精品解析：江苏省无锡市辅仁高级中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

无锡市辅仁高中2024-2025学年第一学期高一数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟.） 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知全集，集合，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作出Venn图，再由集合的运算逐一判断即可. 【详解】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下： 对于A：，A错误；对于B：，B错误； 对于C：，C正确；对于D：； D错误； 故选：C. 2. 已知命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题和命题，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】由，得到，所以， 由，得到，所以， 若成立，则成立，充分性成立； 若成立，则不一定成立，必要性不成立 所以是的充分不必要条件， 故选：A. 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） ①，；②与 ③与；④， A. ②③ B. ①④ C. ①② D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】判断两个函数是否为同一个函数时，需满足定义域相同，对应关系相同. 【详解】对于①，函数与的定义域均为， 但是，则两函数对应关系不同，故不是同一函数，不合题意； 对于②，的定义域为，的定义域为， 且，所以与是同一函数，符合题意； 对于③，与的定义域均为，且两函数对应关系相同， 故它们是同一函数，符合题意； 对于④，的定义域是； ，解得或， 所以的定义域是， 两函数定义域不同，所以不是同一函数，不合题意. 故选：A 4. 已知集合， 若， 则实数a的值为（ ） A 5或 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求得值，再验证每个取值是否满足条件. 【详解】因为，所以，所以或. 若，则，此时，此时不成立； 若，则或， 当时，，B中有两元素相等，故不成立； 当时，此时，此时成立； 综上： 故选：D 5. 已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，即可代入化简，利用基本不等式求解即可. 【详解】由于的解集为，故是方程的两个实数根， 故，即， 因此， 由于，则，故，当且仅当取等号， 故， 故选：C 6. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，，代入不等式求解即可 【详解】因为方程的两根分别是和， 所以，解得或， ，， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C 7. 如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理，构造函数，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】如图，设，由矩形的周长为4，可知． 设，则．， ． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 所以． 所以的面积． 所以，当且仅当时， 即当时，的面积最大，面积的最大值为， 故选：B． 8. 已知，，，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将不等式转化为关于的不等式，再根据参变分离，转化为求函数的最值. 【详解】因为，，则，所以， 又，可得，令， 则原题意等价于，，即， ，当时，取到最大值， 所以实数m的取值范围是． 故选：C 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A和C，通过取特殊值，即可判断出结果的正误；选项B，利用不等式的性质，即可判断出结果的正误；选项D，利用作差法，即可判断出结果的正误. 【详解】对于A选项，因为，，但是，所以选项A不正确； 对于B选项，因为成立，即，又，则，所以选项B正确； 对于C选项，因为，但是，所以C不正确； 对于D选项，若，则，即，故选项D正确. 故选：BD. 10. 已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 的最小值是16 C. 的最大值是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过取特值代入检验排除A项，利用常值代换法可得B项，直接利用基本不等式可得C项，利用基本不等式的变形公式即得D项. 【详解】对于A，取满足题意，但显然不成立，故A错误； 对于B，由，因a，b均为正数， 则， 当且仅当时，即，，等号成立，故B正确； 对于C，由基本不等式可知，即， 当且仅当，时，等号成立，故C正确； 对于D，由基本不等式可知，则， 当且仅当，时，等号成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 是的环 B. 若，则存在的一个环，含有8个元素 C. 若，则存在的一个环，含有4个元素且 D. 若，则存在的一个环，含有7个元素且 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用题设中的信息，集合的交集、并集的运算，以及集合间的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知：①，②若，则且， 对于A，全集且， 满足且当时，可得且，所以A正确； 对于B，由的子集，共8个元素， 若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确； 对于C，若，可得， 所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确； 对于D，若， 可得，， ， ，，且， 所以集合中至少有8个元素，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算． 【详解】，即， 又， 所以， 故答案为：． 13. 命题p：“，使得”的否定为__________；若命题p为假命题，则实数a的取值范围______. 【答案】 ①. ，使得 ②. 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得结果；由题意，，使得为真命题，分离常数可知在上有解，构造函数，利用基本不等式求解最小值，即可得解. 【详解】因为命题p：“，使得”，且全称命题的否定是特称命题， 所以命题p的否定为，使得； 若命题p为假命题，则命题p的否定为真命题， 所以在上有解，即在上有解， 记函数，则， 因为， 当且仅当即时等号成立，所以，所以， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：，使得；. 14. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 四、简答题（共5小题，满分77分） 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若是必要条件，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接求出集合，根据集合交并补即可得到答案； （2）转化为，再分和讨论即可. 【小问1详解】 因为或， ， 所以， . 【小问2详解】 若是必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故的取值范围为. 16. （1）已知，，，证明：； （2）证明：当，时，有. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用“”的代换及基本不等式计算可得； （2）依题意，，再计算，即可得证. 【详解】（1），，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， ； （2）因为，， 所以，，即，， 所以 ，当且仅当或时取等号， 所以，则 17. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； （3）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） （3）分类讨论，答案见解析. 【解析】 【分析】（1）将代入，根据图象的开口方向，以及，即可求得不等式的解集； （2）根据题意，转化为恒成立，分与，两种情况讨论，结合二次函数的性质，列出不等式（组），即可求解； （3）将原式化为，分，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可得到结果． 【小问1详解】 解：由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 解：由对一切实数x恒成立，等价于恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． 【小问3详解】 解：依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 18. 为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）最多150人 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值. （2）根据条件①②列不等式，化简得，结合基本不等式求得的范围. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则， ，， ，解得， ∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人； 【小问2详解】 ①由技术人员年人均投入不减少有，解得. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 ， 两边同除以得， 整理得， 故有， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， ∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为. 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； （3）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 【答案】（1）是“完全集”，理由见解析； （2）； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由“完全集”的定义判断即可； （2）设，得到，分类讨论求解即可. （3）由“完全集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； 【小问1详解】 集合，由完全集的定义： ，， 所以集合为“完全集”. 【小问2详解】 不妨设，由于， 所以，当时，即有，又为正整数，所以， 于是，则无解，即不存在满足条件的“完全集”； 当时，，故只能，求得， 于是“完全集”只有一个，为； 当时，由， 即有，而， 又， 因此，故矛盾， 所以当时不存在“完全集”， 综上：“完全集”为. 【小问3详解】 证明：若是两个不同的正数，且是完全集， 设，根据根和系数的关系知，相当于的两个根， 由，解得或（舍）， 所以，又因为都是正数，若都不大于2，，矛盾， 所以中至少有一个大于2. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 无锡市辅仁高中2024-2025学年第一学期高一数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟.） 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 已知全集，集合，满足，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列各组函数是同一函数是（ ） ①，；②与 ③与；④， A. ②③ B. ①④ C. ①② D. ②③④ 4. 已知集合， 若， 则实数a的值为（ ） A. 5或 B. C. 5 D. 5. 已知关于不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知a，b均为正数，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 的最小值是16 C. 的最大值是 D. 11. 设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 是的环 B. 若，则存在的一个环，含有8个元素 C. 若，则存在一个环，含有4个元素且 D. 若，则存在的一个环，含有7个元素且 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 已知集合，，则__________. 13. 命题p：“，使得”的否定为__________；若命题p为假命题，则实数a的取值范围______. 14. 已知实数，满足，且，则的最小值为______． 四、简答题（共5小题，满分77分） 15. 已知集合，，． （1）求； （2）若是的必要条件，求a的取值范围． 16. （1）已知，，，证明：； （2）证明：当，时，有. 17. 设函数 （1）若，求的解集． （2）若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； （3）解关于的不等式：． 18. 为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. （1）要使这名研发人员年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ （2）为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 19. 已知有限集，若，则称为“完全集”. （1）判断集合是否为“完全集”，并说明理由； （2）若为“完全集”，且，用列举法表示集合（不需要说明理由）； （3）若集合为“完全集”，且均大于0，证明：中至少有一个大于2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$