第二十五章 概率初步（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（人教版，辽宁专用）

第二十五章 概率初步 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的·下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（   ） A．守株待兔 B．缘木求鱼 C．水涨船高 D．拔苗助长 2．在下列事件中，属于随机事件的个数为（    ） ①标准大气压下，加热到 时，水沸腾； ②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；③掷一次骰子，向上一面的点数是6；④任意画一个三角形，其内角和是360°；⑤经过有交通信号灯的路口时，遇到红灯；⑥射击运动员射击一次，命中靶心． A．2 B．3 C．4 D．5 3．小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 B．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．抛一个质地均匀的正方体骰子，落下后朝上的面点数是3 D．一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球 4．某地区共有甲、乙、丙、丁四个足球队，现从这四个队中随机抽取两个队进行一场足球比赛则恰好抽到甲队和丁队的概率是（　　） A． B． C． D． 5．以下说法合理的是（    ） A．一个抽奖活动中，中奖概率为，若抽奖10次，就会有1次中奖 B．天气预报说明天下雨的概率是，所以明天将有一半的时间在下雨 C．小凡做3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此她说钉尖朝上的概率是 D．小亮做了3次掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 6．某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（    ） A． B． C． D． 7．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．从1，2，3，4四个数字中随机选出两个不同的数，分别记作，则关于x的一元二次方程只有两个相等实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 9．在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字，，0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 10．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在5号板上的概率是 ． 12．双眼皮由显性基因A控制，小明的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为和，则小明是双眼皮的概率是 ． 13．如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．    14．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，-1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点落在直角坐标系第二象限的概率是 ． 15．小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是 ． 三、解答题 16．解下列方程 (1)． (2)先化简再求值：，其中x满足 17．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． （1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率； （2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 18．人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： 九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为： 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b      根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：____________，____________，____________； (2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高?请说明理由（一条理由即可） (3)在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率． 19．玉溪高原体育运动中心，2024中国足球协会甲级联赛正如火如荼进行，数学老师用游戏的方式从小组积分较高的甲、乙两个学习小组中确定一个小组，并给小组全部成员提供足球票集体观看某一场足球比赛． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为．然后计算这两个数的积，即．若为奇数，则甲组获得足球票；否则，乙组获得足球票． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一组更有可能获得足球票 20．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． (1)从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； (2)若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 21．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； (4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 22．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D，B运动的时间是，过点D作于点F，连接． (1)用含t的代数式表示 ， ． (2)是否存在某一时刻t，使点F在线段的中垂线上?若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．是是 (3)当t为 时，为直角三角形．（直接写答案） (4)是否存在某一时刻t，使的面积是面积的，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 概率初步 （人教版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的·下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（   ） A．守株待兔 B．缘木求鱼 C．水涨船高 D．拔苗助长 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、守株待兔，是随机事件，不符合题意； B、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； C、水涨船高，是必然事件，符合题意； D、拔苗助长，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 2．在下列事件中，属于随机事件的个数为（    ） ①标准大气压下，加热到 时，水沸腾； ②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；③掷一次骰子，向上一面的点数是6；④任意画一个三角形，其内角和是360°；⑤经过有交通信号灯的路口时，遇到红灯；⑥射击运动员射击一次，命中靶心． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】题考查了随机事件，必然事件和不可能事件的相关概念，理解概念是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：①标准大气压下，加热到 时，水沸腾，是必然事件； ②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件； ③掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件； ④任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件； ⑤经过有交通信号灯的路口时，遇到红灯，是随机事件； ⑥射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件． 综上分析可知：属于随机事件的个数为4个，故C正确． 故选：C． 3．小明做“用频率估计概率”的试验时，根据统计结果，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　） A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率 B．一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．抛一个质地均匀的正方体骰子，落下后朝上的面点数是3 D．一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案． 【详解】A、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的扑克牌，洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故B选项错误； C、抛一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是3的概率是≈0.17，故C选项正确； D、一个不透明的袋子中有4个白球、1个黑球，它们除了颜色外都相同，从中抽到黑球的概率为，故D选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 4．某地区共有甲、乙、丙、丁四个足球队，现从这四个队中随机抽取两个队进行一场足球比赛则恰好抽到甲队和丁队的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 甲 乙 丙 丁 甲 乙甲 丙甲 丁甲 乙 甲乙 丙乙 丁乙 丙 甲丙 乙丙 丁丙 丁 甲丁 乙丁 丙丁 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好抽到甲队和丁队的情况有种， ∴恰好抽到甲队和丁队的概率是， 故选：B． 5．以下说法合理的是（    ） A．一个抽奖活动中，中奖概率为，若抽奖10次，就会有1次中奖 B．天气预报说明天下雨的概率是，所以明天将有一半的时间在下雨 C．小凡做3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此她说钉尖朝上的概率是 D．小亮做了3次掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是 【答案】D 【分析】此题主要考查了概率的意义，根据概率的意义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、一个抽奖活动中，中奖概率为，若抽奖10次，不一定会有1次中奖，原说法不合理，不符合题意； B、天气预报说明天下雨的概率是，所以明天可能下雨，也可能不下雨，原说法不合理，不符合题意； C、小凡做3次掷图钉的试验，发现2次钉尖朝上，由此她说钉尖朝上的概率是是不合理的，因为试验次数太少，偶然性因素很多，原说法不合理，不符合题意； D、小亮做了3次掷均匀硬币的试验，其中有1次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是，原说法合理，符合题意； 故选：D 6．某校团支部组织部分共青团员开展学雷锋志愿者服务活动，每个志愿者都可以从以下三个项目中任选一项参加：①敬老院做义工；②文化广场地面保洁；③路口文明岗值勤．则小明和小慧选择参加同一项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意画出树状图，如图所示： ∵共有9种等可能的情况，其中小明和小慧选择参加同一项目的有3种情况， ∴小明和小慧选择参加同一项目的概率为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了概率公式、画树状图或列表格求概率，根据题意画出树状图或列出表格，是解题的关键． 7．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有4个，黑球有x个，若随机从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近，则x的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，一已知概率求数量，解分式方程，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，则摸出黑球的概率为，再由概率计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验发现摸出黑球的频率稳定在附近， ∴摸出黑球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故选：B． 8．从1，2，3，4四个数字中随机选出两个不同的数，分别记作，则关于x的一元二次方程只有两个相等实数根的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画树状图法求概率，一元二次方程根的判别式；根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，再找出满足的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中满足的结果数有1种，， 则关于的一元二次方程有两个相等实数根的概率． 故选：D． 9．在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字，，0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是无理数以及用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 共有12种等可能出现的结果，两球上的数字之积恰好是无理数的有4种， 两球上的数字之积恰好是无理数的概率为， 故选：B． 10．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率．根据题意正确的列表格是解题的关键． 将第一个图中蓝色分成3份，然后列表格，最后求概率即可． 【详解】解：将第一个图中蓝色分成3份，列表格如下； 红 蓝1 蓝2 蓝3 红 红红 红蓝 红蓝 红蓝 黄 黄红 黄蓝 黄蓝 黄蓝 蓝 蓝红 蓝蓝 蓝蓝 蓝蓝 共有种等可能的结果，其中能配成紫色共有4种等可能的结果， ∴配成紫色的概率是， 故选：C． 二、填空题 11．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在5号板上的概率是 ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查几何概率模型，涉及简单概率公式，设正方形的面积为，数形结合，计算出大正方形面积，利用几何概率模型的概率的求法即可得到答案，熟记几何概率模型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的面积为，如图所示： ，则大正方形的面积为， 蚂蚁停在5号板上的概率是， 故答案为：． 