精品解析： 河南省驻马店确山县2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024–2025学年度第一学期秋季质量检测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次函数的最小值为4，则应为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 5. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 6. 顶点坐标为，形状与函数的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 7. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 如图1，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽为30米，当水位上升7米时，水面宽为（ ） A. 5米 B. 米 C. 10米 D. 米 10. 如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 抛物线与轴的交点坐标为__． 12. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为______． 13. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 14. 如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米． 15. 如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交抛物线于点，，则的面积是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）用因式分解法解方程：； （2）用公式法解方程：． 17. 用描点法画出二次函数的图象，列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 15 5 … （1）填空：表中________，________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． 18. 设二次函数（a，b是常数，）． （1）若，求该二次函数的图象与x轴的交点坐标和对称轴； （2）若该二次函数的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的解析式． 19. 向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． （1）求李明这两年纯收入的年平均增长率； （2）随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 20. 某商场将进价为元的纪念品以元售出，平均每月能售出个．调查表明：售价在元至元范围内时，这种纪念品的售价每上涨1元，其销量就会减少个，设该商场决定把售价上涨元． （1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出______个纪念品；（用含的代数式表示） （2）为了实现平均每月元的销售利润，这种纪念品的售价应定为多少元？ （3）若商场要获得最大利润，则这种纪念品应上涨多少元？ 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 22. 嘉琪同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛技术进行技术分析，下面是他对某次击球线路的分析．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的线路为抛物线的一部分，如图，甲在点O正上方的点P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数关系式．已知点O与球网的水平距离为5米，球网的高度为1.5米． （1）当时． ①求h的值； ②通过计算判断此球能否过网； （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7米，离地面高度为米的Q处时，乙扣球成功，求a的值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线上是否存在点，使得的面积等于．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024–2025学年度第一学期秋季质量检测试卷 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】解：，，不符合一元二次方程的定义，故选项A错误； ，不符合一元二次方程的定义，故选项B错误； ，不符合一元二次方程的定义，故选项C错误； ，符合一元二次方程的定义，故选项D正确； 故选D． 2. 若二次函数的最小值为4，则应为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握求最值的公式．根据函数的最小值为4，列出方程解之即可． 【详解】解：已知二次函数， 其中， 由最小值为4， 可得， 整理得， 解得． 故选：B． 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法，熟悉配方法是解题的关键． 根据题意配方即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及求抛物线对称轴、图象与轴交点的对称性等知识，先求出抛物线对称轴，再由抛物线图象与性质求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为， 由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为， 故选：A． 5. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的函数值，正确的计算是解题的关键，分别将各个点坐标代入抛物线解析式，计算求解，然后比大小即可． 【详解】将点代入中， 得， 将点代入中， 得， 将点代入中， 得， ， 故选：C． 6. 顶点坐标为，形状与函数的图象相同且开口方向相反的抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求的抛物线解析式为，根据两个抛物线形状相同且开口方向相反得到，再结合顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：设所求的抛物线解析式为， ∵所求抛物线与函数的图象相同且开口方向相反， ∴， ∴所求的抛物线解析式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数的顶点坐标是是解题的关键． 7. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）的图象如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确符合题意； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②符合题意； ③对称轴为，当和时函数值相等，都小于0， ，故③不符合题意； ④当时，， ∴， 故④符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 正确的有①②④⑤，共4个， 故选：C． 8. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 9. 如图1，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽为30米，当水位上升7米时，水面宽为（ ） A. 5米 B. 米 C. 10米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，依据题意，根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升7米时，代入解析式求出x即可． 【详解】∵米， ∴当时，． 当水位上升7米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米． 故选：D． 10. 如图，等腰（）的直角边与正方形的边长均为2，且与在同一条直线上，开始时，点C与点D重合，让沿直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设的长为x，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点C的位置对x分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质、梯形面积公式和三角形的面积公式计算求出函数解析式，再判断即可． 【详解】解：由题意可知：当点C到点E时，；当点A到点E时，； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角梯形，设与交于点H， ∵，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向下的抛物线； 当时，如下图所示，此时阴影部分为直角三角形，设与交于点H， ∵ ，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 对应的函数图象是开口向上的抛物线． 综上所述，只有选项A，当时，对应的函数图象是开口向下的抛物线；当时，对应的函数图象是开口向上的抛物线，选项A符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 抛物线与轴的交点坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与，轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键； 求二次函数（，，是常数，）与轴的交点坐标问题，将代入，即可求解； 【详解】解：抛物线与轴的交点， 当，则， 故交点坐标为； 故答案为：． 12. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据抛物线平移的性质，即可求解． 【详解】抛物线的顶点坐标为， 向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后， 顶点坐标为， 平移不改变二次项系数， 平移后抛物线的解析式为． 故答案为：． 13. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度． 根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离． 【详解】解：∵， ∴当，时，， 即， 解得，（舍去）， ∴运动员小铭将铅球推出的距离为11米． 15. 如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交抛物线于点，，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与坐标轴交点、图象上点的坐标、三角形的面积，先求出，进而可得，即得，得到，再根据即可得到，最后利用三角形的面积公式计算即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：在中，当时，， ， 轴交抛物线于点， ， 令， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）用因式分解法解方程：； （2）用公式法解方程：． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程-因式分解法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解题的关键． （1）首先对方程进行整理，再提取公因式进行因式分解，求出解即可； （2）利用公式法求出解即可． 【详解】解：（1）， 方程整理得， 因式分解得， 则，或， 解得，． （2）， 其中， ， ， ∴，． 17. 用描点法画出二次函数的图象，列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 15 5 … （1）填空：表中________，________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． 【答案】（1）5 （2） 根据题意，画图象如下： ． 【解析】 【分析】（1）根据解析式，计算函数值即可； （2）利用描点法画图象的基本步骤解答即可． 本题考查了函数值的计算，描点法画图象，熟练掌握计算方法，会画函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 故当时，； 当时，， 故答案为：5 ． 【小问2详解】 解：略． 18. 设二次函数（a，b是常数，）． （1）若，求该二次函数的图象与x轴的交点坐标和对称轴； （2）若该二次函数的图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的解析式． 【答案】（1）二次函数的图象与轴的交点坐标为，，对称轴为直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，利用待定系数法求二次函数的解析式； （1）把解析式化成交点式即可求得交点坐标，进一步求得对称轴； （2）当时，，所以抛物线过点和两点，代入列方程组解出，即可求解． 【小问1详解】 解：若，则， 令，即 解得： 二次函数的图象与轴的交点坐标为，， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时，， 抛物线经过和过，，不经过点， 把过，分别代入得：， 解得， 抛物线解析式为． 19. 向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． （1）求李明这两年纯收入的年平均增长率； （2）随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】（1）； （2）40米． 【解析】 【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 20. 某商场将进价为元的纪念品以元售出，平均每月能售出个．调查表明：售价在元至元范围内时，这种纪念品的售价每上涨1元，其销量就会减少个，设该商场决定把售价上涨元． （1）售价上涨元后，该商场平均每月可售出______个纪念品；（用含的代数式表示） （2）为了实现平均每月元的销售利润，这种纪念品的售价应定为多少元？ （3）若商场要获得最大利润，则这种纪念品应上涨多少元？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式，熟练掌握二次函数性质． （1）根据“售价每上涨1元，其销售量就将减少个”，即可解答； （2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可； （3）设每月销售利润为W，根据总利润=单件利润×数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答． 【小问1详解】 已知售价每上涨1元，其销量就会减少个， 则上涨元后，其销量就会减少个， 且原来平均每月能售出个， 售价上涨元后，该商场平均每月可售出个纪念品． 【小问2详解】 售价上涨元后，售价为， 单价利润为， 则有， 整理得， 解得， ， 舍去， 售价为． 为了实现平均每月元的销售利润，这种纪念品的售价应定为元． 【小问3详解】 设每月销售利润为W， 则有 ， ， 当时，随着的增大而增大， ， 当时，售价为（元）， 取最大值，最大值为， 商场要获得最大利润，则这种纪念品应上涨元． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 【答案】道路的宽为6米． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 22. 嘉琪同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛技术进行技术分析，下面是他对某次击球线路的分析．甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的线路为抛物线的一部分，如图，甲在点O正上方的点P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数关系式．已知点O与球网的水平距离为5米，球网的高度为1.5米． （1）当时． ①求h的值； ②通过计算判断此球能否过网； （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7米，离地面高度为米的Q处时，乙扣球成功，求a的值． 【答案】（1）①，②此球能过网 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）①将，代入解析式即可求解h，②把代入求出函数值与1.5比较即可； （2）将，解方程组即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，当时， 则 将代入得 解得， ②∵ ∴当时， ∵ ∴此球能过网； 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得 ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与轴交于点，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上的一个动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）在抛物线上是否存在点，使得的面积等于．若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，（1）将点，代入，可直接求出二次函数的解析式． （2）先求出点坐标，进而得到，再根据三角形面积计算公式求出点的纵坐标，进而求出点的坐标即可． 【小问1详解】 将点，代入， 可得，解得， ． 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，解得， ，， 的面积等于， ，即， ，， 当时，，即， 其中，方程无解，不符合题意， 当时，，即， 解得， 点的坐标为． 存在点，使得的面积等于，点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $