专题10 全等三角形模型之对角互补模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题10 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°—90°型对角互补模型、120°—60° 型对角互补模型、 α—（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 2 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 9 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 19 25 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 例2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）已知中，，，D为AB边的中点，，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)当∠EDF绕D点旋转到于E时（如图①），则______（请在“＞、＝、＜”中选择一个填空）．(2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．(3)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图③这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明． 例3．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明； 问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 　 例4．（23-24七年级下·山东济南·期末）在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度；②求证：；(2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 例1．（2024.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 例2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线． (1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线； (2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？ (3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）． 例4．（23-24八年级上·山东东营·期末）已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，OD＝4，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE＝_________；        （1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由； （2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：①请在图3中画出图形；②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明． 例5．（23-24八年级上·浙江台州·期中）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为　 　； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置? 例6．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB，AC于M，N两点，以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变)，若DM与AB垂直时(如图①所示)，易证BM +CN =BD． （1）如图②，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC上，上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由；（2）如图③，若DM与AB不垂直时，点M在边AB．上，点N在边AC的延长线上，上述结论是否成立?若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明. 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 例1．（2024八年级上·绵阳市·专题练习）如图，为的角平分线，P为上一点，且于D，，给出下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤四边形的面积是面积的2倍．其中正确的有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 例2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）如图，为的平分线上的一点，于点，为上一点，为上一点，．（1）求证：；（2）若，求的值． 例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 1．（23-24八年级上·河南漯河·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，且于D，，下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线上，两直角边分别与，交于点C，D，垂足为点N，，则四边形的面积为 ．      4．（24-25九年级上·重庆·课后作业）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．写出图中相等的角，并说明理由． 5．（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 6．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）我们知道，角的平分线有很多特殊的性质.例如： (1)如图①，已知是的平分线，点A是上一点，若，则可以得到，请说明理由；(2)发现规律：连结，则是等腰三角形．如图②，在等腰三角形底边的另一侧存在一点D，当时，请直接写出与的数量关系． (3)请解决下列问题：如图③，等腰中，，D是外一点，，且，求证：． 7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分．    (1)如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得： ______ ．（填、、） (2)如图2，求证； (3)如图3，在等腰中，，平分，求证：． 8．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 9．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，画，并画的平分线，将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与的两边分别相交于点E、F，试猜想的大小关系，并说明理由． 10．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC与E、F点。 （1）如图，若EF∥AB，求证DE=DF （2）如图，若EF与AB不平行，则问题（1）的结论是否成立？说明理由. 11．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F．(1)求证：是等边三角形；(2)求证：． 12．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．    分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 13．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）【情景呈现】 (1)画，并画的平分线．把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，相交于点，，若，（如图1），则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则 ．（选填“”，“”或“”）（不用证明） 【理解应用】(2)在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3． ①图中全等三角形共有 对；（不添加辅助线）②直接写出与之间的数量关系为 ． 【拓展延伸】(3)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，当时的两边分别与，相交于点，，与相等吗？请说明理由． 14．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，且．连接，以为边，在内部作等边．(1)求证：点在的角平分线上； (2)连接，试探究、、的数量关系，并证明你的结论． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图， (1)如图①，等腰，，D为的中点，，将绕点D旋转，旋转过程中，的两边分别与线段、线段交于点E、F（点F与点B、C不重合），写出线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图②，等腰，，D为的中点，，将绕点D旋转，旋转过程中，的两边分别与线段、线段交于点E、F（点F与点B、C不重合），直接写出线段之间的数量关系为　　　　　　　； (3)如图③，在四边形中，平分，，，过点A作，交的延长线于点E，若，，则的长为　　　　　　　． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：．② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 17．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O是斜边AB的中点，将边长足够大的三角板的直角顶点放在点O处，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），记三角板的两直角边与Rt△ABC的两腰AC、BC的交点分别为E、D，四边形CEOD是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图①所示）.那么，在上述旋转过程中： （1）线段CE与BD具有怎样的数量关系？四边形CEOD的面积是否发生变化？证明你发现的结论； （2）当三角尺旋转角度为____________时，四边形CEOD是矩形；（3）若三角尺继续旋转，当旋转角度α（90°＜α＜180°）时，三角尺的两边与等腰Rt△ABC的腰CB和AC的延长线分别交于点D、E（如图②所示）. 那么线段CE与BD的数量关系还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由。    18．（23-24八年级上·山东日照·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【探索延伸】如图②，若在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【实际应用】如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（处）北偏西的A处，快艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，快艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两艇分别到达，处，且两艇之间的夹角为，试求此时两艇之间的距离．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°—90°型对角互补模型、120°—60° 型对角互补模型、 α—（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 2 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 9 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 19 25 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上．(2)成立，证明见解析． 【分析】（1）根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，由此即可得出结论； （2）成立，过点A作，，构造全等三角形即可证明，从而得出结论成立． 【详解】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上 故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． （2）结论：平分仍然成立； 证明：如解图3，过点A作，，∴，    又∵，∴，∴， 又∵，∴， 在和中，∴∴， 又∵，，∴平分，故（1）结论正确． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质及判定、角平分线判定定理是解题的关键． 例2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）已知中，，，D为AB边的中点，，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． (1)当∠EDF绕D点旋转到于E时（如图①），则______（请在“＞、＝、＜”中选择一个填空）．(2)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．(3)当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图③这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明． 【答案】(1)“＝”(2)成立，证明见解析(3)不成立；它们的关系是：；理由见解析 【分析】（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是矩形，根据面积公式，即可得出结论； （2）过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，证明△DME≌△DNF（ASA），得出S△DME＝S△DNF，即可得出结论；（3）同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF＝S五边形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC． 【详解】（1）解： ∵DE⊥AC ，∴∠DEC＝90°，又∵∠EDF＝90°，，∴四边形CEDF是矩形， ∵D为AB中点，∴E为AC中点，∴，同理可得， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： 证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°， 又∵∠C＝90°，∴DM∥BC，DN∥AC， ∵D为AB边的中点，由中位线定理可知：DN＝AC，MD＝BC，∵AC＝BC，∴MD＝ND， ∵∠EDF＝90°，∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF， 在△DME与△DNF中， ，∴△DME≌△DNF（ASA）， ∴S△DME＝S△DNF，∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF+S△CEF， 由以上可知S四边形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF+S△CEF＝S△ABC； （3）解：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC，理由如下：连接DC， 证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°， ∴S△DEF＝S五边形DBFEC＝S△CFE+S△DBC＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的判定和性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键． 例3．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明； 问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 　 【答案】（1）证明见解析（2）PB＝PE还成立(3) PB＝PE还成立 【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥CD，则四边形PMCN是矩形，根据角平分线的性质可得PM=PN，根据四边形的内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根据AAS证明△PBM≌△PEN，则可证明； （2）连接PD，根据正方形的性质和角平分线的性质，由“SAS”以及四边形的内角和得证； （3）过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，然后根据角平分线的性质和正方形的性质，由“AAS”可证. 试题解析：(1)如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠PBC＋∠CEP＝180°，而∠CEP＋∠PEN＝180°，∴∠PBM＝∠PEN，在△PBM和△PEN中， ∴△PBM≌△PEN(AAS)，∴PB＝PE　(2)如图2，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠MPE＝90°，而∠MPE＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE　(3)如图3，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC交BC的延长线于点M，PN⊥CD的延长线于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE 例4．（23-24七年级下·山东济南·期末）在中，于点，，． (1)如图①，过点A作于点H，交于点P，连接． ①求线段的长度；②求证：；(2)如图②，若D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段的延长线于点N，则的值是否发生改变？若改变，求该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值． 【答案】(1)①1；②见解析(2)的值不发生改变，等于 【分析】（1）①证，即可得出；②过分别作于点，作于点，证，得出．得出平分，即可得出结论；（2）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，则，证出．证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ，， 在和中，，，； ②过分别作于点，作于点，如图1所示： 在四边形中，，． 在与中，，，． ，，平分，； （2）解：的值不发生改变，等于．理由如下：连接，如图2所示： ，，为的中点，，， ，，． ，即，． 在和中，，，， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的判定定理、直角三角形的性质、余角的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， 例1．（2024.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析 【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：CF=CG； 证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB， ∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）CF=CG.理由如下：如图， 过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º， ∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º， ∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º， ∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE， ∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG， 在△MCF和△NCG中， ∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）； 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ． 例2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】过点作于点，于点，根据的平分线性质及含30度直角三角形的性质可得；分三种情况考虑：当，分别在射线，射线上时；当，分别在射线的反向延长线上，射线上时；当，分别在射线上、射线反向延长线上时；通过证明，得CD=CE，OD、OC、OE间的关系，从而可用a、b表示OE，综合以上三种情况即可完成求解． 【详解】过点作于点，于点 ∵平分，∴，∴ ∴， ∴ON+OF=OC ①当，分别在射线，上时，此时OC≥OD，如图 ∴ ∵，∴∴， ∴∴OE=OC−OD= a-b ②如图，当，分别在射线反向延长线，射线上时 同理可得：∴， ∴，OE=OC+OD=a+b ③如图，当，分别在射线上、在射线反向延长线上时，OC≤OD 同理可得：∴， ∴， 综上：只有（1）正确，（2）（3）（4）均错误 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形的性质，从而完成求解.注意分类讨论，否则出现遗漏情况． 例3．（23-24七年级下·四川成都·期末）已知：∠AOB＝60°．小亮在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE＝120°）的角尺，来作∠AOB的角平分线． (1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD＝OE，再移动角尺使PD＝PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．试根据小亮的做法证明射线OP是∠AOB的角平分线； (2)如图2，小亮在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，想继续探究，于是将角尺绕点P旋转了一定的角度，他认为旋转后的线段PD和PE仍然相等．请问小亮的观点是否正确，为什么？ (3)如图3，在（2）的基础上，若角尺旋转后恰好使得DPOB，请直接写出线段OD与OE的数量关系（不用说明理由）． 【答案】(1)见解析(2)结论正确，证明见解析(3)结论：OE=2OD．证明见解析 【分析】（1）根据SSS证明△OPD≌△OPE（SSS），可得结论．（2）结论正确．如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K．证明△PHD≌△PKE（ASA），可得结论．（3）结论：OE=2OD．如图3中，在OB上取一点T，使得OT=OD，连接PT．想办法证明PT=OT，PT=TE，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1中， 在△OPD和△OPE中，∴△OPD≌△OPE（SSS），∴∠POD=∠POE． （2）解：结论正确．理由：如图2中，过点P作PH⊥OA于H，PK⊥OB于K． ∵∠PHO=∠PKO=90°，∠AOB=60°，∴∠HPK=120°，∵∠DPE=∠HPK=120°，∴∠DPH=∠EPK， ∵OP平分∠AOB，PH⊥OA，PK⊥OB，∴∠POH=∠POK，∠PHO=∠PKO=90°， 在△OPH和△OPK中，，∴△OPH≌△OPK（AAS），∴PH=PK， 在△PHD和△PKE中，，∴△PHD≌△PKE（ASA），∴PD=PE． （3）解：结论：OE=2OD．理由：如图3中，在OB上取一点T，使得OT=OD，连接PT． ∵OP平分∠AOB，∴∠POD=∠POT， 在△POD和△POT中，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP=∠OTP， ∵PDOB，∴∠PDO+∠AOB=180°，∠DPE+∠PEO=180°， ∵∠AOB=60°，∠DPE=120°，∴∠ODP=120°，∠PEO=60°， ∴∠OTP=∠ODP=120°，∴∠PTE=60°，∴∠TPE=∠PET=60°，∴TP=TE， ∵∠PTE=∠TOP+∠TPO，∠POT=30°，∴∠TOP=∠TPO=30°，∴OT=TP，∴OT=TE，∴OE=2OD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例4．（23-24八年级上·山东东营·期末）已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，OD＝4，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE＝_________；        （1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由； （2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：①请在图3中画出图形；②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明． 【答案】8;(1)上述结论成立;(2)①见详解;②上述结论不成立，. 【分析】利用角平分线定理得出DE=CD，即可得出结论； (1)先判断出∠DCQ=∠ECP，进而判断出△CQD≌△CPE，得出DQ=PE，即可得出结论；(2)①依题意即可补全图形；②先判断出∠DCQ=∠ECP，进而判断出△CQD≌△CPE，得出DQ=PE，即可得出结论． 【详解】解：∵，∴，在中，，，OD＝4， ∵点是的平分线上的点，∴，同理，，∴，故答案为8； （1）上述结论成立. 理由：如图2，       过点作于，于，∴，∴， 由旋转知，，∴，∴， ∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴； （2）①补全图形如图3.②上述结论不成立，. 理由：过点作于，于，∴，∴， 由旋转知，，∴，∴， ∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴. 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键 例5．（23-24八年级上·浙江台州·期中）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为　 　； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用:（3）若边长AB＝8，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝DE+EA+AF+FD，则周长L 取最大值和最小值时E点的位置? 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析；（3）周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2． 【分析】（1）先利用等边三角形判断出BD=CD=AB，进而判断出BE=BD，再判断出∠DFC=90°，得出CF=CD，即可得出结论；（2）①构造出△EDG≌△FDH（ASA），得出DE=DF，即可得出结论； ②由（1）知，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），得出EG=FH，即可得出结论；（3）由（1）（2）判断出L=2DE+12，再判断出DE⊥AB时，L最小，点F和点C重合时，DE最大，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC， ∵点D是BC的中点，∴BD=CD=BC=AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°-∠B=30°， 在Rt△BDE中，BE=BD，∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°， ∵∠C=60°，∴∠DFC=90°，在Rt△CFD中，CF=CD，∴BE+CF=BD+CD=BC=AB， ∵BE+CF=nAB，∴n=，故答案为； （2）如图，①过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴∠DGB=∠AGD=∠CHD=∠AHD=90°， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠GDH=360°-∠AGD-∠AHD-∠A=120°，∵∠EDF=120°，∴∠EDG=∠FDH， ∵△ABC是等边三角形，且D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG=DH， 在△EDG和△FDH中，，∴△EDG≌△FDH（ASA），∴DE=DF，即：DE始终等于DF； ②同（1）的方法得，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），∴EG=FH， ∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=AB，∴BE与CF的和始终不变； （3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=AB， ∵AB=8，∴BE+CF=4，∴四边形DEAF的周长为L=DE+EA+AF+FD =DE+AB-BE+AC-CF+DF=DE+AB-BE+AB-CF+DE=2DE+2AB-（BE+CF）=2DE+2×8-4=2DE+12， ∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小，当DE⊥AB时，DE最小，L最小， 此时∠BDE=90°-60°=30°，BE=BD=2， 当点F和点C重合或点E和点B重合时，DE最大，点F和点C重合时，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°， ∵∠B=60°，∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BE=DE=BD=AB=4， 当点E和点B重合时，DE=BD=4，周长L 有最大值， 即周长L 取最大值时点E和点B重合或BE=4，取最小值时BE=2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线定理，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解题的关键． 例6．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB，AC于M，N两点，以点D为中心旋转∠MDN(∠MDN的度数不变)，若DM与AB垂直时(如图①所示)，易证BM +CN =BD． （1）如图②，若DM与AB不垂直时，点M在边AB上，点N在边AC上，上述结论是否成立?若成立，请给予证明;若不成立，请说明理由；（2）如图③，若DM与AB不垂直时，点M在边AB．上，点N在边AC的延长线上，上述结论是否成立?若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明. 【答案】（1）成立，见解析；（2）图③的结论不成立.图③的结论为BM-CN = BD. 【分析】（1）根据等边三角形的性质，及过D作DE平行AC交AB于E点，构造△DME与△DNC全等，利用全等三角形的对应边相等及线段的和差关系给予证明.（2）利用同（1）的方法构造全等，根据和差关系得出的结论为BM-CN = BD. 【详解】(1)证明:图②的结论成立，为BM +CN = BD.理由如下：如图，过点D作DE//AC交AB于点E. ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE//AC，∴∠BED=∠BDE =∠A=∠C=∠B= 60°， ∴△BDE是等边三角形，∴∠EDC = 120°.∴∠EDN +∠NDC= 120°. ∵∠MDN= 120°，∴∠EDN十∠MDE = 120°，∴∠NDC=∠MDE.∵D是BC的中点，∴BD = DC，∴BD=DE = DC. ∵∠BED=∠C =60°∴△DME≌△DNC.∴ME = NC，∴BM十ME= BE，∴BM十CN= BD. (2)解:图③的结论不成立.正确结论为BM-CN = BD.理由如下：如图，过点D作DF//AC交AB于点F. ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°,∴DF//AC， ∴∠BFD=∠BDF=∠A=∠ACB =∠B = 60°.,∴△BDF是等边三角形， ∴∠FDC =∠MFD=∠DCN=120°，∴∠FDM +∠MDC= 120°. ∵∠MDN= 120°，∴∠MDC十∠NDC = 120°,∴∠NDC=∠FDM.∵D是BC的中点，∴BD = DC,∴BD=DF = DC. ∵∠MFD=∠DCN=120°,∴△DMF≌△DNC,∴MF = NC,∴BM-MF =BF ,∴BM-CN =BD . 【点睛】本题考查的知识点比较多，综合性比较强，主要考查等边三角形的性质，全等三角形的性质，等量代换的方法，熟练掌握相关知识并能灵活运用是解题的关键. 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 例1．（2024八年级上·绵阳市·专题练习）如图，为的角平分线，P为上一点，且于D，，给出下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤四边形的面积是面积的2倍．其中正确的有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】过点P作，垂足为点K．连接，证明，，利用全等三角形的性质、角平分线的定义等知识即可解决问题． 本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义、等边对等角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为点K．连接， ∵，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，且， ∴，∴， ∵，∴即，故①正确； 在和中，，∴， ∴，故②正确；∴， ∵,∴，∴，故③正确； ∵，∴， ∵，∴， 又∵为的角平分线，∴，∴，故④正确； ∵，，∴， ∴．故⑤正确．综上可得：①②③④⑤均正确．故选：A． 例2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）如图，为的平分线上的一点，于点，为上一点，为上一点，．（1）求证：；（2）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析      （2） 【分析】（1）作于F，根据角平分线的性质可得，通过全等三角形的性质以及判定证明，从而得证；（2）根据可得，根据可推出，即可求出的值． 【详解】（1）作于F ∵为的平分线上的一点，于点，于F ∴， ∵，∴ 在△PCD和△PFE中∴∴； （2）∵∴ ∵∴ ∴∴ ∵∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的性质和判定． 例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，(2)成立，理由见详解(3)， 【分析】（1）过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，根据角平分线的性质可得PF=PE，先证明∠EPF=∠CPD，再证明∠CPE=∠EPD，即可证明△FPC≌△EPD，则有PC=PD，∠PDC=∠PCD，则有2∠PDC=∠CPN，根据∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，可得∠AOB=∠CPN，即问题得解；（2）解答方法同（1）；（3）解答方法同（2）． 【详解】（1），， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， ∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°， 同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （3）成立，，， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，证明△FPC≌△EPD是解答本题的关键． 1．（23-24八年级上·河南漯河·期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，作，可得，由此可判定①②③，连接，根据三角形三边关系可判定④，由此即可求解． 【详解】解：∵点在的角平分线上，∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∴，，，∴在四边形中，， ∵，∴，即， ∴，∴，∴，故①正确； 由①正确可得，，∴，故②正确； 由可得，∴， ∴四边形的面积是定值，故③正确； 如图所示，连接，由上述结论可得，，，，， ∴，即的长度发生变化，故④错误；综上所述，正确的有①②③，共3个，故选：C ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，四边形面积的计算方法等知识，掌握添加合理的辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 2．（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图，为的角平分线，点P为上一点，且于D，，下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，过点作，垂足为点．证明，，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点．连接， ，，，， 在和中，，，， ，且，，， ，∴，故①正确； 在和中，，， ，，故②正确；，，，故③正确； ，，，， ．故④不正确．综上可得：①②③均正确．故答案为：①②③． 3．（23-24七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线上，两直角边分别与，交于点C，D，垂足为点N，，则四边形的面积为 ．      【答案】 【分析】先根据有三个角都是直角的四边形是矩形证得四边形是矩形，再根据角平分线的性质得出，从而得到是正方形，即可计算面积，再证明和全等，得出四边形的面积等于正方形的面积即可． 【详解】解：过点作于点， ，，四边形是矩形，， 是的平分线，，，， 四边形是正方形，， ，， ，， 在和中，，， ，，，，．    故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，得出四边形的面积等于正方形的面积是解题的关键． 4．（24-25九年级上·重庆·课后作业）定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．如图，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．写出图中相等的角，并说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，理解“邻等对补四边形”定义是解决问题的关键．延长至点E，使，连接，由四边形是邻等对补四边形，可得，再由，可得出，再证明，由全等三角形的性质得出，，由等腰三角形的性质得出，最后可得结论． 【详解】解：， 理由：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形是邻等对补四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ． 5．（23-24八年级下·四川绵阳·开学考试）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）在上取点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，，由此即可得； （3）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：， ∴， ∵对角线平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴． 6．（23-24八年级上·辽宁鞍山·期末）我们知道，角的平分线有很多特殊的性质.例如： (1)如图①，已知是的平分线，点A是上一点，若，则可以得到，请说明理由；(2)发现规律：连结，则是等腰三角形．如图②，在等腰三角形底边的另一侧存在一点D，当时，请直接写出与的数量关系． (3)请解决下列问题：如图③，等腰中，，D是外一点，，且，求证：． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【分析】（1）如图①，作于，于，则，证明，进而可得； （2）如图②，作于，的延长线于，证明，则，由，，可知平分，进而可得； （3）如图③，延长到，使，则，证明，则，，是等边三角形，则． 【详解】（1）解：如图①，作于，于， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：与的数量关系为； ∵是等腰三角形， ∴， 如图②，作于，的延长线于， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； （3）证明：如图③，延长到，使， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 7．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，平分．    (1)如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得： ______ ．（填、、） (2)如图2，求证； (3)如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作交延长线于，于，根据角平分线的性质可得，由，，得，可证明，根据全等三角形的性质证明结论； （3）在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，作交延长线于，于，    ∵平分，，，则， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3）证明：如图，在上截取，连接，    ∵为等腰三角形，,则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质及角平分线的性质等知识，解本题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍成立，理由见解析 【分析】本题考查角了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线构三角形是解题的关键． （1）过作于，于，由为的平分线，利用角平分线定理得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）同（1）可证明． 【详解】（1）解：过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴． （2）画出图形，结论仍成立， 理由如下： 过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，画，并画的平分线，将三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与的两边分别相交于点E、F，试猜想的大小关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识点，证得成为解题的关键 如图：过点P作，垂足是M，N，由角平分线的性质可得，再证，进而证明，最后根据全等三角形的性质即可解答 【详解】解：，理由如下： 如图：过点P作，垂足是M，N，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． 10．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，点D为AB边的中点，∠EDF=60°，DE、DF分别交AC、BC与E、F点。 （1）如图，若EF∥AB，求证DE=DF （2）如图，若EF与AB不平行，则问题（1）的结论是否成立？说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析. 【分析】（1）根据SAS证明△ADE≌△BDF，再根据全等三角形的性质可得DE=DF； （2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．可证明DM=DN．再分一、当M与E重合时，N就一定与F重合．