专题3.8 整式加减中的新定义问题（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学上册压轴题专项讲练系列（北师大版2024）

专题3.8 整式加减中的新定义问题 · 典例分析 【典例1】定义：若（n为常数），则称a与b是关于数n的“平衡数”．例如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”． （1）若a与的“平衡数”是0，则a= ； （2）若a与b是关于3的“平衡数”，则与是关于哪个数的“平衡数”？请通过计算说明； （3）已知，（k为常数），且无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 【思路点拨】 本题考查了新定义以及整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“平衡数”进行列式作答即可； （2）根据a与b是关于3的“平衡数”，列出有关a和b的式子； （3）根据“平衡数”，且结合，，列式得，因为无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”，所以，则，即可作答． 【解题过程】 （1）解：依题意，因为a与的“平衡数”是0， 所以， 解得； （2）解：与是关于的“平衡数”，理由如下： 因为a与b是关于3的“平衡数”， 所以， 则， 所以与是关于的“平衡数”， （3）解：因为，， 所以 ， 因为无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”， 所以， 则， 那么， 即． · 专项训练 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·福建南平·期末）定义一种新运算“”的计算规则是：（其中a，b都是有理数）．例如. 下列等式成立的个数是（    ） ①；②；③ A．3 B．2 C．1 D．0 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 4．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）若定义一种新的运算，则下列结论：①；②；③．上述结论正确的有（写出番号） ． 5．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）用“”定义新运算：对于任意有理数、，都有．例如：．则下列结论：①；②；③对于任意有理数、，恒成立；④的值恒小于的值．正确的是 （填序号）． 6．（23-24七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）年月日，神舟十五号载人飞船成功返回地球，结合这么具有纪念意义的历史时刻，王老师给出一个新定义：、的两个整式，如果，那么叫做的“神舟式”． （1）若，，当时，求、的值，请你判断此时是否为的“神舟式”，并说明理由； （2）若，是的“神舟式”，求整式． 7．（23-24七年级上·河南商丘·期中）定义一种新运算“”：，比如：． （1）求的值； （2）若，，比较A与B的大小． 8．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）定义符号“”表示一种运算，表示x在运算作用下的结果，如表示x在运算作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，… 利用以上规律计算： （1）； （2）． 9．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）对于任意实数，定义关于“”的一种运算如下： ，如． （1）求的值； （2）若，求的值． 10．（23-24七年级上·江苏常州·期中）对于有理数a、b，定义运算：“★”， （1）计算：的值． （2）填空：______（填“”或“”或“”）． （3）我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）计算的结果，你认为这种运算“★”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，为什么？ 11．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． （1）4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． （2）若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． （3）若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 12．（23-24七年级上·福建三明·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“方差有理数对”，记为，如：都是“方差有理数对”． （1）分别判断与是否“方差有理数对”，并说明理由； （2）若是“方差有理数对”，求的值． 13．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数． （1）2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）； （2）若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由； （3）若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 14．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）我们定义一种新运算：若，则；例如，，则． （1）按照这个规定，若，求的值； （2）按照这个规定，若，且是关于的一次式，求求值． 15．（23-24七年级上·江苏·周测）定义一种新运算“”：，比如：． （1）_____________；_____________； （2）当时，是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出一组的具体值加以说明； （3）若，比较与的大小． 16．（23-24七年级上·江苏·周测）定义某种新运算“”，根据下列各式，回答问题： ； ； ； ． （1）填空：　 　； （2）若，与相等吗？请说明理由； （3）若，，试说明：、不论取何值，的运算结果总是为正数． 17．（23-24七年级上·重庆·期中）对于任意三位正整数，如果满足各位上数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“育才数”．将一个“育才数”的个位数字与百位数字对调后，得到一个新的三位数m，记．例如：，，则．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：计算______； （2）若为“育才数”，当最小时，求出的最小值； （3）若为“育才数”，且满足，求的值． 18．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）【阅读中思考】 设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值． （2）求的值为____________．（直接写出答案） 【应用拓展】 设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 则的值为_____________．（直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.8 整式加减中的新定义问题 · 典例分析 【典例1】定义：若（n为常数），则称a与b是关于数n的“平衡数”．例如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”． （1）若a与的“平衡数”是0，则a= ； （2）若a与b是关于3的“平衡数”，则与是关于哪个数的“平衡数”？请通过计算说明； （3）已知，（k为常数），且无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 【思路点拨】 本题考查了新定义以及整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“平衡数”进行列式作答即可； （2）根据a与b是关于3的“平衡数”，列出有关a和b的式子； （3）根据“平衡数”，且结合，，列式得，因为无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”，所以，则，即可作答． 【解题过程】 （1）解：依题意，因为a与的“平衡数”是0， 所以， 解得； （2）解：与是关于的“平衡数”，理由如下： 因为a与b是关于3的“平衡数”， 所以， 则， 所以与是关于的“平衡数”， （3）解：因为，， 所以 ， 因为无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”， 所以， 则， 那么， 即． · 专项训练 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了整式的加减，合并同类项，去括号，根据定义的新运算，求出的值；再对进行运算，转化成关于的形式，即可求出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 解：∵ ， ∴， ∴． 则： ， 故选：． 2．（23-24七年级上·福建南平·期末）定义一种新运算“”的计算规则是：（其中a，b都是有理数）．例如. 下列等式成立的个数是（    ） ①；②；③ A．3 B．2 C．1 D．0 【思路点拨】 本题主要考查了新定义运算，整式加减运算，解题的关键是理解题意，分别求出各个式子的值，然后进行比较即可． 【解题过程】 解：①∵，， 又∵， ∴，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③ ∵，， 又∵， ∴，故③错误； 综上分析可知，等式成立的个数是2个，故B正确． 故选：B． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取，则： 若，则第2023次“”运算的结果是（   ） A．1 B．4 C．2023 D．42023 【思路点拨】 计算出时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律：当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，再进行解答即可， 本题考查数字类规律，解题的关键是掌握数字规律类的题计算方法． 【解题过程】 解：当时， 第一次“F”运算为： ， 第二次“F”运算为：， 第三次“F”运算为：， 第四次“F”运算为：， 第五次“F”运算为：， 第六次“F”运算为：， 可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，而2023次是奇数，因此最后结果是4． 故答案为：B． 4．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）若定义一种新的运算，则下列结论：①；②；③．上述结论正确的有（写出番号） ． 【思路点拨】 本题考查了有理数的混合运算及整式的运算，根据新定义列出算式是解题的关键．根据新定义运算依次计算每个式子即可求解． 【解题过程】 解：依题意得：，故①正确， ， ，故②正确， ， , ∴，故③错误， 则结论正确的有①②， 故答案为：①②． 5．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）用“”定义新运算：对于任意有理数、，都有．例如：．则下列结论：①；②；③对于任意有理数、，恒成立；④的值恒小于的值．正确的是 （填序号）． 【思路点拨】 本题考查整式的加减运算，根据定义的新运算列得正确的算式是解题的关键．根据新运算列式计算后进行逐项判断即可． 【解题过程】 解：，则①错误； ，则②正确； ，，两式不一定相等，则③错误； ， ， ， ， 不一定小于0， 的值不一定小于的值，则④错误； 综上，正确的是②， 故答案为：②． 6．（23-24七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）年月日，神舟十五号载人飞船成功返回地球，结合这么具有纪念意义的历史时刻，王老师给出一个新定义：、的两个整式，如果，那么叫做的“神舟式”． （1）若，，当时，求、的值，请你判断此时是否为的“神舟式”，并说明理由； （2）若，是的“神舟式”，求整式． 【思路点拨】 （1）将，代入代数式求值，根据神舟式的定义，进行判断即可； （2）利用神舟式的定义，列式计算即可； 本题考查有理数的四则运算和整式的加减运算，熟练掌握运算法则及理解“神舟式”的定义是解题的关键． 【解题过程】 （1）是的“神州式”， 理由：当时，，， 所以， 所以是的“神州式”； （2）因为是“神州式”，所以， 所以， ， ． 7．（23-24七年级上·河南商丘·期中）定义一种新运算“”：，比如：． （1）求的值； （2）若，，比较A与B的大小． 【思路点拨】 本题考查了整式的加减，有理数的混合运算，正确理解题目中给出的运算符号是解题关键． （1）根据题目中给出的新运算符号的意义，进行解答即可； （2）根据题目中给出的新运算符号的意义，算出A、B的结果再相减进行比较即可． 【解题过程】 （1）解：， ； （2） ， ， ， ． 8．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）定义符号“”表示一种运算，表示x在运算作用下的结果，如表示x在运算作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，… 利用以上规律计算： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了新定义下有理数的混合运算和整式的加减运算，解题关键是得出符号“”的运算规律是一个数的倍再减1． 【解题过程】 （1）解： ， （2） 9．（23-24七年级上·湖北黄冈·期中）对于任意实数，定义关于“”的一种运算如下： ，如． （1）求的值； （2）若，求的值． 【思路点拨】 本题考查新定义运算、代数式求值等知识，根据题中新定义运算按要求求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）根据新定义运算得到，即，将等式代入所求代数式，化简求值即可得到答案． 【解题过程】 （1）解： ， ； （2） ， ，即， ． 10．（23-24七年级上·江苏常州·期中）对于有理数a、b，定义运算：“★”， （1）计算：的值． （2）填空：______（填“”或“”或“”）． （3）我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）计算的结果，你认为这种运算“★”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，为什么？ 【思路点拨】 本题主要考查了利用代入法求代数式的值． （1）运用运算公式，计算即可； （2）运用运算公式，分别计算出和的值即可得到答案； （3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； ， ∴ ， 故答案为：； （3）解：这种运算：“”满足交换律． 理由是：∵， 又∵， ∴． ∴这种运算：“★”满足交换律． 11．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称a与b是关于6的实验数． （1）4与______是关于6的实验数；代数式______与是关于6的实验数． （2）若，，判断a与b是否是关于6的实验数，说明理由． （3）若c与d是关于6的实验数，且，求d的值． 【思路点拨】 本题考查整式的加减应用，理解题意，正确列出式子计算是解题的关键． （1）根据题中给出的定义计算即可； （2）计算的值，如果和等于6，则a与b是关于6的实验数，否则不是； （3）由题意得出，把c的值代入计算即可求出d的值． 【解题过程】 （1）解：， ∴4与2是关于6的实验数； ， ∴与是关于6的实验数， 故答案为：2；； （2）解：a与b是关于6的实验数，理由： ， ∴a与b是关于6的实验数； （3）解：由题意得，， ， ． 12．（23-24七年级上·福建三明·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“方差有理数对”，记为，如：都是“方差有理数对”． （1）分别判断与是否“方差有理数对”，并说明理由； （2）若是“方差有理数对”，求的值． 【思路点拨】 本题考查了有理数的混合运算、整式的加减—化简求值、等式的性质． （1）根据题目中给出的定义即可判断； （2）根据题目中给出的定义列出等式求出，由，再代入即可求解． 【解题过程】 （1）解：数对是“方差有理数对”， ，， ， 数对是“方差有理数对”， 数对不是“方差有理数对”， ，， ， 数对不是“方差有理数对”； （2）解：由题意的，即， ； 原式． 13．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数． （1）2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）； （2）若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由； （3）若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【思路点拨】 本题考查有理数运算，代数式表示，整式运算． （1）根据题意列式即可得到本题答案； （2）根据题意列式并计算即可得到本题答案； （3）根据题意列式并计算即可得到本题答案． 【解题过程】 （1）解：根据题意得： ，， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴a与b是关于3的友好数； （3）解：∵，，且c与d是关于3的友好数， ∴，即：， ∴， ∵x为正整数， ∴，；，；，；，；，； ，；，；，；，．．． ∴非负整数的值为：． 14．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）我们定义一种新运算：若，则；例如，，则． （1）按照这个规定，若，求的值； （2）按照这个规定，若，且是关于的一次式，求求值． 【思路点拨】 本题主要考查新定义运算，整式的加减，有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）按照新定义展开，运用有理数的混合运算解题即可； （2）先依据新定义转化为整式的加减，根据题意求出m和n的值，代入式子运用裂项求和解题即可． 【解题过程】 （1）解：； （2）解： ， ∵是关于的一次式， ∴， 解得：， ∴ ． 15．（23-24七年级上·江苏·周测）定义一种新运算“”：，比如：． （1）_____________；_____________； （2）当时，是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出一组的具体值加以说明； （3）若，比较与的大小． 【思路点拨】 本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减，解题的关键是： （1）直接根据新定义，代入计算即可； （2），假设分别代入计算即可发现结论；； （3）化简和，再计算，根据结果分类讨论即可． 【解题过程】 （1）解：； ； （2），假设 则：； ； 故不成立； （3） ； ； 当时，； 当时，； 当时，． 16．（23-24七年级上·江苏·周测）定义某种新运算“”，根据下列各式，回答问题： ； ； ； ． （1）填空：　 　； （2）若，与相等吗？请说明理由； （3）若，，试说明：、不论取何值，的运算结果总是为正数． 【思路点拨】 （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）各自利用题中的新定义计算得到结果， 判断即可； （3）把与代入原式后，利用题中的新定义化简，再根据非负数的性质判断即可. 【解题过程】 （1）解：根据题中的新定义 ； ； ； ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：与不相等，理由如下： ∵，且， ∴，， ∴与不相等， （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵运算的结果与的取值无关，且总是正数， ∴、不论取何值的运算结果总是为正数. 17．（23-24七年级上·重庆·期中）对于任意三位正整数，如果满足各位上数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“育才数”．将一个“育才数”的个位数字与百位数字对调后，得到一个新的三位数m，记．例如：，，则．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：计算______； （2）若为“育才数”，当最小时，求出的最小值； （3）若为“育才数”，且满足，求的值． 【解题过程】 （1）， 故答案为：9； （2）∵为“育才数”，设，则， ∴ ， 由“育才数”定义可知，，均为正整数， ∴，，，且， ∵，若要使取最小值，则取最小值， ∴，， ∴这个三位数的百位数字为9，个位上的数字为1， ∴的最小值为921； （3）∵为“育才数”， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∵为偶数，36为偶数， ∴为偶数， ∴或4或6或8， 当时，代入，解得：（不是整数，舍去）； 当时，代入，解得：； 当时，代入，解得：（不是整数，舍去）； 当时，代入，解得：， 综上可知的值为624或328． 18．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）【阅读中思考】 设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值． （2）求的值为____________．（直接写出答案） 【应用拓展】 设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 则的值为_____________．（直接写出答案） 【思路点拨】 本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可； （2）先根据“倒数差”的定义列式计算，，，然后求和即可； （3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可． 【解题过程】 解：（1）；；． （2）；；； 所以． 故答案为：． （3）∵数组确定为， ∴第1次变换后，，，即第1次变换后得到数组， 第2次变换后，，，即第1次变换后得到数组； 第3次变换后，，，即第1次变换后得到数组； 同理可得：，，…… ∴， ； ； ∴ ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$