精品解析：广东省茂名市博雅中学2024-2025学年上学期第一次课堂练习九年级数学试卷

2024-2025学年度第一学期第一次课堂练习 初三数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐一判断即可，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】，符合条件，故A选项正确； ，为分式方程，故B选项错误； ，含有两个未知数，故C选项错误； ，x的最高次数为1，故D选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 2. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻角互补 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、四边相等，菱形具有而矩形不具有，故本选项符合题意； B、对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故本选项不符合题意； C、对角相等，菱形具有，矩形具有，故本选项不符合题意； D、邻角互补，菱形具有而矩形也具有，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可求解，本题考查了一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般形式． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：． 4. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、测量一组对边是否平行且相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； B、测量两组对边是否分别相等，只能判断出这块鼠标垫是不是标准的平行四边形，不符合题意； C、测量其中的三个角是否都为直角，可以检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，符合题意； D、测量对角线是否相等，不能检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，不符合题意； 故选C． 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是        A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到∆=≥0且a≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：由题意可得： ∆==≥0，a≠0 解得：且 故：选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键． 6. 如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可，能熟记知识点是解此题的关键． 【详解】∵公路互相垂直， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴，即两点间的距离为， 故选：C． 7. 如图：已知点A的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的对称性，菱形即是轴对称图形，又是中心对称图形，通过题目可以发现A点和C点关于原点中心对称，可以直接计算出点C点的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵点O为坐标原点， ∴点A和点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴C点坐标为， 故选：B． 8. 若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则， ∴． 故选：A． 9. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 10. 方程的根为________． 【答案】， 【解析】 【分析】由可得或，解两个一元一次方程即可． 【详解】解：， 或， ，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择合适的求解方法是解题的关键． 11. 面积为的菱形的一条对角线长为，则这个菱形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的面积求出另一条对角线的长度，再利用勾股定理即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：设菱形的另一条对角线长为， 由题意得，， ∴， 即菱形的另一条对角线长为， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴菱形的边长， 故答案为：． 12. 如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，设道路的宽为x米，则列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：设道路的宽为米，由题意有 ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 13. 若m，n是方程的两根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，掌握有成为解题的关键． 直接运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两根， ∴． 故答案为：． 14. 如图所示，在正方形中，若对角线长为，P是上任意一点，过点P分别作，，垂足分别为E，F，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，连接，根据正方形的性质得出，，，根据三角形的面积得出，将值代入计算即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 15. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解；∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 16. 如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，即， ∵， ， ∴四边形 是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，再根据， ，即可求证； （2）先通过菱形的性质及勾股定理求解到的长，再通过勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 17. 王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得． 第一步 二次项系数化为1，得． 第二步 配方，得． 第三步 因此． 第四步 由此得或． 第五步 解得． 第六步 （1）王明的解题过程从第______步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程． 【答案】（1）二 （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． （1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案； 【小问1详解】 解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2， 故答案为：二； 【小问2详解】 ． 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：， 因此， 由此得：或， 解得：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 19. 某市深入学习贯彻习近平总书记关于推进新型城镇化和城乡融合发展的重要论述精神，把初心和使命落实在满足人民对美好生活的向往上，高标准开展老旧小区改造提升工作．2020年投入资金1500万元，2021年投入资金1800万元． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个90万元．2022年为提高老旧小区品质，投入资金2124万元，每个小区改造费用增加．求该市在2022年改造老旧小区的个数． 【答案】（1） （2）20个 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用： （1）用2021年的投入资金减去2020年的投入资金，再除以2020年的投入资金后乘以百分之一百即可得到答案； （2）用2022年的投入资金除以2022年每个小区改造的费用即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 答：该市改造老旧小区投入资金的年增长率为； 【小问2详解】 解：个， 答：该市在2022年改造老旧小区的个数为20个． 20. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动． （1）经过多长时间，的面积等于？ （2）的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】（1）经过时，的面积等于； （2）解：不会，理由： 在中，，，， ∴， 设运动时间为a秒，根据题意得， ， ∴. ∵， ∴关于a的一元二次方程无解， ∴不存在的面积会等于面积的一半． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的动点与一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元二次方程的运用， （1）的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示，，根据数量关系，列方程即可求解； （2）计算出面积的一半，在根据（1）中的方法即可求解． 【小问1详解】 解：点P的速度是，点Q的速度是，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，，， ∴点P从点A到点B的时间为秒，点Q从点B到点C的时间为秒，Q运动的时间为， ∴，， ∴， 即， 解方程得，，（舍去）， ∴经过时，的面积等于； 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题12分，共24分． 21. 阅读材料：若，求m、n的值． 解： ， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知等腰的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长； （3）已知，，求的值． 【答案】（1） （2）的周长为7 （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据材料将原式分为两个完全平方的形式即可解答； （2）将按材料方式进行整理，根据三角形三边关系得出c的值，即可求得结果； （3）由，得，按照原式按材料方式将整理，求出x、y、z的值，即可求得结果． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 解得：， 则； 【小问2详解】 ， ， ， 则，， 解得：，， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， 的周长为1+3+3=7； 【小问3详解】 ， ， 则， ， ， 则，， 解得，，， ． 22. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：如图，作于，于，则， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）6 【解析】 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的值是定值，定值为6，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期第一次课堂练习 初三数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻角互补 3. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ） A. 测量一组对边是否平行且相等 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量其中的三个角是否都为直角 D. 测量对角线是否相等 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是        A. 且 B. C. 且 D. 6. 如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为，则两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图：已知点A的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C点的坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 10. 方程的根为________． 11. 面积为的菱形的一条对角线长为，则这个菱形的边长为______． 12. 如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，设道路的宽为x米，则列方程为_____． 13. 若m，n是方程的两根，则______． 14. 如图所示，在正方形中，若对角线长为，P是上任意一点，过点P分别作，，垂足分别为E，F，则_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 15. 解一元二次方程： （1） （2） 16. 如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求的长． 17. 王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下： 解：移项，得． 第一步 二次项系数化为1，得． 第二步 配方，得． 第三步 因此． 第四步 由此得或． 第五步 解得． 第六步 （1）王明的解题过程从第______步开始出现了错误； （2）请利用配方法正确地解方程． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 19. 某市深入学习贯彻习近平总书记关于推进新型城镇化和城乡融合发展的重要论述精神，把初心和使命落实在满足人民对美好生活的向往上，高标准开展老旧小区改造提升工作．2020年投入资金1500万元，2021年投入资金1800万元． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个90万元．2022年为提高老旧小区品质，投入资金2124万元，每个小区改造费用增加．求该市在2022年改造老旧小区的个数． 20. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动． （1）经过多长时间，的面积等于？ （2）的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题12分，共24分． 21. 阅读材料：若，求m、n的值． 解： ， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知等腰的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长； （3）已知，，求的值． 22. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $