专题02 直线与圆的方程重难点型归纳（九大题型）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

专题2 直线与圆的方程重难点型归纳（九大题型） 【题型一】 求直线方程 【题型二】 求圆方程 【题型三】 求平面图形轨迹方程 【题型四】 点对称有关方程 【题型五】 与直线或圆有关的距离问题 【题型六】 直线与圆 ﹑圆与圆的位置关系的判断 【题型七】 直线与圆 【题型八】圆与圆弦长问题 【题型九】 隐圆问题 【题型一】 求直线方程 【典例1】已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【变式1-1】已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【变式1-2】已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【变式1-3】已知直线：，直线：. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【变式1-4】（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 【变式1-5】已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 【题型二】 求圆方程 【典例2】已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【变式2-1】（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 【变式2-2】根据下列条件，求圆的标准方程： (1)过点和点，半径为． (2)经过两点，圆心在直线上． 【题型三】】 求平面图形轨迹方程 【典例3】已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【变式3-1】已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，圆过点，且圆心在上. (1)求圆的标准方程； (2)若点为圆上任意一点，且点的坐标为，求线段的中点的轨迹方程. 【变式3-3】在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上． (1)求圆C的方程； (2)若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程． 【变式3-4】已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程； 【变式3-5】已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动. (1)求线段的中点M的轨迹方程； (2)已知点为（1）所求轨迹上任意一点，求的最大值. 【题型四】 点对称有关方程 【典例4】已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程． 【变式4-1】已知圆经过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程. 【变式4-2】已知圆与轴相切，圆心点在直线上，且直线被圆所截得的线段长为. （1）求圆的方程； （2）若圆与轴正半轴相切，从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在直线的方程. 【变式4-3】已知圆的圆心在直线上，且经过点和． (1)求圆的标准方程； (2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求直线的方程． 【变式4-4】已知圆过点，，且圆心在直线：上. (1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程； (2)若点在直线上运动，求的最小值. 【题型五】 与直线或圆有关的距离问题 【典例5】已知的三个顶点是，，． (1)求上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程． 【变式5-1】已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于2. (1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 【变式5-2】已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； (3)当取得最小值时，求的面积. 【变式5-3】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动． (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)求点到直线距离的最大值和最小值． 【变式5-4】已知圆M的圆心在y轴上，且经过，两点． (1)求圆M的圆心坐标和半径； (2)若P是圆M上的一个动点，求P到直线的距离的最小值． 【题型六】 直线与圆 ﹑圆与圆的位置关系的判断 【典例6】过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【变式6-2】直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是 . 【题型七】 直线与圆弦长问题 【典例7】直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式7-1】直线截圆所得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知直线与圆相交于两点，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知直线与圆交于两点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【变式7-4】已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【题型八】圆与圆弦长问题 【典例8】圆：与圆：的公共弦的弦长等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式8-1】圆与圆相交于两点．则弦长等于（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】圆与圆的公共弦长为 . 【变式8-3】圆与圆的公共弦长为 . 【变式8-4】两圆和相交于两点，则公共弦的长为 . 【题型九】 隐圆问题 【典例9】如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．    (1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程； (2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？ 【变式9-1】若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式9-2】已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 直线与圆的方程重难点型归纳（九大题型） 【题型一】 求直线方程 【题型二】 求圆方程 【题型三】 求平面图形轨迹方程 【题型四】 点对称有关方程 【题型五】 与直线或圆有关的距离问题 【题型六】 直线与圆 ﹑圆与圆的位置关系的判断 【题型七】 直线与圆 【题型八】圆与圆弦长问题 【题型九】 隐圆问题 【题型一】 求直线方程 【典例1】已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.    【变式1-1】已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 【变式1-2】已知直线方程为，其中． (1)当变化时，求点到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)△AOB面积的最小值为4，此时的直线方程. 【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，点到直线的距离的最大时，一定有与该直线垂直，可得结论． （2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值及参数值． 【详解】（1）直线方程为， 可化为， 令，解得，所以直线恒过定点. 设定点为，当变化时，与该直线垂直时，点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，为 （2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且， 可设直线方程为可得与轴､轴的负半轴交于，两点，∴，，解得. ∴， 当且仅当时取等号，面积的最小值为4， 此时直线的方程为：，即：. 【变式1-3】已知直线：，直线：. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点与不过原点讨论求得直线方程； （2）根据求出值，再逐一验证. 【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意， 此时则，解得， ②若直线不过原点，因为直线在两坐标轴上的截距相等， 则斜率为，解得. 因此所求直线的方程为或 （2）若，则解得或. 当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 当时，直线：，直线：，满足题意； 因此所求直线： 【变式1-4】（1）已知向量，．若，求实数，的值． （2）直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程． （3）求过两条直线和的交点，且与平行的直线方程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据向量平行列方程，从而求得. （2）根据直线垂直求得直线的斜率，进而求得直线的方程. （3）先求得直线和的交点，然后利用待定系数法求得正确答案. 【详解】（1）由于，所以，解得. （2）直线的斜率为， 所以直线的方程为. （3）由解得， 设所求直线方程为，代入得， 故所求直线方程为. 【变式1-5】已知直线经过 (1)当直线的倾斜角为45°时，求直线的方程； (2)当直线在两坐标轴上的截距相等时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由直线的倾斜角为45°时，求得斜率为，结合点斜式方程，即可求解； （2）当直线过原点时，得到；当直线不过原点时，设方程为，代入点，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意，直线的倾斜角为45°时，可得直线的斜率为， 又由直线经过，所以直线的方程为，即直线的方程为. （2）当直线过原点时，因为直线经过，可得直线方程为，即； 当直线不过原点时，可设直线的方程为， 因为直线过点，可得，解得，所以直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【题型二】 求圆方程 【典例2】已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上． (1)求圆心为C的圆的一般方程； (2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程； （2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可. 【详解】（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径， 则， ∴圆心C坐标为，则圆C的方程为； 其一般方程为. （2）由（1）知圆C的方程为， ∴，∴P在圆C外， ∴的最大值为，最小值为． 【变式2-1】（1）写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. （2）求下列各圆的圆心坐标和半径： ①； ②. 【答案】（1）①；② （2）①圆心为，半径为；②圆心为，半径为3 【分析】 （1）①根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程②先求出圆的半径，可得圆的标准方程． （2）把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心和半径． 【详解】 （1）①圆心在，半径长是，故圆的标准方程为． ②圆心在，且经过点，故半径为， 故圆的标准方程为． （2）①，即，故圆心为，半径为， ②，即 即，故圆心为，半径为3. 【变式2-2】根据下列条件，求圆的标准方程： (1)过点和点，半径为． (2)经过两点，圆心在直线上． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用待定系数法设圆的标准方程，结合已知条件即可； （2）方法1：利用待定系数法设圆的标准方程，结合已知条件求解即可； 方法2：利用图形结合平面向量，建立方程结合已知条件求出圆心和半径即可. 【详解】（1）设圆心坐标为，则圆的方程为． 因为是圆上的点， 所以解得或， 因此所求圆的方程为或． （2）（方法一）设圆心为，半径为， 则圆的标准方程为． 由题意可得方程组． 解此方程组，得， 故所求圆的方程为． （方法二）如图，由于圆心到点的距离相等（都等于半径）， 因此圆心在的垂直平分线上， 并且处于直线与直线的交点处． 因为，所以是的法向量， 故可设直线的方程为．① 又直线过的中点，而的坐标为， 即，将其代入①式，解得． 所以直线的方程为，即． 圆心的坐标是方程组的解， 解此方程组，得． 所以圆心的坐标为． 圆的半径． 故所求圆的方程为． 【题型三】】 求平面图形轨迹方程 【典例3】已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出线段垂直平分线的斜率，再由和的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段垂直平分线的方程，与直线联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由中点坐标公式把的坐标用的坐标表示，然后代入圆即可得到答案． 【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为所以圆的半径， 则圆C的方程为：； （2）设，线段的中点为，，为中点， 所以，则，①； 因为端点在圆上运动，所以， 把①代入得：， 所以线段的中点M的轨迹方程是. 【变式3-1】已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心为C的圆经过点和点两点，可知圆心过线段的垂直平分线，将其与直线联立可求得圆心C，再求半径，即可得到圆的标准方程； （2）设线段MN的中点，由G为线段MN的中点可得，代入圆C的方程，即可得到G的轨迹方程. 【详解】（1）因为圆C经过点和点两点， 所以圆心C在线段的垂直平分线上，即上， 联立可解得，即， 所以圆C的半径为 则圆C的标准方程； （2）设线段MN的中点， 又M的坐标，且G为线段MN的中点， 所以， 又N在圆C上运动， 可得， 化简可得， 所以，线段MN的中点G的轨迹方程. 【变式3-2】在平面直角坐标系中，圆过点，且圆心在上. (1)求圆的标准方程； (2)若点为圆上任意一点，且点的坐标为，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心坐标，由，可构造方程求得圆心坐标和半径，由此可得圆的方程； （2）设，，结合中点坐标公式，利用点坐标表示出点坐标，代入圆方程即可得到所求轨迹方程. 【详解】（1）因为在上，所以设圆心， 又因为圆过点， 所以， 得：，则半径， 所以圆的标准方程为. （2）设中点，因为线段的中点，点的坐标为， 则，因为点为圆上任意一点， 所以代入，化简得：. 所以线段的中点的轨迹方程为：. 【变式3-3】在平面直角坐标系中，圆C过点，且圆心C在上． (1)求圆C的方程； (2)若点D为所求圆上任意一点，定点E的坐标为，求直线DE的中点M的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程； （2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程. 【详解】（1）由已知可设圆心，又由已知得， 从而有，解得：． 于是圆C的圆心，半径． 所以，圆C的方程为, （2）设，则由M为线段ED的中点得：，解得， 又点D在圆C：上， 所以有， 化简得：． 故所求的轨迹方程为． 【变式3-4】已知圆过点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的垂直平分线方程为，与的交点即圆心，圆心到点的距离即为半径，即可得圆的标准方程. （2）由为线段的中点得到坐标与坐标的关系，代入圆方程可得轨迹方程. 【详解】（1），的中点坐标为，直线的斜率为， 故线段的垂直平分线方程为，即， 联立得，即圆的圆心为，半径为， 故圆的方程为 （2）设，，因为线段的中点， 所以，则， 因点在圆上运动，所以， 则， 即的轨迹方程为. 【变式3-5】已知线段的端点B的坐标为，端点A在圆上运动. (1)求线段的中点M的轨迹方程； (2)已知点为（1）所求轨迹上任意一点，求的最大值. 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设，，用表示出，再把代入已知圆方程化简可得； （2）利用表示到原点距离这个几何意义求解：由在圆上，求出到圆心距离，加上半径得距离的最大值，平方后可得结论． 【详解】（1）设，，因为是中点，所以，而在圆上， 所以，即， 所以的轨迹方程是； （2）由（1）知在圆，设其圆心为，半径为1，， ，因此的最大值是，从而的最大值是． 【题型四】 点对称有关方程 【典例4】已知圆过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算的垂直平分线，计算交点得到圆心，再确定半径得到答案. （2）根据垂直和中点得到关于直线对称的点为，即为所求直线. 【详解】（1），则的垂直平分线的斜率为，中点为， 故的垂直平分线为，，解得，即圆心为， 圆的半径， 故圆方程为. （2）反射光线恰好平分圆的圆周，故反射光线过圆心， 设关于直线对称的点为， 则，且，解得，即， ， 故反射光线为，即. 【变式4-1】已知圆经过，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程； （2）设关于的对称点为，结合反射光线原理可得其对称点坐标，进而利用直线的两点式方程即可得出结果. 【详解】（1）由题知中点为，， 所以的垂直平分线方程为，即， 联立，解得，即圆心为， 所以圆的半径为， 故圆的方程为. （2）设关于的对称点为， 则直线与垂直，且的中点在直线上， 则，解得， 由题意知反射光线过圆心，故， 即.    【变式4-2】已知圆与轴相切，圆心点在直线上，且直线被圆所截得的线段长为. （1）求圆的方程； （2）若圆与轴正半轴相切，从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在直线的方程. 【答案】（1）圆或；（2）. 【分析】（1）设圆，根据已知条件可构造方程组求得，分别在和两种情况下求得结果； （2）根据点关于直线对称点的求法可求得点关于的对称点，利用两点连线斜率公式可求得反射光线所在直线斜率，由此可得直线方程. 【详解】（1）设圆， 由题意得：…①，…②，…③， 由①得，则，代入③得：； 当时，，，圆； 当时，，圆； 综上所述：圆或. （2）圆与轴正半轴相切，圆， 设关于的对称点， 则，解得：，， 反射光线所在直线的斜率， 反射光线所在直线方程为：，即. 【点睛】方法点睛：求解点关于直线的对称点的基本方法如下： ①与连线与直线垂直，即； ②中点在直线上，即； ③与到直线的距离相等，即； 上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点坐标. 