第25章 概率初步 易错题集 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第25章概率初步易错题集2025-2026学年人教版数学九年级上册答案解析 一、单选题 1．为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法或树状图法、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》分别记为，画树状图如下： ∴共有6 种等可能的结果，其中恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果有 2 种， ∴选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为， 故选：B． 2．酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有3瓶溶液标签缺失，分别为（酸溶液），（碱溶液），（碱溶液），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查概率计算，掌握简单事件的概率计算公式是解题的关键． 总共有3瓶溶液，任取2瓶混合，找出所有可能取法和发生中和反应的取法数，再求概率即可． 【详解】∵溶液有3瓶：HCl（酸）、NaOH（碱）、KOH（碱）， 任取2瓶混合，所有可能取法有三种，是否能反应如下： 1.和→酸和碱，发生中和反应； 2.和→酸和碱，发生中和反应； 3.和→碱和碱，不发生中和反应； ∴总取法数为3，发生中和反应的取法数为2. 故概率为， 故选D． 3．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．通常温度降到以下，纯净的水结冰 B．明天太阳从东方升起 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，根据随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，进行判断即可．掌握随机事件、必然事件和不可能事件的区别是解题关键． 【详解】解：A、是必然事件，不符合题意； B、是必然事件，不符合题意； C、是不可能事件，不符合题意； D、是随机事件，符合题意； 故选D． 4．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B．在只装有黑球的袋子里摸出一个黑球 C．射击运动员射击一次，命中环 D．任意掷一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，掌握必然事件的定义是解题的关键，在一定条件下一定会发生的事件是必然事件．根据必然事件的定义，分析各选项是否一定发生即可． 【详解】解：A、任意选择电视频道可能不播放动画片，是随机事件； B、只装有黑球的袋子一定摸出黑球，是必然事件； C、射击运动员射击一次可能不命中环，是随机事件； D、任意掷一枚硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，是随机事件． 故选：B． 5．下列事件中，是确定性事件的是（    ） A．任意画一个三角形，其外角和是 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 D．投掷一枚骰子，向上一面的点数大于 【答案】A 【分析】本题考查了确定性事件的判断，根据确定性事件的定义，必然发生或必然不发生的事件是确定性事件，选项中三角形的外角和恒为，是必然事件；选项都是随机事件，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】、∵任意多边形的外角和都是， ∴任意三角形的外角和一定是，是必然事件，符合题意； 、∵交通信号灯有红、黄、绿三种可能， ∴遇到绿灯是随机事件，不符合题意； 、∵投篮可能投中或未投中， ∴未投中是随机事件，不符合题意； 、∵骰子点数从到， ∴点数大于有三种可能，但不是必然发生，是随机事件，不符合题意； 故选：． 6．如图，任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数大于等于4的可能性是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单概率计算，利用概率计算公式，即可求解； 【详解】解：任意掷一枚质地均匀的骰子点数朝上共有种结果，其中朝上的点数大于等于4的结果有、、，共种结果， 朝上的点数大于等于4的可能性是， 故选：A． 7．小华练习射击，共射击1000次，其中600次击中靶子，由此估计，小华射击一次击中靶子的概率是（    ） A．约 B．约 C．约 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查频率估计概率，当试验次数足够多时，频率可近似作为概率的估计值． 根据击中频率等于击中次数除以总次数，再将结果转化为百分数，即可求解． 【详解】解：∵射击总次数为1000次，击中次数为600次， ∴频率， 故估计概率为约． 故选：． 8．一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解. 【详解】解：设红球个数为r，则总球数为， ∵ 摸到红球的频率约为， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴ 估计袋中红球个数为6， 故选：D 9．用频率估计概率，抛掷一枚均匀的硬币“正面朝上”的概率为，是指（   ） A．连续抛掷次，一定是“正面朝上”和“反面朝上”各次 B．连续抛掷次，一定是“正面朝上”次 C．抛掷次，当越来越大时，“正面朝上”的频率会接近 D．抛掷次，“正面朝上”的次数一定是次 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率的定义，即随着试验次数的增加，事件发生的频率会稳定在概率附近． 【详解】解：抛掷一枚均匀的硬币“正面朝上”的概率为表示在大量重复试验中，事件发生的频率会接近； 则选项A、B、D错误，它们都使用了“一定是”，而概率只表示可能性，不保证具体结果； 选项C正确，它符合频率稳定性的性质， 故选：C． 10．下列说法正确的是（   ） A．为了解一批护眼灯的使用寿命，采用全面调查 B．“任意一个多边形的外角和都是”是必然事件 C．丢一枚硬币正面向上的概率是，若丢两次硬币则一定有一次正面向上 D．某射击队准备从甲、乙两名选手中选取一名成绩更稳定的参加比赛，在平均成绩相同的情况下，甲、乙两名射击选手的方差分别是和，则应选择甲选手参加比赛 【答案】B 【分析】本题考查统计与概率的基本概念，包括调查方式、必然事件、概率意义和方差应用．