专题4.3 等腰三角形难点突破必考七大类型（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学上册必考点分类集训系列（苏科版）

专题4.3 等腰三角形难点突破必考七大类型 【苏科版】 【类型1 等腰三角形中的分类讨论思想（求角）】 1 【类型2 等腰三角形中的分类讨论思想（计数）】 8 【类型3 等腰三角形中的分类讨论思想（分割）】 12 【类型4 等腰三角形中的方程思想】 18 【类型5 角平分线遇平行线构等腰】 25 【类型6 连底边中线或作底边高线构三线合一】 30 【类型7 作腰或底的平行线构等腰】 38 【类型1 等腰三角形中的分类讨论思想（求角）】 1．（2024秋•杨浦区校级月考）若等腰三角形的一个内角为50°，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数是 　 　． 【分析】分50°的角分别为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：当50°的角为顶角时，则：两个底角的度数为：， ∴一腰上的高与底边所夹的角的度数是：90°﹣65°＝25°， 当50°的角为底角时，则：一腰上的高与底边所夹的角的度数是：90°﹣50°＝40°； 故答案为：25°或40°． 2．（2024春•永丰县期末）在等边△ABC中，E是∠B的平分线上一点，∠AEB＝105°，点P在△ABC的边上，若AE＝EP，则∠AEP的度数为 　 　． 【分析】根据题意作出图形，可得∠BAE＝45°．当AE＝EP时分三种情况：点P在边AB上时，点P′在边BC上时，当点P与点C重合时，根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：根据题意作出图形，如图所示， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝30°， ∵∠AEB＝105°， ∴∠BAE＝45°． 当AE＝EP且点P在边AB上时， ∴∠EAB＝∠APE＝45°， ∴∠AEP＝90°； 当AE＝EP′且点P′在边BC上时，连接CE， ∵BD垂直平分AC， ∴AE＝CE， ∴∠EAD＝∠ECD＝15°， ∴∠EP′C＝∠ECB＝45°， ∴∠BEP′＝∠BEP＝15°． ∴∠AEP′＝120°． 当点P与C重合时，∠AEP＝∠AEC＝360°﹣105°﹣105°＝150°， 故答案为：90°或120°或150°． 3．（2023秋•荆门期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AED＝55°，则∠BAC＝　 　． 【分析】分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论即可． 【解答】解：分两种情况： ①如果△ABC是锐角三角形，如图1． ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝90°， ∵∠AED＝55°， ∴∠A＝90°﹣∠AED＝90°﹣55°＝35°， ②如果△ABC是钝角三角形，如图2． ∵DE⊥AB， ∴∠ADE＝90°， ∵∠AED＝55°， ∴∠BAC＝∠ADE+∠AED＝90°+55°＝145°， 综上所述，∠A的度数为40°或145°． 故答案为：35°或145°． 4．（2023秋•明水县期末）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠O＝30°，当∠A＝　 　时，△AOP为等腰三角形． 【分析】分三种情况：①OA＝OP时，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠A＝∠OPA＝75°；②AO＝AP时，由等腰三角形的性质得∠APO＝∠O＝30°，则∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝120°；③PO＝PA时，∠A＝∠O＝30°． 【解答】解：分三种情况： ①OA＝OP时， 则∠A＝∠OPA（180°﹣∠O）（180°﹣30°）＝75°； ②AO＝AP时， 则∠APO＝∠O＝30°， ∴∠A＝180°﹣∠O﹣∠APO＝120°； ③PO＝PA时， 则∠A＝∠O＝30°； 综上所述，当∠A为75°或120°或30°时，△AOP为等腰三角形， 故答案为：75°或120°或30°． 5．（2023秋•睢阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为　 　． 【分析】分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝36°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝72°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝36°， ①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝36°， ∵∠AED＞∠C， ∴此时不符合； ②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA（180°﹣36°）＝72°， ∵∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°， ∴∠BAD＝108°﹣72°＝36°； ∴∠BDA＝180°﹣36°﹣36°＝108°； ③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝36°， ∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°， ∴∠BDA＝180°﹣72°﹣36°＝72°； ∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是108°或72°． 故答案为：108°或72°． 6．（2023秋•石城县期末）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　 　． 【分析】本分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可． 【解答】解：∵△PCD是等腰三角形，∠PCD＝150°﹣α，∠CPD＝30°， ①当PC＝PD时， ∴，即150°﹣α＝75°， ∴α＝75°； ②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即150°﹣α＝30°， ∴α＝120°； ③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形， ∴∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，即150°﹣α＝120°， ∴α＝30°，此时点P与点B重合，点D和A重合， 综合所述：当△PCD是等腰三角形时，α＝30°或75°或120°． 故答案为：30°或75°或120°． 7．（2023秋•沂水县期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答； （2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD， ∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC． ∴CD＝CB； （2）①∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CBE+∠ACB＝90°， 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE； ②∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α， 分三种情况： 当BD＝BF时， ∴∠BDC＝∠BFD＝3α， ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α， ∴90°﹣α＝3α， ∴α＝22.5°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°； 当DB＝DF时， ∴∠DBE＝∠BFD＝3α， ∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∴90°﹣2α＝3α， ∴α＝18°， ∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°； 当FB＝FD时， ∴∠DBE＝∠BDF， ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF， ∴不存在FB＝FD， 综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°． 【类型2 等腰三角形中的分类讨论思想（计数）】 1．（2024•天祝县三模）如图，坐标平面内一点A（3，﹣2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰． 【解答】解：如图：①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有一个； ②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有三个． 综上所述，符合条件的点P的个数共4个． 故选：C． 2．（2024秋•新吴区校级月考）已知：如图，△ABC中∠B＝70°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【分析】根据题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【解答】解：以B为圆心，BC的长为半径画圆，得到△BD2C，△BD6C为等腰三角形， 以C为圆心，BC的长为半径画圆，得到△BD4C为等腰三角形， 作BC的中垂线，得到△BD7C为等腰三角形，即，以BC为边的等腰三角形有4个， 同理：以AC为边的等腰三角形也有4个； 故总共有8个等腰三角形； 故选：B． 3．（2024春•酒泉期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 　 　个． 【分析】分两种种情况，CA＝CB，BA＝BC． 【解答】解：如图所示： 分两种种情况： 当C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC； 当C在C5，C6位置上时，AB＝BC； 即满足点C的个数是6， 故答案为：6． 4．（2024秋•浦东新区校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是　 　． 【分析】分以AB为腰，以AB为底边两种情况确定C即可． 【解答】解：如图，点C的个数有8个， 故答案为：8． 5．（2023秋•平舆县期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 　 　个． 【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【解答】解：当AB为腰时，点C的个数有2个； 当AB为底时，点C的个数有1个， 故答案为：3． 6．（2023秋•昌平区期末）如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有 　 　个． 【分析】分三种情况：当OA＝OP时；当AO＝AP时；当PA＝PO时；即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当OA＝OP时，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，交直线l于点P1，P2； 当AO＝AP时，以点A为圆心，以AO长为半径作圆，交直线l于点P3； 当PA＝PO时，作OA的垂直平分线，交直线l于点P4； 综上所述：若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，满足条件的点P位置有4个， 故答案为：4． 【类型3 等腰三角形中的分类讨论思想（分割）】 1．（2023秋•德清县校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，∠B＝40°，∠C＝20°，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当以AB为等腰三角形的腰时，当以AB为等腰三角形的底时，找出满足题意的直线，得到答案． 【解答】解：根据题意， 当以AB为等腰三角形的腰时： 如图，AD＝AB＝3， 如图，AB＝BE＝3， 如图，AB＝AF＝3， 当以AB为等腰三角形的底时： 如图，AG＝BG，AB＝3 综上，有AD，AE，BF，AG四条直线满足题意， 故选：C． 2．（2023秋•巨野县期中）问题背景：已知，在△ABC中，AB＝AC，如果过某一顶点的直线可以将△ABC分割成两个等腰三角形，求∠A的大小．某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①∠A＝36°，②∠A＝90°，③∠A＝108°，④∠A，你认为其中正确的结果有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①当∠A＝36°时，则∠ABC＝∠C＝72°，作∠ABC的平分线交AC于点D，从而得∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°，据此可判定△ABD和△BCD均为等腰三角形，进而可对①进行判断； ②当∠BAC＝90°时，则∠B＝∠C＝45°，作∠BAC的平分线交BC于点D，从而得∠BAD＝∠CAD＝45°，据此可判定△ABD和△ACD均为等腰三角形，进而可对②进行判断； ③当∠BAC＝108°时，则∠B＝∠C＝36°，作AB的垂直平分线角BC于点D，连接AD，则△ABD为等腰三角形，∠DAB＝∠B＝36°，进而得∠CAD＝72°，∠CDA＝72°，由此可判定△CAD为等腰三角形，进而可对③进行判断； ④当∠A时，则∠ABC＝∠C，作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，则△ABD为等腰三角形，从而得∠ABD＝∠A，∠CBD，∠CDB，由此可判定△CBD为等腰三角形，进而可对④进行判断，综上所述可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180° ∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）， ①当∠A＝36°时， 则∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）（180°﹣36°）＝72°， 作∠ABC的平分线交AC于点D，如图1所示： ∴∠ABD＝∠CBD＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°， ∴∠ABD＝∠A＝36°，∠BDC＝∠C＝72°， ∴△ABD和△BCD均为等腰三角形， 即直线BD将△ABC分成两个等腰三角形； 故①正确； ②当∠BAC＝90°时， 则∠B＝∠C（180°﹣∠A）（180°﹣90°）＝45°， 作∠BAC的平分线交BC于点D，如图2所示： ∴∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠B＝∠BAD＝45°，∠C＝CAD＝45°， ∴△ABD和△ACD均为等腰三角形， 即直线AD将△ABC分成两个等腰三角形； 故②正确； ③当∠BAC＝108°时， 则∠B＝∠C（180°﹣∠A）（180°﹣108°）＝36°， 作AB的垂直平分线角BC于点D，连接AD，如图3所示： 则BD＝AD，即△ABD为等腰三角形， ∴∠DAB＝∠B＝36°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠DAB＝108°﹣36°＝72°，∠CDA＝∠DAB+∠B＝72°， ∴∠CAD＝∠CDA＝72° ∴△CAD为等腰三角形， 即直线AD将△ABC分成两个等腰三角形． 故③正确； ④当∠A时， 则∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）（180°）， 作AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，如图4所示： 则AD＝BD，即△ABD为等腰三角形， ∴∠ABD＝∠A， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD，∠CDB＝∠A+∠ABD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∴△CBD为等腰三角形， 即直线BD将△ABC分成两个等腰三角形． 故④正确． 综上所述：正确的结果是①②③④，共4个． 故选：A． 3．（2023秋•武隆区期末）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是 　 　． 【分析】当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况． 【解答】解：如图①所示，当∠BAC＝48°时，那么它的最大内角是90° 当∠ACB＝48°时，有以下4种情况， 故答案为：88°，90°，99°，108°，116° 4．（2024•雁塔区校级开学）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成6cm和15cm两部分，这个等腰三角形各边长为 　 　． 【分析】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验． 【解答】解：①如图， AB+AD＝6cm，BC+CD＝15cm， ∵AD＝DC，AB＝AC， ∴2AD+AD＝6cm， ∴AD＝2cm， ∴AB＝4cm，BC＝13cm， ∵AB+AC＜BC， ∴不能构成三角形，故舍去， ②如图，AB+AD＝15cm，BC+CD＝6cm， 同理得：AB＝10cm，BC＝1cm， ∵AB+AC＞BC，AB﹣AC＜BC， ∴能构成三角形， ∴腰长为10cm，底边为1cm， 故这个等腰三角形各边的长为10cm，10cm，1cm． 故答案为：10cm，10cm，1cm． 5．（2023秋•昌黎县期末）乐乐在学习中遇到了这样的问题： 如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？ 经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是 　 　． 【分析】要分两种情况进行讨论：①PC＝AC＝4时，△ACP是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积；②AP＝BP时，△ABP是等腰三角形，根据勾股定理可求CP，再根据三角形面积公式可求剪出的等腰三角形的面积． 【解答】解：①如图1：PC＝AC＝4时，△ACP是等腰直角三角形， 则S△ACP4×4＝8； ②如图2：AP＝BP时，△ABP是等腰三角形， 在△ACP中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6， 则AC2+CP2＝AP2，即42+CP2＝（6﹣CP）2， 解得CP， 则S△ABP＝S△ABC﹣S△ACP4×64． 综上所述，剪出的等腰三角形的面积是8或． 故答案为：8或． 【类型4 等腰三角形中的方程思想】 1．（2023秋•延边州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，BD是角平分线，BC的垂直平分线EF交BD于点F，交BC于点E．若∠FCA＝25°，则∠A的度数为 　 　． 【分析】设∠A＝x°，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ABC＝x°，然后利用角平分线的定义可得∠CBDx°，再利用线段垂直平分线的性质可得FB＝FC，从而可得∠CBD＝∠BCFx°，最后利用三角形内角和定理列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：设∠A＝x°， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD∠ABCx°， ∵EF是BC的垂直平分线， ∴FB＝FC， ∴∠CBD＝∠BCFx°， ∵∠FCA＝25°， ∴∠A+∠ABC+∠ACF+∠BCF＝180°， ∴x+xx+25＝180， 解得：x＝62， ∴∠A＝62°， 故答案为：62°． 2．（2023秋•宁国市期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　 　°． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质以及三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：设∠ECF＝x， ∵EC＝EF， ∴∠EFC＝∠ECF＝x， ∴∠GEF＝2x， ∵EF＝GF， ∴∠FGE＝∠GEF＝2x， ∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x， ∵DG＝GF， ∴∠GDF＝∠DFG＝3x， ∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x， ∵DG＝DA， ∴∠A＝4x， ∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x， ∵BC＝BD， ∴∠BDC＝∠BCD＝5x， ∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACD＝6x， ∵∠A+∠B+∠ACB＝180°， ∴4x+6x+6x＝180°，解得：x， ∴∠B67.5°． 故答案为：67.5． 3．（2023秋•包河区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 　 　． 【分析】AC与DE相交于G，如图，利用等边三角形的性质得到AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，再证明CG＝CD，设AE＝x，则CD＝3x，CG＝3x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AG＝2AE＝2x，所以AB＝BC＝AC＝5x，则BE＝4x，BF＝5x﹣6，然后在Rt△BEF中利用BE＝2BF得到4x＝2（5x﹣6），解方程求出x后计算5x即可． 【解答】解：AC与DE相交于G，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵DE⊥AE， ∴∠AGE＝30°， ∴∠CGD＝30°， ∵∠ACB＝∠CGD+∠D， ∴∠D＝30°， ∴CG＝CD， 设AE＝x，则CD＝3x，CG＝3x， 在Rt△AEG中，AG＝2AE＝2x， ∴AB＝BC＝AC＝5x， ∴BE＝4x，BF＝5x﹣6， 在Rt△BEF中，BE＝2BF， 即4x＝2（5x﹣6），解得x＝2， ∴AC＝5x＝10． 故答案为10． 4．（2023秋•松北区期末）如图，等边△ABC，E为△ABC外一点，AE＝AC，连接BE，若∠EBC＝15°，△ACE的面积等于9，则BC的长为 　 　． 【分析】过点C作CD⊥AD于点D，设CD＝x，先求出∠ABE＝45°，再证∠AEB＝∠ABE＝45°，进而得∠BAE＝90°，∠CAE＝30°，再由直角三角形的性质得AC＝AE＝BC＝2x，然后根据S△ACE＝9得2x•x＝9，由此解出x即可得BC的长． 【解答】解：过点C作CD⊥AD于点D，设CD＝x，如图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵∠EBC＝15°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°﹣15°＝45°， ∵AE＝AC， ∴AE＝AB＝BC， ∴∠AEB＝∠ABE＝45°， ∴∠BAE＝180°﹣（∠AEB+∠ABE）＝90°， ∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∵CD⊥AD于点D， 在Rt△ACD中，∠CAE＝30°，CD＝x， ∴AC＝BC＝2x， ∴AE＝AC＝2x， ∴S△ACEAE•CD＝9， ∴2x•x＝9， 解得：x＝3，舍去负值， ∴BC＝2x＝6． 故答案为：6． 5．（2024秋•路南区校级月考）在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【分析】设AB＝AC＝2x，BC＝y，根据题意可的，然后分当AB+AD＝12、BC+CD＝6和AB+AD＝6、BC+CD＝12两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三边关系即可获得答案． 【解答】解：如图， 设AB＝AC＝2x，BC＝y， ∵BD为一腰上的中线， ∴， 当AB+AD＝12，BC+CD＝6时， ， 解得，， ∴三边长分别为8，8，2， ∵8+2＞8， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴等腰三角形的腰长为8； 当AB+AD＝6，BC+CD＝12时， ， 解得，， ∴三边长分别为10，2，2， ∵2+2＜10， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 综上所述，这个等腰三角形的腰长为8． 6．（2023秋•乾安县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点F在BC延长线上，连接FD并延长，交AB于点E，连接AF，求∠BAC和∠ACB的度数． 【分析】设∠BAC＝x°，由AD＝BD＝BC知∠A＝∠ABD＝x°，∠BDC＝∠BCD＝2x°，由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°列方程求解可得； 【解答】解：设∠BAC＝x°， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝x°， ∴∠BDC＝2x°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝2x°， 由∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°可得x+2x+2x＝180， 解得：x＝36， 则∠BAC＝36°，∠ACB＝72°． 7．（2024春•历下区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE⊥BD交延长线于点E．若∠BAC＝2∠DAE，求∠DAE的度数． 【分析】设∠DAE＝x°，则∠BAC＝2x°，由等腰三角形的性质求出∠ABC（180°﹣2x°）＝90°﹣x°，由角平分线定义得到∠ABE∠ABC＝45°x°，由直角三角形的性质得到45°x°+2x°+x°＝90°，求出x＝18，即可得到∠DAE＝18°． 【解答】解：设∠DAE＝x°，则∠BAC＝2x°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣2x°）＝90°﹣x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝45°x°， ∵AE⊥BD， ∴∠ABE+∠BAE＝90°， ∴45°x°+2x°+x°＝90°， ∴x＝18， ∴∠DAE＝18°． 【类型5 角平分线遇平行线构等腰】 1．（2024•苏州模拟）如图，已知△ABC．∠ABC与∠ACB的平分线OB，OC交于点O，过点O作MN∥BC，交AB，AC于点M，N．若AB＝8，AC＝7，则△AMN的周长＝　 　． 【分析】由已知条件根据平行线的性质、角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质；可推出MO＝MB，NO＝NC．从而得到△AMN的周长，答案可得． 【解答】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠OBC． 又∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC． ∴∠ABO＝∠MOB． ∴MO＝MB． 同理可得：NO＝NC． ∴△AMN的周长为：AM+MN+AN ＝AM+MO+ON+AN ＝AM+MB+NC+AN ＝AB+AC ＝8+7 ＝15， 故答案为：15． 2．（2023秋•龙山区期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　 　． 【分析】由角平分线与平行线易得∠EBG＝∠EGB，从而得到EB＝EG，同理可得DF＝DC，再根据EB+DC＝EG+DF＝ED+FG即可得答案． 【解答】解：∵BG平分∠EBC， ∴∠EBG＝∠GBC， ∵ED∥BC， ∴∠EGB＝∠GBC， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG， 同理可得DF＝DC， ∴EB+DC＝EG+DF＝ED+FG＝4+2＝6， 故答案为：6． 3．（2024•冠县校级开学）在△ABC中，BC＝10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E，则△PDE的周长是 　 　cm． 【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点． 【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE， ∵PD∥AB，PD∥AC ∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE， ∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE， ∴BD＝PD，CE＝PE， ∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝10（cm）， 故答案为：10． 4．（2023秋•北京期末）如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．当AE＝2，BF＝4时，EF的长为 　 　． 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠ADE，∠ABD＝∠BDF，进一步可得∠CAD＝∠ADE，∠CBD＝∠BDF，可得DE＝AE，DF＝BF，进一步可得EF的长． 【解答】解：∵AD，BD平分∠BAC，∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABD＝∠CBD， ∵EF∥AB， ∴∠BAD＝∠ADE，∠ABD＝∠BDF， ∴∠CAD＝∠ADE，∠CBD＝∠BDF， ∴DE＝AE＝2，DF＝BF＝4， ∴EF＝DE+DF＝2+4＝6， 故答案为：6． 5．（2023秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6，则BD＝　 　． 【分析】先根据已知易得EF＝2，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可证△BDF和△ECD是等腰三角形，从而可得ED＝EC＝6，DB＝DF，最后进行计算即可解答． 【解答】解：∵EC＝3EF＝6， ∴EF＝2， ∵CD平分∠ACB，BF平分∠ABC， ∴∠ACD＝∠DCB，∠ABF＝∠CBF， ∵DE∥BC， ∴∠DFB＝∠CBF，∠EDC＝∠DCB， ∴∠ACD＝∠EDC，∠ABF＝∠DFB， ∴ED＝EC＝6，DB＝DF， ∴DF＝DB＝DE﹣EF＝6﹣2＝4， 故答案为：4． 6．（2023秋•纳溪区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 　 　． 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，求出∠DAE＝∠EAB＝30°，根据平行线的性质求出∠F＝∠BAE＝30°，从而得到∠DAE＝∠F，根据等角对等边求出AD＝DF，求出∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC120°＝60°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE＝∠EAB∠BAD60°＝30°， ∵DF∥AB， ∴∠F＝∠BAE＝30°， ∴∠DAE＝∠F＝30°， ∴AD＝DF， ∵∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴ADAB8＝4， ∴DF＝4， 故答案为：4． 7．（2023秋•武威期末）如图所示，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D交AC于E，延长BC至M，试说明BD，CE，DE之间的数量关系． 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可以证明△BDF和△CEF是等腰三角形，从而证得BD＝DF＝DE+EF和CE＝EF，进而求得BD，CE，DE之间的数量关系． 【解答】解：∵BF是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠FBC， ∵DF∥BC， ∴∠DFB＝∠FBC， ∴∠ABF＝∠DFB， ∴△BDF是等腰三角形， ∴BD＝DF＝DE+EF． ∵CF是∠ACM的平分线， ∴∠ACF＝∠FCM， ∵DF∥BC， ∴∠EFC＝∠FCM， ∴∠ACF＝∠EFC， ∴△CEF是等腰三角形， ∴CE＝EF， ∴BD＝CE+DE． 【类型6 连底边中线或作底边高线构三线合一】 1．（2023秋•斗门区期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为 　 　． 【分析】过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EF⊥BC于F， ∵AB＝AC，BC＝6， ∴BH＝HC＝3， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACH+∠ECF＝90°， ∵∠CAH+∠ACH＝90°， ∴∠ECF＝∠CAH， 在△ACH与△CEF中， ， ∴△ACH≌△CEF（AAS）， ∴EF＝CH＝3， ∴△BCE的面积9． 故答案为：9． 2．（2023秋•长葛市期末）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM＝ 　 　cm． 【分析】过P作PD⊥OB于点D，先利用直角三角形的两个锐角互余可得：∠OPD＝30°，从而利用含30度直角三角形的性质OD＝4cm，然后利用等腰三角形的性质可得MD＝1cm，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过P作PD⊥OB于点D， 在Rt△OPD中，∠ODP＝90°，∠POD＝60°， ∴∠OPD＝90°﹣∠POD＝30°， ∴ODOP8＝4（cm）， ∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2cm， ∴MD＝NDMN＝1（cm）， ∴OM＝OD﹣DM＝4﹣1＝3（cm）， 故答案为：3． 3．（2024秋•通州区校级月考）如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，EB＝EF．若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　 　． 【分析】过点E作EH⊥BC于点H，根据△ABC是等边三角形，DE∥BC，得到△ADE是等边三角形，已知EB＝EF，得到，结合BD＝4，得到EC＝BD＝4，在△EHC中，求得，表示出BC＝BH+HC＝6，根据AC＝BC＝6＝EC+EA＝4+AE即可求得线段AE＝2的长，继而得到DE的长． 【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝CA， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AE＝AD， ∴AC﹣AE＝AB﹣AD， ∴CE＝BD， ∵BD＝4， ∴CE＝4， ∵EB＝EF，EH⊥BC，BF＝8， ∴，∠HEC＝30°， ∴， ∴BC＝BH+HC＝6， ∴AC＝BC＝6＝EC+EA＝4+AE， ∴AE＝2， ∴DE＝2． 故答案为：2． 4．（2024秋•通州区校级月考）如图，等边△ABC中，点P是CA延长线上一点，点D是BC上一点，且PB＝PD．若CP+CD＝10，BD＝3，则AB的长为 　 　． 【分析】由PB＝PD可过P作垂直，利用三线合一求出DM，再设CD＝x，则CP＝10﹣x，CM＝x，最后在Rt△PCM中，利用30度所对直角边是斜边的一半建立方程，求出x，进而求出BC，即可得解． 【解答】解：过P作PM⊥BC于点M， ∵PB＝PD，BD＝3， ∴DMBD， 设CD＝x，则CM＝CD+DM＝x， ∵CP+CD＝10， ∴CP＝10﹣x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝60°，AB＝BC， ∵PM⊥BC， ∴∠PMC＝90°， ∴∠MPC＝30°， ∴CMCP，即x（10﹣x）， 解得x， ∴BC＝BD+CD＝3， ∴AB． 故答案为：． 5．（2023秋•安康期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F． （1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C； （2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数． 【分析】（1）连接CD，根据AC＝BC，点D是AB的中点，证得CD⊥AB，，进而证得∠BCD+∠B＝90°，根据DE⊥BC证得∠B+∠BDE＝90°，从而证得∠BCD＝∠BDE得出结论； （2）先求出∠B的度数，再根据AC＝BC求出∠A，再根据垂直的定义求出∠AFE＝90°，再利用四边形的内角和为360°解答． 【解答】（1）证明：连接CD， ∵AC＝BC，点D是AB的中点， ∴CD⊥AB，， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∵DE⊥BC， ∴∠B+∠BDE＝90° ∴∠BCD＝∠BDE． ∴； （2）解：∵∠ADE＝160° ∴∠BDE＝20°， ∵DE⊥BC，EF⊥AC， ∴∠DEB＝∠AFE＝90°， 在Rt△BDE中，∠DEB＝90°， ∴B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣20°＝70°， ∵AC＝BC， ∴∠B＝∠A＝70°， ∴∠DEF＝360°﹣∠A﹣∠ADE﹣∠AFE＝360°﹣70°﹣160°﹣90°＝40°． 6．（2024秋•奇台县校级月考）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． （1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？画出图形，写出结论不证明． 【分析】（1）连接AD，易证AD＝BD，∠ADB＝90°，∠B＝∠DAF，由SAS证得△BDE≌△ADF，得出DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，即可得出结论； （2）连接AD，同（1）由SAS证得△BDE≌△ADF，得出DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，即可得出结果． 【解答】（1）证明：连接AD，如图1所示： ∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点， ∴∠B＝45°，ADBC＝BD，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝∠DAF＝45°， ∴∠B＝∠DAF， 在△BDE和△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（SAS）， ∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF， ∵∠BDE+∠ADE＝90°， ∴∠ADF+∠ADE＝90°， 即∠EDF＝90°， ∴△DEF为等腰直角三角形； （2）解：△DEF仍为等腰直角三角形，理由如下： 连接AD，如图2所示： ∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点， ∴∠ABD＝45°，ADBC＝BD，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝45°， ∴∠EBD＝∠FAD， 在△BDE和△ADF中， ， ∴△BDE≌△ADF（SAS）， ∴DF＝DE，∠BDE＝∠ADF， ∵∠ADF+∠FDB＝90°， ∴∠BDE+∠FDB＝90°， 即∠EDF＝90°， ∴△DEF为等腰直角三角形． 7．（2023秋•南沙区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB． （1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数； （2）求证：BC＝2AB． 【分析】（1）由BD平分∠ABC，且∠ABC＝40°，得∠EBC＝20°，则∠EBC＝∠ECB＝20°，所以∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝40°； （2）作EF⊥BC于点F，由等腰三角形的“三线合一”得FB＝FC，再证明Rt△FBE≌Rt△ABE，得FB＝AB，所以BC＝2FB＝2AB． 【解答】（1）解：∵BD平分∠ABC，且∠ABC＝40°， ∴∠EBC＝∠ABD∠ABC＝20°， ∵∠EBC＝∠ECB， ∴∠ECB＝20°， ∴∠DEC＝∠EBC+∠ECB＝40°， ∴∠DEC的度数是40°． （2）证明：作EF⊥BC于点F， ∵EB＝EC， ∴FB＝FC， ∵BD平分∠ABC，EF⊥BC，EA⊥AB， ∴FE＝AE，∠BFE＝∠BAE＝90°， 在Rt△FBE和Rt△ABE中， ， ∴Rt△FBE≌Rt△ABE（HL）， ∴FB＝AB， ∴BC＝2FB＝2AB． 【类型7 作腰或底的平行线构等腰】 1．（2023秋•宣化区期末）如图，等边三角形ABC的边长为12，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．若DE⊥AC，则AE＝　 　． 【分析】过点D作DF∥AB，交BC于F，先证△CDF是等边三角形，再证△PDF≌△PEB，得CD＝BE，设BE＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，AE＝12+x，最后根据在直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半，计算，即可． 【解答】解：如图，过点D作DF∥AB，交BC于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°， ∵DF∥AB， ∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP， ∴△CDF是等边三角形， ∴CD＝DF， ∵点P为DE中点， ∴PD＝PE， 在△PDF和△PEB中， ， ∴△PDF≌△PEB（AAS）， ∴DF＝BE， ∴CD＝BE， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠A＝30°， 设BE＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，AE＝12+x， ∴， 解得：x＝4， ∴AE＝AB+BE＝12+4＝16， 故答案为：16． 2．（2023秋•铁岭县期末）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　 　． 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，证△PFD≌△QCD，推出FD＝CD，推出DEAC即可． 【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP＝PF＝AF， ∵PE⊥AC， ∴AE＝EF， ∵AP＝PF，AP＝CQ， ∴PF＝CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD＝CD， ∵AE＝EF， ∴EF+FD＝AE+CD， ∴AE+CD＝DEAC， ∵AC＝4， ∴DE． 故答案为：2． 3．（2022秋•柳州期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．若BD＝1，AE＝3．则CF的长是 　 　． 【分析】过D点作DM∥AB于M，如图，利用∠C＝60°，证明△MDE≌△CDF，ME＝CF，再根据ME＝AE﹣AM解答即可． 【解答】解：过D点作DM∥AB于M， ∴∠A＝DME＝60°，∠MDC＝∠B＝60°，∠C＝60°， ∴△DMC是等边三角形， ∴DM＝DC， ∵△DEF为等边三角形， ∴∠MDE+∠EDC＝60°，∠FDC+EDC＝60°， ∴∠MDE＝∠FDC， ∵DE＝DF，DM＝DC， ∴△MDE≌△CDF（SAS）， ∴ME＝CF， ∵BD＝1，AE＝3． ∴MA＝BD＝1， ME＝AE﹣AM＝3﹣1＝2． ∴CF＝2． 故答案为：2． 4．（2023春•本溪期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F． （1）当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF． （2）过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC＝4，CF＝1，求BH的长是多少？ 【分析】（1）过点D作DG∥AC，交BC于点G，利用平行线的性质和等边对等角证明∠DGB＝∠B，得到BD＝GD，进而推出GD＝CE，再证明△DGF≌△ECF，即可证明DF＝EF； （2）分当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O，当点D在BA的延长线上时，过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O，先证明△DHB≌△EOC，得到BH＝CO，进而求出HO＝4，再证明△DHF≌△EOF，得到HF＝OF＝2，再根据线段之间的关系求出BH的长即可． 【解答】（1）证明：过点D作DG∥AC，交BC于点G． ∴∠DGB＝∠ACB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠DGB＝∠B， ∴BD＝GD， ∵BD＝CE， ∴GD＝CE， ∵DG∥AC， ∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF， 在△DGF和△ECF中 ， ∴△DGF≌△ECF（ASA）， ∴DF＝EF； （2）解：如图所示，当点D在线段AB上时，过点E作EO⊥BC，交BC延长线于O， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠OCE， 又∵∠DHB＝∠EOC＝90°，BD＝CE， ∴△DHB≌△EOC（AAS）， ∴BH＝CO， ∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4， ∵∠DHF＝∠EOF＝90°，∠DFH＝∠EFO，DF＝EF（由第一小问已经证明）， ∴△DHF≌△EOF（AAS）， ∴， ∵CF＝1， ∴BH＝CO＝OF﹣CF＝2﹣1＝1； 当点D在BA的延长线上时，过点E作EO⊥BC交BC的延长线于点O， 同理可证△DHB≌△EOC，△DHF≌△EOF， ∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4， ∴， ∵CF＝1， ∴BH＝CO＝OF+CF＝2+1＝3； 综上所述，BH的长为1或3． 5．（2023秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BA延长线上一点，E为BC上一点，DC＝DE．（1）求证：∠BDE＝∠ACD； （2）若DE是△DBC的中线，交AC于点F，求证：DF＝EF． 【分析】（1）由DC＝DE，得∠DEC＝∠DCE，因为∠DEC＝∠BDE+∠B，∠DCE＝∠ACB+∠ACD，所以∠BDE+∠B＝∠ACB+∠ACD，由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，所以∠BDE＝∠ACD； （2）作EG∥CD交CA的延长线于点G，则∠CEG+∠DCE＝180°，而∠BDE+∠DEC＝180°，且∠DCE＝∠DEC，所以∠CEG＝∠BED，可证明△CEG≌△BED，得GE＝DE，所以DC＝GE，再证明△CFD≌△GFE，得DF＝EF． 【解答】证明：（1）∵DC＝DE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵∠DEC＝∠BDE+∠B，∠DCE＝∠ACB+∠ACD， ∴∠BDE+∠B＝∠ACB+∠ACD， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠BDE＝∠ACD． （2）作EG∥CD交CA的延长线于点G，则∠CEG+∠DCE＝180°，∠FCD＝∠G， ∵∠BDE+∠DEC＝180°，且∠DCE＝∠DEC， ∴∠CEG＝∠BED， ∵DE是△DBC的中线， ∴CE＝BE， 在△CEG和△BED中， ， ∴△CEG≌△BED（ASA）， ∴GE＝DE， ∴DC＝GE， 在△CFD和△GFE中， ， ∴△CFD≌△GFE（AAS）， ∴DF＝EF． 6．（2023秋•信阳期中）在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF＝120°． （1）如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是 　 　； （2）当点E在线段AB上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由； （3）如图3，当点E在AB的延长线上时，BF＝8，BE＝2，请直接写出BC的长． 【分析】（1）证明∠DEF＝∠F＝30°，可得结论； （2）作辅助线，构建两三角形全等，所以线段的关系与（1）中关系相同； （3）先判断出△END≌△FCD（SAS），得出DE＝DF，再证明BF﹣BEBC，可得结论． 【解答】解：（1）如图1中， ∵△ABC是等边三角形，AD＝DC， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∵∠EDF＝120°， ∴∠F＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠DBC＝∠F， ∴DE＝DF； （2）结论成立．DE＝DF． 理由：如图2中，过D作DM∥BC交AB于M点， ∵DM∥BC， ∴∠AMD＝∠ABC＝60°，∠ADM＝∠ACB＝60°， ∴△AMD是等边三角形， 则MD＝DC＝AD， ∠MDC＝∠EDF＝120°， 则∠MDC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC， 即：∠MDE＝∠CDF， 在△MED和△CDF中， ， ∴△MED≌△CDF（ASA）， ∴DE＝DF； （3）取AB中点N，连接DN，如图3中， ∵ND＝CD，∠END＝∠DCF＝120°，∠NDE＝∠CDF， ∴△END≌△FCD（ASA）， ∴DE＝DF， ∵BEAB＝CF， ∴BF＝BC+CFBC+BE， ∴BF﹣BEBC， ∵BF＝8，BE＝2， ∴BC＝4． 7．如图，等边三角形△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE＝AD，DF⊥BC于F． （1）如图1，若D是AC的中点，求证：①DB＝DE；②BF＝EF； （2）如图2，若点D是边AC上的任意一点，BF＝EF是否仍然成立？请证明你的结论； （3）如图3，若点D是边AC的延长线上任意一点，其它条件不变，（2）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ABC＝∠ACB＝60°，由CD＝CE得∠E＝∠CDE，再利用∠DCB＝∠E+∠CDE＝60°得到∠E＝30°，由DA＝DC，根据等腰三角形性质得∠DBC∠ABC＝30°，根据等腰三角形的判定得DB＝DE；然后根据等腰三角形的性质由DF⊥BC得到BF＝EF； （2）作DM∥BC交AB于M，根据等边三角形的性质得∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，则∠DCE＝120°，由DM∥BC得∠AMD＝60°，易得△AMD为等边三角形，则AD＝DM＝AM，而AD＝CE，则DM＝EC，所以MB＝DC，利用“SAS”可判断△BMD≌△DCE，则BD＝DE，然后根据等腰三角形的性质由DF⊥BC得到BF＝EF； （3）作DM∥BC交AB的延长线于M，易证△AMD为等边三角形，则AM＝AD＝MD，∠M＝60°，可得到BM＝CD，而AD＝CE，所以MD＝CE，加上∠M＝∠ECD＝60°， 于是可根据“SAS”判断△BMD≌△DCE，则BD＝DE，然后根据等腰三角形的性质由DF⊥BC得到BF＝EF． 【解答】（1）证明：如图1， ①∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， 而CE＝AD， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE， 而∠DCB＝∠E+∠CDE＝60°， ∴∠E＝30°， ∵DA＝DC， ∴∠DBC∠ABC＝30°， ∴DB＝DE； ②∵DF⊥BC， ∴BF＝EF； （2）BF＝EF仍然成立．理由如下： 作DM∥BC交AB于M，如图2， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC， ∴∠DCE＝120°， ∵DM∥BC， ∴∠AMD＝60°， ∴∠BMD＝120°，△AMD为等边三角形， ∴AD＝DM＝AM， ∵AD＝CE， ∴DM＝EC， ∴AB﹣AM＝AC﹣AD， ∴MB＝DC， 在△BMD和△DCE中 ∴△BMD≌△DCE（SAS）， ∴BD＝DE， 而DF⊥BC， ∴BF＝EF； （3）（2）中的结论仍然成立．理由如下： 如图3，作DM∥BC交AB的延长线于M， 易证△AMD为等边三角形， ∴AM＝AD＝MD，∠M＝60°， 而AB＝AC， ∴BM＝CD， ∵AD＝CE， ∴MD＝CE， ∵∠ECD＝∠ACB＝60°， ∴∠M＝∠ECD， 在△BMD和△DCE中 ∴△BMD≌△DCE（SAS）， ∴BD＝DE， 而DF⊥BC， BF＝EF． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.3 等腰三角形难点突破必考七大类型 【苏科版】 【类型1 等腰三角形中的分类讨论思想（求角）】 1 【类型2 等腰三角形中的分类讨论思想（计数）】 2 【类型3 等腰三角形中的分类讨论思想（分割）】 4 【类型4 等腰三角形中的方程思想】 5 【类型5 角平分线遇平行线构等腰】 6 【类型6 连底边中线或作底边高线构三线合一】 8 【类型7 作腰或底的平行线构等腰】 10 【类型1 等腰三角形中的分类讨论思想（求角）】 1．（2024秋•杨浦区校级月考）若等腰三角形的一个内角为50°，则它一腰上的高与底边所夹的角的度数是 　 　． 2．（2024春•永丰县期末）在等边△ABC中，E是∠B的平分线上一点，∠AEB＝105°，点P在△ABC的边上，若AE＝EP，则∠AEP的度数为 　 　． 3．（2023秋•荆门期末）已知，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AED＝55°，则∠BAC＝　 　． 4．（2023秋•明水县期末）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠O＝30°，当∠A＝　 　时，△AOP为等腰三角形． 5．（2023秋•睢阳区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为　 　． 6．（2023秋•石城县期末）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝150°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°，∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D．在点P的滑动过程中，若△PCD是等腰三角形，则夹角α的大小是　 　． 7．（2023秋•沂水县期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A． （1）如图1，试说明CD＝CB的理由； （2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F． ①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数． 【类型2 等腰三角形中的分类讨论思想（计数）】 1．（2024•天祝县三模）如图，坐标平面内一点A（3，﹣2），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 2．（2024秋•新吴区校级月考）已知：如图，△ABC中∠B＝70°，∠C＝80°，在直线BA上找一点D，使△ACD或△BCD为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 3．（2024春•酒泉期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数有 　 　个． 4．（2024秋•浦东新区校级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是　 　． 5．（2023秋•平舆县期末）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数有 　 　个． 6．（2023秋•昌平区期末）如图，点O在直线l上，点A在直线l外．若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有 　 　个． 【类型3 等腰三角形中的分类讨论思想（分割）】 1．（2023秋•德清县校级期中）如图，已知△ABC中，AB＝3，∠B＝40°，∠C＝20°，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（2023秋•巨野县期中）问题背景：已知，在△ABC中，AB＝AC，如果过某一顶点的直线可以将△ABC分割成两个等腰三角形，求∠A的大小．某数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①∠A＝36°，②∠A＝90°，③∠A＝108°，④∠A，你认为其中正确的结果有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2023秋•武隆区期末）一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是 　 　． 4．（2024•雁塔区校级开学）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成6cm和15cm两部分，这个等腰三角形各边长为 　 　． 5．（2023秋•昌黎县期末）乐乐在学习中遇到了这样的问题： 如图所示的三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，将△ABC沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？ 经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点A时，剪出的等腰三角形的面积是 　 　． 【类型4 等腰三角形中的方程思想】 1．（2023秋•延边州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，BD是角平分线，BC的垂直平分线EF交BD于点F，交BC于点E．若∠FCA＝25°，则∠A的度数为 　 　． 2．（2023秋•宁国市期末）小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　 　°． 3．（2023秋•包河区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为 　 　． 4．（2023秋•松北区期末）如图，等边△ABC，E为△ABC外一点，AE＝AC，连接BE，若∠EBC＝15°，△ACE的面积等于9，则BC的长为 　 　． 5．（2024秋•路南区校级月考）在等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长． 6．（2023秋•乾安县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点F在BC延长线上，连接FD并延长，交AB于点E，连接AF，求∠BAC和∠ACB的度数． 7．（2024春•历下区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE⊥BD交延长线于点E．若∠BAC＝2∠DAE，求∠DAE的度数． 【类型5 角平分线遇平行线构等腰】 1．（2024•苏州模拟）如图，已知△ABC．∠ABC与∠ACB的平分线OB，OC交于点O，过点O作MN∥BC，交AB，AC于点M，N．若AB＝8，AC＝7，则△AMN的周长＝　 　． 2．（2023秋•龙山区期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F．若FG＝2，ED＝4，则EB+DC的值为 　 　． 3．（2024•冠县校级开学）在△ABC中，BC＝10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E，则△PDE的周长是 　 　cm． 4．（2023秋•北京期末）如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，过点D作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．当AE＝2，BF＝4时，EF的长为 　 　． 5．（2023秋•如皋市期中）如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，BF平分∠ABC交DE于点F，若EC＝3EF＝6，则BD＝　 　． 6．（2023秋•纳溪区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 　 　． 7．（2023秋•武威期末）如图所示，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D交AC于E，延长BC至M，试说明BD，CE，DE之间的数量关系． 【类型6 连底边中线或作底边高线构三线合一】 1．（2023秋•斗门区期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，D为BC延长线上一点，EC⊥AC且AC＝CE，垂足为C，连接BE，若BC＝6，则△BCE的面积为 　 　． 2．（2023秋•长葛市期末）如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM＝ 　 　cm． 3．（2024秋•通州区校级月考）如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，EB＝EF．若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为 　 　． 4．（2024秋•通州区校级月考）如图，等边△ABC中，点P是CA延长线上一点，点D是BC上一点，且PB＝PD．若CP+CD＝10，BD＝3，则AB的长为 　 　． 5．（2023秋•安康期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，EF⊥AC于点F． （1）若点D是AB的中点，求证：∠BDE∠C； （2）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数． 6．（2024秋•奇台县校级月考）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． （1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形． （2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？画出图形，写出结论不证明． 7．（2023秋•南沙区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB． （1）如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数； （2）求证：BC＝2AB． 【类型7 作腰或底的平行线构等腰】 1．（2023秋•宣化区期末）如图，等边三角形ABC的边长为12，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE交CB于点P，点P为DE中点．若DE⊥AC，则AE＝　 　． 2．（2023秋•铁岭县期末）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　 　． 3．（2022秋•柳州期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，以DE为边作等边△DEF，连接CF．若BD＝1，AE＝3．则CF的长是 　 　． 4．（2023春•本溪期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F． （1）当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF． （2）过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC＝4，CF＝1，求BH的长是多少？ 5．（2023秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BA延长线上一点，E为BC上一点，DC＝DE．（1）求证：∠BDE＝∠ACD； （2）若DE是△DBC的中线，交AC于点F，求证：DF＝EF． 6．（2023秋•信阳期中）在等边△ABC中，点D为AC的中点，点F在BC延长线上，点E在射线AB上，∠EDF＝120°． （1）如图1，当点E与点B重合时，则DE与DF的数量关系是 　 　； （2）当点E在线段AB上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由； （3）如图3，当点E在AB的延长线上时，BF＝8，BE＝2，请直接写出BC的长． 7．如图，等边三角形△ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE＝AD，DF⊥BC于F． （1）如图1，若D是AC的中点，求证：①DB＝DE；②BF＝EF； （2）如图2，若点D是边AC上的任意一点，BF＝EF是否仍然成立？请证明你的结论； （3）如图3，若点D是边AC的延长线上任意一点，其它条件不变，（2）中结论是否仍然成立？画图并证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$