专题20 等比数列及其n项和五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（苏教版2019选择性必修第一册）

专题20 等比数列及其n项和五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、等比数列的基本量求解……………………………………………………2 类型二、等比数列的性质及应用……………………………………………………4 类型三、等比数列的前n项和性质及应用 5 类型四、等差数列的单调性及最值 7 类型五、等比数列的判定与证明 9 压轴能力测评（10题） 11 1.等比数列的基本量： （1）方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． （2）分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 2.等比数列的性质： 已知数列是等比数列，等比数列通项公式的性质： （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为. （2）若，(项数相同)是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有，推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。 （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。 3.等比数列的前n项和性质： 等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且） 4.等比数列的判定与证明： （1）定义法：为常数且数列是等比数列． （2）等比中项法：数列是等比数列． （3）通项公式法：数列是等比数列． （4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 类型一、等比数列的基本量求解 例．记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【变式训练1】已知数列的前n项和为，若，则（ ） A．16 B．32 C．54 D．162 【变式训练2】数列满足，，则数列的前项和______． 【变式训练3】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 类型二、等比数列的性质及应用 例．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式训练1】已知为递增的等比数列，且满足，，则（ ） A． B．1 C．16 D．32 【变式训练2】已知等比数列中，，则的最小值为 . 类型三、等比数列的前n项和性质及应用 例．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A．120 B．85 C． D． 【变式训练1】（多选）下列命题正确的是（ ） A．若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列 B．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列 C．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列 D．若数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件 【变式训练2】等比数列中，为的前n项和，若，则（ ） A． B． C． D．1 【变式训练3】 已知等比数列的前n项和为，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 类型四、等比数列的单调性及最值 例．已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】在等比数列中，公比是，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练2】设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．数列有最大项 D．数列有最小项 【变式训练3】已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 类型五、等比数列的判定与证明 例．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 【变式训练1】(多选)设数列，都是等比数列，则（ ） A．若，则数列也是等比数列 B．若，则数列也是等比数列 C．若的前项和为，则也成等比数列 D．在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列 【变式训练2】设数列满足，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式． 1．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（       ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 2．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 3．设等比数列的公比为q，其前n项和为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的最大值为 4．已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（多选）已知数列的前项和为，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等比数列 7．（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 8．已知数列中，其前n项和为，且满足，数列的前n项和为，若对恒成立，则实数的最大值为__________ 9．已知正项数列是等比数列，成等差数列，. （1）求的通项公式； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 10．已知为等比数列，记分别为数列的前项和，，. （1）求的通项公式； （2）是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 等比数列及其n项和五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、等比数列的基本量求解……………………………………………………2 类型二、等比数列的性质及应用……………………………………………………4 类型三、等比数列的前n项和性质及应用 5 类型四、等差数列的单调性及最值 7 类型五、等比数列的判定与证明 9 压轴能力测评（10题） 11 1.等比数列的基本量： （1）方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键． （2）分类讨论思想：在应用等比数列前n项和公式时，必须分类求和，当时，；当时，；在判断等比数列单调性时，也必须对与分类讨论． 2.等比数列的性质： 已知数列是等比数列，等比数列通项公式的性质： （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为. （2）若，(项数相同)是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有，推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。 （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。 3.等比数列的前n项和性质： 等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且） 4.等比数列的判定与证明： （1）定义法：为常数且数列是等比数列． （2）等比中项法：数列是等比数列． （3）通项公式法：数列是等比数列． （4）前项和公式法：若数列的前项和，则该数列是等比数列． 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法，而后两种方法一般用于选择题、填空题中． 注意：（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． （2）只满足的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要. 类型一、等比数列的基本量求解 例．记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ． 【答案】 【解析】若，则由得，则，不合题意.所以. 当时，因为，所以， 即，即，即，解得 故答案为： 【变式训练1】已知数列的前n项和为，若，则（ ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【解析】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 【变式训练2】数列满足，，则数列的前项和______． 【答案】120 【分析】，利用是等比数列可得的通项公式，从而可得． 【解析】，，又， ，数列是首项为，公比为的等比数列， ，， ， 故答案为． 【变式训练3】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【解析】设等比数列的公比为， 由可得：， 所以， 因此. 故选：B. 类型二、等比数列的性质及应用 例．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得，再结合基本不等式即可求解． 【解析】各项均为正数的等比数列中， 由，则， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为8． 故选：B． 【变式训练1】已知为递增的等比数列，且满足，，则（ ） A． B．1 C．16 D．32 【答案】C 【分析】首先化简等式，并结合等比数列的性质求得，再根据等比数列的基本量求. 【解析】由题意，， 联立，则或 因为是递增的数列，得， 设等比数列的公比为，则 . 故选：C. 【变式训练2】已知等比数列中，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设的公比为，分析可知，，利用基本不等式结合等比数列的性质可求得的最小值. 【解析】设的公比为，由等比数列的知识可知，， 结合可得，. 由基本不等式及等比数列的性质可得， 当且仅当，时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 类型三、等比数列的前n项和性质及应用 例．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以．故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【变式训练1】（多选）下列命题正确的是（ ） A．若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列 B．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列 C．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列 D．若数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件 【答案】BD 【解析】A：若且、公比相等，则，显然不满足等比数列，错； B：若的公比为，而， ， 所以，，是公比为的等比数列，对； C：同B分析，，，， 若为偶数，时，显然各项均为0，不为等比数列，错； D：当，则且，易知为递增数列，充分性成立； 当为递增数列，则且， 显然为满足，但不恒成立，必要性不成立， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，对. 故选：BD 【变式训练2】等比数列中，为的前n项和，若，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为为等比数列，，设， 所以构成等比数列. 所以构成等比数列，所以，所以. 故选：A 【变式训练3】 已知等比数列的前n项和为，则下列说法一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【分析】根据等比数列的前项和公式分别讨论和即可得答案. 【解析】对于AC，当时， ，故， ； 当时，，由于与同号，故， 而的符号随正负变化，故A正确，C错误； 对于BD，当时，，故，， 当时，，显然，分以下几种情况， 当时，，，则，此时； 当时，，，则，此时； 当时，，，则，此时； 当时，，，则，此时； 故当时，与可正可负，故排除BD. 故选：A. 类型四、等比数列的单调性及最值 例．已知正项等比数列的前n项和为，前n项积为，满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式与求和公式求出公比q，进而即可求解 【解析】设公比为q（显然）， 由得， 即，得或（舍去）， 所以递增且， 所以最小值为． 故选：C 【变式训练1】在等比数列中，公比是，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【解析】当时，则， 因为，所以，所以， 故， 所以不能推出， 当时，则， 由，得， 则，所以， 所以不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式训练2】设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ） A．为递减数列 B．为递增数列 C．数列有最大项 D．数列有最小项 【答案】D 【分析】设等比数列的公比为，分析可知，取，可判断AB选项；分、两种情况讨论，利用数列的单调性可判断CD选项. 【解析】设等比数列的公比为，由已知，则， 由可得且， 对于AB选项，若，， 当为奇数时，，此时，则， 当为偶数时，，此时，则， 此时数列不单调，AB都错； 对于CD选项，， 当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项； 当时，若为正奇数时，，则， 此时单调递减，则； 当为正偶数时，，则，此时单调递增，则. 故当时，的最大值为，最小值为. 综上所述，有最小项. 故选：D. 【变式训练3】已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，则， 由题意得，，得，解得， 得. 当时，；当时，， 则的最小值为. 类型五、等比数列的判定与证明 例．已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 【答案】(1)证明见解析;(2)99 【分析】（1）由已知得再由等比数列的定义可得答案； （2）由（1）求出，再由等比数列的求和公式可得，令，根据的单调性可得答案. 【解析】（1），， ，， 是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）：，， ， 令， 因为在单调递增， 所以在单调递增， 单调递增，， 可得，所以满足条件的最大整数为. 【变式训练1】(多选)设数列，都是等比数列，则（ ） A．若，则数列也是等比数列 B．若，则数列也是等比数列 C．若的前项和为，则也成等比数列 D．在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，则这个新数列仍是等比数列 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义判断ABD；举例说明判断C作答. 【解析】数列，都是等比数列，设公比分别为， 对于A，由，得，所以数列为等比数列，A正确； 对于B，由，得，所以数列为等比数列，B正确； 对于C，令，则，不成等比数列，C错误； 对于D，为常数，D正确． 故选：ABD 【变式训练2】设数列满足，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：由，，得， 由，得， 所以， 故数列是以为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得，则， 则；；， ． 由累加法可得， 又，则，同时满足上式， 所以． 1．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（       ） A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前项和公式进行求解即可. 【解析】设等比数列的公比为， 由可得：， 所以， 因此. 故选：B. 2．记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为等比数列，所以，故即， 由可得或，因为为递增数列，故符合. 此时，所以或（舍，因为为递增数列）. 故，. 故选：C. 3．设等比数列的公比为q，其前n项和为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】B 【分析】根据已知条件分情况讨论判断得，进而可判断其它选项． 【解析】若，， ， 则与矛盾， 若，， ， 则与矛盾， ， 故B正确； ，则， ，故A错误； ， 单调递增，故D错误； ， ，故C错误． 故选：B． 4．已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意，取最小值时为负数，且，利用等比数列的基本量运算即可求解. 【解析】由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择和， 设等比数列的公比为， 当时，，所以，所以， 所以； 当时，，所以，所以， 所以； 综上，的最小值为. 故选：B 5．在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式，列方程求解. 【解析】由 得，所以，或（舍去）， 由，得，所以， 由，得，所以，即n的最小值为9； 故选：C. 6．（多选）已知数列的前项和为，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 是等比数列 【答案】ABD 【分析】根据给定条件求出判断A；求出数列的通项及前项和判断BCD. 【解析】数列的前项和为，，且，则，即，解得，A正确； 由，得当时，，两式相减得，即，， 显然不满足上式，因此，数列不是等比数列，C错误； 显然，B正确； 因为，，则，于是是等比数列，D正确. 故选：ABD 7．（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析. 【解析】由题意，同号，即与同号，， 又有…①或…②； 若为①，则有 ，即； 若为②，则有，则不可能大于1，即②不成立； ，并且，，即是递减的正数列， A错误； 所以，B正确； ，即对任意的n都成立，C错误； 当时，，当时，，是的最大值，D正确； 故选：BD. 8．已知数列中，其前n项和为，且满足，数列的前n项和为，若对恒成立，则实数的最大值为__________ 【答案】 【分析】由，利用，得到数列是以1为首项，为公比的等比数列，进而得到是以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列前n项和公式得到，，将恒成立，转化为对恒成立，再分n为偶数和n为奇数讨论求解，求出取值范围，即可得最大值． 【解析】当时，，得当时，由，得， 两式相减得，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列． 因为，所以．又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，， 由，得， 所以， 所以． 又，所以， 所以， 即对恒成立， 当n为偶数时，， 所以， 令，则数列是递增数列， 所以 当n为奇数时，， 所以， 所以， 所以，综上，实数的取值范围是， 故实数的最大值为， 故答案为： 9．已知正项数列是等比数列，成等差数列，. （1）求的通项公式； （2）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据条件，可求得的值，继而利用成等差数列，求得，即可求解； （2）不等式化为，考查数列的单调性，求得最大值即可. 【解析】（1）设数列的公比为，， 因为， 化为， 解得或者（舍）， 又因为成等差数列， 所以， 即， 所以， 故. （2）不等式化为， ， 设， 则 所以单调递减， 故当时，最大，且最大值为， 又不等式恒成立， 故实数的取值范围为. 10．已知为等比数列，记分别为数列的前项和，，. （1）求的通项公式； （2）是否存在整数，使对任意正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），；（2）存在，的最小值为3. 【解析】（1）设等比数列的公比为，根据已知得，且 解方程组得 的通项公式为. ，，解得， 且. ，即. 且，则， 整理得，故是以1为首项，2为公差的等差数列， 故，的通项公式为. （2）设， 则. ， . 恒成立，且, 存在整数，使对任意正整数都成立，且的最小值为3. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$