精品解析：广西壮族自治区梧州市2024-2025学年高二上学期10月份联合考试数学试题

高二10月联合检测卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第二章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（ ） A. 3 B. 12 C. 15 D. 3或15 3. 下列直线的倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 已知直线与直线平行，且与椭圆的交点为，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ） A. 6 B. C. D. 3 7. 设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某双曲线笔筒的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且直线不经过第二象限，则 B. 方程表示的直线都经过点 C. 直线不可能与轴垂直 D. 直线的倾斜角为 10. 已知圆，圆，且圆与圆相交于，两点，则（ ） A. 过点且被圆截得的弦长最短的直线方程为 B. 直线的方程为 C. D. 以线段为直径的圆的方程为 11. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（ ） A. 的最小值为0 B. 当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为 C. 当的重心在轴上时，的面积为 D. 当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的短轴长为__________，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为__________. 13. 点关于直线的对称点坐标为__________. 14. 已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 16. 求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； （2）焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 17. 已知直线过点且与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 18. 已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. （2）设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二10月联合检测卷 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第二章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程求得正确答案. 【详解】依题意，，且抛物线的开口向上，焦点在轴上， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：B 2. 若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为9，则到左焦点的距离为（ ） A. 3 B. 12 C. 15 D. 3或15 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线方程求得，再利用双曲线的定义即可得解. 【详解】因为双曲线方程为，所以，则， 设双曲线的左､右焦点分别为， 又点在双曲线的右支上，且， 所以，则. 故选：C. 3. 下列直线的倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，即可求解. 【详解】A，B，C，D四个选项中直线的斜率分别为， 其中，，且， 所以当时，直线的倾斜角最大. 故选：D 4. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆的一般式得到圆心坐标，再利用圆的对称性得到关于的方程，进而再将圆的一般式化为标准方程，从而得解. 【详解】由，可得圆的圆心为. 因为圆关于直线对称， 所以由圆的对称性可知，圆心在直线上， 则，解得， 故圆，可化为， 所以圆的半径为. 故选：A. 5. 已知直线与直线平行，且与椭圆的交点为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点在椭圆上，结合斜率，利用点差法可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为，即， 因为，都在椭圆上， 所以，， 则， 即， 所以， 所以， 故选：A. 6. 已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ） A. 6 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程，结合圆的切线的性质进行求解即可. 【详解】，圆的半径为， 所以， 故选：B. 7. 设点，斜率为的直线过点且与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图象，结合斜率公式求得正确答案. 【详解】如图，直线的斜率， 直线的斜率， 所以当直线与线段相交时， 的斜率的取值范围是. 故选：D 8. 如图，某双曲线笔筒的轴截面曲线部分为一条离心率为且焦距为的双曲线的一部分.忽略笔筒的厚度，该笔筒中间最窄处的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，该笔筒中间最窄处的直径为得解. 【详解】依题意可得，所以， 所以该笔筒中间最窄处的直径为. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，且直线不经过第二象限，则 B. 方程表示的直线都经过点 C. 直线不可能与轴垂直 D. 直线的倾斜角为 【答案】BD 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到的不等式组，从而可判断A；利用直线过定点的求法可判断B；直接举例可判断C；利用直线一般式求得斜率，进而得其倾斜角，从而判断D. 【详解】对于A，因为， 所以可化为，若直线不经过第二象限， 则，得，故A错误； 对于B，直线方程可整理为， 令，得，所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，此时与轴垂直，故C错误； 对于D，直线的斜率为，则其倾斜角为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知圆，圆，且圆与圆相交于，两点，则（ ） A. 过点且被圆截得的弦长最短的直线方程为 B. 直线的方程为 C. D. 以线段为直径的圆的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据当弦与垂直时所截得的弦最短判断A；利用两圆方程相减判断B；利用弦长公式判断C；求出圆心与半径判断D. 【详解】圆，圆， 所以圆心为，半径为，圆心为，半径为， 点在圆内，当弦与垂直时，所截得的弦最短，此时的直线方程为，A错误； 圆和圆的方程相减可得，所以直线的方程为，B正确； 点到直线：的距离为，故，C正确； 直线的斜率直线的方程为，即， 与直线的方程为联立可得的中点为，即圆心为原点半径为， 所以以线段为直径的圆的方程为，D正确. 故选：BCD. 11. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于A，B两点，其中点在第一象限．若动点在的准线上，则（ ） A. 的最小值为0 B. 当为等腰三角形时，点的纵坐标的最大值为 C. 当的重心在轴上时，的面积为 D. 当为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】求得直线的方程与抛物线方程联立求得，，利用向量数量积的坐标运算求得最小值，可判断A；要使得点的纵坐标最大，则，据此计算可判断B；求得重心坐标，重心在轴上时，可求，进而可求面积判断C；为钝角三角形时，点的纵坐标的取值范围判断D. 【详解】依题意可得，直线AB的方程为， 代入，消去得，解得，， 因为点在第一象限，所以，． 的准线方程为，设， 则，， 所以，故A正确． 当为等腰三角形时，要使得点的纵坐标最大，则， 即，且，解得，故B错误． 的重心坐标为，即， 当的重心在轴上时，，得， 的面积为，故C正确． 当，，三点共线时，，，， 所以，解得． 由A分析知，得为锐角或直角， 当为直角或为直角时，或， 所以，， 解得或， 当为钝角三角形时，且， 所以，， 解得且， 所以点的纵坐标的取值范围为，故D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 椭圆的短轴长为__________，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】现根据椭圆方程得到的值，再结合椭圆的几何性质及定义即可求解. 【详解】由椭圆， 则，即， 所以短轴长为，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为. 故答案为：2 ；. 13. 点关于直线的对称点坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设对称点为，根据，中点在直线上，列方程可得解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 由直线的斜率为， 可得， 解得， 所以点关于直线的对称点坐标为， 故答案为：. 14. 已知直线与圆相交于两点，当的面积取得最大值时，直线的斜率为，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设圆的半径为且，根据三角形的面积公式，得到时，的最大值为，结合圆的性质和点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】由，可化为，则圆心， 设圆的半径为且，则， 当时，的最大值为， 不妨取直线的方程为，因为， 所以点到直线的距离为，所以，解得， 又由，可得，解得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标是为的中点. （1）求中线的方程； （2）求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，再根据点斜式方程即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 故的方程是，即； 【小问2详解】 因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 16. 求符合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； （2）焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程. 【小问1详解】 因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以， 解得，所以， 所以所求双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以， 所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 17. 已知直线过点且与圆相切. （1）求直线的方程； （2）若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）判断出点为切点，根据切线的性质，即可求得答案； （2）设所求圆的圆心坐标为，结合圆心到直线的距离，根据弦长列式求出t的值，即可得答案. 【小问1详解】 可化为，即圆心为，半径为 将点的坐标代入圆的方程，成立，则点在圆上， 点与点连线的斜率为， 所以直线的斜率为1， 故直线的方程为，即. 【小问2详解】 设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为， 所以该圆的方程是. 因为该圆被直线截得的弦长为， 所以该圆圆心到直线的距离， 由，解得. 故圆的标准方程为或. 18. 已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 【答案】（1） （2）4或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义转化一个距离，则可用两点间距离线段最短得解； （2）利用方程组思想结合韦达定理，转化到坐标法来研究，即可得解. 【小问1详解】 设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得， 则， 当三点共线且点在线段上时，取得最小值， 则，整理得，解得或， 因为，所以，故的方程为. 【小问2详解】 设过点的直线. 联立，消元得，显然， 所以， 由， 得 代入韦达定理得： 化简得， 得或. 故的斜率为4或. 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. （2）设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明:联立，得， 则，且， 因为点关于轴的对称点为点，所以， AI 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 ， 当时，， 故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据曲线的定义列式，结合椭圆标准方程的特点求解； （2）（i）根据曲线的定义求出曲线的方程，联立方程组，利用弦长公式求解；（ii）联立直线与曲线的方程，可得根与系数关系，求出直线的方程为，令，运算求解的为定值，得证. 【小问1详解】 设，由，得. 由，得. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则且， 所以可化为，所以， 则，故的取值范围为. 【小问2详解】 由得，化简得曲线的方程为， 则的右焦点为，设，， （i）联立，得， 则，且， 所以， （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $