双曲线 专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

题目类型一：利用双曲线的定义 1.A 【分析】延长FM交PF,于点Q,可知aPMF,aPMQ,结合双曲线定义可知QF=6,再利用 三角形中位线可知OM=3,可知M为圆的方程. 【详解】不妨假设P在双曲线左侧， 延长FM交PE,于点Q,因为LE,PM=LQPM,LPMF,=LPMQ,PM=PM .△PMF,=aPMQ 由双曲线定义可知：PF,-PF=PF,-PQ=2a=6,可知QF=6, 又因为M为FQ的中点，O为EE的中点，所以OM为△QFF中位线， 所以OM=Q=3,M的轨迹为以0为圆心，3为半径的圆。 所以M的轨迹方程为：x2+y2=9 故选：A 2.A 【分析】求出两圆圆心与半径后，结合外切定义与双曲线的定义可得答案 【详解】设动圆的圆心为P,半径为r,而圆x2+y2=1的圆心为0(0,0)，半径为1； 圆x2+y2-8x+12=0,即(x-4)2+y2=4的圆心为F(4,0),半径为2； 依题意得PF=2+r,P0=1+r,则PF-P0=(2+r)-(1+r)=1<F0=4, 所以点P的轨迹是双曲线的一支· 故选：A 3.B 【分析】利用双曲线的定义求解，结合焦半径的范围得到MF,的值 试卷第1页，共3页 【详解】：焦距为10,2c=10,c=5,:c2=a2+b2,.a2=25-16=9, a=3,:M是双曲线上的一点，MF-MF=2a=6, MF=7,MF-7=6,MF=13或MF2=1, ME≥c-a=5-3=2,MF=1舍去，MF=13 故选：B. M F2 4.B 【分析】根据垂直平分线的性质，可得QA-QP=QA-QB=AP=2<6=AB,结合双 曲线的定义，可得a,c的值，根据a,b,c的关系，即可求得答案 【详解】因为圆心A(-3,0),B(3,0),所以AB=6, 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q, 所以QP=QB, 所以2A-QP=2A-2B=AP=2<6=AB, 所以Q点轨迹为双曲线，且2a=2,2c=6, 所以62=c-a2=8,则Q点的轨迹方程为x2-上=1 8 B 故选：B 5.B 试卷第1页，共3页 【分析】设F,F2,P,将条件中的等式转化为PF-PF=4,即动点P的轨迹为双曲线， 然后得到双曲线的a,c,求出b,即可写出双曲线方程 【详解】设F-4,0),F(4,0),点P(x,y), 则PF=Vx+42+y2，PF=x-42+y2, .PF-PF2 =4, 由双曲线的定义可知，动点P的轨迹为双曲线，焦点为F,(-4,0),F4,0), 2a=4,a=2,c=4,则b2=c2-a2=12, :动点P的轨迹为双曲线方程为：二-二=1. 412 故选：B 6.A 【分析】设P(x,y),根据圆过点A(-4,0)及与圆B外切得PB=PA+4,利用双曲线的定 义即可求解轨迹方程 【详解】设动圆圆心为点P(x,y),连接PB,PA,则PB=PA+4,则 PB-PA=4<AB =8, 所以点P的轨迹是以A(-4,0),B(4,0)为焦点，且实轴长为4的双曲线的左支， 设双曲线的实半轴长为a,虚半轴长为b,则a=2,b2=42-a2=12. 所以动圆圆心的轨迹方程为_y =1x≤-2. 412 故选：A 题目类型二利用双曲线定义求最值 7.B 【分析】根据双曲线的定义与性质计算即可 【详解】由题意可知F-4,0),F2(4,0),a2+12=42,a2=4,a=2, 双曲线上任一点P(x,yx≥2)到右焦点(4,0)的距离 试卷第1页，共3页 =-7-a管-22. 当且仅当x=2时取得等号，即MF,≥2 由双曲线的定义可知ME-MF=2a=4,∴MF=9或MF,=1(舍去) 故选：B 8.D 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由题意得 PF=6 PF2 PF-P=2a=10'得PF=2. 故选：D 9.B 【分析】求出下焦点F的坐标，由双曲线的定义可得PF+PA=2a+PF+PA≥2a+AF, 由图知，当A,P,E三点共线(P在线段AF上)时，PF+PA的值最小，计算即得. 【详解】由上 45=1,得a=2,b=5,ic=a+6=3, 所以上焦点F(0,3,则下焦点为F,(0,-3,又A(3,1, 由双曲线的定义得PF+PA=2a+PE+P4≥2a+AEl=4+V32+1+32=9, 由图知，当A,P,E三点共线(P在线段AF上)时，PF+PA取得最小值9. 故选：B. 10.C 【分析】根据双曲线的渐近线方程可求得a,b的关系，进而求得a的值，由双曲线定义进而 求得答案. 试卷第1页，共3页 【详解】因为双曲线-y =1的一条渐近线方程是4x+3y=0,且b=8, a264 所以8.4」 a3’a=6, ∴.PF-PF=2a=12, 又PF=15,a+c=6+V62+82=16,所以点P只在左支上， 所以PF-PF=12,即PF=27 故选：C 11.D 【分析】首先利用双曲线的定义转化PQ+PF=PQ+PF+2V2),再结合图象，求 PQ+PF,的最小值，再联立方程求交点坐标。 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 PO+PF=PO+(PF;+2V2)=PO+PF +2v20F,+2v2=22+22=4v2, 当且仅当Q,P,F,三点共线时等号成立 y=-x+ 而直线QF,的方程为y=-x+2,由 1x2-y2= 可符x}所以y号 所以点P的坐标为 31 22 31 所以当且仅当点P的坐标为 、2’2 时，P+PF的最小值为42 故选：D 12.B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解 【详解】由圆C2:x2+y2-4x+3=0可化为(x-2)2+y2=1,则C,（2,0),半径为1， 因为F是C的下焦点，则F0,-⑤， 试卷第1页，共3页 由双曲线定义可得MF-MF=4, 所以MF+MN=MF+MN+4≥C,F-1+4=6, 当且仅当C2,N,F,M四点共线时，取得最小值，即MF+MN的最小值是6 故选：B 题目类型三：双曲线中的焦点三角形 13.D 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得BF,=2a,从而得BF=4a,由余弦定理求得 cos∠BF,E,由诱导公式得cos∠AF,E,设AF,=m,则AF=m+2a,再由余弦定理求得 m,从而利用余弦定理求解即可 【详解】因为双曲线E的离心率为√2，所以c=√2a,因为AB=AF, 所以BF,=AB-AF,=AF-AF,=2a, 由双曲线的定义可得BF-BF2=BF-2a=2a, 所以BF=4a=2BF, 在△BFE中， 由余弦定理得cos∠B5,R=1B,+EE-Br_4a2+8a'-16aV5 2BFFF 2×2a×2V2a 4 在aMFB中，cos∠RR,A=-c0s∠FEB=2 4 设AF2=m,则AF=m+2a, 试卷第1页，共3页 由AE=EE+AEP-2 FFAFCOS∠FEA 得(2a+m-(22a'+m2-2x2Vaxm× 4 解行m子，所以H如。 3 64a264a2 所以cos∠BA=M5+AB-BF_O9+ -16a2 9 、1 2AF AB 2x 8a,8a P 33 故选：D. 14.A 【分析】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可 b2 【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，SAs an∠FPE 2 由题意，PF-PF=2a,EF,=2c, 则aPFE,中， 由余弦定理可得： FFP=PF+PFP-2PFPF:COS ZFPF:=(PF-PF)+2PFPF:-2PFIIPF COs ZFPF3 =(IPFI-IPF:)+2PFIIPF(1-COS ZFPF:), -(PEI-PE(2-(2a 2b2 2(1-cos∠EPF)2(1-cos∠FPF)1-cos∠FPE 所以Ss-PRP听sin∠rPR=1--cosZFPF b2 sin∠FPF b2.2sin∠PF cos∠EPE 2 63 1-1-2sin2∠PE tan ZFPE 2 2 b2 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知S所5= mFR565.解得=18， b2 2 即b=3V2. 故选：A 试卷第1页，共3页 15.B 【分析】由OA=O=O=FR,待sPFR为直角三角形，限据双前线定义，再利用 S=25侧PEP,以及与服定理建立符量关系审可求解 【详解】双曲线C子片0>0，b>0的左、石焦点分别为人，飞 所以O为FE的中点，又因为△POF,的面积为2，所以△PFF,的面积为4. oPl=lor,所以oP=los=lorl=F, 所以△PFF为直角三角形，且PF⊥PF, 设PE=m,PF=n,所以m-n=2a,m2+n2=4c2, 所以m2-2mn+n2=4a2,所以2mn=4c2-4a2=4b2,所以mn=2b2, 所以m%=方m=×2次==4，又6>0，所以6=2 1 故选：B 16.C PRI-IPF=2a 【分析】由题意得到 PP-1 ,求解即可. PE+PE=FF=4c2 【详解】如图： 试卷第1页，共3页 PF-PF=2a 设C的焦距为2c,由题意得 PFPE-1s IPE+PE"=FF"=4c xPE+IPE=(IPEI-IPE)+2PEIPE, 可得4c2=4a2+72→4c2-4a2=4b2=72,得b2=18→b=3√2 故选：C 17.D 【分析】根据双曲线的定义与性质结合直角三角形的性质构造齐次式计算即可. 【详解】连接AF,:△ABF,为等边三角形，.∠AF,B=60 ∠0AF2=∠AF,E=30°，∠AF0=∠A0E=60°，从而∠FAF2=90°， 4-F=e4-9F-e 由双曲线定义得AF-AF=V3c-c=2a, 双曲线E的离心率为e=￡=2=5+1， a5-1 故选：D VA F 18.A 【分析】根据双曲线定义将AF用AF表示，再根据垂直关系，即可求解 【详解】 试卷第1页，共3页 因为父-苦-1，所以有=，6=2：e=:5, 所以EE=2c=25, 根据双曲线的定义，AF-AF=2a=2, 设AF=m,则AF=m+2,又因为AE山AF, 所以AF+AE=EE,即(m+2}2+m2=20, m2+2m-8=0,解得m=2或m=-4(舍去) 所以A=2. 故选：A 19.A 【分析】结合双曲线定义可计算出PF、PF,,再求出EF,后可得PF⊥FF,即可得解 【详解】由双曲线定义可知PF-PF=2, 又5PF=3PF,则PF<PF,则PF=2+PF, 故5PF=3(2+PE,解得PF=3,则PF=5, 又EF=2N1+3=4,由32+4=52，故PF⊥EF, 试卷第1页，共3页平面内到两个定点F,F的距离的差的绝对值等于常数2a(2a<|F5)的点P的轨蓬 叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 当PF1一PF=2a2a<FF时，点P的轨蓬为靠近F的双曲线的一支， 定 当PF-PF=-2a2a<FF列时，点P的轨连为靠近F的双曲线的一支 义 若2a=2c,则轨迹是以F1,F为瑞点的两条射线； 若2a>2c,则轨迹不存在；若2a=0,则轨蓬是线段FF:的垂直平分线 标准方程 d8 =1(a>0,b>0) 图形 范国 2a或·a ys·a或y2a 对称性 对称轴：坐标轴：对称中心：原点 顶点 顶点坐标：41(-a0),4(a0)顶点坐标A(0,·),A(0, 双 曲 ⊙ 轴长 实轴长：2a:虚轴长：2b 线 质 新近战 ⅓ a 好 离心率 ea,四脚aP 0,b,c间的关 =+(000.cb>0) 性质 “焦点位置看正负，焦点随着正的跑” 定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定 义，确定2a,2b或2c,从而求出a2,b,写出双曲线方程 待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程， 再由条件确定，B的值，即“先定型，再定量”， 标准方 程的方法 如柔焦点位直不好痛定，可将双肉钱方程设为兰一1（人卡0）。门 再根据条件求入的值. 题目类型一：利用双曲线的定义 1.已知双曲线女_上-1的两焦点分别为R、B,P为双曲线上一动点，过点E作∠FPF,平 916 分线所在直线的垂线，则垂足M的轨迹方程为() A.x2+y2=9B.x2+y2=16 C.x2-y2=9 D.x2-y2=16 试卷第1页，共3页 2.