴下方可判断②；由时知，即，根据可判断③；先由与y轴的交点B在和之间(包括这两点)知，再由可判断④． 【详解】解：①∵对称轴， ∴，即， ， ，即，此结论正确； ②∵抛物线与x轴的交点且对称轴为， 抛物线与x轴的另一个交点为， 由函数图象知当时，函数图象位于x轴下方， 即当时，，此结论正确； ③当时，， 则， 由知，即，此结论正确； ④∵与y轴的交点B在和之间（包括这两点）， ， 又，即，且， ， 则， 解得：，此结论正确； 故答案为：①②③④． 14．（22-23九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，函数（，，为常数，且）经过点，，且，下列结论： ； ；若点，在抛物线上，则；若，则的取值范围是．其中结论正确的有 ．（填序号） 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质逐一判断即可，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由所给抛物线可知，，，， ∴，故错误； ∵，且抛物线与轴的另一个交点横坐标为， ∴， ∴，故正确； ∵抛物线的对称轴在直线和直线之间， ∴点离对称轴的距离比点远， 又抛物线开口向下， ∴，故正确． 将点代入二次函数表达式得，， 又， 两式相加得，， 又， ∴，故错误， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若存在，满足，则．其中正确的有 ．（填写序号） 【答案】②③⑤ 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据抛物线对称轴方程得到，则可对①进行判断；由抛物线开口方向得到，由得到，由抛物线与轴的交点在轴上方得到，则可对②进行判断；利用时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与轴的另一个交点在点与之间，则时，，于是可对④进行判断；由得到，则可判断和所对应的函数值相等，则，于是可对⑤进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为，即， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①错误； ， ，所以②正确； 时，函数值最大， ，即，所以③正确； 抛物线与轴的交点到对称轴的距离大于1， 抛物线与轴的一个交点在点与之间， 抛物线与轴的另一个交点在点与之间， 时，， ，所以④错误； 当，则， 和所对应的函数值相等， ， ，所以⑤正确； 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知一次函数，二次函数． （1）当时，则的最小值为 ． （2）若，若点都在函数y的图象上，且，则a的取值范围 ．（用含k的式子表示） 【答案】 或 【分析】（1）本题主要考查二次函数求最值问题，根据二次函数在对称轴处取得最小值，将对称轴处的自变量代入函数解析式即可． （2）本题考查二次函数性质与不等式的问题，点、都在函数图象上将点带入解析式，根据解不等式求解即可，解答本题的关键在于结合二次函数性质解不等式． 【详解】解：（1）∵， ∴二次函数解析式为 函数对称轴：， 将，代入函数解析式得到 ． 故答案为：． （2）∵ ∴ 又∵点都在函数图象上， ∴ ， 又∵ 即 又∵当时， 解得，或， ∴或． 故答案为：或． 17．（19-20九年级上·浙江杭州·期末）小飞研究二次函数（为常数）性质时，有如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，当，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对个结论作出判断即可． 【详解】二次函数（为常数） ①∵顶点坐标为且当时， ∴这个函数图象的顶点始终在直线上 故结论①正确； ②假设存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形, 令，得，其中 解得：， ∵顶点坐标为，且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形 ∴ ∴或 ∴存在或，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形 故结论②正确； ③∵ ∴ ∵二次函数（为常数）的对称轴为直线 ∴点离对称轴的距离小于点离对称轴的距离 ∵，且 ∴   故结论③错误； ④当时，随的增大而增大，且 ∴的取值范围为 故结论④正确． 故答案是：①②④ 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题． 18．（19-20九年级·浙江·期末）在平面直角坐标系中，函数，，，其中a，b，c为常数，且a<0，函数的图象经过点A（1，0），B（，0），且满足，函数y2的图象经过点（x2，0）；函数y3的图象经过点（x3，0），若，且m，n是整数，则m= ；n= ． 【答案】 -3 3 【分析】根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交点坐标列式计算即可； 【详解】解:由题意得，，， ，， ∴， ，； 故答案是：，； 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，准确计算是解题的关键． 19．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中米，米．如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F，则 米．现需要调整钢架结构，将抛物线顶点移至右侧处，到的水平距离为1米，且使抛物线经过点F，与钢柱有交点，则此时顶点的纵坐标k的取值范围是 ． AI 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可得，y轴右侧抛物线的顶点F的坐标是，点C的横坐标为，设y轴右侧抛物线解析式为，利用待定系数法求出y轴右侧抛物线解析式为，再求出当时，，则；由题意得，修改钢架后抛物线顶点坐标为．则可设修改钢架后抛物线解析式为，利用待定系数法得到， 解得．则当时，．根据抛物线与钢柱有交点，得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，y轴右侧抛物线的顶点F的坐标是，点C的横坐标为， 设y轴右侧抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点O， ∴将代入得中得，，解得， ∴y轴右侧抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 由题意得，修改钢架后抛物线顶点坐标为． 可设修改钢架后抛物线解析式为． ∵抛物线经过点， ∴， 解得． 当时，． ∵抛物线与钢柱有交点， ∴． ∴， ∴． 故答案为：；． 20．（24-25九年级上·福建·开学考试）如图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以为原点，点所在直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，点所在直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， ， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵碗口宽，此时面汤最大深度， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是 月． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益每千克售价每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份． 【详解】解：设月份出售时，每千克售价为元，每千克成本为元， 根据图像，设， ， ， ， 根据图像，设， ， ， ， ， ， ， ， 故当时，有最大值， 故答案为： 22．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线和直线相交与点A，B．点P是抛物线上一点，且在直线的下方，连接，，当的面积最大时，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的综合应用，先求解交点的横坐标为，，如图，过作轴交于，设，则，再建立面积函数关系式，进一步利用二次函数的性质作答即可． 【详解】解：联立解析式：， ∴，即， 解得：，， ∴的横坐标为，， 如图，过作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 故答案为： 23．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接、、，过点作于点，过点作于点，先利用抛物线解析式求出、，得到为等边三角形，，再利用角所对的直角边等于斜边一半求出，，根据垂直平分线的性质得到，推出当、、共线时，的值最小，最小值为的长，通过勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】如图，连接、、，过点作于点，过点作于点， 当时，， 解得：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ，， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 又， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，学会转换线段解决问题是解题关键． 24．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；先求得点，令，求得的长，证明 ，则，即可求解． 【详解】解：对于，令，则， 故点， 令，解得或， 故点， 故； 设， 轴，， ， ， ， 故， ， 解得． ∴； 故答案为：． 25．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，确定阴影部分占整体的份数成为解题的关键． 先做辅助线把正方形分成若干等份以及阴影部分的份数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：如图：做辅助线可将正方形分成16等份，其中阴影部分占6份，则投掷在阴影区域的概率是． 故答案为：． 26．（2023·浙江台州·三模）点分别是上边上的中点，为阴影部分．现有一小孩向投一小石子且已投中，则石子落在阴影部分的概率为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查了中位线，相似三角形的判定和性质，几何概率的计算，根据题意，可得是中位线，可得，根据相似三角性质可得相似比，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，由此可得阴影部分的面积与的面积比，最后根据概率的计算即可求解． 【详解】解：∵是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴石子落在阴影部分的概率为， 故答案为： ． 27．（2024·山西晋中·三模）生肖也称属相，是中国传统文化中的一种记年方式，是一种十二年一个循环的纪年系统，每年用一种动物来代表，是由十二地支演变而来的．小明手绘了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三种生肖卡，准备将其中的两张送给好朋友小亮．小明将它们洗匀后背面朝上放在桌面上（手绘生肖卡背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求概率．熟练掌握画树状图或列表法求概率，是解决问题的关键． 画树状图列举出所有等可能情况，看所求的情况占总情况多少，即可． 【详解】画出树状图， 共6种等可能结果，恰好抽到子鼠和丑牛的结果有2种， ∴恰好抽到子鼠和丑牛的概率为，． 故答案为：． 28．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，点P是边长为6的等边内一点，连接，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，，，得为等边三角形，得出，证明，结合，能证明，得到，设，则，根据勾股定理即可得，解得x后，利用三角形面积公式计算即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 【详解】将绕点A逆时针旋转得到，如图所示： 连接，则，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∴， 解得（舍去）， ∴的面积是． 故答案为：． 29．（2024·浙江台州·一模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形，其中点恰好在上，与交于点E，若，，，则 （1）的长为 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识． （1）过A过于M，过作于N，利用旋转的性质得出，，，利用等腰三角形的性质得出，，利用勾股定理求出； （2）利用平行线的性质以及等角对等边可证明，证明四边形是矩形，可得出，，在中，利用勾股定理得出，解方程求出，利用求解即可． 【详解】解：（1）过A过于M，过作于N， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得； （2）∴ ， 故答案为：，． 30．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论：①当绕点顺时针旋转时，②当绕点逆时针旋转时；根据等腰三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，再根据可得，即可得解． 【详解】解：①当绕点顺时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， ②当绕点逆时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握图形的旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 31．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在矩形中，，，，，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，过点作，截取，连接，，通过证明，得，再利用勾股定理求出的长．最后在中，利用三边关系即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点作，截取，连接，， 将线段绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ． 又， ， ． ，， ． 在中，． ，， ． ，且当点，，三点共线时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 32．（22-23八年级下·辽宁辽阳·期中）已知等边的边长为，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质，即可得到，当时，的长最小，再根据勾股定理，即可得到的最小值． 【详解】点是边的中点， ， 当时，的长最小（如图），    由旋转可得， 此时，， ， ， 的最小值是， 故答案为． 33．（2023·辽宁铁岭·模拟预测）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接，将绕点顺时针旋转．