精品解析：河南省信阳市潢川县潢川二中，牛岗中学联考2024—2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024~2025学年上期九年级第一学月学业水平检测 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的有（ ） ①；②；③；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答． 【详解】①，是二次函数； ②，分母中含有字母，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数. 则二次函数共2个， 故选：B 2. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 3. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 4. 二次函数（a、b、c为常数且）中的x与y的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 5 12 5 0 0 5 12 给出了结论： （1）二次函数有最小值，最小值为； （2）当时，； （3）二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧． 则其中正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：（1）由表可知：时，二次函数有最小值，最小值为，故（1）正确． （2）若，则的取值范围，则当时，，故（2）正确． （3）由表可知：二次函数的图象与轴有两个交点，分别是，， 它们分别在轴两侧，故（3）正确． 故选：A 5. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：D． 6. 将抛物线 向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到新抛物线 则的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意，向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到： ∴ 解得： ∴， 故选：B． 7. 王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程即可． 【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：； 故选C． 8. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 9. 已知抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质；熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键． 首先得到对称轴为直线：，抛物线开口向下，然后根据离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小求解即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线：， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小； ∵，，， ∴． 故选B． 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵抛物线和x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， ∴4ac﹣b2＜0，∴①正确； ∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间， ∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0， ∴4a+c＞2b，∴②错误； ∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0， ∴2a+2b+2c＜0， ∵b=2a， ∴3b，2c＜0，∴③正确； ∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1， ∴y=a﹣b+c的值最大， 即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c， ∴am2+bm+b＜a， 即m（am+b）+b＜a，∴④正确； 即正确的有3个， 故选B． 考点：二次函数图象与系数的关系 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且． 故答案为：且． 12. 若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为____． 【答案】m＞﹣1 【解析】 【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可． 【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）， ∴顶点坐标为（2，m+1）， ∵顶点在第一象限， ∴m+1＞0， ∴m的取值范围为m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 13. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 14. 已知关于x的方程的两个实数根．若等腰三角形的一边长，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，的周长为______． 【答案】13或14 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可知b=c或b、c中有一个为5，①当b=c时，根据根的判别式Δ=0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x=5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC为等腰三角形， ∴b=c或b、c中有一个为5． ①当b=c时，Δ=（m-5）2=0， 解得：m=5， ∴原方程为x2-8x+16=0， 解得：b=c=4， ∵b+c=4+4=8＞5， ∴4、4、5能构成三角形． 该三角形的周长为4+4+5=13． ②当b或c中的一个为5时，将x=5代入原方程，得：25-5m-15+4m-4=0， 解得：m=6， ∴原方程为x2-9x+20=0， 解得：x1=4，x2=5． ∵4、5、5能组成三角形， ∴该三角形的周长为4+5+5=14． 综上所述，该三角形的周长是13或14， 故答案为：13或14． 【点睛】本题考查了三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是需要分类讨论，以防漏解． 15. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到AB=AC，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB的最小时，即AC的值最小． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠B=90° ∴AC= ∴AB=AC， ∵y=x2-4x+6 =（x-2）2+2， ∴当x=2时，AC有最小值2， 即正方形的边长AB的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先移项，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， ∴，， 解得：，． 17. 已知关于x的方程． （1）求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：， ∵， ∴， ∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）a的值为1，该方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程的解、解一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）先求得，然后根据时，一元二次方程有两个不相等的实数根可得结论； （2）先将根据题意，将代入方程中求得，则方程为，然后解方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，将代入方程中，得， 解得， ∴方程为， ∴ 解得，， ∴a的值为1，该方程的另一个根为． 18. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C(−1，0)和D两点． （1）求此抛物线的解析式． （2）结合图像填空： ①关于的一元二次方程的解是___________． ②不等式的解集为__________． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4；（2）①x1=0，x2=2；②x＜-1或x＞3 【解析】 【分析】（1）由图象可知抛物线顶点为（1，4），故设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，代入点（0，3）即可求得a的值； （2）根据抛物线的对称性求得点（0，3），（-1，0）的对称点，然后根据图象即可求得． 【详解】解：（1）由图象可知抛物线顶点为（1，4）， ∴设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4， ∵抛物线与y轴交于点B（0，3）， ∴3=a+4，解得a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4； （2）①∵抛物线对称轴为直线x=1， ∴（0，3）关于直线x=1的对称点是（2，3）， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的解是x1=0，x2=2； 故答案为：x1=0，x2=2； ②∵抛物线对称轴为直线x=1， ∴（-1，0）的对称点是（3，0）， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜-1或x＞3， 故答案为：x＜-1或x＞3． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 19. “低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某运动商城的自行车销售量自年起逐月增加，据统计，年该商城月份销售自行车辆，月份销售了辆． （1）求月到月自行车销量的月平均增长率； （2）若按照（）中自行车销量的增长速度，问该商城月份能卖出多少辆自行车? 【答案】（1）月到月自行车销量的月平均增长率为； （2）该商城月份能卖出辆自行车． 【解析】 【分析】（）设月到月自行车销量的月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （）根据上题求得的增长率求得月份的销量即可； 此题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 设月到月自行车销量的月平均增长率为， 根据题意列方程：， 解得：（不合题意，舍去），， 答：月到月自行车销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 （辆）， 答：该商城月份能卖出辆自行车． 20. 如图，抛物线经过点，，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在第一象限，连接，，当线段最长时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查二次函数的综合，待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于先利用待定系数法求函数的解析式，然后根据解析式表示点的坐标，再利用坐标表示线段的长，利用二次函数的性质求线段的最大值． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出点A，B所在直线表达式为，然后得到，，然后表示出，根据二次函数的性质得出当时，线段最长为，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴ 解得 ∴； 【小问2详解】 解：设点A，B所在直线表达式为 ∴ 解得 ∴点A，B所在直线表达式为 ∵过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t． ∴， ∴ ∴当时，线段最长为 ∴此时的面积． 21. 阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【答案】，（舍去）；，；， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ①当时，即时，原方程化为： ∴ 或 解得，（舍去）； ②当时，即时，原方程化为 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 22. 某商家销售一种成本为30元的商品销售一段时间后发现，每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系为，物价部门规定，该商品的销售单价不能超过60元件． （1）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元？ （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）销售单价定为40元件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润9000元 （2）销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为18000元 【解析】 【分析】（1）根据每件的利润乘以销售量等于总利润，列出方程，即可求解； （2）根据每件的利润乘以销售量等于总利润，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 整理，得， 解得，， 销售单价最高不能超过60元件， ， 答：销售单价定为40元件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润9000元； 【小问2详解】 解：设销售利润为元， 则， ，且销售单价最高不能超过60元件， 当时，取最大值为：18000， 故当销售单价定为60元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，其最大利润为18000元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 23. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或；（3）点M的横坐标的取值范围是：或． 【解析】 【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值； （2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解； （3）画出图形，利用数形结合思想求解即可． 【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上， ∴，， 解得：，； （2）由（1）得抛物线的解析式为，直线的解析式为， 解方程，得：． ∴点B的横坐标为，纵坐标为， ∴点B的坐标为(-1，3)， 观察图形知，当或时，抛物线在直线的上方， ∴不等式>的解集为或； （3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1， ∵点A(2，0)，点B(-1，3)， ∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)， ∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段， 对于抛物线， ∴顶点为(1，-1)， 如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 此时， 当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线也只有一个公共点， 此时点M1的纵坐标为-1，则，解得， 综上，点M的横坐标的取值范围是：或． ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上期九年级第一学月学业水平检测 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列函数中是二次函数的有（ ） ①；②；③；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 3. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数（a、b、c为常数且）中的x与y的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 5 12 5 0 0 5 12 给出了结论： （1）二次函数有最小值，最小值为； （2）当时，； （3）二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧． 则其中正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 6. 将抛物线 向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到新抛物线 则的值为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 7. 王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 12. 若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为____． 13. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 14. 已知关于x的方程的两个实数根．若等腰三角形的一边长，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，的周长为______． 15. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是___________． 三、解答题（共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的方程． （1）求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根． 18. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C(−1，0)和D两点． （1）求此抛物线的解析式． （2）结合图像填空： ①关于的一元二次方程的解是___________． ②不等式的解集为__________． 19. “低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某运动商城的自行车销售量自年起逐月增加，据统计，年该商城月份销售自行车辆，月份销售了辆． （1）求月到月自行车销量的月平均增长率； （2）若按照（）中自行车销量的增长速度，问该商城月份能卖出多少辆自行车? 20. 如图，抛物线经过点，，点P是直线上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在第一象限，连接，，当线段最长时，求的面积． 21. 阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 22. 某商家销售一种成本为30元的商品销售一段时间后发现，每天的销量（件）与当天的销售单价（元件）满足的函数关系为，物价部门规定，该商品的销售单价不能超过60元件． （1）问销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是9000元？ （2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润最大，并求出最大利润． 23. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $