八年级数学期中测试卷【沪科版，测试范围：第十一章～第十三章】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学上学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题。 2．测试范围：第十一章~第十三章（沪科版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）在平面直角坐标系中，点P（m2+2024，﹣1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（4分）若三角形的两边长是2cm和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（　　） A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm 3．（4分）若点A（1，a）和点B（4，b）在直线y＝﹣2x+m上，则a与b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．与m的值有关 4．（4分）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠BED的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 5．（4分）已知下列命题：①同位角相等；②有一个内角是直角的三角形是直角三角形；③若a＞0，b＞0，则a+b＞0，其中逆命题属于假命题的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（4分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（4分）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 8．（4分）如图，一次函数y1＝x与y2＝kx+b的图象相交于点P，则函数y＝（k﹣1）x+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．（4分）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（　　） A．B点表示此时快车到达乙地 B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地 C．快车的速度为 D．慢车的速度为125km/h 10．（4分）已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限．设S＝a+2b，则（　　） A．S有最大值 B．S有最小值 C．S有最大值6 D．S有最小值6 第II卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．（5分）函数y的自变量x的取值范围是　 　． 12．（5分）当1≤x≤5时，一次函数y＝﹣3x+b的最小值为﹣12，则b＝　 　． 13．（5分）如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F．若S△ABC＝24，BD＝4，则EF长为 　 　． 14．（5分）如图：点D、E分别是△ABC的AC、AB边上的点，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处． ①若∠1＝80°，∠2＝20°则∠A的度数为 　 　． ②若D，E始终保持在AC，AB边上时（不和点A重合），∠1＝m，∠2＝n，且∠A为锐角，当点A落在∠BAC内部时，则∠A＝　 　．（用含有m，n的代数式表示） 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）若y+2与x﹣3成正比例，且当x＝1时，y＝2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（2a﹣1，5）在此函数的图象上，求a的值． 16．（8分）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AH是△ABC边BC上的高，且∠ACB＝70°，∠ADC＝80°，求： （1）∠BAC的度数． （2）∠BAH的度数． 17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为B（﹣4，3），顶点C的坐标为C（﹣3，1）． （1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′； （2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标； （3）若点P（m，n）是△A′B′C′内部一点，则点P平移前对应点Q的坐标为　 　． 18．（8分）画出函数y＝2x+6的图象，结合图象： （1）求方程2x+6＝0的解； （2）求不等式2x+6＜0的解集； （3）若﹣2≤y≤3，直接写出x的取值范围． 19．（10分）已知函数y＝（1﹣2k）x﹣k，将该函数向下平移1个单位后，请解答下列问题． （1）若函数经过原点，求k的值； （2）若函数的图象平行于直线，求该函数图象与x轴交点坐标； （3）若函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，求k的取值范围． 20．（10分）在等腰△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和17两部分． （1）求AB和BC的长； （2）若AB＜BC，且点D到BC边的距离为4，求点D到AB边的距离． 21．（12分）如图，直线l1：y＝mx+4与x轴交于点B，点B与点C关于y轴对称，直线l2：y＝kx+b经过点C，且与l1交于点A（1，2）． （1）求直线l1与l2的解析式； （2）记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求△ADE的面积； （3）根据图象，直接写出0≤mx+4＜kx+b的解集． 22．（12分）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝　 　度，∠PBC+∠PCB＝　 　度，∠ABP+∠ACP＝　 　度； （2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由； （3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式． 23．（14分）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少b元，售价不变，且a﹣b＝4，若最大利润为4000元，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空4题，解答9题。 2．测试范围：第十一章~第十三章（沪科版）。 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）在平面直角坐标系中，点P（m2+2024，﹣1）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵m2≥0， ∴m2+2024＞0， ∴在平面直角坐标系中，点P（m2+2024，﹣1）一定在第四象限． 故选：D． 2．（4分）若三角形的两边长是2cm和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（　　） A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm 【分析】首先设三角形的第三边长为x cm，再根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边可得5﹣2＜x＜5+2，然后根据第三边的数值为奇数，确定第三边长的值，再求出周长即可． 【解答】解：设三角形的第三边长为x cm，由题意得： 5﹣2＜x＜5+2， 解得：3＜x＜7， ∵第三边的数值为奇数， ∴x＝5， ∴这个三角形的周长为：2+5+5＝12（cm）， 故选：B． 3．（4分）若点A（1，a）和点B（4，b）在直线y＝﹣2x+m上，则a与b的大小关系是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．与m的值有关 【分析】把点的坐标分别代入函数解析式，可用m分别表示出a和b，比较其大小即可． 【解答】解： ∵点A（1，a）和点B（4，b）在直线y＝﹣2x+m上， ∴a＝﹣2+m，b＝﹣8+m， ∵﹣2+m＞﹣8+m， ∴a＞b， 故选：A． 4．（4分）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠BED的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 【分析】根据三角形内角和定理结合外角的性质即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， ∠ABC＝45°，∠BCD＝30°， ∴∠BEC＝180°﹣45°﹣30°＝105°， ∴∠BED＝180°﹣∠BEC＝180°﹣105°＝75°． 故选：B． 5．（4分）已知下列命题：①同位角相等；②有一个内角是直角的三角形是直角三角形；③若a＞0，b＞0，则a+b＞0，其中逆命题属于假命题的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到各命题的逆命题，然后分别根据同旁内角的定义、平方根的定义、直角三角形的定义和有理数的性质判断四个逆命题的真假． 【解答】解：①同位角相等的逆命题为相等的角为同位角，此逆命题为假命题，符合题意； ②有一个内角是直角的三角形是直角三角形，它的逆命题为直角三角形有一个内角为直角，此逆命题为真命题，不符合题意； ③若a＞0，b＞0，则a+b＞0，它的逆命题为若a+b＞0，则a＞0，b＞0，此逆命题为假命题，符合题意． 假命题有2个， 故选：C． 6．（4分）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为∠A＝∠B∠C，所以∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形； ⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，∠A，所以△ABC为钝角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个， 故选：C． 7．（4分）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的解析式求得点P的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【解答】解：把点P（﹣2，n）代入得，n（﹣2）3， ∴P（﹣2，3）， ∵一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3）， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：B． 8．（4分）如图，一次函数y1＝x与y2＝kx+b的图象相交于点P，则函数y＝（k﹣1）x+b的图象可能是（　　） A． B． C． D．【分析】根据图象得到k＜0，b＞0，1，进一步得到k﹣1＜0，b＝﹣k，即可得出1，得到函数y＝（k﹣1）x+b的图象经过一二四象限，且直线y＝（k﹣1）x+b与x的交点的横坐标小于1． 【解答】解：∵y2＝kx+b的图象经过一二四象限， ∴k＜0，b＞0， ∴k﹣1＜0， ∵直线与x的交点为（1，0）， ∴1， ∴b＝﹣k ∴函数y＝（k﹣1）x+b的图象经过一二四象限， 令y＝0，则x1， ∴直线y＝（k﹣1）x+b与x的交点的横坐标小于1， 故选：A． 9．