精品解析：浙江省温州市乐清市荆山公学2024--2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

荆山公学八上数学第一次月考试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年历史，下列图案属于轴对称的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A 1，3，4 B. 2，2，7 C. 4，5，7 D. 3，3，6 3. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用尺规作已知角的角平分线的理论依据是（ ） A. B. C. D. 5. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，，且，，是上两点，，．若，，，则的长为（　　） A. 9 B. 15 C. 18 D. 21 8. 如图，在中，，于D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A. 7米 B. 9米 C. 10米 D. 13米 10. 如图，在《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角，则反射光束与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 若，A与D，B与E分别是对应顶点，，则______________°． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 13. 如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 _______． 14. 如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为______． 15. 如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 _____． 16. 如图，在中，，，动点P从点C出发，以的速度沿折线移动到B，当点P在上运动时，则点P出发__________秒时，为等腰三角形；当点P在上运动时，则点P出发__________秒时，为等腰三角形． 三、解答题（本大题共7题，17-19题每题6分，20-22题每题8分，23题10分满分52分） 17. 如图，是等腰三角形底边上的高线，，交于点，求证： 是等腰三角形． 证明：在中 ∵， ∴______（等腰三角形________） ∵， ∴ ____（两直线平行，内错角相等） ______ ______（等量代换） （在同一个三角形中，________） 即是等腰三角形． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）已知与关于y轴对称，作出． （2）在y轴上找一点P，使得的周长最小，请在图中标出点P位置 19. 如图，点C、E在上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 21. 如图，在中，是的高，是的角平分线，已知． （1）求的大小． （2）若是的角平分线，求的大小． 22. 如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上设立四个点，并给出以下信息：点在点西北方向上，点在点的北偏西方向上，点在点的东北方向上，，米，米． （1）求的长； （2）若小明和小亮从点同时出发，分别沿和到达点，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达？并说明理由．（参考数据：，） 23. （1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______． （2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荆山公学八上数学第一次月考试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列图案属于轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，故是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 1，3，4 B. 2，2，7 C. 4，5，7 D. 3，3，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可． 【详解】解：， ∴1，3，4不能组成三角形， 故A选项不符合题意； ， ∴2，2，7不能组成三角形， 故B不符合题意； ， ∴4，5，7能组成三角形， 故C符合题意； ， ∴3，3，6不能组成三角形， 故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 3. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】能说明是假命题反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子； 【详解】解：A、满足条件，也满足结论，故错误； B、不满足条件，也不满足结论，故错误； C、满足条件，不满足结论，故正确； D、不满足条件，也不满足结论，故错误； 故选：C． 【点睛】此题考查的知识点是反证法，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 4. 如图，用尺规作已知角的角平分线的理论依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接,根据作图可知，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，角平分线定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 5. 一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，先根据题意求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， 由题意得：， 则， 故选：D． 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长，得出，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∵是的垂直平分线， ， ∵的周长， ， ， ， 故选：D． 7. 如图，，且，，是上两点，，．若，，，则的长为（　　） A. 9 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查等角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 设分别交、于点、，由，，，得，可证明，而，即可根据“”证明，得，，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设分别交、于点、，则， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 故选：B． 8. 如图，在中，，于D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求出，即．根据直角三角形斜边中线的性质可得出，从而可证．再根据，即得出，即，进而可求出，最后即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，即． ∵E是斜边的中点， ∴, ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 9. 如图，一架梯子长为25米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙底端C的距离是7米，梯子下滑后停在的位置上，这时测得为13米，则梯子顶端A下滑了（　　） A. 7米 B. 9米 C. 10米 D. 13米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在中，根据勾股定理可得米，由于梯子的长度不变，在中，根据勾股定理可得米，进而可得答案． 【详解】解：在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 在中，米，米， 根据勾股定理可得（米）， 米， 故选：B． 10. 如图，在《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面的调节角（）的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板a的夹角，则反射光束与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了光的反射定律的应用．理解和掌握光的反射定律是解题的关键． 当调节角为时，，所以当调节角在时，射到F点的左侧上，根据角的关系确定的范围；当调节角在时，射到F点的右侧上，根据角的关系确定的范围，最后根据的范围确定不可能取到的度数． 【详解】解：因为镜面的调节角（）的调节范围为，当调节角为时，， 所以当调节角在时，射到F点的左侧上，且， 则，那么； 当调节角在时，射到F点的右侧上，且， 则，那么； 当调节角为时，点E和F重合； 综上可得：或． 故选C． 二．填空题（每题3分，共18分） 11. 若，A与D，B与E分别是对应顶点，，则______________°． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 13. 如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 _______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定；掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案：6． 14. 如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，那么每个直角三角形的周长为______． 【答案】30 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：根据题意得：，，即， 则，， ， ， 每个直角三角形的周长为， 故答案为：30． 15. 如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 _____． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2.4． 16. 如图，在中，，，动点P从点C出发，以的速度沿折线移动到B，当点P在上运动时，则点P出发__________秒时，为等腰三角形；当点P在上运动时，则点P出发__________秒时，为等腰三角形． 【答案】 ①. 6 ②. 12或13或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论是解题关键． 当点P在上运动时，，为等腰三角形，，则，即可求出t的值；当点P在上运动时，为等腰三角形，分三种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：6 当点P在上运动时， ∵ ∴， 当为等腰三角形时， 有三种情况∶①当时 ∴， 解得：； ②当时，过点P作，如图， ∴E是的中点， ∴ 设边上的高为h,则, 解得：， ∵ ∴， 即 解得； ③当时，过点C作，如图∶ ∵， ∴， ∴ ∴， 即， 解得：， 综上：当点P在上运动时，则点P出发12或13或秒时，为等腰三角形 故答案为：12或13或． 三、解答题（本大题共7题，17-19题每题6分，20-22题每题8分，23题10分满分52分） 17. 如图，是等腰三角形底边上的高线，，交于点，求证： 是等腰三角形． 证明：在中 ∵， ∴______（等腰三角形________） ∵， ∴ ____（两直线平行，内错角相等） ______ ______（等量代换） （在同一个三角形中，________） 即是等腰三角形． 【答案】2；三线合一；3；2；3；等角对等边 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 由，（已知）得到，是根据三线合一的性质证得的；由（已知），得到，是根据平行线的性质得到的，由等角对等边，可由，证得． 【详解】证明：，， （等腰三角形三线合一）， ∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， ， （在同一个三角形中，等角对等边）， 等腰三角形． 故答案为：2；三线合一；3； 2；3；等角对等边． 18. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）已知与关于y轴对称，作出． （2）在y轴上找一点P，使得的周长最小，请在图中标出点P位置 【答案】（1）见解答 （2）点P的位置见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称作图，轴对称的性质，解题的关键是作出点A、B、C关于y轴的对称点、、． （1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）连接，交y轴于点P，连接，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，连接，交y轴于点P，连接， 根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的值最小，即的周长最小， 则点P即为所求． 19. 如图，点C、E在上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质： （1）根据，可得，再由，可得，即可求证； （2）根据题意可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再结合三角形的面积求出的长即可； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差求解即可。 【小问1详解】 解：∵，， ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故修建的公路的长是； 【小问2详解】 解：在中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 21. 如图，在中，是的高，是的角平分线，已知． （1）求的大小． （2）若是的角平分线，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质： （1）先根据三角形内角和定理可得，再由角平分线，得到，根据高的定义得到，即可求解； （2）由（1）得：，根据角平分线的定义分别得到∠BAG和∠ABG，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的高，是的角平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 22. 如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上设立四个点，并给出以下信息：点在点的西北方向上，点在点的北偏西方向上，点在点的东北方向上，，米，米． （1）求的长； （2）若小明和小亮从点同时出发，分别沿和到达点，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达？并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）40米 （2）小明先到达，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了方位角、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确理解题意，综合运用相关知识是解题关键． （1）首先根据题意可得，，，进而可得，由“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得米，然后理由勾股定理计算的长即可； （2）首先利用勾股定理解得的长度，设两人的速度均为米/分钟（），分别求得两人到达点所用时间，比较即可获得答案． 【小问1详解】 解：如下图， 根据题意，点在点的西北方向上，点在点的东北方向上， ∴，， ∵点在点的北偏西方向上，即， ∴， 又∵米， ∴米， ∵，米， ∴米； 【小问2详解】 由（1）可知，，米，米， ∴米， 设两人的速度均为米/分钟（）， 则到达点，小明用时， 小亮用时， ∵， ∴小明先到达点． 23. （1）【问题提出】如图1，在和，已知，，B、C、D三点在一条直线上，，，则的长度为______． （2）【问题提出】如图2，在中，，，过点C作，且，求的面积． （3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流的周边规划一个四边形巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形中，，，面积为，且的长为，则河流另一边森林公园的面积为______． 【答案】（1）（2）8（3）6 【解析】 【分析】（1）易证得，即可得到，从而求得． （2）如图1，过作的延长线于E，证明，则，根据，计算求解即可； （3）如图2，过作于，过作的延长线于， 由面积为且的长为6，可得，可求，证明是等腰直角三角形，则，，由，可得，，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：在和，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图1，过作的延长线于E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8； （3）解：如图2，过作于，过作的延长线于， 面积为且的长为6， ∴， 解得，， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ， ，， ， ∵， ∴， ， ∴， ∴的面积为． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$