选项A中全面调查不适用于破坏性测试；选项B根据多边形外角和定理可判断；选项C误解概率意义；选项D中方差小表示更稳定，从而可判断，据此作答即可． 【详解】解：对于A、全面调查适用于范围小或非破坏性测试，护眼灯使用寿命测试具有破坏性，宜采用抽样调查，A错误； 对于B、任意一个多边形的外角和都是，故B正确； 对于C、丢一枚硬币正面向上的概率是，若丢两次硬币可能全部反面，C错误； 对于D、方差越小成绩越稳定，乙方差1.2小于甲方差1.7，所以乙更稳定，应选乙，故D错误； 故选：B． 11．从，，3，6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征以及列表或树状图法求概率，通过列表 找出的概率是解题的关键． 根据正比例函数图象上点的坐标特征可得出，列表找出所有的值， 根据表格中所占比例即可得出结论． 【详解】解：∵点在函数图象上， ∴． 列表如下： n m 3 6 2 3 6 3 3 3 6 6 6 6 3 2 共有12种等可能情况，的值为的情况数为1， ∴的值为的概率是． 即点在函数图象上的概率为． 故选：D． 12．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 【答案】D 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； 故选：D． 13．某植物科学研究院为研究一类新品种脐橙树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 50 200 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 185 369 690 1374 3234 6454 9220 12894 成活率 估计这一类新品种脐橙树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟知在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解题的关键． 根据用频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近，再结合表格数据即可得出答案． 【详解】解：由表格数据可知，随着移植总数的增加，成活率逐渐稳定在左右， 因此估计这一类新品种脐橙树成活的概率为． 故选：D． 二、填空题 14．“水中捞月”这一事件是 （填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】不可能 【分析】本题考查事件的分类，必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件．“水中捞月”比喻无法实现的行为，因此是不可能事件． 【详解】解：“水中捞月”指从水中捞取月亮，这在实际中一定不会发生，符合不可能事件的定义． 故答案为：不可能． 15．在化学元素“H”“”“”“O”中，任意选择两种化学元素，恰好都是水的组成元素的概率是 ． 【答案】 【分析】本题结合化学知识（水的组成元素）考查概率计算，关键在于正确运用组合数公式计算所有可能的选取情况，并准确识别符合要求的情况，体现了跨学科知识的综合应用．要解决该问题，需先明确水的组成元素，再计算从给定的四种元素中任意选取两种的所有可能组合数，接着找出其中恰好包含水的组成元素的组合数，最后根据概率公式（概率=符合条件的组合数÷总组合数）计算概率． 【详解】解：∵从H、、、O四个元素中任意选择两种化学元素， ∴所有可能的结果有，共6种． 其中，恰好都是水的组成元素（即H和O）的结果只有这1种． 因此，所求概率为． 故答案为：． 16．掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率的基本计算，熟练掌握古典概型的概率公式是解题的关键．先确定掷均匀骰子的所有可能结果数，再找出点数为3的结果数，最后根据概率公式计算． 【详解】解：掷一枚均匀的骰子，所有可能的结果有6种（点数1、2、3、4、5、6），其中点数为3的结果有1种． ∴， 故答案为：． 17．一个不透明袋中仅装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入5个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为 个． 【答案】30 【分析】本题主要考查了根据频率估计概率的知识，摸到白球的频率为，即白球的概率约为，设红球个数为，则总球数为，列出方程求解． 【详解】解：设袋中红球个数为，则总球数为， 所以摸到白球的概率为， 根据频率估计概率，有，解得 ， 经检验，是原方程的解， 故袋中红球约为30个． 故答案为：30． 18．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了从A到K的13张牌，并规定如果甲抽到7到K的牌，那么算甲胜；如果抽到7以下的牌，那么算乙胜．这个游戏对甲、乙来说， （填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 计算甲获胜和乙获胜的概率，比较两者是否相等． 【详解】解：总牌数为张，甲获胜需抽到至的牌，共张； 乙获胜需抽到以下的牌，共张； 甲获胜概率为，乙获胜概率为，两者不相等，故不公平． 故答案为：不公平． 19．“双减”政策实施后，某校为丰富学生的业余生活，开展了4个体育兴趣社团：田径社团、篮球社团、足球社团、体操社团．小亮和小东对4个社团都很喜欢，他们随机选择参加其中一个社团，则两人恰好选择同一个社团的概率是 ． 【答案】 /0.25 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确列表或画树状图，找到所有等可能的情况是解题关键． 列表或画树状图，得到所有等可能的情况，找出其中两人恰好选择同一个社团的情况，通过概率公式求解即可． 【详解】设四个社团分别为A（田径）、B（篮球）、C（足球）、D（体操）． 小亮和小东各随机选择一个社团，列表如下： 小东小亮 A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 由表可知，所有可能的结果共有16种，且每种结果出现的可能性相等．其中两人选择同一个社团的结果有4种（即都选A、都选B、都选C或都选D）． 因此概率为． 故答案为：． 20．从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为 ．（精确到） 【答案】 【分析】根据频率估计概率的原理，通过分析发芽频率数据的稳定趋势，估计概率值． 本题考查了频率估计概率，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】解：从试验数据可知，随着每批粒数的增加，发芽频率逐渐稳定在附近，当每批粒数为4000时，频率为，精确到即为， 因此该油菜籽种子发芽的概率估计为． 故答案为：． 三、解答题 21．一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)如果搅匀后从中任意摸出一个球，不放回，再摸出第二个球，请用树状图或列表格法求两次摸球都是白球的概率； (3)搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？ 【答案】(1)不同意，理由见详解 (2) (3)添加5个红球 【分析】本题考查了求简单事件的概率及用树状图或列表法求稍复杂事件的概率，分式方程的应用，解答本题的关键是要注意此题是放回实验还是不放回实验，同时熟记概率=所求情况数与总情况数之比． （1）求出分别摸到白球与摸到红球的概率，比较这两个概率即可； （2）用画树状图法列出所有可能的结果即可判断； （3）设应添加x个红球，根据摸出红球的概率为即可列方程求解． 【详解】（1）解：不同意，理由如下： ∵一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球， ∴搅匀后从中任意摸出一个球，白球概率是；红球概率是； ∵， ∴摸出白球和摸出红球这两个事件不是等可能的； （2）解：树状图如图： ∴P（两个球都是白球）； （3）解：设应添加x个红球，由题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解； ∴应添加5个红球． 22．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度． (2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数． (3)刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】(1)①200；②见解析；③54 (2)1120人 (3) 【分析】本题考查了统计的应用，求概率． （1）①由B组的人数除以所占百分比即可； ②求出A、C组的人数，可补全统计图； ③由乘以C组所占的比例即可； （2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：①此次调查一共随机抽取的学生人数为． 故答案为：200； ②C组的人数为． 补全条形统计图如下： ③扇形统计图中圆心角， 故答案为：54； （2）解：． 答：估计该校参加D组（阅读）的学生人数为1120； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种， 恰好抽中甲、乙两人的概率为． 23．如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 24．在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片张，黄色卡片张，蓝色卡片张． (1)第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再抽取一张，请用树状图或列表法，求两次抽到的都是红色卡片的概率； (2)若在箱子中增加张蓝色卡片，使从中任意抽取一张红色卡片的概率为，则的值为________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查用列举法求概率．熟悉画树状图法的方法，并求出事件的概率是解题的关键． （1）先画出树状图展示所有种等可能的结果，找到其中两次抽到的都是红色卡片的次数，根据概率的概念得到答案； （2）根据概率公式列出关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由树状图知，共有种等可能结果，其中两次抽到的都是红色卡片的有种结果， ∴两次抽到的都是红色卡片的概率为； （2）根据题意，知， 解得， 经检验是分式方程的解． 25．民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起它，都能唤起我们对美好童年的回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．图①是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图②所示． (1)随机挑选出的一面写有“文具”是____________事件（填“必然”“随机”或“不可能”）． (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品．经过多次试验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为____________． 【答案】(1)随机 (2)3 【分析】本题考查了随机事件的概念、用频率估计概率的方法，掌握随机事件的定义，以及用频率估计概率的步骤是解题的关键． （1）根据必然、随机、不可能事件的定义，结合图中面的内容，判断抽到写有文具的面是否具有不确定性； （2）先计算获得钢笔的频率，用频率估计概率，再结合总面数计算写有钢笔的面数． 【详解】（1）解：∵图②中既有写文具的面，也有写零食、图书的面，随机挑选时，可能抽到文具，也可能抽到其他内容， ∴这是随机事件． （2）解：先计算获得钢笔的频率：试验次数越多，频率越接近概率，取160次试验的数据，频率为． ∵总面数为8，用频率估计概率， ∴写有钢笔的面数为． 26．某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：A．积土成山，B．蜡炬成灰，C．物腐虫生，D．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成） (1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是________； (2)有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行了大量重复试验． 试验次数n 100 300 500 1000 2000 抽到B卡片次数m 30 70 126 251 500 抽到B卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250 根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于________（精确到0.01），所以该同学的说法________（选填“正确”或“错误”）； (3)若小娜和小菲两人同时抽取了卡片，请用列表法或画树状图法求她们恰好被分在同一个社团的概率． 【答案】(1) (2)；错误 (3) 【分析】本题考查了概率公式，利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据大量重复试验的结果可知，抽到B卡片的频率越来越稳定于，即抽到B卡片的频率近似为，即可作答； （3）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，从四张卡片中随机抽取一张，共有4种情况， 其中，抽到B卡片的情况有1种， 即抽到B卡片的概率是； （2）解：观察发现，抽到B卡片的频率越来越稳定于，即抽到B卡片的频率近似为， 所以该同学的说法错误， 故答案为：，错误； （3）解：由题意可知，A和D为物理变化，B和C为化学变化． 列表如下： 小娜小菲 由表可得，共有12种等可能的情况，其中小娜和小菲恰好被分在同一个社团的情况有4种， 即她们恰好被分在同一个社团的概率为． 27．现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏．规则：小花先随意抽取1张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)下面还有几种游戏规则，你认为公平吗？请直接写出公平与不公平的游戏规则． ①猜是奇数还是偶数；②猜是不是3的倍数；③猜是不是大于6的数；④猜是不是不大于7的数． 【答案】(1)不公平．因为小花获胜的概率为，小佳获胜的概率为，所以这个游戏对双方不公平． (2)①③公平，②④不公平 【分析】本题考查了游戏公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）（2）通过计算小佳获胜的概率和小花获胜的概率，从而可判断游戏规则是否公平． 【详解】（1）解：这个游戏对双方不公平．理由如下： ∵小佳获胜的概率为，小花获胜的概率为， ∴这个游戏对双方不公平． （2）解：①因为个数中奇数和偶数各个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则①公平； ②因为个数中为的倍数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则②不公平； ③因为个数中大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则③公平； ④因为个数中不大于的数有个，所以小佳获胜的概率为，而小花获胜的概率为，所以游戏规则④不公平； 故①③公平，②④不公平． 28．学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个质地均匀、可以自由转动的转盘做游戏．A盘被分成面积相等的4个扇形，B盘被分成面积相等的3个扇形．游戏规则如下：分别任意旋转两个转盘，用A盘转出的数字与B盘转出的数字相加，若和是3的倍数，则小红赢得游戏；若和是4的倍数，则小明赢得游戏． (1)任意旋转B盘，转出的数字是偶数的概率是_____． (2)请利用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)不公平 【分析】本题考查了概率的计算，游戏公平性问题，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）根据概率公式，即可求解； （2）根据列表得出所有等可能的情况数，分别计算小红和小明赢得游戏的概率，比较其大小，可知游戏是否公平． 【详解】（1）解：任意旋转B盘，转出的数字有3种等可能的结果，其中转出的数字是偶数有1种情况， ∴转出的数字是偶数的概率是； 故答案为：； （2）解：列表如下： B盘A盘 5 6 7 1 6 7 8 2 7 8 9 3 8 9 10 4 9 10 11 由表可知共12种等可能的结果，和是3的倍数的情况有4种，和是4的倍数的情况有3种， ∴小红赢得游戏的概率为，小明赢得游戏的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章概率初步易错题集2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、单选题 1．为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（   ） A． B． C． D． 2．酸溶液和碱溶液混合会发生中和反应，现有3瓶溶液标签缺失，分别为（酸溶液），（碱溶液），（碱溶液），若从中任取2瓶混合，则会发生中和反应的概率为（　　） A． B． C． D． 3．下列事件中，是随机事件的是（    ） A．通常温度降到以下，纯净的水结冰 B．明天太阳从东方升起 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 4．下列事件中，属于必然事件的是（   ） A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B．在只装有黑球的袋子里摸出一个黑球 C．射击运动员射击一次，命中环 D．任意掷一枚硬币，正面朝上 5．下列事件中，是确定性事件的是（    ） A．任意画一个三角形，其外角和是 B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 D．投掷一枚骰子，向上一面的点数大于 6．如图，任意掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数大于等于4的可能性是（    ） A． B． C． D． 7．小华练习射击，共射击1000次，其中600次击中靶子，由此估计，小华射击一次击中靶子的概率是（    ） A．约 B．约 C．约 D．无法确定 8．一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为0.6，估计袋中红球的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．用频率估计概率，抛掷一枚均匀的硬币“正面朝上”的概率为，是指（   ） A．连续抛掷次，一定是“正面朝上”和“反面朝上”各次 B．连续抛掷次，一定是“正面朝上”次 C．抛掷次，当越来越大时，“正面朝上”的频率会接近 D．抛掷次，“正面朝上”的次数一定是次 10．下列说法正确的是（   ） A．为了解一批护眼灯的使用寿命，采用全面调查 B．“任意一个多边形的外角和都是”是必然事件 C．丢一枚硬币正面向上的概率是，若丢两次硬币则一定有一次正面向上 D．某射击队准备从甲、乙两名选手中选取一名成绩更稳定的参加比赛，在平均成绩相同的情况下，甲、乙两名射击选手的方差分别是和，则应选择甲选手参加比赛 11．从，，3，6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点在函数图象上的概率是（    ） A． B． C． D． 12．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是 13．