专题18 数列的概念及表示五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题18 数列的概念及表示五种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据递推关系求数列通项…………………………………………………3 类型二、由an与Sn的关系求通项公式……………………………………………..5 类型三、求数列的最大项和最小项 ..........6 类型四、用函数研究数列的单调性 ..8 类型五、数列的周期性及应用 ..10 压轴能力测评（10题） 11 1.根据递推关系求数列通项 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. (1)累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： (2)累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： 2. 由an与Sn的关系求通项公式 已知Sn求an的三个步骤 （1）利用a1＝S1求出a1. （2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式． （3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝ 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． （1） 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． （2） 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解 3.求数列的最大项和最小项 求数列最大项或最小项的方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）通过通项公式研究数列的单调性， 利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法： ①若有（或时，）， 则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为； ②若有（或时，）， 则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为 4.用函数研究数列的单调性 判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法：ⅰ.当时，则 ⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列； ⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 5.数列的周期性及应用： (1)周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2) 解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 类型一、根据递推关系求数列通项 例．（1）已知数列，，且，．求数列的通项公式________； 【答案】. 【解析】因为，所以， 当时，，，……，， 相加得，所以， 当时，也符合上式，所以数列的通项公式. 故答案为：. （2）在数列中，，，则数列的通项公式___________. 【答案】 【解析】因为，， 所以，所以当时，， 所以（） 当，满足上式， 所以. 故答案为： 【变式训练1】在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，则有， 于是得，当时， ， 因此，，显然，满足上式， 所以. 故选：C 【变式训练2】已知 ， 则（    ） A．506 B．1011 C．2022 D．4044 【答案】D 【分析】根据累乘法得，再根据通项公式求解即可. 【详解】解：， ， ，， ，， 显然，当时，满足， ∴， . 故选：D. 【变式训练3】已知数列满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由累加法求出数列的通项公式，再根据对勾函数的性质求解即可． 【详解】， ， ， ， 由累加得 ， 所以 ， 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，且， 或5时最小， 时，； 时，； 所以的最小值为 故答案为：． 类型二、由an与Sn的关系求通项公式 例．已知在数列中，，，则__________． 【答案】 【解析】因为，当时，， 则，即有，当时，，得，满足上式， ，，因此数列是常数列，即，所以. 故答案为： 【变式训练1】已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 两式相减可得：，即， 令，可得，且，所以. 故选：A. 【变式训练2】已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】时， 时， ， 故选：D 类型三、求数列的最大项和最小项 例．数列中，，则此数列最大项的值是 . 【答案】 【分析】配方得出，利用二次函数的基本性质可求得最大项的值. 【详解】因为， 故当或时，取得最大值. 故答案为：. 【变式训练1】已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，，，，． 又，， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． 故选：B． 【变式训练2】在数列中，，，则数列的最大项的值是 ． 【答案】4 【分析】根据已知条件判断出和的大小，得出数列的单调性即可求解. 【详解】根据以及，可知， 所以①，则②， 由②①得，即 ， 因为，所以与同号， 又因为，且， 所以，所以数列为单调递减数列， 所以因此数列的最大项是，其值是4． 故答案为：4. 【变式训练3】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解. 【详解】[方法一]:常规解法 因为， 所以，，得到， 同理，可得， 又因为， 故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. [方法二]：特值法 不妨设则 故选：D． 类型四、用函数研究数列的单调性 例．数列满足． （1）若，则 ； （2）若数列是正项单调递增数列，则的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】（1）通过判断是常数列来求得. （2）根据数列的单调性，利用差比较法来求得的取值范围. 【详解】（1）若，，则， 所以数列为常数列，即，所以. （2）若数列是正项单调递增数列， 则对于任意， 且，又， 故， 可得或（舍去）， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：； 【变式训练1】已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，则，是递增数列； 反之，当时，，数列递增， 因此数列是递增数列时，可以不小于3， 所以“”是“是递增数列”的充分不必要条件 故选：A 【变式训练2】若函数使得数列，为递减数列，则称函数为“数列保减函数”，已知函数为“数列保减函数”，则a的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 因为在时单调递减，在时单调递增， 在时单调递减， 在n＝1时取最大值,且最大值为，. 故选：B. 类型五、数列的周期性及应用 例．已知数列满足：且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由计算出数列前4项，得到数列为周期数列，从而得到. 【详解】因为，，， 所以，，， 故数列为周期是3的数列， 所以， 故选：B 【变式训练1】数列满足，则（ ） A．2022 B．2020 C． D． 【答案】C 【解析】由题意，，， ，， 故的周期为4. 又， 故 故选：C 【变式训练2】数列满足，，则（ ） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解析】因为，， 所以，，，， ，，，，， 又，所以. 故选：B 1．数列满足，且，则（ ） A．4043 B．4044 C．2021 D．2022 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，即为常数列，又， 所以， 所以，解得， 故选：A. 2．已知数列满足，，则的最小值为（ ） A．0 B． C． D．3 【答案】C 【解析】由数列满足，且， 可得 ， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，；当时，；当时，， 所以的最小值为. 故选：C. 3．已知数列满足，则“为递增数列”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由为递增数列得，， 则对于恒成立，得．可得，反之不行， 故选：C 4．若数列满足，若恒成立，则的最大值（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】由于， 当时，，即， 当时，， 又， 以上两式相减可得，得，上式对也成立， 所以恒成立即为恒成立， 由为递增数列，得的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：C. 5．已知数列的前n项和为，下列说法错误的是（ ） A．若则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，且，则 【答案】C 【分析】A项，根据数列的通项公式即可求出前项的和；B项，利用比例关系即可求出的值；C项，化简通项公式，利用裂项相消法即可求出；D项，求出数列的周期，即可求出. 【详解】由题意， 对于A，在中， ，A正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，当时，可得，同理当时，可得，依次可求得，依此类推，可知该数列的周期为3，，故D正确． 故选：C. 6．（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意可得，由此推得通项公式，再利用裂项相消法求得，从而对各选项进行判断即可. 【详解】根据题意，可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，，，，且， 所以上述各式相加得，， 经检验：满足，所以，则，故C正确； 对于D，由选项C可知， 所以，故D正确. 故选：BCD. 7．（多选）已知是的前项和，，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 【答案】AC 【分析】推导出，利用数列的周期性可判断各选项的正误. 【详解】因为，，则，，， 以此类推可知，对任意的，，D选项正确； ，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误. 故选：AC. 8．已知，求数列 . 【答案】 【解析】时，， 时，由， 有， 两式相减，得，则有， 时，不符合， 所以 9．设数列满足，若，则的前99项和为 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以当时，， 将与式相减得：，即， 当时，也适用， 所以，， 所以， 故答案为：. 10．已知数列的前项和为，若， (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）仿照与的关系，由求，再求，注意讨论是否符合； （2）先裂项求和，再证明不等式. 【详解】（1）当时， 相减得 当时，符合上式 所以. 当时， 当时，符合上式. 故 （2）由（1）知： 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 数列的概念及表示五种考法 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、根据递推关系求数列通项…………………………………………………3 类型二、由an与Sn的关系求通项公式……………………………………………..5 类型三、求数列的最大项和最小项 ..........6 类型四、用函数研究数列的单调性 ..8 类型五、数列的周期性及应用 ..10 压轴能力测评（10题） 11 1.根据递推关系求数列通项 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. (1)累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： (2)累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）构造： 2. 由an与Sn的关系求通项公式 已知Sn求an的三个步骤 （1）利用a1＝S1求出a1. （2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式． （3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝ 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． （1） 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． （2） 利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解 3.求数列的最大项和最小项 求数列最大项或最小项的方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大(小)项． （2）通过通项公式研究数列的单调性， 利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法： ①若有（或时，）， 则，即数列是递增数列，所以数列的最小项为； ②若有（或时，）， 则，即数列是递减数列，所以数列的最大项为 4.用函数研究数列的单调性 判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （3） 作商比较法：ⅰ.当时，则⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则⇔数列是递减数列； ⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 5.数列的周期性及应用： (1)周期数列的常见形式 ①利用三角函数的周期性，即所给递推关系中含有三角函数； ②相邻多项之间的递推关系，如后一项是前两项的差； ③相邻两项的递推关系，等式中一侧含有分式，又较难变形构造出特殊数列． (2) 解决此类题目的一般方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前项的和． 类型一、根据递推关系求数列通项 例．（1）已知数列，，且，．求数列的通项公式________； （2）在数列中，，，则数列的通项公式___________. 【变式训练1】在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知 ， 则（ ） A．506 B．1011 C．2022 D．4044 【变式训练3】已知数列满足，，则的最小值为 . 类型二、由an与Sn的关系求通项公式 例．已知在数列中，，，则__________． 【变式训练1】已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 类型三、求数列的最大项和最小项 例．数列中，，则此数列最大项的值是 . 【变式训练1】已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】在数列中，，，则数列的最大项的值是 ． 【变式训练3】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ） A． B． C． D． 类型四、用函数研究数列的单调性 例．数列满足． （1）若，则 ； （2）若数列是正项单调递增数列，则的取值范围是 ． 【变式训练1】已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2】若函数使得数列，为递减数列，则称函数为“数列保减函数”，已知函数为“数列保减函数”，则a的取值范围（ ） A． B． C． D． 类型五、数列的周期性及应用 例．已知数列满足：且，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】数列满足，则（ ） A．2022 B．2020 C． D． 【变式训练2】数列满足，，则（ ） A．5 B．4 C．2 D．1 1．数列满足，且，则（ ） A．4043 B．4044 C．2021 D．2022 2．已知数列满足，，则的最小值为（ ） A．0 B． C． D．3 3．已知数列满足，则“为递增数列”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．若数列满足，若恒成立，则的最大值（ ） A． B． C． D．3 5．已知数列的前n项和为，下列说法错误的是（ ） A．若则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，且，则 6．（多选）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（ ） A． B． C． D． 7．（多选）已知是的前项和，，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D．是以为周期的周期数列 8．已知，求数列 . 9．设数列满足，若，则的前99项和为 . 10．已知数列的前项和为，若， (1)求数列的通项公式； (2)证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$