精品解析：山东省新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期第一次月考测试（10月）数学试卷

新泰市紫光实验中学2024—2025学年10月份第一次月考测试 高二年级数学试卷 一、选择题（共40分） 1. 已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示求出n，再利用向量夹角公式求出夹角. 【详解】，解得，则， ，， 设向量与的夹角为，则， ，，即与的夹角为． 故选：A． 2. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可. 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 3. 已知点在直线上运动.当取最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，故，，计算得到答案. 【详解】设，即，故， ， 当时，向量数量积有最小值，此时. 故选：D. 【点睛】本题考查了向量的数量积，二次函数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 4. 如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为， 对于A，，直线的方向向量， ，显然，直线与不垂直，A不是； 对于B，由选项A知，直线的方向向量，， 则,显然，直线与不垂直，B不是； 对于C，由选项A知，直线的方向向量，， 则,显然，，C是； 对于D，由选项A知，直线的方向向量，， 则,显然，直线与不垂直，D不是. 故选：C 5. 菱形的边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可证得 平面，平面，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】连接，因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形， 因为 E为AB的中点，所以，所以， 因为，平面，所以 平面， 因为菱形的边长为4，所以， 所以直角梯形的面积为， 设四棱锥的高为，则，得， 所以，所以平面， 所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则 ， 所以， 所以 所以， 所以F到直线BC的距离为， 故选：A 6. 已知，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量求出平面的法向量，再由点到平面距离的向量求法即可得. 【详解】易知，，， 设平面的法向量，则即 令，则，，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 故选：C． 7. 在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 故选：B. 8. 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有（ ） ①二面角的大小为常数 ②二面角的大小为常数 ③二面角的大小为常数 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】设正方体的棱长为，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，分别求出构成二面角的两个半平面的法向量， 看两个半平面的法向量夹角的余弦值是否含参数，从而确定二面角是否为常数. 【详解】 设正方体的棱长为，以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 又是侧面上的动点，设，， 则， 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 又平面，则，即， 则，解得， 因此可得，， 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 又 因此可得二面角的大小为常数，故①正确； 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 因为中含参数，故的值不定， 因此二面角的大小不是常数，故②不正确； 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则，， 即， 因为中含参数，故的值不定， 因此二面角的大小不是常数，故③不正确； 故选：B. 【点睛】方法点睛： 1.与平行有关的轨迹问题的解题策略 （1）线面平行转化为面面平行得轨迹； （2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹． 2.与垂直有关的轨迹问题的解题策略 （1）可利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹； （2）利用空间坐标运算求轨迹； （3）利用垂直关系转化为平行关系求轨迹． 二、多项选择题（共18分） 9. 已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 根据空间向量模的计算公式以及向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】， 若且， 则，解得或， 所以或. 故选：AC 10. 已知直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 当时，是直线的方向向量 D. 原点到直线的最大距离为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据垂直关系计算得到A正确；当时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；过定点，最大距离为，计算得到D正确，得到答案. 【详解】对选项A：，则，解得，正确； 对选项B：当时，两条直线重合，错误； 对选项C：时，，斜率为，的方向向量是，错误； 对选项D：过定点，故原点到直线的最大距离为，正确. 故选：AD 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是60° D. 与所成角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】 直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则 而 ， 所以A正确. =0,所以B正确. 向量, 显然 为等边三角形，则. 所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确 又， 则， 所以，所以D不正确. 故选：AB 【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题. 三、填空题（共10分） 12. 已知空间向量，则在上的投影向量的坐标是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间投影向量公式计算出答案. 【详解】，， ， 故在上的投影向量的坐标. 故答案为： 13. 四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及，由与平面所成角，根据即可求解. 【详解】因为底面，底面是正方形， 所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，则重心， 因而，，， 设平面的一个法向量为， 则，令则， 则， 故答案为：. 四、双空题（共5分） 14. 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则直线l与平面的位置关系为________；若，则直线l与平面的位置关系为________________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明推理即得. 【详解】当时，，即，则； 当时，，即，则或 故答案为：；或 五、解答题（共77分） 15. 已知，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先分别求和的坐标，再根据向量平行的坐标表示，即可求解； （2）分别求和的坐标，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【小问1详解】 ，， 若，则， 即，，，解得. 【小问2详解】 ，， 若，则， 即，化简可得， 解得或. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长； （2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法 平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， ，则，解得，故； [方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法 如图，连结．因为底面，且底面，所以． 又因为，，所以平面． 又平面，所以． 从而． 因为，所以． 所以，于是． 所以．所以． [方法三]：几何法+三角形面积法 如图，联结交于点N． 由[方法二]知． 在矩形中，有，所以，即． 令，因为M为的中点，则，，． 由，得，解得，所以． （2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法 设平面的法向量为，则，， 由，取，可得， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， ， 所以，， 因此，二面角的正弦值为. [方法二]：构造长方体法+等体积法 如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G． 联结，由三垂线定理可知， 故为二面角的平面角． 易证四边形是边长为的正方形，联结，． ， 由等积法解得． 在中，，由勾股定理求得． 所以，，即二面角的正弦值为． 【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得. （2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证. 17. 如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ． （1）求证：AP⊥BC； （2）若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出向量的坐标，计算，即可证明结论； （2）求出平面平面AMC和平面BMC的法向量，计算法向量的数量积，结果为0，即可证明结论. 【小问1详解】 证明：以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示； 则 ， 故，， ∴， ∴⊥，即 ； 【小问2详解】 证明：因为 平面ABC，平面ABC，所以, 因为 ，故 ，∵M为AP上一点，且 ， ∴M(0,，)，∴(0,,)， (-4,,)，(4,,)； 设平面BMC的法向量为， 则 ，即， 令 ，则； 设平面AMC的法向量为，则 ， 即，令 ，则； 由于， 得⊥，即平面AMC⊥平面BMC． 18. 如图，在正三棱柱中，是中点，在棱上，且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面平面，只需在平面内找到一条直线与平面垂直即可，a根据线面垂直的判定定理易证平面. （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，然后根据空间角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 设的中点为，过作分别交于，连接、， 则分别为的中点， 所以， 由，得，即，又因为， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为是的中点，为正三角形，所以， 由正三棱柱的性质得，底面，且底面， 所以，平面， 所以平面. 又因为，所以平面， 平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以中点为原点，为中点）分别为轴，轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 易得平面的一个法向量， 设向量为平面一个法向量， ， 则由，得， 令，得， 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为，所以， 又因为，可得为边上的高， 所以因为平面且平面 所以又因为且平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据的面积相等，得到再由平面证得结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面且， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰市紫光实验中学2024—2025学年10月份第一次月考测试 高二年级数学试卷 一、选择题（共40分） 1. 已知空间向量，，且，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在直线上运动.当取最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（ ） A. B. C. D. 5. 菱形的边长为4，，E为AB的中点（如图1），将沿直线DE翻折至处（如图2），连接，，若四棱锥的体积为，点F为的中点，则F到直线BC的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有（ ） ①二面角的大小为常数 ②二面角的大小为常数 ③二面角的大小为常数 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、多项选择题（共18分） 9. 已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 当时，是直线的方向向量 D. 原点到直线的最大距离为 11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角是60° D. 与所成角的余弦值为 三、填空题（共10分） 12. 已知空间向量，则在上的投影向量的坐标是____________. 13. 四棱锥中，底面，底面是正方形，且，，是的重心，则与平面所成角的正弦值为______. 四、双空题（共5分） 14. 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则直线l与平面的位置关系为________；若，则直线l与平面的位置关系为________________． 五、解答题（共77分） 15. 已知，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 17. 如图，在三棱锥P-ABC中， ，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ． （1）求证：AP⊥BC； （2）若点M是线段AP是一点，且 ．试证明平面AMC⊥平面BMC． 18. 如图，在正三棱柱中，是中点，在棱上，且. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $