培优07 圆中的最值范围七大考法归类（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第一册

培优07 圆中的最值范围七大考法归类 题型1圆上动点到定点的距离的最值问题 先确定圆的圆心和半径，计算圆心到定点的距离（记为）；圆上动点到定点的最大距离为，最小距离为，核心是利用 “圆心、定点、动点三点共线时取最值”。 1．设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为，所以的最大值为． 故答案为：. 2．在圆上与点距离最大的点的坐标是 ． 【答案】 【详解】由圆的圆心为， 因为圆到点距离最大时即在圆心与点连线上，根据两点式可求得直线为， 联立方程，解得或， 经检验与点距离最大的点的坐标是. 故答案为：. 3．已知直线，，与的交点为，为原点，当在实数范围内变化时，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，联立两直线方程，利用消元法，消去得， 即点在上运动， 设， 则， 由辅助角公式可知，存在使得， 因为的取值范围是， 所以的取值范围是. 故答案为：. 4．若复数z满足，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】设复数，，， 因为，所以，即复数z所表示的点的轨迹是以点为圆心，以2为半径的圆， 则的几何意义是圆上点到的距离， 因为到圆心的距离为， 所以的取值范围是. 故答案为： 5．已知圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】记原点为，易知原点在圆上，则， 故的最大值为圆的直径，故的最大值为. 故答案为：. 题型2圆上动点到定直线的距离的最值问题 已知直线与圆相离，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为 6．已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】圆C的方程可化为， 所以，半径， 则C到直线l：的距离为， 所以所求距离的最小值为． 故选：C 7．动点在圆上运动，则点到轴的最近距离是 . 【答案】2 【详解】由题设，故圆心且半径为， 所以动点到轴的最近距离是. 故答案为：2 8．已知点，点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】D 【详解】由题设在以为圆心，为半径的圆上， 又的直线的距离， 则，当且仅当时取等号， 所以点P到直线的距离最大值为5. 故选：D 9．已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（　　） A． B．9 C．6 D．3 【答案】A 【详解】由点，，得， 直线：，即， 因为圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值， 所以△PAB面积的最小值为. 故选：A. 10．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题意，圆可化为， ∴圆C是以为圆心，半径的圆， ∵，点Q为线段中点， ∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上， ∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离， ∴，∴. 故选：B. 11．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径． 因为到直线的距离， 当且仅当时等号成立，所以直线与该圆相离， 所以的最小值为． 故选：C． 题型3圆的切线长最值问题 求切线长度经常用几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题 12．已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆的圆心坐标为， 因为圆的半径为，且过点，可得， 即，即圆心的轨迹表示以为圆心，半径为1的圆， 可得，则圆上的点到点的最大距离为， 又由切线长公式，可得切线长的最大值为. 故选：A. 13．已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 【答案】C 【详解】圆心为 ，半径为.点 满足 ，即 . 设切线方程为 和 ，由圆的切线性质可知， 的最小值，出现在 最小时. 此时圆心到直线距离为：， 代入得 ，A选项错误； 四边形面积的最小值为，D选项错误； 四边形面积的最小值为，所以，C选项正确； 当最小时，，直线的斜率为， 因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误. 故选: C. 14．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 15．已知圆，点是直线上的点，则（ ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上不存在点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以A不正确，B不正确. 从点向圆引一条切线，设切点为，连接， 则，则， 当时，取得最小值，此时取得最小值， 即，故C正确，D不正确. 故选：C. 16．已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】    如图，连接，因为，与圆相切， 所以， 设，所以， 整理得，所以在以为圆心，3为半径的圆上运动， ，当且仅当在时等号成立， 所以答案为：. 题型4直线与圆的位置关系求距离的最值 17．过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】 易知圆C：的圆心为，半径， 又， 所以在圆内，因为，垂足为Q， 由垂径定理可知Q是AB的中点， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 易得此时圆心C与Q重合，不符合题意， 由可得， 设点，则，， 所以， 即， 故点Q的轨迹方程为（除点外）， 圆心到直线的距离为， 则点Q到直线的最大距离为． 故选：D. 18．直线分圆周长的比为，，则圆心到直线的最大距离为 . 【答案】1 【详解】由题意可知，优弧与劣弧所对的圆心角之比为，则劣弧所对的圆心角为， 化简得，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 因，则，， 故圆心到直线的最大距离为. 故答案为： 19．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为 【答案】2 【详解】由题意，圆可化为, ∴圆C是以为圆心，半径的圆， ∵，点Q为线段中点， ∴， 即Q在以为圆心，1为半径的圆上， ∴求的最小值，转化为求的最小值， ∵圆心到直线距离， ∴， ∴， 故答案为：2. 题型5与圆的弦长有关的最值问题（最长弦、最短弦问题） 经过圆内一点的最长的弦就是经过该点的直径； 经过圆内一点的最短的弦是过该点且与过该点的半径相垂直的弦。 20．已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 【答案】D 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 21．已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，恒过定点，且点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为. 故选：D 22．直线与圆交于两点，若的最大值为4，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为直线与圆交于两点， 所以当的值最大时，其为圆的直径，而的最大值为4，得到， 则圆的方程为，设圆心到直线的距离为， 如图，记圆心，直线必过定点， 由圆的性质得，当时，最大，此时的值最小， 由斜率公式得，此时， 由题意得，则， 由点到直线的距离公式得， 由勾股定理得，解得， 综上可得的最小值为. 故答案为： 23．已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的标准方程为， 所以，圆心为，半径为， 由中垂线的性质可得，则， 所以，点在以点为圆心，半径为的圆上， 点到直线的距离为， 所以，. 故选：C. 24．已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】注意到直线过点C，将直线方程与联立， 可得，其判别式为， 设，则. 又，， 则 ， 当且仅当时取等号. 故选：B 题型6与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 25．已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【详解】方法一  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆． 设，则直线与圆有公共点（将所求问题转化为直线与圆有公共点进行求解是解题的关键）， 所以，解得，所以的最大值为． 表示圆上的点到直线的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以，即． 方法二  可化为，此方程表示圆心为，半径为1的圆， 所以可以看作是圆：上一点与原点连线的斜率， 如图所示，OA，OB与圆分别相切于A，B，所以，连接MA，OM， 所以，所以， 所以圆上一点与原点连线的斜率的最大值为．设 所以 且， 所以．    故答案为：，. 26．“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】记，则为直线AP的斜率， 故当直线AP与半圆相切时，k最小， 此时设，故，解得或， 由图可知需舍去， 故． 当过时，． 故答案为：. 27．过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【详解】由已知曲线表示的是以为圆心，以为半径的上半圆， 由题意可知直线的斜率一定存在且大于零，可设方程为，即 当直线与圆相切时，即，得，解得， 所以直线的斜率的取值范围是. 28．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 29．已知实数、满足方程，求的最小值和最大值． 【答案】；. 【解析】先设，根据题意，得到直线与圆相切时，截距取最小值和最大值，由直线与圆相切，列出方程求出，即可得出结果. 【详解】设，则， 仅当直线与圆相切时，截距取最小值和最大值， 因为圆的圆心为，半径为， 由点到直线的距离公式，得，解得， 解得， 所以的最小值为；最大值为. 【点睛】本题主要考查由直线与圆位置关系求参数，属于基础题型. 30．已知实数，满足方程， (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最小值为，最大值为 (3)最大值为，最小值为 【详解】（1）解：因为，即，所以圆心为，半径， 令，即，则圆心到直线的距离， 所以，即的最大值为，最小值为； （2）解：表示圆上的点与点的距离的平方， 因为， 所以，即， 所以的最小值为，最大值为； （3）解：表示圆上的点与点连线的斜率， 设过点直线方程为，即， 所以，即，解得， 所以的最大值为，最小值为； 题型7利用对称性求最值 求解时先明确对称对象（如点关于直线、点对称），将折线距离转化为直线距离；若求距离和最值，则找一点对称点连另一点得最短线段；若求距离差最值，则连两点交定直线得最大差，均借助 “两点之间线段最短” 或 “三角形三边关系”。 31．已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使的最大，需尽可能大，尽可能小， ∴连接、，让两直线与两圆的交点，离尽可能远，离尽可能近，如下图示：    在△中最大即可，令，关于轴的对称点为， ∴最大，故共线时的最大值为， ∴的最大值为. 故选：D 32．若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】9 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设点关于直线的对称点为，连接，如图： 则，解得，即， ，则 ，当且仅当是与直线的交点， 且分别是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 33．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】圆，即， 圆心为，半径 圆，即， 圆心为，半径， 设点关于直线对称的点为 ， 则 ，解得：， 圆关于直线对称的圆为圆， 其圆心为，半径， 则其方程为， 设圆上的点与圆上点对称，则有， 原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题， 如图所示： 连接，与直线交于点， 此时点是满足最小的点， 此时， 即的最小值为， 故答案为： 34．