【变式4-3】已知圆的圆心在直线上，且经过点和． (1)求圆的标准方程； (2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据题意结合圆的定义列式求得，进而可得圆的方程； （2）取圆关于x轴的对称的圆，可知直线与圆相切，根据切线结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设， 由可得，解得， 可知圆心，半径， 所以圆的标准方程为.    （2）取圆关于x轴的对称的圆，即圆心，半径， 可知直线与圆相切， 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则，整理得，解得或， 所以直线的方程为或.      【变式4-4】已知圆过点，，且圆心在直线：上. (1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程； (2)若点在直线上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）求出直线的垂直平分线方程，与直线的方程联立可求圆心的坐标，求出点关于直线的对称点的坐标，根据反射光线必经过点和点，由两点式方程可求解； （2）设点，则，利用两点间的距离公式及二次函数的性质可求解. 【详解】（1）圆过点，，故，的中点为， 直线的方程为，即， 所以直线的垂直平分线为，即. 因为圆心在直线：：上，且经过圆心， 由，得，即圆的圆心. 设点关于直线的对称点为， ，解得，，则， 则反射光线必经过点和点， 所以直线的方程为，即. （2）设点，则. 又 ， 当时，的最小值为32. 【题型五】 与直线或圆有关的距离问题 【典例5】已知的三个顶点是，，． (1)求上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据条件，求出，从而得出直线的斜率为，再利用点斜式即可求出结果； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率不存在时，直线的方程为，再根据条件得出不满足题意，当斜率存在时，设直线的方程为，再根据条件建立方程，即可求解出结果. 【详解】（1）因为，，所以直线的斜率， 所以直线的斜率为，又直线经过， 所以直线的方程为，即． （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时点到直线的距离为3，点到直线的距离为7，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k， 所以直线的方程为，即， 由题知，，化简得到， 解得或， 所以直线的方程为或． 【变式5-1】已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于2. (1)求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程. 【答案】(1)点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2 为半径的圆 (2)或 【分析】（1）根据题意直接列方程化简求解即可， （2）分直线斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，结弦长，圆心距和半径的关系可求得结果． 【详解】（1）由题意可知，，整理，得， 故点点轨迹方程为，其轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆． （2）由题意可知 ①当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足弦长为． ②当直线的斜率存在时，不妨设为， 则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 因为直线被所截得的线段的长为， 所以，所以，解得， 所以直线方程为． 综上，满足条件的直线的方程为或． 【变式5-2】已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； (3)当取得最小值时，求的面积. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解； （2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程； （3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积. 【详解】（1）解：直线的方程可化为， 令，解得，即点的坐标为. （2）解：当时，点到直线的距离最大， 此时直线的斜率与直线的斜率满足， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，即. （3）解：令，可得，所以； 令，可得，所以，且， 可得， 所以 当且仅当时，等号成立， 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为； 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为， 综上可得，的面积为或 【变式5-3】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动． (1)求线段的中点的轨迹方程； (2)求点到直线距离的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】 （1）设，利用中点坐标公式的，代入已知圆即可得所求轨迹方程； （2）利用点到直线的距离公式求圆心到已知直线的距离，然后加减半径即可得最值. 【详解】（1）设，则， 因为点在圆上， 所以，即. 即点的轨迹方程为. （2）由（1）知点的轨迹方程为，圆心为，半径为1. 因为圆心到直线的距离， 所以点到直线距离的最大值为，最小值为. 【变式5-4】已知圆M的圆心在y轴上，且经过，两点． (1)求圆M的圆心坐标和半径； (2)若P是圆M上的一个动点，求P到直线的距离的最小值． 【答案】(1)圆心坐标为，半径为 (2) 【分析】（1）设圆M的方程为，利用待定系数法求出圆的标准方程，即可得解； （2）求出圆心到直线的距离，再减去半径即可得解. 【详解】（1）因为圆M的圆心在y轴上， 所以可设圆M的方程为， 又圆M经过，两点， 所以，解得， 所以圆M的方程为， 故圆M的圆心坐标为，半径为， （2）由题意得圆心M到直线的距离为， 故直线与圆相离， 所以P到直线的距离的最小值为． 【题型六】 直线与圆 ﹑圆与圆的位置关系的判断 【典例6】过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】易知圆的半径为，圆心为原点， 当倾斜角为时，即直线方程为，此时直线与圆相切满足题意； 当斜率存在时，不妨设直线方程为， 则圆心到其距离为，解不等式得， 所以直线的倾斜角取值范围为 故选：A 【变式6-1】已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【分析】分别考虑上两点和与的位置关系，即可推知两圆的位置关系. 