专题10 全等三角形模型之对角互补模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题10 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°—90°型对角互补模型、120°—60° 型对角互补模型、 α—（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 2 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 9 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 20 25 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24九年级上·广东惠州·期中）在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E． (1)如图①，当时，则的值是________． (2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)2(2)依然成立(3)的周长为定值，且周长为2 【分析】（1）由等腰三角形的性质和为斜边的中点可知，，所以的值可求； （2）结论成立．连接，通过证明≌．可得，所以； （3）的周长为定值，且周长为2．在上截取，通过证明≌，得到．所以． 【详解】（1）连 ∵P是的中点，，∴ ∵，∴ ∴四边形是矩形， ∴ 又∵∴∴；故答案为：2； （2）结论成立．连接，如图②． 是等腰直角三角形，是的中点，，，． ，．． 又，．≌． ，． （3）的周长为定值，且周长为2．在上截取，如图③， 由（2）可知：，，，，． ， 又，≌，． ，，，．的周长是2． 【点睛】此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，是一道不错的题目． 例2．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边中点，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F （1）当点E在AC边上时（如图1），求证CE=BF（2）在（1）的条件下，求证： （3）当∠EDF绕D点旋转到图3的位置即点E、F分别在AC、CB边的延长线上时，上述（2）结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析. 【分析】（1）由题意证明四边形ECFD为矩形，△DFE中DF=FB，从而求解即可；（2）在图1，图2中分别进行证明，在图1中证明四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；在图2中利用三角形全等的判定证明△CDE≌△BDF，利用中线的性质得到，从而得到；（3）不成立；同（2），在图3中得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF-S△CFE=S△ABC．． 【详解】解：（1）由图可知： ∴四边形ECFD是矩形∴EC=DF，∠DFB=90° ∵Rt△ABC中，AC=BC，∴ ∴DF=FB∴DE=DF∴CE=BF （2）如图1，∵D是AB的中点∴AD=BD 由（1）可知∴△AED≌△DFB∴DE=DF ∴四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为a． ∴S△ABC=a2，S正方形DECF=（a）2=a2即S△DEF+S△CEF=S△ABC； 如图2所示：连接CD； ∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，∴∠B=45°，∠DCE=∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=AB=BD， ∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，∵∠EDF=90°，∴∠1=∠2， 在△CDE和△BDF中， ，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴ 又∵D为AB中点，∴ ∴S△DEF+S△CEF=S△ADE+S△BDF=S△ABC； （3）不成立；S△DEF-S△CEF=S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示： 同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135° ∴S△DEF=S五边形DBFEC，=S△CFE+S△DBC，=S△CFE+S△ABC，∴S△DEF-S△CFE=S△ABC． ∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键． 例3．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明； 问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 　 【答案】（1）证明见解析（2）PB＝PE还成立(3) PB＝PE还成立 【详解】试题分析：（1）根据正方形的性质得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥CD，则四边形PMCN是矩形，根据角平分线的性质可得PM=PN，根据四边形的内角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的补角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根据AAS证明△PBM≌△PEN，则可证明； （2）连接PD，根据正方形的性质和角平分线的性质，由“SAS”以及四边形的内角和得证； （3）过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，然后根据角平分线的性质和正方形的性质，由“AAS”可证. 试题解析：(1)如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠PBC＋∠CEP＝180°，而∠CEP＋∠PEN＝180°，∴∠PBM＝∠PEN，在△PBM和△PEN中， ∴△PBM≌△PEN(AAS)，∴PB＝PE　(2)如图2，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠MPE＝90°，而∠MPE＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE　(3)如图3，PB＝PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC交BC的延长线于点M，PN⊥CD的延长线于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边形PMCN为正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE 例4．（2024·河南·一模）已知，点是的角平分线上的任意一点，现有一个直角绕点旋转，两直角边，分别与直线，相交于点，点. （1）如图1，若，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由. （2）如图2，若点在射线上，且与不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段，，之间的数量关系，并加以证明. （3）如图3，若点在射线的反向延长线上，且，，请直接写出线段的长度. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） 【分析】（1）先证四边形为矩形，再证矩形为正方形，由正方形性质可得；（2）过点作于点，于点，证四边形为正方形，再证，可得；（3）根据，可得. 【详解】解：（1）∵，，，∴四边形为矩形. ∵是的角平分线，∴，∴， ∴矩形为正方形，∴，.∴. （2）如图，过点作于点，于点， ∵平分，，∴四边形为正方形，由（1）得：， 在和中，，∴，∴，∴. （3），，∴. ∵，，∴， ∴，∴，的长度为. 【点睛】考核知识点：矩形，正方形的判定和性质.熟练运用特殊四边形的性质和判定是关键. 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 例1．（2024.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析 【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）结论：CF=CG； 证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB， ∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）； （2）CF=CG.理由如下：如图， 过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º， ∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º， ∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º， ∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE， ∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG， 在△MCF和△NCG中， ∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形对应边相等）； 【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ． 例2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】过点作于点，于点，根据的平分线性质及含30度直角三角形的性质可得；分三种情况考虑：当，分别在射线，射线上时；当，分别在射线的反向延长线上，射线上时；当，分别在射线上、射线反向延长线上时；通过证明，得CD=CE，OD、OC、OE间的关系，从而可用a、b表示OE，综合以上三种情况即可完成求解． 【详解】过点作于点，于点 ∵平分，∴，∴ ∴， ∴ON+OF=OC ①当，分别在射线，上时，此时OC≥OD，如图 ∴ ∵，∴∴， ∴∴OE=OC−OD= a-b ②如图，当，分别在射线反向延长线，射线上时 同理可得：∴， ∴，OE=OC+OD=a+b ③如图，当，分别在射线上、在射线反向延长线上时，OC≤OD 同理可得：∴， ∴， 综上：只有（1）正确，（2）（3）（4）均错误 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、含30度直角三角形的性质等知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形的性质，从而完成求解.注意分类讨论，否则出现遗漏情况． 例3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即）的角尺来作的角平分线． 问题发现：(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线OP是的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？ 问题探究：(2)如图2，小新在确认射线OP是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)小新的观点正确，理由见解析；(2)OE＝2OD，理由见解析． 【分析】（1）根据SSS证明△OPD≌△OPE（SSS），求出∠POD＝∠POE可得结论；（2）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT，证明△POD≌△POT（SAS），可得∠ODP＝∠OTP，然后根据平行线的性质求出∠ODP＝120°，∠PEO＝60°，然后根据等角对等边求出PT＝OT，PT＝TE，可得结论． 【详解】（1）解：小新的观点正确； 理由：在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（SSS）， ∴∠POD＝∠POE，即射线OP是的角平分线； （2）OE＝2OD；理由：如图，在OB上取一点T，使得OT＝OD，连接PT． ∵OP平分∠AOB，∴∠POD＝∠POT， 在△POD和△POT中，，∴△POD≌△POT（SAS），∴∠ODP＝∠OTP， ∵PDOB，∴∠PDO＋∠AOB＝180°，∠DPE＋∠PEO＝180°， ∵∠AOB＝60°，∠DPE＝120°，∴∠ODP＝120°，∠PEO＝60°， ∴∠OTP＝∠ODP＝120°，∴∠PTE＝60°，∴∠TPE＝∠PET＝60°，∴TP＝TE， ∵∠PTE＝∠TOP＋∠TPO，∠POT＝30°，∴∠TOP＝∠TPO＝30°，∴OT＝TP，∴OT＝TE，∴OE＝2OD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例4．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________；(2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由；(3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）；②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 【答案】(1)8；(2)结论成立，理由见解析；(3)①作图见解析；②（）中的结论不成立，． 【分析】（1）先利用角平分线定理得出，再利用勾股定理求出，即可得出结论；（2）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；（3）①依题意即可补全图形；②先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点是的平分线上的点，，，∴， ∵，∴，在中，，， ∴，同理，，∴，故答案为； （2）解：上述结论成立．理由：如图，过点作于，于，       ∴，∴， 由旋转知，，∴，∴， ∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴； （3）解：①补全图形如图． ②上述结论不成立，．理由：过点作于，于， ∴，∴，由旋转知，， ∴，∴， ∵点在的平分线上，且，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角 的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 例5．（23-24八年级·江苏镇江·期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF=120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB=90°时，BE+CF=nAB，则n的值为______； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用（3）若边长AB=4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L=DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是______． 【答案】（1）；（2）BE与CF的和始终不变，见解析；（3） 【分析】（1）先利用等边三角形判断出BD=CD=AB，进而判断出BE=BD，再判断出∠DFC=90°，得出CF=CD，即可得出结论；（2）①构造出△EDG≌△FDH（ASA），得出DE=DF，即可得出结论； ②由（1）知，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），得出EG=FH，即可得出结论；（3）由（1）（2）判断出L=2DE+6，再判断出DE⊥AB时，L最小，点F和点C重合时，DE最大，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC， ∵点D是BC的中点，∴BD=CD=BC=AB，∵∠DEB=90°，∴∠BDE=90°-∠B=30°， 在Rt△BDE中，BE=BD，∵∠EDF=120°，∠BDE=30°，∴∠CDF=180°-∠BDE-∠EDF=30°， ∵∠C=60°，∴∠DFC=90°，在Rt△CFD中，CF=CD，∴BE+CF=BD+CD=BC=AB， ∵BE+CF=nAB，∴n=，故答案为； （2）如图2 ①过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴∠DGB=∠AGD=∠CFD=∠AHF=90°， ∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∴∠GDH=360°-∠AGD-∠AHD-∠A=120°， ∵∠EDF=120°，∴∠EDG=∠FDH，∵△ABC是等边三角形，且D是BC的中点， ∴∠BAD=∠CAD，∵DG⊥AB，DH⊥AC，∴DG=DH， 在△EDG和△FDH中，， ∴△EDG≌△FDH（ASA），∴DE=DF，即：DE始终等于DF； ②同（1）的方法得，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），∴EG=FH， ∴BE+CF=BG-EG+CH+FH=BG+CH=AB，∴BE与CF的和始终不变 （3）由（2）知，DE=DF，BE+CF=AB，∵AB=4，∴BE+CF=2， ∴四边形DEAF的周长为L=DE+EA+AF+FD=DE+AB-BE+AC-CF+DF=DE+AB-BE+AB+DE =2DE+2AB-（BE+CF）=2DE+2×4-2=2DE+6，∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小， 当DE⊥AB时，DE最小，由（1）知，BG=BD=1，∴DE最小=BG=，∴L最小=2+6， 当点F和点C重合时，DE最大，此时，∠BDE=180°-∠EDF=120°=60°， ∵∠B=60°，∴∠B=∠BDE=∠BED=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD=AB=2， 即：L最大=2×2+6=10，∴周长L的变化范围是2≤L≤10，故答案为2≤L≤10． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 例6．（23-24八年级下·江西吉安·期末）中，，点D是线段的中点，，与线段相交于点E．与线段（或的延长线）相交于点F． (1)如图1，若，垂足为F，，求的长；(2)如图2，将（1）中的绕点D顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点F．求证：； (3)如图3，将（2）中的继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点F，作于点N，若，求证：． 【答案】(1)(2)答案见解析(3)答案见解析 【分析】（1）如图1，易求得，，，再证明， 从而可得的值； （2）过点作于，作于，如图2，易证，则有，，进而可证到，则有，就可得到，再连接，证明， 即可得到结论；（3）过点作于，如图3．同（1）可得：，同（2）可得：，，．由可得，从而可得，，再结合 ，可得， 结合， 从而可得结论. 【详解】（1）解：如图1，，，是等边三角形， ，， ∵点是线段的中点， ， ，即， ， ， ∴； （2）证明：过点作于，作于，如图2， 则有， ∵ ， ，， 在和中，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 连接，由（1）得：，，， ，，，； （3）证明：过点作于，如图3． 同（1）可得：， 同（2）可得：， ，， ，， 为等边三角形，，，，，， ，，，同理：， ，， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，旋转的性质，含的正三角形的性质，勾股定理的应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键. 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 例1．（2024·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 【答案】B 【分析】如图作于点E，于点F，只要证明，即可一一判断． 【详解】解：如图所示：作于点E，于点F， ，，，， ，， 平分，，，， 在和中，， ，， 在和中，，， ，故①正确，，定值，故③正确， 定值，故②正确， 的位置是变化的，之间的距离也是变化的，故④错误；故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，角平分线的性质定理，四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 例2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）如图，为的平分线上的一点，于点，为上一点，为上一点，．（1）求证：；（2）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析      （2） 【分析】（1）作于F，根据角平分线的性质可得，通过全等三角形的性质以及判定证明，从而得证；（2）根据可得，根据可推出，即可求出的值． 【详解】（1）作于F ∵为的平分线上的一点，于点，于F ∴， ∵，∴ 在△PCD和△PFE中∴∴； （2）∵∴ ∵∴ ∴∴ ∵∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是要熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的性质和判定． 例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由． (3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，(2)成立，理由见详解(3)， 【分析】（1）过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，根据角平分线的性质可得PF=PE，先证明∠EPF=∠CPD，再证明∠CPE=∠EPD，即可证明△FPC≌△EPD，则有PC=PD，∠PDC=∠PCD，则有2∠PDC=∠CPN，根据∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，可得∠AOB=∠CPN，即问题得解；（2）解答方法同（1）；（3）解答方法同（2）． 【详解】（1），， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵∠AOB+∠ODC+∠OCD=180°，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， ∴∠AOB+∠ODC+∠OCD+∠PCD+∠PDC+∠CPD=360°，∴四边形OCPD的内角和为360°， 同理，四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=∠CPD=90°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （2）成立，理由如下：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°， ∵∠AOB=60°，∠CPD=120°，即∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证； （3）成立，，， 证明：过P点作PE⊥OB于点E，作PF⊥OA于点F点，延长DP交OA于点N，如图， ∵OM平分AOB，∴∠AOP=∠BOP，∵PF⊥OA，PE⊥OB，∴∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE， ∵四边形OFPE的内角和为360°，∴∠AOB+∠PFO+∠PEO+∠EPF=360°， ∴∠AOB+90°+90°+∠EPF=360°，即∠AOB+∠EPF=180°，∵∠AOB+∠CPD=180°，∴∠EPF=∠CPD， ∵∠EPF=∠EPC+∠CPE，∠CPD=∠EPC+∠EPD，∴∠CPE=∠EPD， 又∵∠PFO=∠PEO=90°，PF=PE，∴△FPC≌△EPD，∴PC=PD，∴∠PDC=∠PCD， ∵∠PDC+∠PCD=∠CPN，∴2∠PDC=∠CPN， ∵∠AOB+∠CPD=180°，∠CPD+∠CPN=180°，∴∠AOB=∠CPN，∴2∠PDC=∠AOB，结论得证． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质以及三角形内角和定理等知识，证明△FPC≌△EPD是解答本题的关键． 1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 【答案】6 【分析】过点作，设与交于点，证明，由全等三角形的性质可得，结合，可知，即可获得答案． 【详解】解：∵是等边三角形，边长为4， ∴，， 如图，过点作，设与交于点， ∴，∴， 又∵，，∴， 又∵点为的中点，且，∴是的中位线， ∴， 在和中，，∴，∴， 又∵， ∴．故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等边三角形的性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用、正确作出辅助线构建全等三角形是解题关键． 2.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 【答案】（1）（4） 【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断． 【详解】解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F． ∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°， ∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN， ∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，∴PE＝PF， 在△POE和△POF中，∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），∴OE＝OF， 在△PEM和△PFN中，∴△PEM≌△PFN（ASA）， ∴EM＝NF，PM＝PN，故（1）正确，∴S△PEM＝S△PNF， ∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值，故（4）正确， ∵OM﹣ON＝OE+EM﹣（OF﹣FN）＝2EM，不是定值，故（2）错误， ∵OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE＝定值， 在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，形状是相似的，因为PM的长度是变化的，所以MN的长度是变化的，所以△OMN的周长是变化的，故（3）错误，故答案为：（1）（4）． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为的中点，若直角绕点旋转，分别交于点，交于点，则下列说法： ①；②；③； ④若的面积为一个定值，则的长也是一个定值．其中正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】①如果连接，可证，得出； ②由①知，，而为等腰直角的直角边，由于斜边，由勾股定理可求出；③由①知；④的面积，如果这是一个定值，则是一个定值，又，根据，从而可唯一确定的长也是一个定值． 【详解】解：①连接． 在中，，，点为的中点，，， 在与中，，，， ，．说法正确； ②在中，，，，． 由①知，．说法正确； ③由①知，．说法正确； ④的面积，如果这是一个定值，则是一个定值， 又，， 的面积为一个定值，则的长也是一个定值，故说法正确．故答案为①②③④． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是证明． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知平分，将等边三角形的一个顶点放在射线上，两边分别与交于点． （1）如图1，当三角形绕点旋转到时，求证：； （2）如图2，当三角形绕点旋转到与不垂直时，线段与之间有什么数量关系？请说明理由． （3）如图3，当三角形绕点旋转到与的反向延长线相交时，线段与之间有什么数量关系？（直接写出它们之间的数量关系，不用说明理由．） 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等直接回答； （2）过P作OA、OB的垂线，构造图①的图形，利用（1）的结论证明△PQC≌△PND，根据线段的和差、含30°角的三角形的特点和全等三角形对应边相等可证； （3）仿（2）的证明可得． 【详解】解：（1）证明：∵等边三角形， ∴∠CPD=60°， ∵OP平分∠AOB，∠AOB=120°，PC⊥OA于C， ∴∠AOP=∠POB=60°， ∴∠CPO=∠OPD=30°， ∴∠PDO=90°， ∴PD⊥OB于D， ∴PC=PD．（角平分线上的点到角的两边的距离相等） （2）解：． 过P点作PQ⊥OA于Q，PN⊥OB于N． ∴∠OQP=∠ONP=90°， 由（1）得 PQ=PN． ∵∠AOB=120°，∠CPD=60°， ∴∠QPN=360°-90°-90°-120°=60°． ∴∠QPC=∠NPD=60°-∠CPN．∠QPO=∠OPN=30°， ∴， ∴， ∵∠OQP=∠ONP=90°，∠QPC=∠NPD，PQ=PN， ∴△PQC≌△PND（ASA）， ∴QC=ND． ∴； （3），理由如下： 过P点作PQ⊥OA于Q，PN⊥OB于N． 与（2）同理可证，△PQC≌△PND（ASA）， ∴QC=ND， ∴． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，含30°角的直角三角形．本题中由易到难层层递进，能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 5．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，，平分，点P为上一个动点，过点P作射线交于点E．以点P为旋转中心，将射线沿逆时针方向旋转，交于点F． (1)根据题意补全图1； (2)如图1，若点E在OA上，用等式表示线段OE、OP和OF之间的数量关系，并证明； (3)如图2，若点E在OA的反向延长线上，直接写出线段OE、OP和OF之间的数量关系． 【答案】(1)补图见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）作，得到，证明，得到，即可得出结论； （3）证明方法与（2）类似． 【详解】（1）补图如下图： （2）作交于， ， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ； （3）作交于， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合体，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 6．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）问题情境： (1)如图，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，过点作于点，作于点，请写出与的数量关系___________； 变式拓展： (2)如图2，已知平分，是上一点，过点作于，于，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点，．试解决下列问题： ①与之间的数量关系还成立吗？为什么？ ②若，试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①成立，见解析，②，见解析 【分析】（1）过点作于，于．证明，可得结论； （2）①过点作于，于．证明，可得结论； ②结论：．证明，推出，再由，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：过点作于，于． 平分，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （ASA）， ； （2）解：①结论：． 理由：过点作于，于， 平分，，， ， ． ， 在和中， ， （ASA）， ； ②结论：． 理由：在和中， ， （AAS）， ， （ASA）， ， ， 在中，，， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 7．（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______． （3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3） 【分析】（1）因为是的平分线，所以，因为，所以，因为，可得，即证得； （2）作，垂足分别为点M和点N，证，可得，，，因为，，可得，证，可得，因为，所以，即，，可得的长； （3）证，可得，因为，所以，证，可得，已知，平分，可得，，求得，根据四边形的面积=四边形 的面积、的面积的面积=2个的面积，求得的面积，可得四边形的面积． 【详解】解：（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作，垂足分别为点M和点N， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：5； （3）作，垂足分别为点M和点N， 由于绕点E旋转，点C的对应点F落在边上，即， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践： 问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接． (1)初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是 ； (2)深入探究：如图2，点C，D分别在射线，上运动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，如果点C在射线上运动，且，当时，点D落在了射线的反向延长线上，若点P到的距离为3，，求的长（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)与在（1）中的数量关系还成立，理由见解析 (3)的长为7 【分析】（1）根据角平分线的性质进行解答即可； （2）过点P作，，垂足分别为E，F，根据“”证明即可得出结论； （3）过点作，垂足分别为，先证明四边形为正方形，然后证明，根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，， ∴， 故答案为：； （2）还成立，理由如下： 过点P作，，垂足分别为E，F， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点作，垂足分别为， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴，四边形为正方形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握相关图形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 9．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与重合，它的两条直角边分别与、（或它们的反向延长线）相交于点、． 当三角板绕点旋转到与垂直时（如图），易证： 当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图、图这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 【答案】成立，理由见解析 【分析】由角平分线的性质得，进而证明即可得证． 【详解】解：图中成立． 过点分别作，的垂线，垂足分别为，， ∵平分，，，∴ ∴ ∵∴，∴，∴; 图3中成立．过点分别作，， 同图可证，∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定及性质、垂线的定义以及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键。 10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，，OC是的平分线，点E，M分别在射线OA，OC上，作射线ME，以M为中心，将射线ME逆时针旋转60度，交OB所在的直线于F， （1）按要求画图，并完成证明；过点M作MH//OA，交射线OB于H，求证：是等边三角形； （2）当点F落在射线OB上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系； （3）当点F落在射线OB反向延长线上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系； （4）点G是射线OA上一点，且满足OG=8，若MG=7，OF=1.5，请直接写出OE的长； 【答案】（1）图和证明见解析；（2）OM=OF+OE；（3）OE=OF+OM；（4）OE=3.5或6.5或1.5或4.5． 【分析】（1）根据题意画出图形即可，然后根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明； （2）根据等边三角形的性质和旋转的性质得出△EMO≌△FMH，则有OE=FH，即可证明结论； （3）根据等边三角形的性质和旋转的性质得出△EMO≌△FMH，则有OE=FH，即可证明结论； （4）分两种情况：点F落在射线OB上或点F落在射线OB反向延长线上，然后分别进行讨论即可． 【详解】（1）证明：过点M作MHOA，交射线OB于点H， 如图所示， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC=∠COB=∠AOB=． ∵MHOA， ∴∠HMO=∠AOC=60°，       ∴∠HMO=∠COB=∠MHO=60°，                    ∴△OMH是等边三角形 ．     （2）OM=OF+OE ， ∵△OMH是等边三角形 ， ∴OM=MH=OH． ∵以M为中心，将射线ME逆时针旋转60°， ∴∠EMF=∠HMO =60°， ∴∠EMF–∠OMF =∠HMO–∠OMF，         即∠EMO=∠HMF ． 又∵∠MOE=∠MHF=60°， ∴△EMO≌△FMH（ASA）， ∴OE=FH ． ∵OM=OH=OF+FH， ∴OM=OF+OE ． （3）OM =OE-OF， 如图， ∵△OMH是等边三角形 ， ∴OM=MH=OH． ∵以M为中心，将射线ME逆时针旋转60°， ∴∠EMF=∠HMO =60°， ∴∠EMF+∠OMF =∠HMO+∠OMF，         即∠EMO=∠HMF ． 又∵∠MOE=∠MHF=60°， ∴△EMO≌△FMH（ASA）， ∴OE=FH ． ∵OM=OH= FH -OF， ∴OM=OE-OF ． （4）如图，过点M作交AO于点H， ， ， 设 ， ， ， 解得或， 当时，， ∵OM=OF+OE， ∴； 当时，， ∵OM=OF+OE， ∴； 当点F落在射线OB反向延长线上时，同理可得OE的长度为4.5或6.5， 综上所述，OE的长度为1.5或3.5或4.5或6.5． 【点睛】本题主要考查几何综合，掌握角平分线的定义，旋转的性质，全等三角形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键． 11．（23-24八年级下·黑龙江黑河·期末）综合实践 初步探究： 如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．           (1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为 ； 解决问题： (2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； (3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为 ； 拓展应用： (4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由； 【答案】（1）OD+OE=OC；（2）仍然成立，理由见解析；（3）不成立，OE-OD=OC；（4）四边形CDOE的周长为(+1)OC，理由见解析． 【分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同理OE=OC，即可得出结论； （2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论； （3）同（2）的方法即可得出结论； （4）同（1）可得OD+OE=OC，CD+CE=OC，进而可得结论． 【详解】：（1）∵OM是∠AOB的角平分线， ∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°， ∵CD⊥OA， ∴∠ODC=90°， ∴∠OCD=60°， ∴∠OCE=∠DCE-∠OCD=60°， 在Rt△OCD中，OD=OC•cos30°=OC， 同理：OE=OC， ∴OD+OE=OC； （2）（1）中结论仍然成立，理由： 过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G， ∴∠OFC=∠OGC=90°， ∵∠AOB=60°， ∴∠FCG=120°， 同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC， ∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF=CG， ∵∠DCE=120°，∠FCG=120°， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG， ∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE-EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE-EG=OD+OE， ∴OD+OE=OC； （3）（1）中结论不成立，结论为：OE-OD=OC， 理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G， ∴∠OFC=∠OGC=90°， ∵∠AOB=60°， ∴∠FCG=120°， 同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC， ∴OF+OG=OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°， ∴∠DCF=∠ECG， ∴△CFD≌△CGE， ∴DF=EG， ∴OF=DF-OD=EG-OD，OG=OE-EG， ∴OF+OG=EG-OD+OE-EG=OE-OD， ∴OE-OD=OC． （4）由（1）可得OD+OE=OC，CD+CE=OC ∴OD+OE+CD+CE=(+1)OC， 故四边形CDOE的周长为(+1)OC． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 12．（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F． （1）依题意将图1补全； （2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF； 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF； 想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF……. 请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）； （3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系． 【答案】（1）将图1补全见解析； （2）证明见解析； （3）数量关系：当点F在AC边上时，；,当点F在AC延长线上时，． 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）选择一种自己比较熟练的方法进行证明即可； （3）本题分点F在AC边上，点F在AC延长线上，两种情况分析即可. 【详解】解：（1）如图1，     （2）想法1：证明：如图2，过D作，交AC于G， ∵点D是BC边的中点， ∴DG=AB． ∴△CDG是等边三角形． ∴∠EDB+∠EDG=120°． ∵∠FDG+∠EDG=120°， ∴∠EDB =∠FDG． ∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°， ∴△BDE≌△GDF． ∴DE=DF． 想法2：证明：如图3，连接AD， ∵点D是BC边的中点， ∴AD是△ABC的对称轴． 作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上， ∴△ADE≌△ADP． ∴DE=DP，∠AED=∠APD． ∵∠BAC+∠EDF=180°， ∴∠AED+∠AFD=180°． ∵∠APD+∠DPF=180°， ∴∠AFD=∠DPF． ∴DP=DF． ∴DE=DF． 想法3：证明：如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵点D是BC边的中点， ∴AD平分∠BAC． ∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∴DM=DN． ∵∠A=60°， ∴∠MDE+∠EDN=120°． ∵∠FDN+∠EDN=120°， ∴∠MDE=∠FDN． ∴Rt△MDE≌Rt△NDF． ∴DE=DF． （3）当点F在AC边上时，； 证明：如图5中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°， 在△BDM与△CDN中， ， ∴△BDM≌△CDN， ∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN， ∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°， ∴△EDM≌△FDN， ∴ME=NF， ∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD= AB； 当点F在AC延长线上时，．如图6， ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°， ∴△BDM≌△CDN， ∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN， ∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°， ∴△EDM≌△FDN， ∴ME=NF， ∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=AB 【点睛】本题的关键是等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质得出结论，虽然本题的内容较多但是题目难度并不大，所以要认真读题，第三问的问题要画出两种情况的图形，利用三角形全等的出结论即可. 13．（2023四川宜宾八年级期末）如图1，，平分，以为顶点作，交于点，于点E. （1）求证：；（2）图1中，若，求的长； （3）如图2，，平分，以为顶点作，交于点，于点.若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）OD+OE =；（3） 【分析】（1）过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根据题意利用AAS定理进行证明△CDG ≌ △CEH，从而求解；（2）根据全等三角形的性质得到OD+OE =2OH，然后利用勾股定理求OH的值，从而求解； （3）过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根据题意利用AAS定理进行证明△CDG ≌ △CEH，从而求得==2，然后利用含30°的直角三角形性质求得OH=,CH=从而求得三角形面积，使问题得到解决． 【详解】解：（1）如图,过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H， ∵平分∴CG =CH       ∵,     ∴∠CDO+∠CEO=180︒ ∵∠CDG+∠CDO=180︒∴∠CDG =∠CEO 在△CDG与△CEH中 ∴△CDG ≌ △CEH(AAS)∴ (2)由（1）得△CDG ≌ △CEH∴DG=HE 由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG=OH ∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH 设OH=CH=x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得: OH2+CH2=OC2∴∴(舍负)∴OH =∴OD+OE =2OH= （3）如图,过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H， ∵平分∴CG =CH ∵,∴∠CDO+∠CEO=180︒ ∵∠CDG+∠CDO=180︒∴∠CDG =∠CEO 在△CDG与△CEH中∴△CDG ≌ △CEH(AAS)∴DG=HE 由题易得△OCG与△OCH是全等的直角三角形,且OG=OH ∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH∴==2 在Rt△OCH中,有∠COH=60°,OC=3，∴OH=,CH=∴∴=2= 【点睛】本题考查全等三角形的性质及判定，含30°直角三角形的性质以及勾股定理，是一道综合性问题，掌握相关知识点灵活应用解题是本题的解题关键. 14．（23-24八年级下·山西晋中·期中）综合与探究 在等边三角形中，是的中点，，分别是边，（含线段，的端点）上的动点，将绕点进行旋转且始终保持，小嘉和小琪对这个图形展开如下研究： 问题初探： （1）如图1，小嘉发现：当时，，则的值为_______． 问题再探： （2）如图2，在的旋转过程中，小琪发现两个有趣的结论： ①始终等于；②与的和始终不变． 请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用： （3）若边长，在点，的运动过程中，记四边形的周长为，，则周长的变化范围是______． 【答案】（1）；（2）选择①见解析；或选择②见解析；（3）． 【分析】（1）先利用等边三角形判断出BD=CD=AB，进而判断出BE=BD，再判断出∠DFC=90°，得出CF=CD，即可得出结论； （2）①构造出△EDG≌△FDH（ASA），得出DE=DF，即可得出结论； ②由（1）知，BG+CH=AB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），得出EG=FH，即可得出结论； （3）由（1）（2）判断出L=2DE+6，再判断出DE⊥AB时，L最小，点F和点C重合时，DE最大，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，. ∵是的中点， ∴. ∵， ∴， 在中，. ∵，， ∴. ∵， ∴， 在中，， ∴. ∵， ∴； （2）若选择①，证明：如图，过点分别作于点，于点， ∴. ∵是等边三角形， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵是等边三角形，且是的中点， ∴. ∵，， ∴. 在和中，， ∴， ∴， 即始终等于. 若选择②，证明：同（1）的方法得，， 由①知，， ∴， ∴， ∴与的和始终不变； （3）由（2）知，，. ∵， ∴， ∴四边形的周长为 ， ∴最大时，最大；最小时，最小. 当时，最小. 由（1）知，， ∴， ∴. 当点和点重合时，最大，此时，. ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即， ∴周长的变化范围是. 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，角平分线定理，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，构造出全等三角形是解本题的关键． 15．（23-24八年级下·广东茂名·期中）已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AP⊥BC，垂足为D，且AP=AB． (1)求证：△ABP是等边三角形； (2)若E是边AB上一点，∠EPF=60°，PF交AC于点F，试判断BE与AF的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)BE=AF，理由见解析 【分析】（1）根据条件证明出∠BAD=60°，可得出结论； （2）由（1）得，△ABP是等边三角形，证明出∠ABP=∠PAC．再由∠EPF=60°=∠APB， 证明∠BPE=∠APF，再证明出△BPE≌△APF（ASA），即可． 【详解】（1）证明：∵AB=AC，AP⊥BC，∠BAC=120°， ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=60°． ∵AP=AB， ∴△ABP是等边三角形； （2）解：BE=AF．理由如下： 由（1）得，△ABP是等边三角形， ∴∠ABP=∠APB=60°，BP=AP， 而∠PAC=60°， ∴∠ABP=∠PAC． ∵∠EPF=60°=∠APB， ∴∠APB-∠APE=∠EPF-∠APE， 即∠BPE=∠APF， 在△BPE与△APF中， ∠ABP=∠PAC，BP=AP，∠BPE=∠APF， ∴△BPE≌△APF（ASA）， ∴BE=AF． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相应的判定定理进行证明． 16．（23-24八年级·浙江杭州·期末）【探究发现】 （1）如图1，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是______． 【类比应用】 （2）如图2，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）在中，，点D为的中点，E、F分别为直线上两点，若满足，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）的长为或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是适当添加辅助线，构造全等三角形，从而得到线段之间的关系． （1）证明，可得，从而证明； （2）取中点G，连接，利用证明，得到，可得； （3）分两种情况：当点E在线段上时或当点E在延长线上时，取的中点H，连接，同（2）证明，得到，从而求解． 【详解】解：（1）如图1，∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）．理由是： 取中点G，连接，如图2 ∵点G是斜边中点， ∴， ∵，，点D为的中点， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点E在线段上时，如图3，取的中点H，连接， 当，，时， ，此时F在的延长线上， 同（2）可得：， ∴， ∵，， ∴， 当点E在延长线上时，如图4， 同理可得：； 综上：的长为或． 17．（23-24八年级上·江西赣州·期末）【探究发现】（1）如图1，中，，，点D为的中点，E、F分别为边、上两点，若，则、、之间满足，请说明理由．    图1 【类比应用】（2）如图2，中，，，点D为的中点，E、F分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由；    【拓展延伸】（3）在中，，，点D为的中点，E、F分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）或 【分析】（1）证明，可得，从而证明； （2）取中点，连接，利用证明，得到，可得； （3）分两种情况：当点在线段上时或当点在延长线上时，取的中点，连接，同理证明，得到，从而求解． 【详解】解：（1）如图1，，，      ， 为中点， ，，， ， ， ， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）．理由是： 取中点，连接， 点是斜边中点， ， ，，点为的中点， ， ，即， 又， ， ，， 为等边三角形， ，， ， ， ， ； （3）当点在线段上时， 如图3，取的中点，连接，    当，，时， ，此时在的延长线上， 同（2）可得：， ， ，， ， 当点在延长线上时，如图4， 同理可得：； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是适当添加辅助线，构造全等三角形，从而得到线段之间的关系． 18．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点． (1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系 (2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 【答案】（1），证明详见解析；（2）， 【分析】（1）根据角平分线定义得到∠POF=60°，推出△PEF是等边三角形，得到PE=PF； （2）过点P作PQ⊥OA，PH⊥OB，根据角平分线的性质得到PQ=PH，∠PQO=∠PHO=90°，根据全等三角形的性质得到PE=PF，S四边形OEPF=S四边形OQPH，求得OQ=1，QP=，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，平分， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴；     （2）过点作，， ∵平分， ∴，， ∵， ∴∠QPH＝60°， ∴，   ∴，               在与中 ， ∴，              ∴， ， ∵，，平分， ∴， ∴，＝， ∴＝， ∴四边形的面积＝＝ 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键． 19．（2023·陕西西安·模拟预测）问题提出 （1）如图①，在中，，，平分，，则点到的距离为__________． 问题探究    （2）如图②，中，，，，点为斜边上一点，且，的两边交于点，交于点，若，求四边形的面积． 问题解决 （3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，为赏花园的大致轮廓，并将赏花园分成、和四边形三部分，其中在四边形区域内种植平方米的月季，在和两区域种植薰衣草，根据设计要求：，点、、分别在边、、上，且，，为了节约种植成本，三角形赏花园的面积是否存在最小值，若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明由． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】（1）如图①中，作于．证明，推出，，设，在中，根据，构建方程即可解决问题． （2）如图②中，作于，于，连接．，推出，，再利用面积法求出，的长即可解决问题． （3）存在．如图③中，作于，于．利用全等三角形的性质证明是角平分线，求出的值，由中，是角平分线，，是定值，可知当是的高时，的面积最小，由此即可解决问题． 【详解】解：（1）如图①中，作于．    在中，，，， ， ， 平分， ， ，， ， ，， 平分， ， ， 设， 在中， ， ， 解得：， ， 故答案为：4． （2）如图②中，作于，于，连接．    ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ，， 在中，，，， ，， ， ， 解得：， ； （3）存在．如图③中，作于，于．    ，， ， ， ，， ， ，， ，， 平分， ， 设，则，， ， ， ， ， ， 中，是角平分线，，是定值， 当是的高时，的面积最小，此时． 的面积的最小值． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 20．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）【问题背景】 在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小晨同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：；[探索延伸]：成立，见解析；[结论运用]：216海里 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题． [初步探索]：根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； [探索延伸]：延长到G，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； [结论运用]：连接，延长、交于点C，可得，再得，继而得到本题答案． 【详解】解：[初步探索]：； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； [结论运用]： 如图，连接，延长、交于点C， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立，即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是216海里． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 全等三角形模型之对角互补模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型（90°—90°型对角互补模型、120°—60° 型对角互补模型、 α—（180°-α）型对角互补模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 2 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 9 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 20 25 模型1.全等模型-对角互补模型（90°— 90°） 对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。 对角互补模型（90°— 90°型）主要分异侧型和同侧型两大类，处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（23-24九年级上·广东惠州·期中）在中，，．将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点处，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交边、于点D、E． (1)如图①，当时，则的值是________． (2)如图②，当与不垂直时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，在内作，使得、分别交、于点、，连接．那么的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 例2．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边中点，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F （1）当点E在AC边上时（如图1），求证CE=BF（2）在（1）的条件下，求证： （3）当∠EDF绕D点旋转到图3的位置即点E、F分别在AC、CB边的延长线上时，上述（2）结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 例3．（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明； 问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 　 例4．（2024·河南·一模）已知，点是的角平分线上的任意一点，现有一个直角绕点旋转，两直角边，分别与直线，相交于点，点. （1）如图1，若，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由. （2）如图2，若点在射线上，且与不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段，，之间的数量关系，并加以证明. （3）如图3，若点在射线的反向延长线上，且，，请直接写出线段的长度. 模型2.全等模型-对角互补模型（60°— 120°） 对角互补模型（60°— 120°型），处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 证明：将△PAC绕点A顺时针旋转120°至△QAB，即△PAC≌△QAB， ∴∠ACP=∠ABQ，∠CAP=∠BAQ，AP＝AQ，PC＝QB； ∵∠BAC=120°，∠BPC=60°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ABQ+∠ABP=180°，故P、B、Q共线。 又∵∠BPC=60°，PA平分∠BPC，∴∠APQ=60°，∵AP＝AQ，∴∠AQP=60°， 根据勾股定理易证：PQ=PA，又∵PQ=PB+QB=PB+PC，∴PB+PC=PA。 例1．（2024.广东.八年级期中）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由． 例2．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，已知，在的平分线上有一点，将一个60°角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线，相交于点，．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），，则；其中正确的有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例3．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即）的角尺来作的角平分线． 问题发现：(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取，再移动角尺使，然后他就说射线OP是的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？ 问题探究：(2)如图2，小新在确认射线OP是的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由． 例4．（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________；(2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由；(3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）；②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 例5．（23-24八年级·江苏镇江·期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF=120°，小明和小慧对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小明发现：当∠DEB=90°时，BE+CF=nAB，则n的值为______； 问题再探：（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论： ①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用（3）若边长AB=4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L=DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是______． 例6．（23-24八年级下·江西吉安·期末）中，，点D是线段的中点，，与线段相交于点E．与线段（或的延长线）相交于点F． (1)如图1，若，垂足为F，，求的长；(2)如图2，将（1）中的绕点D顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点F．求证：； (3)如图3，将（2）中的继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点F，作于点N，若，求证：． 模型3.全等模型-对角互补模型（α—180°-α） 对角互补模型（α—180°-α型）处理方法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 2）“蝴蝶型对角互补模型”（隐藏型对角互补） 条件：AP=BP，∠AOB=∠APB，结论：OP平分∠AOB的外角。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°，∵∠AOB=∠APB，∴∠A=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 例1．（2024·福建厦门·九年级校考期中）如图，（是常量）．点P在的平分线上，且，以点P为顶点的绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与，相交于M，N两点，若始终与互补，则以下四个结论：①；②的值不变；③四边形的面积不变；④点M与点N的距离保持不变．其中正确的为（　　） A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③ 例2．（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）如图，为的平分线上的一点，于点，为上一点，为上一点，．（1）求证：；（2）若，求的值． 例3．（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）如图（1）~（3），已知的平分线OM上有一点P，的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设，． (1)如图（1），当时，试猜想PC与PD，与的数量关系（不用说明理由）； (2)如图（2），当，时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．(3)如图（3），当时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由． 1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，为等边三角形，边长为4，点为的中点，，其两边分别交和的延长线于，则 ． 2.（2023·浙江金华·校考三模）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM﹣ON的值不变；（3）△OMN的周长不变；（4）四边形PMON的面积不变，其中正确的序号为_____． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为的中点，若直角绕点旋转，分别交于点，交于点，则下列说法： ①；②；③； ④若的面积为一个定值，则的长也是一个定值．其中正确的有 ． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知平分，将等边三角形的一个顶点放在射线上，两边分别与交于点． （1）如图1，当三角形绕点旋转到时，求证：； （2）如图2，当三角形绕点旋转到与不垂直时，线段与之间有什么数量关系？请说明理由．（3）如图3，当三角形绕点旋转到与的反向延长线相交时，线段与之间有什么数量关系？（直接写出它们之间的数量关系，不用说明理由．） 5．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，，平分，点P为上一个动点，过点P作射线交于点E．以点P为旋转中心，将射线沿逆时针方向旋转，交于点F． (1)根据题意补全图1；(2)如图1，若点E在OA上，用等式表示线段OE、OP和OF之间的数量关系，并证明；(3)如图2，若点E在OA的反向延长线上，直接写出线段OE、OP和OF之间的数量关系． 6．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）问题情境： (1)如图，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、，过点作于点，作于点，请写出与的数量关系___________； 变式拓展：(2)如图2，已知平分，是上一点，过点作于，于，边与边相交于点，边与射线的反向延长线相交于点，．试解决下列问题：①与之间的数量关系还成立吗？为什么？ ②若，试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 7．（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．求证：． 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得． （1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 【定理应用】（2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______． （3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______． 8．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）综合与实践： 问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接． (1)初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是 ； (2)深入探究：如图2，点C，D分别在射线，上运动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，如果点C在射线上运动，且，当时，点D落在了射线的反向延长线上，若点P到的距离为3，，求的长（直接写出答案）． 9．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与重合，它的两条直角边分别与、（或它们的反向延长线）相交于点、． 当三角板绕点旋转到与垂直时（如图），易证： 当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图、图这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明． 10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，，OC是的平分线，点E，M分别在射线OA，OC上，作射线ME，以M为中心，将射线ME逆时针旋转60度，交OB所在的直线于F， （1）按要求画图，并完成证明；过点M作MH//OA，交射线OB于H，求证：是等边三角形； （2）当点F落在射线OB上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系； （3）当点F落在射线OB反向延长线上，请猜想线段OE，OF，OM三者之间的数量关系； （4）点G是射线OA上一点，且满足OG=8，若MG=7，OF=1.5，请直接写出OE的长； 11．（23-24八年级下·黑龙江黑河·期末）综合实践 初步探究：如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．           (1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系为 ； 解决问题：(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间的数量关系为 ； 拓展应用：(4)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想四边形CDOE的周长与OC的数量关系，并说明理由； 12．（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F． （1）依题意将图1补全； （2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF； 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF； 想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF……. 请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）； （3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系． 13．（2023四川宜宾八年级期末）如图1，，平分，以为顶点作，交于点，于点E. （1）求证：；（2）图1中，若，求的长； （3）如图2，，平分，以为顶点作，交于点，于点.若，求四边形的面积． 14．（23-24八年级下·山西晋中·期中）综合与探究 在等边三角形中，是的中点，，分别是边，（含线段，的端点）上的动点，将绕点进行旋转且始终保持，小嘉和小琪对这个图形展开如下研究： 问题初探：（1）如图1，小嘉发现：当时，，则的值为_______． 问题再探：（2）如图2，在的旋转过程中，小琪发现两个有趣的结论： ①始终等于；②与的和始终不变．请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用：（3）若边长，在点，的运动过程中，记四边形的周长为，，则周长的变化范围是______． 15．（23-24八年级下·广东茂名·期中）已知，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AP⊥BC，垂足为D，且AP=AB．(1)求证：△ABP是等边三角形；(2)若E是边AB上一点，∠EPF=60°，PF交AC于点F，试判断BE与AF的数量关系，并说明理由． 16．（23-24八年级·浙江杭州·期末）【探究发现】 （1）如图1，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是______． 【类比应用】 （2）如图2，中，，点D为的中点，E、F分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）在中，，点D为的中点，E、F分别为直线上两点，若满足，请直接写出的长． 17．（23-24八年级上·江西赣州·期末）【探究发现】（1）如图1，中，，，点D为的中点，E、F分别为边、上两点，若，则、、之间满足，请说明理由．      图1 【类比应用】（2）如图2，中，，，点D为的中点，E、F分别为边、上两点，若满足，试探究、、之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）在中，，，点D为的中点，E、F分别为直线、上两点，若满足，，请直接写出的长． 18．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，一伞状图形，已知，点是角平分线上一点，且，，与交于点，与交于点． (1)如图一，当与重合时，探索，的数量关系 (2)如图二，将在(1)的情形下绕点逆时针旋转度，继续探索，的数量关系，并求四边形的面积． 19．（2023·陕西西安·模拟预测）问题提出 （1）如图①，在中，，，平分，，则点到的距离为__________． 问题探究    （2）如图②，中，，，，点为斜边上一点，且，的两边交于点，交于点，若，求四边形的面积． 问题解决（3）市政部门根据地形在某街道设计一个三角形赏花园如图③，为赏花园的大致轮廓，并将赏花园分成、和四边形三部分，其中在四边形区域内种植平方米的月季，在和两区域种植薰衣草，根据设计要求：，点、、分别在边、、上，且，，为了节约种植成本，三角形赏花园的面积是否存在最小值，若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明由． 20．（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）【问题背景】 在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】小晨同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在四边形中如图2，，，E、F分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$