某植物科学研究院为研究一类新品种脐橙树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 50 200 400 750 1500 3500 7000 10000 14000 成活总数m 47 185 369 690 1374 3234 6454 9220 12894 成活率 估计这一类新品种脐橙树成活的概率为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 14．“水中捞月”这一事件是 （填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 15．在化学元素“H”“”“”“O”中，任意选择两种化学元素，恰好都是水的组成元素的概率是 ． 16．掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是 ． 17．一个不透明袋中仅装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入5个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中红球约为 个． 18．甲、乙两人玩抽扑克牌游戏，他们准备了从A到K的13张牌，并规定如果甲抽到7到K的牌，那么算甲胜；如果抽到7以下的牌，那么算乙胜．这个游戏对甲、乙来说， （填“公平”或“不公平”） 19．“双减”政策实施后，某校为丰富学生的业余生活，开展了4个体育兴趣社团：田径社团、篮球社团、足球社团、体操社团．小亮和小东对4个社团都很喜欢，他们随机选择参加其中一个社团，则两人恰好选择同一个社团的概率是 ． 20．从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为 ．（精确到） 三、解答题 21．一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同． (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球，因此摸出白球和摸出红球这两个事件是等可能的．你同意他的说法吗？为什么？ (2)如果搅匀后从中任意摸出一个球，不放回，再摸出第二个球，请用树状图或列表格法求两次摸球都是白球的概率； (3)搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为，应如何添加红球？ 22．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： (1)①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度． (2)若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数． (3)刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 23．如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 24．在不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的卡片，这些卡片除颜色外都相同，其中红色卡片张，黄色卡片张，蓝色卡片张． (1)第一次随机抽取一张卡片（不放回），第二次再抽取一张，请用树状图或列表法，求两次抽到的都是红色卡片的概率； (2)若在箱子中增加张蓝色卡片，使从中任意抽取一张红色卡片的概率为，则的值为________． 25．民间有种折纸玩具“东南西北”，每每想起它，都能唤起我们对美好童年的回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．图①是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图②所示． (1)随机挑选出的一面写有“文具”是____________事件（填“必然”“随机”或“不可能”）． (2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品．经过多次试验后得到数据如下： 试验次数 8 24 40 80 160 获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60 根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为____________． 26．某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：A．积土成山，B．蜡炬成灰，C．物腐虫生，D．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，加入化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成） (1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是________； (2)有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行了大量重复试验． 试验次数n 100 300 500 1000 2000 抽到B卡片次数m 30 70 126 251 500 抽到B卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250 根据以上数据，抽到B卡片的频率越来越稳定于________（精确到0.01），所以该同学的说法________（选填“正确”或“错误”）； (3)若小娜和小菲两人同时抽取了卡片，请用列表法或画树状图法求她们恰好被分在同一个社团的概率． 27．现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏．规则：小花先随意抽取1张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)下面还有几种游戏规则，你认为公平吗？请直接写出公平与不公平的游戏规则． ①猜是奇数还是偶数；②猜是不是3的倍数；③猜是不是大于6的数；④猜是不是不大于7的数． 28．学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个质地均匀、可以自由转动的转盘做游戏．A盘被分成面积相等的4个扇形，B盘被分成面积相等的3个扇形．游戏规则如下：分别任意旋转两个转盘，用A盘转出的数字与B盘转出的数字相加，若和是3的倍数，则小红赢得游戏；若和是4的倍数，则小明赢得游戏． (1)任意旋转B盘，转出的数字是偶数的概率是_____． (2)请利用画树状图或列表的方法说明这个游戏对双方是否公平． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $