专题3.2 双曲线（4类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.2 双曲线 【考点1：双曲线的定义与标准方程】 1 【考点2：双曲线的焦点三角形问题】 6 【考点3：双曲线的几何性质】 13 【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】 17 【考点1：双曲线的定义与标准方程】 【知识点：双曲线的定义】 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 【知识点：双曲线的标准方程】 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)； (2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 待定系数法求双曲线方程的五种类型 类型一 与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0) 类型二 若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0) 类型三 与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2<k<a2) 类型四 过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn>0)或者＋＝1(mn<0) 类型五 与椭圆＋＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<λ<a2) 1．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【详解】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B 2．（24-25高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（   ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合双曲线的定义，即可得到答案. 【详解】由定点且在y轴上，可得， 因为，即， 根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支. 故选：A. 3．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解 【详解】双曲线的实半轴长为， 延长交直线于点， 由题意有，， 又是中点， 所以， 故选：B. 4．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的标准方程，结合双曲线的定义，可得问题答案. 【详解】如图：    因为为右支上一点，所以. 因为为坐标原点，为线段的中点，所以，， 则. 故选：C 5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线性质，得到，再由双曲线的定义，以及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由双曲线，可得，则且， 设是双曲线的右焦点，连接， 因为分别为的中点，， 在直角中，可得， 又由双曲线的定义，可得， 所以. 故选：A. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】根据已知可得，再结合双曲线定义得出，计算求出，即得双曲线方程. 【详解】由过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上， 可知，则，即， 又因为，得解得，故双曲线方程为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】由题意易得定点，再根据直线与圆外切，可得，由双曲线定义即可得到双曲线的方程. 【详解】易得定点，圆的标准方程为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为圆与圆外切，所以， 所以由双曲线定义知：动圆圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的左半支. 因为，所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 8．（24-25高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的值，设出双曲线方程，将点坐标代入，计算参数即可． （2）结合已知双曲线，设出所求双曲线方程，代入点的坐标，计算参数，即可求出答案． 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）设所求双曲线的方程为． 双曲线过点， ， 解得或（舍去）． 双曲线的标准方程为． 【考点2：双曲线的焦点三角形问题】 【知识点：双曲线的焦点三角形问题】 (1)双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理． (2)以双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 ①||PF1|－|PF2||＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. ③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ. 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知双曲线的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P．若，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】设与渐近线交于M，由对称性知且，在直角中可求得，再由求得. 【详解】设与渐近线交于M， 则， 所以， 由O，M分别与的中点， 知且，即， 由得，所以． 故答案为：4 2．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义计算可得. 【详解】由双曲线的定义知，， 两式相加得，又，， 则， 故的周长为. 故答案为： 3．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（    ） A．5 B．16 C．21 D．26 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：，即， 所以的周长. 故选：D. 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知双曲线的左、右焦点分别是，．若双曲线上一点使得，求的面积． 【答案】 【分析】结合双曲线定义，余弦定理可求，再根据三角形面积公式求的面积. 【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距为， 由得，，． 由双曲线的定义和余弦定理得 ， ， 所以， 所以， 所以． 5．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上. (1)求双曲线方程； (2)若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程得，根据点在双曲线上列方程，最后解方程组得出双曲线的方程； （2）根据双曲线定义和列方程组求解，再根据三角形面积公式计算面积可得出答案. 【详解】（1）由题知，解得， 所以双曲线C的方程为： （2） 根据双曲线的定义得， 解方程得， 【点睛】 考查双曲线方程求解及焦点三角形的面积求解，属基础题. 6．（23-24高二下·新疆和田·期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】 （1）利用双曲线参数关系及点在双曲线上列方程求，即得方程； （2）根据所得双曲线方程确定，且到轴距离为，结合三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）由且，则， 又点在双曲线上，则， 综上，，即双曲线的方程为. （2）由（1）知：，而到轴距离为， 所以的面积为. 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据直线过点，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率的值； （2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解. 【详解】（1）当时，， 则直线的方程为， 又双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点； 当时， 联立方程组， 得， ， 解得； 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； （2）由双曲线， 则，，， 又点在双曲线上，即，即， 在中， 由余弦定理， 即， 解得， 所以的面积. 8．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据直线过点，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率的值； （2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解. 【详解】（1）当时，， 则直线的方程为， 又双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点； 当时， 联立方程组， 得， ， 解得； 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； （2）由双曲线， 则，，， 又点在双曲线上，即，即， 在中， 由余弦定理， 即， 解得， 所以的面积. 