第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 章节测试练习卷 - 2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．3，6，9 B．5，6，10 C．5，6，11 D．1，4，7 2．一个三角形的三边长分别为3，5，x，若x为偶数，则这样的三角形有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（　　） A．E，H两点之间 B．E，G两点之间 C．F，H两点之间 D．A，B两点之间 5．从七年级二班选取四名同学（这四名同学分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，冠军将代表班级参加学校的比赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为： 甲：C得亚军；D得季军； 乙：D得冠军；A得亚军； 丙：C得冠军；B得亚军． 已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠军为（　　） A．A B．B C．C D．D 6．三根小棒长度的比是，如果用这三根小棒首尾相连围一个三角形，那么结果是（ ） A．围一个等腰三角形 B．围一个钝角三角形 C．围不成三角形 7．如图，已知△ABC中，∠BAC＝130°，现将△ABC进行折叠，使顶点B，C均与顶点A重合，则∠DAE＝（  ） A．80° B．90° C．100° D．110° 8．有两根木棒长分别为10cm和18cm，要钉成一个三角形木架，则下列四根木棒应选取(   ) A．8cm B．12cm C．30cm D．40cm 9．下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（    ）    A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．如图，已知△ABC的一个外角等于120°，∠B＝40°，则∠C的度数是 ． 12．如图，已知D，E，F分别为的中点，若四边形的面积为15，则的面积为 ． 13．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝50°，那么∠1的度数为 ． 14．如图；在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为728．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） （1）线段与线段的比值 ； （2）的面积是 ． 三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．当时，代数式的值分别是7，5，5，7，11，它们都是质数，那么，命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”是真命题吗？ 16．如图，已知：P是内一点．求证：． 17．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 18．下列各组数分别表示三根木棒的长度，试判断以它们为边能否组成三角形． (1)4，5，6； (2)6，8，15； (3)7，5，12； (4)3，7，13． 19．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？ 20．如图所示 (1)建立合适的平面直角坐标系画出、、，，相应点的坐标 (2)连接，求出的面积． 21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)平移，使点移到点的位置，点、的对应点分别记作点、，请在图中画出平移后得到的； (2)借助网格，在图中画出的高，垂足为； (3)能使与面积相等的所有格点（不与点重合）有_____个． 22．在中，点在边上，， (1)如图1，求证：平分． (2)如图2，过点作直线，请直接写出、和的数量关系________． (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，交于点，，且，点在的延长线上，与延长线交于点，满足，若，连接，，，求线段的长． 23．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，在方格纸内将经过一次平移后得到 ，图中标出了点B的对应点．利用网格点和三角板画图或计算：    (1)在给定方格纸中画出平移后的； (2)连接线段，则线段与的关系是 ． (3)求出的面积 (4)在已知格点中找一点P(不与B重合)，使得，符合条件的点P有 ． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．3，6，9 B．5，6，10 C．5，6，11 D．1，4，7 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A错误； B、，能构成三角形，故B正确； C、，不能构成三角形，故C错误； D、，不能构成三角形，故D错误． 故选B． 2．一个三角形的三边长分别为3，5，x，若x为偶数，则这样的三角形有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 即， ∵x为偶数， ∴x取4，6， 即这样的三角形有2个． 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 3．下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形具有稳定性判断即可． 【详解】因为三角形具有稳定性 选项中，只有C被分割成了三个三角形 所以C正确 故选：C． 4．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（　　） A．E，H两点之间 B．E，G两点之间 C．F，H两点之间 D．A，B两点之间 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】根据三角形的稳定性进行判断． 【详解】A．若钉在E，H两点之间构成了三角形，能固定窗框，故符合题意； B．若钉在E，G两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意； C．若钉在F，H两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意； D．若钉在A，B两点之间不能构成三角形，不能固定窗框，故不符合题意； 故选A． 【点睛】考查三角形稳定性的实际应用．解题关键是利用了三角形的稳定性，判断是否稳定则看能否构成三角形． 5．从七年级二班选取四名同学（这四名同学分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，冠军将代表班级参加学校的比赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为： 甲：C得亚军；D得季军； 乙：D得冠军；A得亚军； 丙：C得冠军；B得亚军． 已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠军为（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】假设甲前半句正确，则后半句错误，推出矛盾，假设不成立，可知D得季军，再根据乙、丙的预测得到答案． 【详解】解：假设甲前半句正确，则后半句错误，即C得亚军；D不是季军，则乙的前半句正确，后半句错误，即D得冠军；A不是亚军；则丙的前半句错误，后半句正确，即C不是冠军；B得亚军， 产生矛盾，假设不成立，即D得季军， 即由甲的预测得到D得季军，由乙的预测可知A得亚军，由丙的预测可知C得冠军， 故选：C 【点睛】此题考查了逻辑推理与论证，假设甲前半句正确，则后半句错误是解题的关键． 6．三根小棒长度的比是，如果用这三根小棒首尾相连围一个三角形，那么结果是（ ） A．围一个等腰三角形 B．围一个钝角三角形 C．围不成三角形 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】此题考查了三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边的差小于第三边”是解题的关键． 根据三角形三边关系求解即可． 【详解】三角形三边关系是：任意两边之和大于第三边，任意两边的差小于第三边，三根小棒长度的比是， 设三边分别为，，， ， 这三根小棒不能围成三角形， 故选：C． 7．如图，已知△ABC中，∠BAC＝130°，现将△ABC进行折叠，使顶点B，C均与顶点A重合，则∠DAE＝（  ） A．80° B．90° C．100° D．110° 【答案】A 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】根据折叠得到，结合三角形内角和求出的度数． 【详解】解：在中，， ∵折叠， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到角相等． 8．有两根木棒长分别为10cm和18cm，要钉成一个三角形木架，则下列四根木棒应选取(   ) A．8cm B．12cm C．30cm D．40cm 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可． 【详解】解：∵18﹣10＝8，10+18＝28， ∴8＜第三根木棒＜28，符合的只有B中的12cm． 故选B． 【点睛】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 9．下列命题：①直角三角形两锐角互余；②全等三角形的对应角相等；③两直线平行，同位角相等：④对角线互相平分的四边形是平行四边形．其中逆命题是真命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可． 【详解】①直角三角形两锐角互余逆命题是如果三角形中有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形，是真命题； ②全等三角形的对应角相等逆命题是对应角相等的两个三角形全等，是假命题； ③两直线平行，同位角相等逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题： ④对角线互相平分的四边形是平行四边形逆命题是如果四边形是平行四边形，那么它的对角线互相平分，是真命题． 故选C． 【点睛】本题考查了写一个命题的逆命题的方法，首先要分清命题的条件与结论． 10．如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE 平分∠CAD，交 BC于点 E，过点 E 作 EF∥AC，分别交 AB、AD 于点 F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF； ③∠BAE＝∠BEA； ④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（    ）    A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的角平分线 【分析】利用高线和同角的余角相等,三角形内角和定理即可证明①,再利用等量代换即可得到③ ④均是正确的,②缺少条件无法证明. 【详解】解：由已知可知∠ADC=∠ADB=90°, ∵∠ACB＝∠BAD ∴90°-∠ACB=90°-∠BAD,即∠CAD=∠B, ∵三角形ABC的内角和=∠ACB+∠B+∠BAD+∠CAD=180°, ∴∠CAB=90°,①正确, ∵AE平分∠CAD,EF∥AC， ∴∠CAE=∠EAD=∠AEF,∠C=∠FEB=∠BAD,②错误, ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE,∠BEA=∠BEF+∠AEF, ∴∠BAE＝∠BEA,③正确, ∵∠B=∠DAC=2∠CAE=2∠AEF,④正确, 综上正确的一共有3个,故选B. 【点睛】本题考查了三角形的综合性质,高线的性质,平行线的性质,综合性强,难度较大,利用角平分线和平行线的性质得到相等的角,再利用等量代换推导角之间的关系是解题的关键. 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共4题，每题3分，满分12分） 11．如图，已知△ABC的一个外角等于120°，∠B＝40°，则∠C的度数是 ． 【答案】80° 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵∠B+∠C=∠CAD，∠CAD=120°，∠B=40°， ∴∠C=∠CAD-∠B=80°， 故答案为：80°． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和． 12．如图，已知D，E，F分别为的中点，若四边形的面积为15，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先得到，，，进而得到，再由四边形的面积为15得到，据此求出，则． 【详解】解：∵是的中点， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点D为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为15， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上，如果∠2＝50°，那么∠1的度数为 ． 【答案】20°． 【分析】根据平行线性质和三角形外角性质可求解. 【详解】如图，∵m∥n， ∴∠3＝∠2＝50°， ∵∠3＝∠1+30°， ∴∠1＝50°﹣30°＝20°． 故答案为20° 【点睛】考核知识点：三角形的外角.利用平行线性质和三角形外角性质可求解. 14．如图；在中，、、和四边形的面积都相等．若，的面积为728．（注：符号“△”表示“三角形”三个字） （1）线段与线段的比值 ； （2）的面积是 ． 【答案】 /0.6 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查的是比的应用，等底等高的两个三角形的面积之间的关系； （1）设、、和四边形的面积都为1份；可得的面积为份，的面积为份，再进一步解答即可； （2）如图，连接，由，可得（份），（份），同理：，，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：（1）设、、和四边形的面积都为1份； ∵， ∴， ∵与是以，为底边，而高相同， 的面积为1份， ∴的面积为份， ∴的面积为份， ∴， ∵与是以为底边，而高相同， ∴； 故答案为： （2）如图，连接， ∵， ∴（份）， ∴（份）， 同理：，， ， ∴（份）， ∵的面积为728， ∴， 故答案为： 三．解答题：（本大题共9题，15-19题每题6分，20-23题每题7分，满分58分） 15．当时，代数式的值分别是7，5，5，7，11，它们都是质数，那么，命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”是真命题吗？ 【答案】不是真命题 【知识点】举例说明假（真）命题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】对于命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”是真命题，可以举出反例进行判断． 【详解】解：当时，代数式的值分别是7，5，5，7，11， 当时，代数式=，17是质数； 而对于所有自然数，式子的值不一定是质数 如当时，，25不是质数． 故当时，代数式的值都是质数，对于所有的自然数n,代数式的值不一定是质数． 故命题“对于自然数n，代数式的值都是质数”不是真命题 【点睛】此题考查了代数式求值，命题的真假．此题难度适中，注意掌握举反例法的应用是解此题的关键． 16．如图，已知：P是内一点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得，，然后求解即可. 【详解】连结AP并延长到D． （三角形的一个外角大于它不相邻的一个内角）， ，即． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的性质，熟记性质是解题关键. 17．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若，，，求的度数． 【答案】 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、两直线平行内错角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、邻补角定义、三角形内角和定理等知识，先由平行性质得到，再由邻补角定义及三角形内角和得到即可确定答案，数形结合，准确表示出各个角度是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则． 18．下列各组数分别表示三根木棒的长度，试判断以它们为边能否组成三角形． (1)4，5，6； (2)6，8，15； (3)7，5，12； (4)3，7，13． 【答案】(1)能 (2)不能 (3)不能 (4)不能 【知识点】构成三角形的条件 【分析】判断三根木棒能否组成三角形，可以用简便的方法判断：将两根比较短的木棒的长度之和与最长的木棒的长度比较．如果满足两根比较短的木棒的长度之和大于最长的木棒的长度，就可以判定这三根木棒能构成三角形，其他情形时（两根比较短的木棒的长度之和小于或等于最长的木棒的长度）就不能构成三角形． 【解】（1）∵，∴长度分别为4，5，6的三根木棒能构成三角形． （2）∵，∴长度分别为6，8，15的三根木棒不能构成三角形． （3）∵，∴长度分别为7，5，12的三根木棒不能构成三角形． （4）∵，∴长度分别为3，7，13的三根木棒不能构成三角形． 19．世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？ 【答案】一个队至少要积7分才能保证出线 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【详解】试题分析：易得小组赛的总场数为小组数×（小组数﹣1）÷2，可得4个队的总积分，进而分类讨论小组得6分或7分能否出线即可． 试题解析：解：4个队单循环比赛共比赛4×3÷2=6场，每场比赛后两队得分之和或为2分（即打平），或为3分（有胜负），所以6场后各队的得分之和不超过18分，①若一个队得7分，剩下的3个队得分之和不超过11分，不可能有两个队得分之和大于或等于7分，所以这个队必定出线，②如果一个队得6分，则有可能还有两个队均得6分，而净胜球比该队多，该队仍不能出线． 故一个队至少要积7分才能保证出线． 点睛：本题考查了比赛问题中的推理与论证；得到比赛的总场数以及相应的总积分是解决本题的突破点；分类探讨可以出线的小组的最低分是解决本题的难点． 20．如图所示 (1)建立合适的平面直角坐标系画出、、，，相应点的坐标 (2)连接，求出的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，正确的识别图形是解题的关键． （1）根据题意即可得到结论； （2）根据（1）的图形，利用割补法即可得到结论． 【详解】（1）解：建立合适的平面直角坐标系，描点如图： （2）如图：的面积为， 21．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)平移，使点移到点的位置，点、的对应点分别记作点、，请在图中画出平移后得到的； (2)借助网格，在图中画出的高，垂足为； (3)能使与面积相等的所有格点（不与点重合）有_____个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、画三角形的高 【分析】本题考查了作图，平移变换等知识点，掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的方式作图即可； （2）根据三角形高的定义作图即可； （3）利用同底等高的性质找出点即可． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图点即为所求： ∴能使与面积相等的所有格点（不与点重合）有个． 22．在中，点在边上，， (1)如图1，求证：平分． (2)如图2，过点作直线，请直接写出、和的数量关系________． (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，交于点，，且，点在的延长线上，与延长线交于点，满足，若，连接，，，求线段的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查三角形的内角和，平行性的性质，角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质的综合运用是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质可得，再根据题意中，由此即可求解； （2）根据三角形的内角和定理，平角为的性质可得，根据两直线平行，内错角相等可得，进行等量代换即可求解； （3）根据题意可证平分，由此可证，根据，可得，由此可求出的面积，再根据，可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示， ∵是的外角， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：，理由见详解， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 23．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在格点上，在方格纸内将经过一次平移后得到 ，图中标出了点B的对应点．利用网格点和三角板画图或计算：    (1)在给定方格纸中画出平移后的； (2)连接线段，则线段与的关系是 ． (3)求出的面积 (4)在已知格点中找一点P(不与B重合)，使得，符合条件的点P有 ． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)8 (4)7 【知识点】利用网格求三角形面积、利用平移的性质求解、平移(作图)、坐标与图形 【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）利用三角形的面积公式求解即可； （4）过点B作，直线与格点的交点即为所求，还有下方的一个点． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）由平移的性质可得，且； （3）； （4）如图，共有7个格点． 故答案为：7．    【点睛】本题考查的是作图-平移变换和三角形的性质，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$