（4分）如图所示，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列说法中正确的是（　　） A．B点表示此时快车到达乙地 B．B﹣C﹣D段表示慢车先加速后减速最后到达甲地 C．快车的速度为 D．慢车的速度为125km/h 【分析】A、根据B点的纵坐标的意义回答问题； B、B﹣C﹣D段表示两车的车距与时间的关系； C、快车的速度； D、慢车的速度． 【解答】解：A、B点表示快车与慢车出发4小时两车相遇；故本选项错误； B、B﹣C﹣D段表示快、慢车相遇后行驶一段时间快车到达乙地，慢车继续行驶，慢车共用了12小时到达甲地；故本选项错误； C、快车的速度（km/h）；故本选项正确； D、慢车的速度（km/h）；故本选项错误； 故选：C． 10．（4分）已知过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限．设S＝a+2b，则（　　） A．S有最大值 B．S有最小值 C．S有最大值6 D．S有最小值6 【分析】根据题意得出a＞0，b≥0，即可推出当b＝0时，S＝a+2b有最小值，S的最小值为a，当b＝0时，直线y＝ax，把点（2，3）代入即可求得a的值，从而求得S的最小值． 【解答】解：∵过点（2，3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第四象限， ∴a＞0，b≥0， ∴当b＝0时，S＝a+2b有最小值为S＝a， 此时y＝ax， 把（2，3）代入得3＝2a，解得a， ∴S有最小值， 故选：B． 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．（5分）函数y的自变量x的取值范围是　x＞0　． 【分析】根据二次根式被开方数是非负数、分式的分母不为0列出不等式，得到答案． 【解答】解：由题意得，x＞0， 故答案为：x＞0． 12．（5分）当1≤x≤5时，一次函数y＝﹣3x+b的最小值为﹣12，则b＝　3　． 【分析】由1≤x≤5时，一次函数y＝﹣3x+b的最小值为﹣12，可得﹣12＝﹣15+b，即可解得答案． 【解答】解：在y＝﹣3x+b，﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵1≤x≤5时，一次函数y＝﹣3x+b的最小值为﹣12， ∴x＝5时，y＝﹣3x+b的值为﹣12，即﹣12＝﹣15+b， 解得b＝3， 故答案为：3． 13．（5分）如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，EF⊥BC于点F．若S△ABC＝24，BD＝4，则EF长为 　3　． 【分析】由S△ABDS△ABC，S△BDES△ABD，推出S△BDES△ABC，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABDS△ABC， ∵BE是△ABD的中线， ∴S△BDES△ABD， ∴S△BDES△ABC24＝6， ∵S△BDEBD•EF， ∴BD•EF＝6， 即4×EF＝6， 解得：EF＝3， 故答案为：3． 14．（5分）如图：点D、E分别是△ABC的AC、AB边上的点，将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A′处． ①若∠1＝80°，∠2＝20°则∠A的度数为 　30°　． ②若D，E始终保持在AC，AB边上时（不和点A重合），∠1＝m，∠2＝n，且∠A为锐角，当点A落在∠BAC内部时，则∠A＝　　．（用含有m，n的代数式表示） 【分析】（1）由题意得，∠ADE＝∠A′DE（180°﹣∠1），∠AED＝∠A′ED（180°+∠2），∠A＝180°﹣∠ADE﹣∠AED； （2）D，E始终保持在AC，AB边上，点A落在∠BAC内部，所以0°＜∠AEA′＜180°，0°＜∠ADA′＜180°，根据（1）的方法求得∠A． 【解答】解：①由于折叠，∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∵∠1＝80°，∠2＝20°， ∴∠ADE＝∠A′DE（180°﹣80°）＝50°，∠AED＝∠A′ED（180°+20°）＝100°， ∠A＝180°﹣100°﹣50°＝30°， 故答案为：30°； ②由于折叠，∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED， ∵D，E始终保持在AC，AB边上，点A落在∠BAC内部， ∴0°＜∠AEA′＜180°，0°＜∠ADA′＜180°， ∵∠1＝m，∠2＝n， ∴∠ADE＝∠A′DE（180°﹣m）＝90°，∠AED＝∠A′ED（180°﹣n）＝90°， ∴∠A＝180°﹣（90°）﹣（90°）， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分90分） 15．（8分）若y+2与x﹣3成正比例，且当x＝1时，y＝2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若点（2a﹣1，5）在此函数的图象上，求a的值． 【分析】（1）根据y+2与x﹣3成正比例，且当x＝1时，y＝2，可以得到y+2与x﹣3的函数关系式，通过变化可以得到y与x之间的函数关系式； （2）由点（2a﹣1，5）在此函数的图象上，可以得到a的值． 【解答】解：（1）∵y+2与x﹣3成正比例， ∴设y+2与x﹣3函数解析式为y+2＝k（x﹣3）， ∵x＝1时，y＝2， ∴2+2＝k（1﹣3）， 解得k＝﹣2， ∴y+2＝﹣2（x﹣3） 化简，得y＝﹣2x+4， 即y与x之间的函数关系式是y＝﹣2x+4； （2）∵点（2a﹣1，5）在此函数的图象上， ∴5＝﹣2（2a﹣1）+4 解得，a， 即a的值是． 16．（8分）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，AH是△ABC边BC上的高，且∠ACB＝70°，∠ADC＝80°，求： （1）∠BAC的度数． （2）∠BAH的度数． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠ACD＝35°，再根据三角形的内角和是180°即可求解； （2）由直角三角形的两锐角互余即可求解∠HAC，根据∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC，即可得解． 【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∠ACB＝70°， ∴∠ACD∠ACB＝35°， ∵∠ADC＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣35°﹣80°＝65°； （2）由（1）知，∠BAC＝65°， ∵AH⊥BC， ∴∠AHC＝90°， ∴∠HAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣70°＝20°， ∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC＝65°﹣20°＝45°． 17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（﹣1，4），顶点B的坐标为B（﹣4，3），顶点C的坐标为C（﹣3，1）． （1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′； （2）请直接写出点A′，B′，C′的坐标； （3）若点P（m，n）是△A′B′C′内部一点，则点P平移前对应点Q的坐标为　（m﹣5，n+4）　． 【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可； （2）根据图形得出坐标即可； （3）根据三角形的平移方法可得答案． 【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求： （2）A′（4，0），B′（1，﹣1），C′（2，﹣3）； （3）点P（m，n）是△A′B′C′内部一点，则点P平移前对应点Q的坐标为（m﹣5，n+4）； 故答案为：（m﹣5，n+4）． 18．（8分）画出函数y＝2x+6的图象，结合图象： （1）求方程2x+6＝0的解； （2）求不等式2x+6＜0的解集； （3）若﹣2≤y≤3，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）图象与x轴的交点坐标的横坐标就是该方程的解； （2）2x+6＜0就是函数的图象位于x轴的下方的部分对应的自变量的取值范围； （3）结合图象根据函数值的取值范围得到自变量的取值范围即可． 【解答】解：当x＝0时，y＝6， 当y＝0时，x＝﹣3， 函数y＝2x+6的图象如图所示： （1）观察图象知：该函数图象经过点（﹣3，0）， 故方程2x+6＝0的解为x＝﹣3； （2）观察图象知：当x＜﹣3时，y＜0， 故不等式2x+6＜0的解集为x＜﹣3； （3）当y＝3时，2x+6＝3，解得： 当y＝﹣2时，2x+6＝﹣2，解得：x＝﹣4； 如图所示， 观察图象知：当﹣2≤y≤3时，． 19．（10分）已知函数y＝（1﹣2k）x﹣k，将该函数向下平移1个单位后，请解答下列问题． （1）若函数经过原点，求k的值； （2）若函数的图象平行于直线，求该函数图象与x轴交点坐标； （3）若函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，求k的取值范围． 【分析】（1）将（0，0）代入y＝（1﹣2k）x﹣k﹣1，求出k即可； （2）由题意可得且﹣k﹣1≠1，求出k，再求出函数图象与x轴交点坐标即可； （3）由题意可列出不等式组，求出k的范围即可． 【解答】解：（1）∵函数y＝（1﹣2k）x﹣k，将该函数向下平移1个单位后，解析式为y＝（1﹣2k）x﹣k﹣1， 当函数y＝（1﹣2k）x﹣k﹣1经过原点，即过（0，0）， ∴（1﹣2k）×0﹣k﹣1＝0， 解得：k＝﹣1； （2）∵函数y＝（1﹣2k）x﹣k，将该函数向下平移1个单位后，解析式为y＝（1﹣2k）x﹣k﹣1， ∵函数y＝（1﹣2k）x﹣k﹣1的图象平行于直线， ∴且﹣k﹣1≠1， 解得：； ∴函数y＝（1﹣2k）x﹣k﹣1即为， 将y＝0代入， 得， 解得：x＝﹣5， ∴该函数图象与x轴交点坐标为（﹣5，0）； （3）∵函数y＝（1﹣2k）x﹣k，将该函数向下平移1个单位后，解析式为y＝（1﹣2k）x﹣k﹣1， 由于，函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为． 20．（10分）在等腰△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和17两部分． （1）求AB和BC的长； （2）若AB＜BC，且点D到BC边的距离为4，求点D到AB边的距离． 【分析】（1）分两种情况讨论，根据等腰三角形的性质列出方程即可解决问题； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为15和17两部分 ∴当AB+AD＝ACAC＝15时，解得AC＝10＝AB， ∴底边BC＝1710＝12， ∵10，10，12能构成三角形， ∴AB和BC的长分别为10，12； 当AB+AD＝ACAC＝17时，解得ACAB， ∴底边BC＝15， ∵，，能构成三角形， ∴AB和BC的长分别为，； 综上，AB的长为10或，BC的长为12或； （2）如图，过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AB于点N， ∵AB＜BC， ∴AB＝10，BC＝12， ∵BD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△BCD， ∴•AB•DNBC•DM， ∵点D到BC边的距离DM为4， ∴点D到AB边的距离DN． 21．（12分）如图，直线l1：y＝mx+4与x轴交于点B，点B与点C关于y轴对称，直线l2：y＝kx+b经过点C，且与l1交于点A（1，2）． （1）求直线l1与l2的解析式； （2）记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求△ADE的面积； （3）根据图象，直接写出0≤mx+4＜kx+b的解集． 【分析】（1）利用待定系数法求得两直线的解析式即可； （2）利用直线解析式求得D、E的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得； （3）根据图象即可求解． 【解答】解：（1）∵直线l1：y＝mx+4经过点A（1，2）， ∴2＝m+4， 解得：m＝﹣2， ∴l1：y＝﹣2x+4； ∴直线l1：y＝mx+4与x轴交点B（2，0）， ∴点C（﹣2，0）， ∵l2：y＝kx+b经过点A（1，2），C（﹣2，0）， ∴ 解得：， ∴l2：yx； （2）令x＝0，则y＝﹣2x+4＝4，yx， ∴E（0，4），D（0，）， ∴DE＝4， ∴△ADE的面积S； （3）观察图象，0≤mx+4＜kx+b的解集为1＜x≤2． 22．（12分）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝　125　度，∠PBC+∠PCB＝　90　度，∠ABP+∠ACP＝　35　度； （2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由； （3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式． 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求解即可． （2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题． （3）结论不成立．分三种情形讨论求解即可． 【解答】解：（1）由题意：∠ABC+∠ACB＝125度，∠PBC+∠PCB＝90度， ∠ABP+∠ACP＝35度． 故答案为125，90，35． （2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A． 理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC，∠ACB＝∠ACP+∠PCB， ∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）＝180°﹣∠A， ∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A， 又∵在Rt△PBC中，∠P＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∴（∠ABP+∠ACP）+90°＝180°﹣∠A， ∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A． （3）判断：（2）中的结论不成立． ①如图3﹣1中，结论：∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°． 理由：设AB交PN于O． ∵∠AOC＝∠BOP， ∴∠A+∠ACP＝90°+∠ABP， ∴∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°． ②如图3﹣2中，结论：∠A+∠ABP﹣∠ACP＝90°．证明方法类似① ③如图3﹣3中，结论：∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°． 理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠ABP+∠ACP+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠A＝∠P+∠ABP+∠ACP， ∴∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°． 23．（14分）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？ （3）在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少b元，售价不变，且a﹣b＝4，若最大利润为4000元，求a的值． 【分析】（1）根据总利润＝甲、乙两种服装利润之和列出函数解析式； （2）先确定自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值； （3）先写出y与x之间的函数关系式，再一次项系数大于0，等于0，小于0三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）由题意得：y＝（210﹣160）x+（150﹣120）×（100﹣x）＝20x+3000， ∴y与x之间的函数关系式为y＝20x+3000； （2）由题意得：， 解得60≤x≤75， ∵y＝20x+3000中，20＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝75时，y有最大值，最大值＝20×75+3000＝4500（元）． ∴最大利润为4500元； （3）∵a﹣b＝4， ∴b＝a﹣4， 由题意得：y＝（210﹣160﹣a）x+（150﹣120+b）（100﹣x） ＝（50﹣a）x+（30+b）×100﹣（30+b）x ＝（24﹣2a）x+100a+2600． ∵60≤x≤75，0＜a＜20， ∴当0＜a＜12时，24﹣2a＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝75时，y最大＝（24﹣2a）×75+100a+2600＝4000， 解得a＝8，符合题意； 当a＝12时，y＝100×12+2600＝3800≠4000，不合题意； 当12＜a＜20时，24﹣2a＜0， y随x的增大而减小． ∴当x＝60时，y最大＝（24﹣2a）×60+100a+2600＝4000， 解得a＝2，不合题意，舍去． 综上，a＝8． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$