【考点3：双曲线的几何性质】 【知识点：双曲线的几何性质】 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 [方法技巧] 1．求双曲线离心率或其范围的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解． 2．双曲线的形状与e的关系 k＝＝＝＝，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔． [提醒]　求双曲线的离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围．　　 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】由题意得，解得． 故选：A. 2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程解得，再由离心率公式求解即可. 【详解】解：因为双曲线的一条渐近线为( )， 即， 所以渐近线的斜率为， 即， 解得， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 3．（江苏省“苏南十校联考”2025届高三10月联考数学试题）已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合点M在C上即可求解. 【详解】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以 故选：B. 4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 双曲线的渐近线方程为，即， 因为， 所以圆心到双曲线的渐近线的距离， 所以，即，所以， 即该双曲线的离心率为. 故选：D. 5．（多选）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，则（    ） A．实轴长为2 B．离心率为 C．两渐近线夹角的正切值不存在 D．直线与曲线有且仅有一个公共点，则 【答案】ABC 【分析】根据双曲线的方程分别求出实轴长、离心率、渐近线即可判断ABC；联立直线与双曲线的方程，根据方程根的情况求解即可判断D. 【详解】由双曲线可得， 所以实轴长为，故A对； 离心率为，故B对； 令，可得渐近线方程为和，斜率分别为1和-1， 所以斜率之积为-1，所以两直线垂直，其夹角为，故两渐近线夹角的正切值不存在，故C对； 把直线代入双曲线中，消y，得, 当时，即时，直线与双曲线相交有一个交点， 当，时，即，解得，直线与双曲线相切，有一个交点， 所以直线与曲线有且仅有一个公共点，则或，故D错； 故选：ABC 6．（多选）（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（    ） A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 【答案】CD 【分析】利用定义分别写出椭圆和双曲线的长短半轴、实半轴虚半轴以及焦虑和离心率，就可以对四个选项进行判断了. 【详解】椭圆：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； 双曲线：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； ∵，∴选项A不正确； ∵，∴选项B不正确； ∵，∴选项C正确； ∵，∴选项D正确； 故选：CD 7．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知，分别为双曲线的左､右焦点，为上一点，且，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据直角三角形勾股定理，结合双曲线的定义可得解. 【详解】由已知，分别为双曲线， 设，， 又，，， 则， 则，即，， 又，即， 所以， 则双曲线方程为，其渐近线方程为， 故答案为：. 【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】 【知识点：与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法】 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围． [提醒]　求解与双曲线几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系 1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为6，且直线与双曲线的右支有交点，则当双曲线的离心率最小时，双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】法一：求出点关于直线的对称点，结合双曲线定义求出2a的最大值即可求解；法二：确定直线与双曲线相切时离心率最小,联立直线与双曲线利用判别式等于0即可求解. 【详解】解法一  由题，双曲线的半焦距，故双曲线的左、右焦点分别为，, 当双曲线的离心率最小时，取得最大值， 设直线与双曲线的右支的一个交点为，则最大． 记点关于直线的对称点为，则，解得， 所以．因为，又， 所以，所以，则双曲线的标准方程为． 解法二  由于双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大，离心率越小，双曲线的开口越小， 要保证直线与双曲线的右支有交点，则当双曲线的离心率最小时，与双曲线的右支相切, 与，联立得：， 则，解得，又，所以，， 则双曲线的标准方程为． 故答案为：. 2．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知双曲线C：1的左､右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q的面积为 . 【答案】 【分析】联立直线y=x+m与双曲线的方程，运用判别式大于0和韦达定理，由弦长公式求得|PQ|，求出|PQ|的最小值，再由四边形F1PF2Q为平行四边形，结合点到直线的距离公式，计算四边形F1PF2Q的面积即可. 【详解】由，可得， 则， 设P，Q的横坐标分别为x1，x2， 可得， 则 ， 当且仅当m=0时，|PQ|取得最小值4， 当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q为平行四边形， 由F2（3，0）到直线y=x的距离为， 所以四边形F1PF2Q的面积为. 故答案为：12. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系.属于中档题.根据题意先确定的取值.是解本题的关键. 3．（2024·山东泰安·一模）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积． 【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，， 的周长为， 由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线， ，，直线的方程为， 即代入整理得， 解得或（舍），所以点的纵坐标为， . 故选：D. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式法；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知是双曲线的左焦点，是右支上一点，，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的方程求出，，求出，设右焦点为，由双曲线的定义可得：的周长为，当、、共线时，周长最小，联立直线与双曲线的方程求得点坐标，再由即可求解． 【详解】由双曲线的方程可得，，因为， 所以，设双曲线的左焦点为， 由双曲线定义知，， 所以的周长为， 要使的周长最小，则最小，即、、共线， 因为，，所以直线的方程为， 即代入整理得， 解得：或（舍），所以点的纵坐标为， 所以， 故选：． 5．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示的为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．杯子整体可以近似看作是双曲线的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上杯口外直径为，下底座外直径为，杯身最细之处到上杯口的距离是到底座下边缘距离的2倍，若双曲线C的离心率为2，则唐·金筐宝钿团花纹金杯高是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】分析可设、在双曲线上，将这两点的坐标代入双曲线方程，结合离心率求、、m，进而可求得唐·金筐宝钿团花纹金杯高. 【详解】设金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，杯身最细处到上杯口的距离是到下底座距离的倍． 所以，，，且、都在双曲线上，离心率， 所以，，解得，则杯高为. 故选：C． 6．（23-24高三上·北京房山·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定最小时，点的位置，进而求出的关系即得. 【详解】双曲线C：的渐近线为，由对称性不妨令点在第二象限， 由双曲线定义得，当且仅当为线段与双曲线的交点时取等号， 因此的最小值为的最小值与的和，显然当与渐近线垂直时， 取得最小值，而平行于渐近线，于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即， 则双曲线的渐近线方程为，显然选项ABD不满足，C满足， 所以双曲线C的方程可能是. 故选：C 7．（多选）（24-25高二·全国·课后作业）（多选）已知双曲线，则（    ） A．离心率的最小值为4 B．当时离心率最小 C．离心率最小时双曲线的标准方程为 D．离心率最小时双曲线的渐近线方程为 【答案】CD 【分析】由双曲线的方程可得，的值，进而求出的值，再求双曲线的离心率，由均值不等式可得离心率的最小值及此时的值，判断四个选项的正确与否 【详解】由题意可得． 因为，所以，即， 当且仅当，即时取等号． 