【详解】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 【变式6-2】直线绕原点按逆时针方向旋转后所得的直线与圆的位置关系是 . 【答案】相切 【分析】求出旋转之后的直线的方程，求得圆心到直线的距离即可得直线与圆相切. 【详解】易知直线的斜率为，倾斜角为， 其绕原点按逆时针方向旋转以后倾斜角为，斜率为，此时的直线方程为； 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，等于半径， 因此直线与圆的位置关系是相切. 故答案为：相切 【题型七】 直线与圆弦长问题 【典例7】直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可. 【详解】圆，所以圆心，半径， 所以弦心距为， 所以弦长为， 故选：C 【变式7-1】直线截圆所得的弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程求圆心和半径，再由点线距离求弦心距，最后应用几何法求直线被圆截得弦长. 【详解】由圆的方程知：圆心为，半径， 所以圆心为到直线距离为， 所以直线被圆截得弦长为. 故选：C 【变式7-2】已知直线与圆相交于两点，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，根据圆的弦长公式，即可求得答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：B 【变式7-3】已知直线与圆交于两点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出弦心距，然后根据弦长公式求出弦长即可. 【详解】由题意得圆的半径为，圆心到的距离， 所以， 故选：B 【变式7-4】已知圆． (1)求直线被圆截得弦长； (2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆心和半径，结合勾股定理可得答案； （2）利用待定系数法和相切可求圆的方程. 【详解】（1）由可得，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得弦长为. （2）设， 则，解得，； 因为圆与圆相切于原点，且圆过点， 所以，， 两边平方整理可得，平方可求， 代入可得，所以圆的方程为. 【题型八】圆与圆弦长问题 【典例8】圆：与圆：的公共弦的弦长等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】计算圆心距确定两圆相交，得到公共弦为，根据弦长公式即得. 【详解】圆：，圆心为，半径为； 圆：，圆心为，半径为； 圆心距，，两圆相交， 联立两圆方程，得， 即公共弦所在直线的方程为， 故圆心到公共弦的距离为， 公共弦长为：. 故选：D. 【变式8-1】圆与圆相交于两点．则弦长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆方程相减求得公共弦所在直线方程，求出一个圆心到直线的距离，用勾股定理求得弦长． 【详解】由题意 化简可得的直线方程为， 圆心到直线的距离为， 故选：C． 【变式8-2】圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可. 【详解】 两圆方程分别为： ①， ②， 由- 可得： ，即， 两圆的公共弦所在的直线方程为：， 的圆心坐标为 ，半径为 ， 圆心到公共弦的距离为： ， 公共弦长为： . 综上所述，公共弦长为： 故答案为：. 【变式8-3】圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】先求出公共弦的方程利用勾股定理即可求得. 【详解】由已知圆与圆公共弦所在直线方程为 因为圆圆心为，半径 所以 弦长为 故答案为： 【变式8-4】两圆和相交于两点，则公共弦的长为 . 【答案】/ 【分析】根据已知条件联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】由，解得，或， 所以不妨取两圆的交点为， 所以. 故答案为：. 【题型九】 隐圆问题 【典例9】如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD（包含边界和内部，A为坐标原点），AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．    (1)求在这个矩形场地内成功点M的轨迹方程； (2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？ 【答案】(1) (2)的横坐标范围为即可逃脱. 【分析】（1）分别以为轴，建立平面直角坐标系，由题意，利用两点间的距离公式可得答案. （2）利用三角函数得到极端情况时点的横坐标即可得到答案. 【详解】（1）分别以AD，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，则，， 设成功点，可得，即， 化简得，因为点M需在矩形场地内， 所以，故所求轨迹方程为．    （2）当线段FP与（1）中圆相切时，则， 所以，所以， 若电子狗在线段FP上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是． 【变式9-1】若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，进而求出的最大值. 【详解】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆， 所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值， 如图所示，最大值为. 故选：D. 【变式9-2】已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解. 【详解】法一：设的重心为，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，的最小值是. 法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系， 则， 设，即， 化简得，点的轨迹方程为， 设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小， 又，故得最小值为. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$