12．双眼皮由显性基因A控制，小明的爸爸、妈妈关于眼皮的基因组成分别为和，则小明是双眼皮的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查树状图法求概率．画出树状图，求出概率即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中小明是双眼皮的结果3种； ∴； 故答案为：． 13．如图，电路图上有3个开关和1个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关都可以使小灯泡发亮． 任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 ．    【答案】 【分析】直接由概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：闭合开关或者同时闭合开关、，都可使小灯泡发光， 任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合这1种结果， 小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率所求情况数与总情况数之比． 14．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，-1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点落在直角坐标系第二象限的概率是 ． 【答案】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 -1 3 （2，3） （0，3） （-1，3） 2 （2，2） （0，2） （-1，2） -2 （2，-2） （0，-2） （-1，-2） -3 （2，-3） （0，-3） （-1，-3） 由表可知，共有12种等可能，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种， 所以点落在直角坐标系第二象限的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． 15．小聪将不等式组的所有整数解分别写到了卡片正面，每张卡片正面有且仅有1个数字，卡片背面完全相同，把这几张卡片背面朝上后随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查求一元一次不等式组的整数解，用树状图或列表法求概率，先解不等式组求出整数解，再画出树状图，用概率公式求出概率即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 则不等式组的整数解为,共4个， 画树状图如下； 共有16个可能的结果，第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的结果有6个， ∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为． 故答案为： 三、解答题 16．解下列方程 (1)． (2)先化简再求值：，其中x满足 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，分式的化简求值： （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着利用因式分解法解方程求出x的值，最后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）解： ， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴原式． 17．某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． （1）求嘉淇走到十字道口向北走的概率； （2）补全图2的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】（1），（2）嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大． 【分析】（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可； （2）根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可． 【详解】解：（1）嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口向北走的概率为； （2）补全树状图如图所示： 嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为：；向南的概率为；向北的概率为；向东的概率为；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大． 【点睛】本题考查了概率的应用，解题关键是根据题意准确画出树状图，正确进行求解判断． 18．人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： 九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为： 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b      根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：____________，____________，____________； (2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高?请说明理由（一条理由即可） (3)在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的4人中，分别为2名男同学与2名女同学，现从这4名同学中随机选出2名同学参加比赛，请用列表或树状图的方法，求所选2名学生中恰好是1名男同学与1名女同学的概率． 【答案】(1)84，，40 (2)九年级更高．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了数据统计分析，树状图或列表法求概率，以及用样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据众数的定义确定八年级的众数a；根据中位数的定义确定九年级的中位数b；再求出九年级D组所占的百分比即可； （2）根据平均数或中位数或众数的意义回答即可； （3）依题意，先画出树状图，再求概率，即可作答． 【详解】（1）八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现5次是出现次数最多的数据， ； 九年级被抽取的学生测试得分组有：（个），组有：（个），组有：（个）， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组的第1、2个的平均数， 组数据从小到大排序后为： ． 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是组共有8个数据， ． 故答案为：84，，40； （2）九年级更高．理由如下： 因为八，九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数，， 所以九年级的学生对事件的关注与了解程度更高； （3）解：画树状图如图：    共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个， ∴所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为． 19．玉溪高原体育运动中心，2024中国足球协会甲级联赛正如火如荼进行，数学老师用游戏的方式从小组积分较高的甲、乙两个学习小组中确定一个小组，并给小组全部成员提供足球票集体观看某一场足球比赛． 游戏规则如下：在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四张卡片（除标号外，其余都相同），甲组代表从口袋中任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3的三个小球（除标号外，其余都相同），乙组代表从口袋里任意摸出1个小球，小球上的数字记为．然后计算这两个数的积，即．若为奇数，则甲组获得足球票；否则，乙组获得足球票． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一组更有可能获得足球票 【答案】(1)12种 (2)不公平，乙组更有可能获得足球票 【分析】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算： （1）列表列出所有等可能结果即可； （2）由和为偶数的有8种情况，而和为奇数的有4种情况，即可判断． 【详解】（1）解：列表如下：     x y 1 2 3 4 1 2 3      所有可能出现的结果为：，，，，，，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有12种． 答：所有可能出现的结果共有12种． （2）解：由表（图）可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等． 其中为奇数的有4种：，，，，剩下的8种结果为偶数 故甲组获得足球票的概率，乙组获得足球票的概率． ， ， 这个游戏不公平，乙组更有可能获得足球票． 20．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字，，，，乙口袋中的小球上分别标有数字，，，，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为． (1)从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为的概率是______； (2)若，都是方程的解时，小明获胜；否则小张获胜；请利用列表格或画树状图说明此游戏是否公平？ 【答案】(1) (2)不公平，见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；正确列出表格是解题的关键． （1）先解方程，根据概率公式即可得出概率； （2）列出表格，分别计算出小明和小张获胜的概率，比较即可． 【详解】（1）解：当代数式的值为时， ， 解得，， ∴从甲袋摸出一个小球，共有4种等可能结果，其中小球上的数字使代数式的值为0的有2种结果，其概率为：； （2）解：列表如下： n           m 3 4 5 6 4 5 6 7 总共有16种等可能结果，其中都是该方程的解的有4种结果， 故小明获胜的概率为：； ，中有不是该方程的解的结果有12种， 故小张获胜的概率为， 所以，小明获胜的概率大，此游戏不公平． 21．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次； (2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数； (3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论； (4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值． 【答案】(1)3；10； (2)8人 (3) (4)10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）将线段数当成人握手次数来解决问题,（4）根据题意列出方程求解即可． （1）由握手总数=参加聚会的人数参加聚会的人数，即可求出结论；由参加聚会的人数为n（n为正整数），可知每人需跟人握手，即可求出握手总数； （2）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论． （4）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：，． 解：∵参加聚会的人数为n（n为正整数）， ∴每人需跟人握手， ∴共握手次． 故答案为：3；10； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：参加聚会的人数为8人． （3）解：∵线段上共有m个点（不含端点A，B）， ∴可当成共有个人握手， ∴线段总数为． （4）解：根据题意得，， 解得．即边数n的值为10． 22．如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D，B运动的时间是，过点D作于点F，连接． (1)用含t的代数式表示 ， ． (2)是否存在某一时刻t，使点F在线段的中垂线上?若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．是是 (3)当t为 时，为直角三角形．（直接写答案） (4)是否存在某一时刻t，使的面积是面积的，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4)或 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、解一元二次方程等，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解答的关键． （1）直接利用路程、时间、速度的关系和含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，进而利用勾股定理求得和t值即可； （3）由题意，当时，为直角三角形．根据含30度角的直角三角形的性质分别求得，，进而求得即可； （4）先根据勾股定理求得，，，进而得到，然后解方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，则； ∵，， ∴， 故答案为：，； （2）解：存在某一时刻t，存在点F在线段的中垂线上，如图， 则，， ∴， 由得， ∴， 在中，由得， 解得（负值已舍去）； （3）解：当时，为直角三角形．如图， 在中，，， 在，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：如图1，∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理，得，，满足， 故满足条件的t值为或． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形（要求），直接写出相应的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)S的最大值为4 (3)或或． 【分析】（1）先假设出函数解析式，利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）设出M点的坐标，利用，即可进行解答； （3）由，则，是平行四边形的边，根据平行四边形的对边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：， 将，，三点代入函数解析式得： ， 解得， 所以此函数解析式为：； （2）解：连接 ， ∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上， ∴M点的坐标为， ∴ ， ∵， 当时，S有最大值为：． （3）解：设， 根据平行四边形的性质知，且，则，为平行四边形的边， ∴Q的横坐标等于P的横坐标， 又∵直线的解析式为， 则， 由，得， 整理得： 所以或 解得或或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴不可能是对角线 ∴由此可得：或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算等，有一定的综合性，熟练的利用二次函数的性质与平行四边形的性质解题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$