此时双曲线方程是，渐近线方程是． 故选：CD 8．（多选）（23-24高二上·广东茂名·期末）若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（    ） A．过点F的最短的弦长为 B．双曲线C的离心率为 C．双曲线C上的点到点F距离的最小值为2 D．双曲线C的渐近线为 【答案】BCD 【分析】根据题中条件求得双曲线方程，再根据性质逐项分析即可. 【详解】依题知，，则， 所以双曲线的方程为，且 对于A，当直线的斜率为零时，该直线截双曲线的弦长为， 故A错误； 对于B，双曲线的离心率，故B正确； 对于C，设双曲线上任意一点， 则， 则， 又的对称轴为， 故当时，，故C正确； 对于D，双曲线方程知，渐近线方程为， 故D正确； 故选：BCD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 双曲线 【考点1：双曲线的定义与标准方程】 1 【考点2：双曲线的焦点三角形问题】 3 【考点3：双曲线的几何性质】 6 【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】 7 【考点1：双曲线的定义与标准方程】 【知识点：双曲线的定义】 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 【知识点：双曲线的标准方程】 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)； (2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 待定系数法求双曲线方程的五种类型 类型一 与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0) 类型二 若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0) 类型三 与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2<k<a2) 类型四 过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn>0)或者＋＝1(mn<0) 类型五 与椭圆＋＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<λ<a2) 1．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（   ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 3．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 4．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 . 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动圆与直线恒过同一定点，且与圆外切，求动圆圆心的轨迹方程. 8．（24-25高二下·全国·课堂例题）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点； 【考点2：双曲线的焦点三角形问题】 【知识点：双曲线的焦点三角形问题】 (1)双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理． (2)以双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则 ①||PF1|－|PF2||＝2a. ②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ. ③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ. 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知双曲线的离心率为，左，右焦点分别为，关于C的一条渐近线的对称点为P．若，则的面积为 ． 2．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与左支交于两点，若，且双曲线的实轴长为，则的周长为 . 3．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（    ） A．5 B．16 C．21 D．26 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知双曲线的左、右焦点分别是，．若双曲线上一点使得，求的面积． 5．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上. (1)求双曲线方程； (2)若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点满足，求的面积. 6．（23-24高二下·新疆和田·期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)求的面积. 7．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 8．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【考点3：双曲线的几何性质】 【知识点：双曲线的几何性质】 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 [方法技巧] 1．求双曲线离心率或其范围的方法 (1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解． 2．双曲线的形状与e的关系 k＝＝＝＝，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔． [提醒]　求双曲线的离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围．　　 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线的一条渐近线为，则其离心率为（    ）． A． B． C． D． 3．（江苏省“苏南十校联考”2025届高三10月联考数学试题）已知双曲线，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，若，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，则（    ） A．实轴长为2 B．离心率为 C．两渐近线夹角的正切值不存在 D．直线与曲线有且仅有一个公共点，则 6．（多选）（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（    ） A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 7．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知，分别为双曲线的左､右焦点，为上一点，且，，，则双曲线的渐近线方程为 . 【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】 【知识点：与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法】 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围． [提醒]　求解与双曲线几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系 1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为6，且直线与双曲线的右支有交点，则当双曲线的离心率最小时，双曲线的标准方程为 ． 2．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知双曲线C：1的左､右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q的面积为 . 3．（2024·山东泰安·一模）已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三·全国·专题练习）已知是双曲线的左焦点，是右支上一点，，，当周长最小时，该三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示的为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．杯子整体可以近似看作是双曲线的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上杯口外直径为，下底座外直径为，杯身最细之处到上杯口的距离是到底座下边缘距离的2倍，若双曲线C的离心率为2，则唐·金筐宝钿团花纹金杯高是（    ） A．4 B． C．6 D． 6．（23-24高三上·北京房山·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为双曲线C左支上一动点，为双曲线C的渐近线上一动点，且最小时，与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高二·全国·课后作业）（多选）已知双曲线，则（    ） A．离心率的最小值为4 B．当时离心率最小 C．离心率最小时双曲线的标准方程为 D．离心率最小时双曲线的渐近线方程为 8．（多选）（23-24高二上·广东茂名·期末）若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（    ） A．过点F的最短的弦长为 B．双曲线C的离心率为 C．双曲线C上的点到点F距离的最小值为2 D．双曲线C的渐近线为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$