已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 又由点，可得点在直线上的动点， 因为点O是坐标原点，点Q是圆上的动点， 则， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 可得，解得，即， 设直线与直线的交点为， 则直线的方程为，联立方程组，解得， 即，则， 当点与重合时，此时，则， 此时取得最大值，最大值为， 所以，即的最大值为. 故答案为：. 35．如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有． (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设，如图，连接，为切点，， 由勾股定理得， 又，， ，整理得． 点的轨迹方程为． （2）如图，作出直线，设关于直线的对称点为，连接， 则，解得，． 连接，则， 当三点共线时，取得等号．则的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优07 圆中的最值范围七大考法归类 题型1圆上动点到定点的距离的最值问题 先确定圆的圆心和半径，计算圆心到定点的距离（记为）；圆上动点到定点的最大距离为，最小距离为，核心是利用 “圆心、定点、动点三点共线时取最值”。 1．设为坐标原点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 2．在圆上与点距离最大的点的坐标是 ． 3．已知直线，，与的交点为，为原点，当在实数范围内变化时，的取值范围是 ． 4．若复数z满足，则的取值范围是 . 5．已知圆上一点，则的最大值为 . 题型2圆上动点到定直线的距离的最值问题 已知直线与圆相离，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为 6．已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 7．动点在圆上运动，则点到轴的最近距离是 . 8．已知点，点P满足，则点P到直线的距离的最大值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．5 9．已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（　　） A． B．9 C．6 D．3 10．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型3圆的切线长最值问题 求切线长度经常用几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题 12．已知半径为1的圆经过点，过点向圆作切线，则切线长的最大值为（    ） A． B． C． D． 13．已知圆 点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 14．已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．已知圆，点是直线上的点，则（ ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上不存在点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 16．已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（A，为切点），且，则的最大值为 . 题型4直线与圆的位置关系求距离的最值 17．过点的直线l交圆C：于A，B两点，若，垂足为Q，则点Q到直线的最大距离为（    ） A． B．1 C． D． 18．直线分圆周长的比为，，则圆心到直线的最大距离为 . 19．已知点M，N为圆上两点，且，点P在直线上，点Q为线段中点，则的最小值为 题型5与圆的弦长有关的最值问题（最长弦、最短弦问题） 经过圆内一点的最长的弦就是经过该点的直径； 经过圆内一点的最短的弦是过该点且与过该点的半径相垂直的弦。 20．已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A．2 B． C． D．2 21．已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 22．直线与圆交于两点，若的最大值为4，则的最小值为 ． 23．已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 24．已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D． 题型6与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题 1、形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2、形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3、形如，可以转化为动直线纵截距 25．已知实数x，y满足方程，则的最大值为 ，的取值范围是 ． 26．“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的取值范围是 ． 27．过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是 . 28．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．已知实数、满足方程，求的最小值和最大值． 30．已知实数，满足方程， (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值. 题型7利用对称性求最值 求解时先明确对称对象（如点关于直线、点对称），将折线距离转化为直线距离；若求距离和最值，则找一点对称点连另一点得最短线段；若求距离差最值，则连两点交定直线得最大差，均借助 “两点之间线段最短” 或 “三角形三边关系”。 31．已知圆，圆，、分别是圆、上动点，是轴上动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 32．若分别为圆，与圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 33．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 34．已知点，点O是坐标原点，点Q是圆上的动点，则的最大值为 . 35．如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有． (1)求点的轨迹方程； (2)求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$