精品解析：黑龙江哈尔滨市萧红中学2026-2027学年上学期八年级期中考试数学试题

哈尔滨市萧红中学校2026—2027学年度上学期 八学年·数学学科·期中测试 （★同学们，请将所有试题答案完整书写在“答卷页”上，否则无效．★） 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 体育是一个锻炼身体、增强体质、培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的各组线段能组成三角形的是（ ） A. 3、8、 5 B. 5、5、10 C. 15、10、7 D. 12、5、6 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，且，添加下列条件，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　　） A. 50° B. 45° C. 30° D. 20° 9. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 10. 如图，在中，点A，B，C的坐标分别为，和，则当的周长最小时，m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 计算：______． 12. 在中，平分，平分，当时，________． 13. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是________．（填“成立的”或“不成立的”） 14. 如图，在中，，是上一点，连接．若，则的度数是________． 15. 若，，则_______． 16. 如图，中， 平分， ， ，且 的面积为4，则的面积为______． 17. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线，交于点D，交于点E，若，的周长为，则的周长为________． 18. 若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为______． 19. 对于整数、定义运算：（其中、为常数），如．则当，时，________． 20. 如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④平分；⑤为等边三角形；⑥若，则；其中正确的结论为________．（填序号） 三、解答题（21题7分，22题7分，23题8分，24题8分，25题—27题每题10分，满分60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 24. 如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． （1）求证：； （2）求的长． 25. 如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． （1）求剩余铁皮（阴影部分）的面积． （2）当时，求剩余铁皮的面积． 26. 根据题意解答下列问题： （1）【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点D在外，连接、、，且，过点A作于点E，请直接写出、、之间的数量关系． 小马的解题思路如下：如图1，在BD上截取，连接AF，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为________； （2）【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图2，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点F，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）【学以致用】如图3，在中，，，点D在边上，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，求的面积． 27. 如图所示，中，，，于，以为原点，直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，点坐标为． （1）求点坐标； （2）点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，过点作轴的平行线交直线于点，设点运动时间为，线段长度为，试用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，当点在延长线上时，连接，在线段上取点，连接，使，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市萧红中学校2026—2027学年度上学期 八学年·数学学科·期中测试 （★同学们，请将所有试题答案完整书写在“答卷页”上，否则无效．★） 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 体育是一个锻炼身体、增强体质、培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义 解答即可． 【详解】解：根据定义，得A，B，C都不符合要求； D是轴对称图形． 2. 下列长度的各组线段能组成三角形的是（ ） A. 3、8、 5 B. 5、5、10 C. 15、10、7 D. 12、5、6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项判断较小的两个数的和与第三个数的关系，即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得 A、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、， 能够组成三角形，故此选项符合题意； D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，解答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 选项A运算错误． ∵ ， ∴ 选项B运算错误． ∵ ， ∴ 选项C运算正确． ∵ ， ∴ 选项D运算错误． 4. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可直接求解． 【详解】解：∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵点的坐标为，其横坐标为，纵坐标为，的相反数为， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 5. 如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数． 【详解】∵过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 可得， 故选． 6. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角的直角三角形的对边等于斜边的一半，解题关键是理解这些图形的性质． 【详解】∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 即． 7. 如图，，且，添加下列条件，不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】A.添加，SSA对应相等，不能证明全等，符合题意； B. 添加，SAS对应相等，可以全等，不符合题意； C. 添加，AAS对应相等，可以全等，不符合题意； D. 添加，ASA对应全等，可以全等，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，HL． 8. 如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　　） A. 50° B. 45° C. 30° D. 20° 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：根据线段的垂直平分线性质，可得AD=BD，AE=CE． 故∠EAC=∠ECA，∠ABD=∠BAD． 因为∠BAC=100°，∠ABD+∠ACE=180°-100°=80°， ∴∠DAE=100°-∠BAD-∠EAC=20°． 故选：D． 9. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 10. 如图，在中，点A，B，C的坐标分别为，和，则当的周长最小时，m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称—最短路径问题，考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，根据已知得出A点位置是解题关键． 作B关于x轴对称点为，连接，交x轴于点，此时周长最小，由等腰直角三角形的性质可求，可求，即可求解． 【详解】解：如图所示，作B关于x轴对称点为，连接，交x轴于点，此时周长最小， 过点C作轴，过点作轴，交于， ， ， ， ， ， ， ， ， 则此时坐标为． 的值为2． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方运算，熟练掌握积的乘方的运算法则是解题的关键． 根据积的乘方等于积中各项乘方的积计算即可． 【详解】解：. 故答案为：. 12. 在中，平分，平分，当时，________． 【答案】115 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，平分，平分，， ∴， ∴； 故答案为：115． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和是解题的关键． 13. 命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是________．（填“成立的”或“不成立的”） 【答案】不成立的 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，结合全等三角形的判定规则判断逆命题的真假． 【详解】解：∵ 原命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形为全等三角形”，结论是“这两个三角形的对应角相等” ． ∴ 交换题设与结论得到的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等” ． ∵ 两个三角形对应角相等时，仅能说明二者形状相同，大小不一定相等，例如边长分别为1和2的两个等边三角形，对应角均为，但边长不相等，不满足全等的判定条件． ∴ 该逆命题是不成立的． 14. 如图，在中，，是上一点，连接．若，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，，，根据外角性质得出，根据三角形内角和定理得出，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 15. 若，，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算．利用同底数幂的乘法的逆运算得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：10． 16. 如图，中， 平分， ， ，且 的面积为4，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】过作于，于，由的面积可求得的长，根据角平分线的性质可求得，可求得的面积，进而求的面积． 【详解】 解：过作于，于， ， ， 是的平分线， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 17. 如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线，交于点D，交于点E，若，的周长为，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】按照线段垂直平分线的性质进行求解． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ，， ， ． 18. 若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质定理与三角形内角和定理，即可求解．掌握等腰三角形底角相等是解题的关键． 【详解】∵等腰三角形的一个外角为， ∴等腰三角形有一个内角为， 当等腰三角形底角为时，另两个角为或，符合题意， 当等腰三角形顶角为时，两个底角为， 故答案是：或 19. 对于整数、定义运算：（其中、为常数），如．则当，时，________． 【答案】6 【解析】 【分析】将对应参数代入新定义的运算表达式，结合幂的运算性质计算即可. 【详解】解：根据题中定义的运算规则，. 将，，，代入运算式，可得 . . 的任意正整数次幂的结果为. . . 20. 如图所示，已知和均是等边三角形，点、、在同一条直线上，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，则下列结论：①；②；③；④平分；⑤为等边三角形；⑥若，则；其中正确的结论为________．（填序号） 【答案】①②③⑤⑥ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明，根据全等三角形对应边相等可得，可判断①正确；再证明，根据全等三角形的性质得到，，可判断②正确；进而证明是等边三角形，可判断⑤正确；根据等边三角形的性质可得，根据平行线的判定，可判断③正确；求得，进行角度运算可判断⑥正确，进而可得答案． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，，，故①正确； ∵， ∴，又，， ∴， ∴，，故②正确； 又∵， ∴是等边三角形，故⑤正确； ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故⑥正确； 过C作于P，于Q， ∵，， ∴，即， ∴， ∴平分，无法证明平分，故④错误， 综上，正确的结论有①②③⑤⑥． 三、解答题（21题7分，22题7分，23题8分，24题8分，25题—27题每题10分，满分60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘以单项式的计算法则，解答即可． （2）根据单项式乘以多项式的计算法则，解答即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简的结果是，值为4 【解析】 【分析】首先去括号，根据整式的乘法，整式的加减运算法则，解答即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换及三角形面积计算，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征以及利用割补法求三角形面积． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，找到、、的对称点，再连接成三角形； （2）直接根据关于轴对称的点的坐标变化规律写出坐标； （3）利用割补法，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积来计算的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由关于轴对称的点的坐标特征可知： ； 【小问3详解】 解：． 24. 如图，，分别是等边三角形的两边，上的点，且，、相交于点，于，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可； （2）根据全等三角形的性质，直角三角形的性质，解答即可． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由（1）得， ． 25. 如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米． （1）求剩余铁皮（阴影部分）的面积． （2）当时，求剩余铁皮的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式运算的应用： （1）用长方形的面积减去正方形的面积，进行求解即可； （2）将代入（1）中的结果中，进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为； 【小问2详解】 当时，； 答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为． 26. 根据题意解答下列问题： （1）【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点D在外，连接、、，且，过点A作于点E，请直接写出、、之间的数量关系． 小马的解题思路如下：如图1，在BD上截取，连接AF，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为________； （2）【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图2，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点F，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）【学以致用】如图3，在中，，，点D在边上，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【小问1详解】 解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 27. 如图所示，中，，，于，以为原点，直线为轴，直线为轴建立平面直角坐标系，点坐标为． （1）求点坐标； （2）点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，过点作轴的平行线交直线于点，设点运动时间为，线段长度为，试用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，当点在延长线上时，连接，在线段上取点，连接，使，当时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，，根据点A的坐标，建立等式求解即可； （2）根据直角三角形的性质，分点P在线段上和线段的延长线上，两种情况解答即可； （3）过点E作于点F，连接，设的交点为Q，利用三角形全等，平行线的性质，直角三角形的性质，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得点坐标为 ∴； ，， ，， ， ， 设，则 ， ， ， 解得， ， 在x轴的正半轴上， ． 【小问2详解】 解：根据（1）得， 当点P在线段上运动时，此时运动时长为（秒）， ，，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，且； 当时，，， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴； 综上所述，． 【小问3详解】 解：如图，过点E作于点F，连接，设的交点为Q， ，，， ， ， ∵， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $