专题突破：角的相关计算问题（4大题型）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（湘教版2024）

专题突破：角的相关计算问题 常用方法 代数化：恰当设元，运用方程思想，将角的计算问题代数化，是解与角相关计算问题的重要方法。 题型一 角度的四则运算 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）根据同单位的相加，满60时向上一单位进1，可得答案； （2）根据同单位的相减，不够减时先向上一单位借1转为60，可得答案； （3）根据满60时向上一单位进1，可得答案； （4）根据不能整除的部分可化成下一级单位，可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-1】（22-23七年级上·广东湛江·期末）计算: ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的运算，解题的关键是掌握． 根据进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24七年级下·吉林·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角度的计算，直接进行角度的加法运算，满进． 【详解】解：， 故答案为： 【变式1-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了度分秒的换算及运算等知识点， （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （3）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （4）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； 熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 【详解】（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：． 【变式1-4】（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）度、分、秒的计算已知，，求： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据加法运算法则进行计算即可求解； （）根据减法运算法则进行计算即可求解； 本题考查了角度的计算，掌握度、分、秒之间的单位换算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ， ； （2）解：∵，， ∴， ， ． 【变式1-5】（23-24六年级下·山东济南·开学考试）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握是解题是关键． （1）结合，进行加法运算，即可作答． （2）结合，先进行乘法，再进行加法运算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1-6】（七年级下·安徽亳州·期末）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式1-7】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型二 三角板中角度计算问题 【例2】（七年级上·四川绵阳·期末）如图1所示，点在直线上，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边，在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，若与互补，的余角比它的补角的一半少，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按逆时针旋转到如图3，，，平分，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考査了一元一次方程的应用，角的动态定义及余角、补角的概念，本题的关键是找准等量关系列方程，并结合数形结合的思想解题． （1）根据题意列出含的方程，先求出的度数进而可求的度数； （2）由，，，得，求出．由平分，得，，进而可求结论． 【详解】（1）解： 根据题意，得， 解得．                          与互补， ， ， ， ．                                （2）解：，，， ， ．                ， ． 平分， ．        ， ， 即．                               【变式2-1】（七年级上·安徽黄山·期末）如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)①65；②10； (2)①；②的度数不发生变化，理由见解析． 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，读懂题意，能准确得出相应角的数量关系是解本题的关键． （1）①根据题意和角的和差进行求解即可； ②由结合题意可得从而得出 进而求出时间t； （2）①根据平分平分可得 ，则可以整理为进而得出答案； ②根据平分平分，可得 进而推导出，继而得出答案． 【详解】（1）解：①当时， ， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， ∴， (秒) ， ∴当t为10秒时，； （2）解：①∵平分平分， ， 故答案为： 的度数不发生变化，理由如下： ∵平分 ∵平分 ． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)将直角三角尺的一边放在射线上，如图1，则的度数为___________，其补角的度数为___________． (2)将直角三角尺绕点O逆时针方向转动到如图2的位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角尺绕点O转动如果始终在的内部，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∴的补角为； （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． 【变式2-3】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）一副三角板如图1放置，（） (1)求的度数； (2)若三角板绕B点逆时针旋转到如图2时，在旋转过程中分别平分，则如何变化； (3)若三角板绕B点逆时针旋转到如图3时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？ 【答案】(1)； (2)的度数不变化， 理由见解析； (3)（2）中的结论不变， 理由见解析． 【分析】考查了角平分线的定义，角的计算，关键是熟练掌握角平分线的定义，以及角的和差关系． （1）根据角的和差关系即可求解； （2）设，则， 根据角平分线的定义以及即可求解； （3）设，则， 根据角平分线的定义以及即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：的度数不变化， 理由如下： 设， 则， ∵分别平分， ； （3）解：（2）中的结论不变， 理由如下： 设， 则， ∵分别平分， ． 【变式2-4】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)90 (2)，理由见解析 (3)的度数是一个定值，理由见解析 【分析】本题考查了三角板中角度计算，与角平分线的有关的角的计算，掌握角平分线的定义是解答本题的关键． （1）由平角的性质可求解； （2）由补角和余角的性质可求解； （3）由角平分线的定义和平角的性质可求解． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为90； （2）解：， 理由如下：，， ； （3）解：的度数是一个定值， 理由如下：射线、分别是、的角平分线， ，， ． 【变式2-5】（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】（1），；（2）；；（3） 【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解； （2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解； （3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 【变式2-6】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．    (1)当时，求的度数； (2)比较与的大小，并写出理由； (3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查三角板中角的运算，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）利用角的运算先得到，再利用求解，即可解题； （2）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题； （3）利用角的等量代换，结合角的运算，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，， ， ， ； （2）解：，理由如下： 由题知，， 当在与之间，   ， ； 当在与之外，     ， ； （3）解：正确，理由如下： ． 【变式2-7】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)不存在，此时，满足；理由见解析 【分析】本题主要考查了结合图形中角的计算，角平分线的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）先根据，求出，根据角平分线定义得出，然后求出结果即可； （2）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，即可得出答案； （3）根据，，得出，根据角平分线定义得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵且， ∴， 即． （3）解：不存在，此时，满足；理由如下： ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵，， ， 即， 故． 题型三 角平分线的有关计算问题 【例3】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，是内一条射线，且，是的平分线，是的平分线． (1)若，则 °， °； (2)小亮在思考第（1）问时产生一个猜想：当满足时，一定平分．你觉得他的这个猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请求出当和之间满足怎样的数量关系时，一定平分，并说明理由． 【答案】(1)19，38 (2)正确，理由见解析 【分析】此题考查了角平分线的相关计算． （1）根据平分线定义求出，则，再利用角平分线定义求出，即可求出； （2）证明，，则，即可证明一定平分． 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线．， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）正确，理由如下 ∴， ∴ 平分 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵是的平分线． ∴ ∴ ∴平分. 【变式3-1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可； （2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可； （3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可． 本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ； 平分，平分， ，， ． （2）解：，平分，平分， ． （3）解：，，， ． 【变式3-2】（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）数学小组学完4.3角这节后，对角的计算产生了浓厚的兴趣，发现了一些有趣的结论． 如图1，射线固定位置，，平分，平分． 知识再现： （1）_________； 探究升华： （2）将图1中的绕点A旋转，当旋转到图2位置时，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点A旋转一周，当时，求的度数． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）或 【分析】（1）由角平分线得到，，结合图形，得到结果； （2）根据图2，同样利用角平分线的关系，得到角的关系，结合图形，得到结果； （3）根据条件，，设，列出方程，求出的度数，根据图1、图2两种情况，分别计算的度数即可， 本题考查了角平分线的定义及应用，以及根据图形，结合角度的计算，得到结果，关键是能要结合图形的变换，分辨出角与角之间的关系． 【详解】解：（1）如图1： ∵平分，平分， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴； 故答案为：； （2）成立，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； 故结论仍成立； （3）设，则， 如图1，， ∴， ∴， ∴， 如图2， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式3-3】（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 【答案】(1)； (2)运动或秒时，直线平分； (3)或． 【分析】（）利用同角的余角相等即可求解； （）分两种情况平分和平分时，分别计算可得答案； （）分四种情况分别画出图形可得答案； 此题考查了角的计算与角平分线的定义，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分 根据题意得，， 解得； 情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分， 根据题意得，， 解得， 综上，运动或秒时，直线平分； （3）或，理由： ，如图： ，如图： ，如图： ，如图： 综上可知：或． 【变式3-4】（23-24七年级上·安徽六安·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）利用角平分线的定义分别求得，，据此求解即可； （）设，则，设，求得，根据题意列出等式，即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 【详解】（1）∵，，分别是的角平分线， ∴，， ∴； （2），理由如下， ∵， ∴设，则， 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴． 【变式3-5】（七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的度数． (2)若将题干中的改为，其余条件不变，求的度数； (3)若将题干中的改为（β为锐角），其余条件不变，求的度数． (4)从前面的结果中，你能得出什么结论？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义 （1）由已知结合图形可求得的度数，再由角平分线的定义可分别求得与的度数，再由角的差的关系即可得结果； （2）分析与（1）相同； （3）分析与（1）相同； （4）设，（为锐角），余下与（1）相同． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． （4）解：设，（为锐角）， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【变式3-6】（七年级上·山东日照·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与α的数量关系； (3)如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与α有关，与β无关，，理用见解析 【分析】本题考查了角度的运算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，，从而根据求得的度数； （2）同理（1），，，，从而求得的度数； （3）同理（1），，，，从而求得的度数； 【详解】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）解：同理（1），， ，， ； （3）解：与α有关，与β无关，，理由如下： 同理（1），， ，， ． 【变式3-7】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图①，是内的一条射线，分别平分．若，求． （2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若，则_______． （3）已知直线相交于点O，若是外一条射线，且不与重合，分别平分，当时，求．（在备用图中画出示意图求解） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了对顶角，邻补角，角平分线的性质，解决本题的关键是： （1）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，推出即可； （2）首先假设，然后用表示，再根据，两条角平分线，用表示即可； （3）分三种情况讨论，第一种：在上，第二种：在下侧，之间，第三种：在之间，即可得到． 【详解】解：设， 则， 平分，平分， ； （2）设， 则， 平分，平分， ， 故答案为：； （3）①当在上，即在之间， 设， 则， 平分，平分， ； ②当在直线下方，且在之间时， ， ； ③当在直线下方，且在之间时， 由②得，， ； 综上所述，或． 【变式3-8】（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）如图：已知，射线绕点O从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为t秒（）．    (1)用含t的代数式表示的度数； (2)在运动过程中，当第一次达到时，求t的值； (3)射线，在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒 (3) 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算以及角平分线的性质，熟练掌握分类讨论是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）当第一次达到时，根据角之间的和差关系得到列出方程即可； （3）根据题意分三种情况进行分类讨论即可； 【详解】（1）解：由题意可得：射线绕点O从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转， ； （2）解：根据题意可得：， 当第一次达到时，， 即， 解得； （3）解：射线是由射线中的其中两条组成的角的平分线， ①平分， 解得； ②平分， ，即， ， 解得； ③平分， ， ， 解得； 综上所述，当的值分别为时，射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线． 题型四 角n等分线的有关计算问题 【例4】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】 （1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数； ②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算． （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； （3）设，则，根据题意得出，，列出方程，求得，，进而得出答案． 【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且， 所以，， 所以． 所以． （2）①因为，分别为和的三倍分线（，）， 所以，， 因为， 所以， 所以，， 所以，， 所以． ②不变．理由如下： 因为，分别为和的三倍分线，，， 所以，， 所以 ； （3）设， 因为， 所以， 因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，， 所以． 【变式4-1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）【材料导读】 规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”． 【学以致用】 （1）如图1，若，则射线 的“三等分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，已知，射线在的内部，射线是的“三等分线”，且，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，点M，N分别在的边上，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始顺时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始逆时针旋转，如此往返…，当射线与边重合后，射线都停止运动．设运动时间为t秒，当射线与第二次重合后，若射线是的“三等分线”，请直接写出t的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）t值为s或9s 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握角的和差倍分是关键． （1）根据题意解答即可； （2）根据三等分线列出等式计算即可． （3）先计算出，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）， ， ∴是的三等分线， 故答案为：是； （2）， ， ， ； （3）当与第二次重合时，从转向，此时，， ，， ∴当后， 当时，此时，向转动，此时，， 当时， ， ∴， 当时， ， ． 综上，t值为或． 【变式4-2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 【变式4-3】（七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-4】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线及三等分线的定义，角的和差，由角平分线及三等分线的定义可得，，进而得，据此即可求解，掌握角平分线及三等分线的定义是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， 又∵三等分， ∴， ∴， ∴． 【变式4-5】（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：角的相关计算问题 常用方法 代数化：恰当设元，运用方程思想，将角的计算问题代数化，是解与角相关计算问题的重要方法。 题型一 角度的四则运算 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】（22-23七年级上·广东湛江·期末）计算: ． 【变式1-2】（23-24七年级下·吉林·开学考试）计算： ． 【变式1-3】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1) ；(2) ；(3) ；(4) 【变式1-4】（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）度、分、秒的计算已知，，求： (1)； (2)． 【变式1-5】（23-24六年级下·山东济南·开学考试）计算 (1) (2) 【变式1-6】（七年级下·安徽亳州·期末）计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【变式1-7】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）计算（结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 三角板中角度计算问题 【例2】（七年级上·四川绵阳·期末）如图1所示，点在直线上，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边，在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，若与互补，的余角比它的补角的一半少，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按逆时针旋转到如图3，，，平分，求的度数．（用含的代数式表示） 【变式2-1】（七年级上·安徽黄山·期末）如图①，把一副三角板拼在一起，边与直线重合，其中，．此时易得． (1)如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ (2)如图③，在（1）的条件下，若平分平分． ①当时， ； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)将直角三角尺的一边放在射线上，如图1，则的度数为___________，其补角的度数为___________． (2)将直角三角尺绕点O逆时针方向转动到如图2的位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角尺绕点O转动如果始终在的内部，请直接写出和的数量关系． 【变式2-3】（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）一副三角板如图1放置，（） (1)求的度数； (2)若三角板绕B点逆时针旋转到如图2时，在旋转过程中分别平分，则如何变化； (3)若三角板绕B点逆时针旋转到如图3时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？ 【变式2-4】（23-24七年级上·江苏苏州·期末）数学实践课上，小明同学将直角三角板的直角顶点O放在直尺的边缘，将直角三角板绕着顶点O旋转． (1)若三角板在的上方，如图1所示．在旋转过程中，小明发现、的大小发生了变化，但它们的和不变，即______°． (2)若、分别位于的上方和下方，如图2所示，则、之间的上述关系还成立吗？若不成立，则它们之间有怎样的数量关系？请说明你的理由； (3)射线、分别是、的角平分线，若三角板始终在的上方，则旋转过程中，的度数是一个定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式2-5】（23-24七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【变式2-6】（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起．    (1)当时，求的度数； (2)比较与的大小，并写出理由； (3)小雅同学通过测量角度发现，在旋转过程中，只要保证两个直角和有重叠部分（不重合），那么所产生的与始终互补，请你用说理的方式判断小雅的发现是否正确． 【变式2-7】（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）如图①所示，，将直角三角板的直角顶点放置在O点，平分． (1)若，则______，______． (2)如果，，试判断，的数量关系，并说明理由． (3)如图②当直角三角板绕着O点顺时针旋转一定角度，使得在的内部，在的外部，若，，，是否还存在（2）中的数量关系，若存在，请说明理由，若不存在，请求出，的数量关系． 题型三 角平分线的有关计算问题 【例3】（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，是内一条射线，且，是的平分线，是的平分线． (1)若，则 °， °； (2)小亮在思考第（1）问时产生一个猜想：当满足时，一定平分．你觉得他的这个猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请求出当和之间满足怎样的数量关系时，一定平分，并说明理由． 【变式3-1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 【变式3-2】（23-24七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）数学小组学完4.3角这节后，对角的计算产生了浓厚的兴趣，发现了一些有趣的结论． 如图1，射线固定位置，，平分，平分． 知识再现： （1）_________； 探究升华： （2）将图1中的绕点A旋转，当旋转到图2位置时，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由； （3）将图1中的绕点A旋转一周，当时，求的度数． 【变式3-3】（23-24七年级上·江苏常州·期末）如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 【变式3-4】（23-24七年级上·安徽六安·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图，若，，分别是的角平分线，求的度数； (2)如图，若平分，且，，则和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【变式3-5】（七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，已知，，平分，平分． (1)求的度数． (2)若将题干中的改为，其余条件不变，求的度数； (3)若将题干中的改为（β为锐角），其余条件不变，求的度数． (4)从前面的结果中，你能得出什么结论？ 【变式3-6】（七年级上·山东日照·期末）如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与α的数量关系； (3)如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 【变式3-7】（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）如图①，是内的一条射线，分别平分．若，求． （2）小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：如图①，若，则_______． （3）已知直线相交于点O，若是外一条射线，且不与重合，分别平分，当时，求．（在备用图中画出示意图求解） 【变式3-8】（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）如图：已知，射线绕点O从射线位置开始按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O从射线位置开始按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为t秒（）．    (1)用含t的代数式表示的度数； (2)在运动过程中，当第一次达到时，求t的值； (3)射线，在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线是由射线，射线，射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 题型四 角n等分线的有关计算问题 【例4】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】 （1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数； ②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【变式4-1】（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）【材料导读】 规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”． 【学以致用】 （1）如图1，若，则射线 的“三等分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，已知，射线在的内部，射线是的“三等分线”，且，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，点M，N分别在的边上，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始顺时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始逆时针旋转，如此往返…，当射线与边重合后，射线都停止运动．设运动时间为t秒，当射线与第二次重合后，若射线是的“三等分线”，请直接写出t的值． 【变式4-2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【变式4-3】（七年级上·浙江台州·期末）下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【变式4-4】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，平分，三等分，已知，求的度数． 【变式4-5】（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$