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆的圆心在() A.双曲线的一支上 B.一个椭圆上 C.一条抛物线上D. 一个圆上 3.双曲线号-二-1a>0)的两个焦点分别是斤，F,焦距为10：M是双曲线上的一点， a216 且MF=7,则MF的值为() A.1 B.13 C.1或13 D.3 4.已知圆A:(x+3)2+y2=4,B(3,0),点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线 PA的交点为Q,则Q点的轨迹方程为() Ar-若-ceB-号 c.2-=12D.x2- 6 61 5.方程√c-42+y-Vx+42+y2=±4的化简结果为() A.-y=1 C.y2x2 124 4121 6.一动圆过定点A-4,0),且与圆B:（x-4)+y2=16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为 () A.-=1川x≤-2 B.y2 x2 412 412=1(y≤-2) 412 题目类型二利用双曲线定义求最值 7.双曲线兰-亡=1>0)的两个焦点分别是F与F,焦距为8，M是双曲线上的一点， a212 且MF=5,则MF的值为() A.1 B.9 C.1或9 D.以上答案都不对 8.已知F,B分别是双曲线C:- =1的左、右焦点，P是C上一点，且PF=6PF,,则 2511 PF=() A.5 B.4 C.3 D.2 试卷第1页，共3页 9.已知F是双曲线上_=1的上焦点，点P是双曲线下支上的动点，点A3,1),则 45 PF+PA的最小值为() A.11 B.9 C.√13 D.5 10.设P是双曲线号后1上一点，该双南线的一条等近线方程是红+30，万，5分 别是双曲线的左、右焦点，若PF=15,则PF,等于() A.3 B.9 C.27 D.3或27 11,已知双曲线x2-y2=2的左，右焦点分别为F,F2,点P在双曲线的右半支上，点 Q(0,2),则P+PF的最小值为() A.2√2 B.4 C.6 D.4W2 12,已知点F是双曲线G:号=1的上焦点，M是G下支上的一点，点N是圆 C,:x2+y2-4x+3=0上一点，则MF+MN的最小值是() A.7 B.6 C.5 D.42-1 题目类型三：双曲线中的焦点三角形 1品.已知双曲线E:兰若=1a>0b>0的左、右焦点分别为，5，过点5的直线与风 曲线E的右支交于A,B两点，若AB=AF,且双曲线E的离心率为√2，则cos∠BAF= () A B. 、3 C.s 1 4 D8 试卷第1页，共3页 14.已知.B是双曲线C:若茶-1口>0,6>0的两个焦点，P为C上一点，且 ∠RP职=，若aPRE的面积是65，则b=（) A.3√2 B.3V5 C.√6 D.26 15.已知双曲线C三茶=K0>06>0的左、右焦点分划为r5,0为坐标原点，点P足 双曲线C上的一点，OP=OF,且△POF,的面积为2，则实数b=() A.√5 B.2 C.4 D.2√2 6已知，5分别足双谁线C号若=a>06>0的5、看套点，点P在C上，且 PF⊥PF,△PFF的面积为18，则b=() A.9 B.18 C.32 D.6N2 7,已知F.5分别是双曲线：若茶=川a>0,6>0)的左，右焦点，A和B是以O为屑心、 以OF,为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△ABF,为等边三角形，则双曲线E的离 心率为() A.√5 B.√5 C.5+1 D.√5+1 18.设0为坐标原点，F、F是双曲线C:x-上=1的两个焦点，点A在双曲线C的右支 上，且AF L AF,则AF=() A.2 B.3 C.4 D.6 19.设万，E分别是双曲线x2-上=1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且 3 5PF=3PF,,则△PFF的面积等于() A.6 B.10 C.12 D.15 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页