二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．三种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵EF∥AB． ∴∠FEC=∠A=30°． ∠EFC=∠B=30° ∴EC=CF． 又∵AC=BC ∴AE=BF D是AB中点． ∴DB=AD ∴△ADE≌△BDF． ∴DE=DF （2）如图2，过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．, ∵AC=BC， ∴∠A=∠B， 又∵∠ACB=120°， ∴∠A=∠B=（180°-∠ACB）÷2=30°， ∴∠ADM=∠BDN=60°， ∴∠MDN=180°-∠ADM-∠BDN=60°． ∵AC=BC、AD=BD， ∴∠ACD=∠BCD， ∴DM=DN． 由∠MDN=60°、∠EDF=60°，可知： 当M与E重合时，N就一定与F重合．此时： DM=DE、DN=DF，结合证得的DM=DN，得：DE=DF，但EF∥AB，不合题意． 当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时： ∠EDM=∠EDF-∠MDF=60°-∠MDF， ∠FDN=∠MDN-∠MDF=60°-∠MDF， ∴∠EDM=∠FDN， 又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN， ∴△DEM≌△DFN（ASA）， ∴DE=DF． 当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时： ∠EDM=∠MDN-∠EDN=60°-∠EDN， ∠FDN=∠EDF-∠EDN=60°-∠EDN， ∴∠EDM=∠FDN， 又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN， ∴△DEM≌△DFN（ASA）， ∴DE=DF． 综上①②③所述，得：DE=DF． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质，注意第（2）题分三种情况讨论求解，有一定的难度． 11．（23-24八年级上·湖北孝感·期末）在中，，，，垂足为G，且．，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，进而可证得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 12．（23-24八年级上·山西临汾·阶段练习）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容：已知：如图，是的平分线，点是上的任意一点．，，垂足分别为点和点．求证：．    分析：图中有两个直角和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明过程． (2)【类比探究】 如图②，是的平分线，是上任意一点，点M、N分别在、上，连接和，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点P作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）证明：，， ， 是的平分线， ， 在和中，， ， ； （2）证明：如图②，过点作于，于，    是的平分线，，， ， ，， ， 在和中，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 13．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）【情景呈现】 (1)画，并画的平分线．把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，相交于点，，若，（如图1），则；若把三角尺绕点旋转（如图2），则 ．（选填“”，“”或“”）（不用证明） 【理解应用】 (2)在（1）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3． ①图中全等三角形共有 对；（不添加辅助线） ②直接写出与之间的数量关系为 ． 【拓展延伸】 (3)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，当时的两边分别与，相交于点，，与相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)①3；② (3)相等，理由见解析 【分析】（1）PE=PF，利用条件证明△PEM≌△PFN即可得出结论； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到，证明，，，得到答案；②根据全等三角形的面积相等进行解答即可； （3）作于，于，证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）如图2，过点作，，垂足是，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可证明， ∵， ∴， ∴全等三角形有3对， 故答案为：3； ②， 理由如下：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）相等，理由如下： 如图，作于，于， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何变换综合题，全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 14．（23-24八年级上·云南曲靖·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，且．连接，以为边，在内部作等边． (1)求证：点在的角平分线上； (2)连接，试探究、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，证明，得出，即可得证； （2）方法一：证明，得出，即可得证； 方法二：在上截取线段，使得，证明，得出，即可得证； 方法三：在上截取，连接，证明，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：过点作于点，过点作于点， ， 在等边中，，， 在四边形中，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， 点在的角平分线上； （2）解：方法一：． 理由如下： 由（1）可知：点在的角平分线上， ， ， ， ， ，， ， ， ，即 方法二：． 理由如下： 在上截取线段，使得， 平分， ， 为等边三角形， 与为等边三角形， ，，， ，即， 在与中， ， ， ， ， ； 方法三：． 理由如下： 在上截取，连接， ，平分， ， ， 为等边三角形 ， 又为等边三角形 ，， ， 在和中， ， ， ， ． 15．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图， (1)如图①，等腰，，D为的中点，，将绕点D旋转，旋转过程中，的两边分别与线段、线段交于点E、F（点F与点B、C不重合），写出线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)如图②，等腰，，D为的中点，，将绕点D旋转，旋转过程中，的两边分别与线段、线段交于点E、F（点F与点B、C不重合），直接写出线段之间的数量关系为　　　　　　　； (3)如图③，在四边形中，平分，，，过点A作，交的延长线于点E，若，，则的长为　　　　　　　． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)10 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质证明得到即可得出结论； （2）取中点G，连接，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到，，证明得到，进而由可得结论； （3）延长交于点F，取G为的中点，先利用直角三角形斜边中线性质得到，证明是等边三角形，得到，，证明得到，则求得，证明得到，进而可求解． 【详解】（1）解：．证明如下： ∵等腰中，，D为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：．证明如下： 取中点G，连接， ∵等腰中，，D为的中点， ∴，即，， ∵在中，点G是中点，∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：延长交于点F，取G为的中点，如图， ∵，∴， 在中，点G是中点， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用全等三角形探索线段间的关系是解答的关键． 16．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且， 连接． (1)如图1，当点、分别在边 和上时，连接， ① 证明 ：． ② 直接写出，和的关系是： (2)探究：如图2，当点E、F 分别在边、的延长线上时，，和的关系是： (3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)或17 【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。 （1）①连接，即可证明；②根据，看图即可得出结论； （2）连接，即同（1）可证明，根据看图即可得出结论； （3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。 【详解】（1）证明：①如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ②∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （2）解：如图，连接 在中，，为边的中点， ∴,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, ∵, ∴, 在和中， , ∴. ∵, ∴, 根据图中所示， , ∵为边的中点， ∴. ∴. （3）如（1）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴. ②如（2）中结论， ∵，， ∴, , ∵, ∴ 17．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O是斜边AB的中点，将边长足够大的三角板的直角顶点放在点O处，将三角板绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），记三角板的两直角边与Rt△ABC的两腰AC、BC的交点分别为E、D，四边形CEOD是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图①所示）.那么，在上述旋转过程中：    （1）线段CE与BD具有怎样的数量关系？四边形CEOD的面积是否发生变化？证明你发现的结论； （2）当三角尺旋转角度为____________时，四边形CEOD是矩形； （3）若三角尺继续旋转，当旋转角度α（90°＜α＜180°）时，三角尺的两边与等腰Rt△ABC的腰CB和AC的延长线分别交于点D、E（如图②所示）. 那么线段CE与BD的数量关系还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由。 【答案】（1）结论：CE=BD，四边形CEOD的面积不变，理由见解析；（2）45°；（3）成立，证明见解析 【分析】（1）连接OC，易证得，根据即可证得结论； （2）若四边形CEOD是矩形，则，通过计算可求得旋转角度α； （3）证得∠OCE=∠OBD=135°和∠BOD=∠COE，易证得△OCE≌△OBD，从而证得结论. 【详解】（1）解：结论：CE=BD，四边形CEOD的面积不变. 如图，连接OC．    ∵AC=BC，AO=BO，∠ACB=90°， ∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，OC⊥AB，∠A=∠B=45°， ∴OC=OB， ∵∠EOD=90°， ∴∠COE+∠COD=90° 又∵OC⊥AB， ∴∠BOD+∠COD=90°， ∴∠BOD=∠COE， 在△OCE和△OBD中，， ∴△OCE≌△OBD， ∴CE=BD， ∴, ∵. ∴ 四边形的面积不变，始终等于面积的一半. （2）如下图， 四边形CEOD是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；    （3）如图，连接OC．    ∵AC=BC，AO=BO，∠ACB=90°， ∴∠ACO=∠BCO=∠ACB=45°，OC⊥AB，∠A=∠B=45°， ∴OC=OB，∠OCE=∠OBD=135° ∵∠EOD=90°， ∴∠BOD+∠BOE=90°， 又∵OC⊥AB ∠COE+∠BOE=90°，    ∴∠BOD=∠COE， 在△OCE和△OBD中， ∴△OCE≌△OBD， ∴CE=BD. 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形全等的判定与性质．注意：旋转前后两图形全等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 18．（23-24八年级上·山东日照·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接．先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 【探索延伸】 如图②，若在四边形中，，，点，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【实际应用】 如图③，在某次军事演习中，快艇甲在指挥中心（处）北偏西的A处，快艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，快艇甲向正东方向以30海里/小时的速度前进，快艇乙沿北偏东的方向以40海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两艇分别到达，处，且两艇之间的夹角为，试求此时两艇之间的距离．    【答案】问题背景：；探索延伸：成立；理由见解析；实际应用：此时两舰艇之间的距离为105海里 【分析】问题背景：延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； 探索延伸：延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； 实际应用：连接，延长、相交于点，根据题意得到，，根据上述的结论计算即可； 【详解】问题背景：解：如图，延长到点．使．连接，    则， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； 探索延伸：成立，即；理由如下： 延长到点．使．连接，如图所示：    ∵，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 实际应用：连接，延长、相交于点，如图所示：    ， ， ，， 符合探索延伸中的条件， 成立， 即(海里)， 此时两舰艇之间的距离为105海里． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了方位角，全等三角形的判定和性质，补角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$