若，则在旋转过程中，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形中位线定理，等边三角形的性质，勾股定理．由三角形中位线定理可得，由勾股定理可求的长，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ∵是等边三角形， ∴ ， 在中，， 当点在的延长线上时，有最大值为， 故答案为：． 34．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是圆的直径，弦交于点，，点在线段的延长线上，与圆交于点．已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，熟记圆周角定理、垂径定理是解题的关键．连接、，交于点，根据圆周角定理求出，根据垂径定理求出，，解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 是圆的直径， ， 是圆的直径，， ，， ， ，，， ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 35．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为 ． 【答案】24 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于E，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握垂径定理，证出是解题的关键． 36．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】延长交圆O于点G，连接，，先由圆周角定理得，得，由圆周角定理得，勾股定理得，则，再由勾股定理求出，则，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】延长交圆O于点G，连接，， 点D是弧的中点， 又， ， ， ， ， 是的直径，的半径为2， ， ，， ， 是的直径，， ， 点D是弧的中点， ， ， ， 即 ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 37．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点的位置．作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长，连接，，由，可得，根据为的中点，推出，根据垂径定理可推出，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 则，又， 则， 故答案为：． 38．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角，连接，作于点，根据已知得，可得，，所以，再根据是的中位线，即可得出答案． 【详解】解：连接，作于点， ∵弧的度数为，弧的度数为， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是弦，弦的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 39．（2023九年级·全国·专题练习）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为 ．    【答案】 【分析】 过D作于E，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】 解：过D作于E，则，    ∵点C是直径的三等分点（AC＜CB），直径， ∴， ∴， ∵点D是弧的三等分点（弧＜弧）， ∴， ∴， ∴,, ∴, ∴, 故答案为：． 【点睛】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理，能求出和半径的长度是解此题的关键． 40．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如图，是的直径，点C是半径的中点，过点C作，交于D，E两点，过点D作直径，连结．则 ． 【答案】 【分析】利用垂径定理得出，，进而得出，利用圆周角定理得出即可． 此题考查圆周角定理，垂径定理，关键是利用垂径定理得出 【详解】解：∵点C是半径的中点， ， 故答案为：． 41．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知是的直径，点C为圆上一点．将沿弦翻折，交于D，把沿直径翻折，交于点E，作，若点E恰好是翻折后的的中点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据弧与圆周角的关系可得，再由点E恰好是翻折后的的中点，得到，则，如图所示，连接，在上截取，连接，则，证明都是等腰直角三角形，得到，设，则，则，据此可得． 【详解】解：∵、、所在的圆是等圆，、、所对的圆周角都是， ∴， ∵点E恰好是翻折后的的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图所示，连接，在上截取，连接， ∴， ∵的度数为， ∴ ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，折叠的性质，等边对等角，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，证明是解题的关键． 42．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，的直径，点是上一动点，弦，在点的运动过程中，弦的长度不变，作于点，点为中点，连结，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了圆的综合性质，涉及垂径定理，圆周角的性质，中位线，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．分和两种情况，其中时又有两种情况，分别讨论计算即可． 【详解】解：①当时， （Ⅰ）如图1，延长交于，连结，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 垂直平分， 过圆心， 连结， 则，， ， ， ， ； （Ⅱ）如图2， 延长交于点，连结， 则，， 则， 又， ， 又， ∴点、在以为直径的圆上， 取中点，连接，，交于点， ， ， ， 又， ，， ， ， ， ； ②如图3，当时， ， ， ，， ， 得， 又， 则在线段上，点在处， 连结，， ，为中点， ，， 则， ， 即， ； 综上，的长为或或， 故答案为：或或． 43．（2024·北京·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，以 O 为圆心作，点A 、C分别是 与y轴正半轴、x轴正半轴的交点，点B 、D在 上，那么的度数是 ． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了坐标与图形，圆周角定理，利用“在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”求得；然后由圆内接四边形的对角互补来求的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵点A、B、C、D共圆， ∴， ∴． 故答案是：． 44．（2024·江苏·模拟预测）如图，四边形是内接四边形，，，连接，于点，连接，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，由，得到，求得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，求得，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 45．（2024·广东江门·二模）如图，四边形内接于以为直径的，平分，，交的延长线于点E．若四边形的面积是，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，首先证明，从而得到的面积等于四边形的面积，证明为等腰直角三角形，根据三角形面积公式即可求出，解题的关键是将四边形的面积转化为的面积． 【详解】∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 46．（2024·广东惠州·二模）如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定与性质，解直角三角形；连接，，作，，，根据题意得出，，进而根据，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，，作，，， 由正八边形性质得，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， 由正八边形性质得， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴ ． 故答案为：． 47．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 48．（24-25九年级上·浙江·假期作业）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，以面积为的正方形的中心为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换、相似多边形的性质、正方形的性质，连接，先求出正方形的边长为，再由相似多边形的性质得出，最后求出即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵正方形与四边形是位似图形， ∴四边形是正方形， ， 是四边形的外接圆直径， 正方形的面积为， 正方形的边长为， ∵， ， ， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． 49．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知在中，，，，以为直径向外作圆O，P是半圆O上的一个动点，M是的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，三角形中位线定理，勾股定理，连接，取的中点D，连接，根据三角形中位线定理得，则点M在以D为圆心，为半径的圆上运动，代入弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，取的中点D，连接， 在中，，，， 则由勾股定理得， ∴， ∵点M是的中点，点D是的中点， ∴， ∴点M在以D为圆心，为半径的圆上运动， ∴点M的运动路径长为 ， 故答案为：． 50．（2024·浙江绍兴·模拟预测）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．是以O为圆心，为半径的圆弧，C是弦的中点，D在上，．“会圆术”给出长l的近似值s计算公式：，当，时， ． 【答案】/ 【分析】本题考查垂径定理、弧长公式、勾股定理，连接，先根据垂径定理得到，分别利用勾股定理求得、、，进而求得s值，结合弧长公式求得l值即可求解． 【详解】解：连接， ∵C是弦的中点， ∴，， 又， ∴O、C、D共线， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又的长， ∴． 故答案为： 51．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在矩形中，已知，矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右第一次旋转至图➀位置，再绕右下角的顶点继续向右第二次旋转至图➁位置，…，以此类推，这样连续旋转4次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、灵活运用弧长的计算公式是解决问题的关键．先求出对角线的长，然后根据弧长公式依次计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 转动一次顶点A的路线长是：， 转动第二次顶点A的路线长是：， 转动第三次顶点A的路线长是：， 转动第四次顶点A的路线长是0， 故顶点A转动四次经过的路线长为：， 故答案为． 52．（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）如图，在菱形中，已知，，以为直径的与菱形ABCD相交，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积，菱形的判定与性质，根据在菱形中，已知，，以为直径的与菱形ABCD相交，可以得到圆的半径和圆内各角的度数，然后根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：设与菱形的四条边相交于E、F、G、H，连接，，，，，    在菱形中，，， ∴是等边三角形，， ∴， ∵以为直径的与菱形ABCD相交， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 同理， ∴四边形是菱形， ∴， 同理、、都是等边三角形，四边形是菱形， ∴， ∴阴影部分面积为， 故答案为：． 53．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，矩形内接于，在上取一点，连接，，过点作，交于点，，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出圆的半径，依据等腰直角三角形求出长，利用得到长，由图示可知代入数据计算即可． 【详解】解：连接， ∵矩形内接于，， ∴是直径，， 的半径为5， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查不规则图形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 54．（2023·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，B为圆心．大于长度为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再以点C为圆心，长度为半径画弧，交于点E，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是作图﹣基本作图，等腰直角三角形的性质，扇形的面积，熟知角平分线的作法和扇形的面积公式是解答此题的关键．由题意可知是的平分线，根据角平分线的定义可知，根据等腰三角形的三线合一的性质得：，再由直角三角形斜边中线的性质得，最后由面积差可得结论． 【详解】解：由题意可知：是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积的面积扇形的面积． 故答案为：． 55．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质和黄金分割点的相关知识，根据旋转的性质得到，再得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：如下图所示， 根据旋转的性质得， ∵， ∴ ∵H是线段的一个黄金分割点，且， ∴, ∵正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 56．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，在上截取，再在上截取，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割以及勾股定理；熟练掌握黄金分割和勾股定理是解题的关键．先由勾股定理求出，再由，得，即可得出结论． 【详解】解：，，， ， ， ， ， 故答案为： 57．（23-24九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，，，于点F，交于点E，矩形矩形． （1）的长为 ； （2）连接，与交于点M，则的长为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用相似多边形的性质即可求解； （2）首先得到，再得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵矩形矩形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）连接，与交于点M，如图： ∵四边形，是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 58．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    【答案】4 【分析】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形已经有一个公共角，只要再作一个等于△ABC的另一个角即可． 【详解】解：如图： ①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB； ②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB ③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB； ④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB． 故答案为：4 【点睛】此题主要考查了三角形相似的判定方法，解题关键是理解并掌握平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所得三角形与原三角形相似，有两个角对应相等的三角形相似． 59．（2023·黑龙江大庆·中考真题）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    【答案】 【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 60．（23-24九年级上·四川宜宾·开学考试）如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H，连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题：①；②；③；④， 其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号） 【答案】①③④ 【分析】根据矩形的性质得到，由平分，得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，得到等腰三角形求出，得到①正确；设，则，求出，得到，故②错误；通过角的度数求出和是等腰三角形，从而得到④正确；由即可证得，故③正确． 【详解】解：在矩形中，， ∵平分， ∴， 是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴． ∴，故①正确； ∴， ∴， 设， 则， ， ，故②错误； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； ， ∴，故③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 61．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 【答案】或20 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：设运动时间为， 当时，有， 即， 解得：， ∴， 当时，有， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或20． 62．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形内的一点，且，若在射线上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与相似，那么 ． 【答案】8或 【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出，当时，，当时，，两种情况下，分别求出的长，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ． 当时，， ， ， 当时，， ， ， 以点，，为顶点的三角形与相似，那么的长是8或． 故答案为：8或． 63．（20-21八年级下·上海静安·期末）如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质与判定． 连接交于O，证明四边形是平行四边形，再根据得出，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：如图，连接交于O． ，， 四边形是平行四边形， ， B，Q关于对称， ， ， 在中，，，， ． 故答案为：． 64．（2024·浙江湖州·模拟预测）土圭之法是在平台中央竖立一根尺长的杆子，观察杆子的日影长度，古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季，如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻的影长为 尺 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，由，得，知，故（尺），即第二时刻的影长为尺． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 根据题意得：尺，尺， ∴（尺）； ∴第二时刻的影长为尺； 故答案为：． 65．（2024·福建厦门·二模）台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，某球员击位于的中点E处的球，球沿射向边，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先求解，，，，再证明，再利用相似三角形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：∵一张宽为m米，长为米的矩形台球桌，的中点为E， ∴，，，， 由反弹规律满足光的反射定律． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 66．（22-23八年级下·山东济宁·期末）如图，小华站在楼的底端A处，眺望楼的顶端D，发现视线与水平线的夹角为α；然后，小华保持身体姿势不变转身后退，当退到点F处时，发现视线与水平线的夹角也为α．已知点F恰好为的中点，点M在上，，，，，楼的高度为7米，小华眼睛距离地面的高度米，根据以上数据计算出大楼的高度为 米．    【答案】 【分析】由题意得出，得出，利用相似三角形的性质求出的长度，即可求出大楼的高度． 【详解】如图，延长交于点N，    由题意得：米，， ，， ∴， ∴， ∵米， ∴（米） ∴， 解得：， ∴（米）， 答：大楼的高度为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例是解决问题的关键． ( 59 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$