专题23 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题23 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 2 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 2 模型2.等边截等长模型（定角模型） 3 模型3.等边内接等边 4 8 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 例1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F．(1)求证：EF＝DF；(2)如图2，过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG． 例2．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：．①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 例3．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 例4．（23-24八年级上·云南临沧·期中）如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于点F，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H． (1)求证：AG＝AD；(2)求证：DF＝EF；(3)若CF＝CE，S△ADG＝2，求△DGF的面积． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 例1．（23-24八年级下·广东惠州·期中）请补充完成以下证明过程： 如图，已知在等边三角形中，D、E分别是上的点，且． 求证：． 证明：为等边三角形，（已知）， （ ）． （ ）． （已知）， （ ）． ． 例2．（23-24浙江嘉兴八年级期末）如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O．则的度数为 ． 例3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图1，在等边的、边上各取一点、，、相交于点，．(1)求证：；(2)如图2，过点作于点． ①若，求的长；②若，连接，求的度数． 例4．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，点，分别在等边三角形的边，上，，连接，交于点，连接，以下结论：①；②；③的面积是面积的2倍；④；一定正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 模型3.等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 例1．（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 例2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    例4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 1．（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图，点、是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点，则在、运动过程中，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．当第2秒或第4秒时，为直角三角形 D．的度数不变，始终等于 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且，AE与CD交于点F，于点G，下列结论：①：②；③是等腰三角形；④，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 3．（23-24八年级上·重庆万州·期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（    ） A．PD=DQ B．2DE=AC C．2AE=CQ D．PQ⊥AB 5．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图，已知等边ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在等边的，上各取一点，，使，，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．若，则的长为 ．    29．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，在等边的边AB上一点P，作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连PQ交AC边于D，且DE长为1，则BC长为 ． 7．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在中，，，点M从点B出发沿射线移动（运动到A点停止），同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同（且同时停止），与相交于点D．过点M作于点F，线段+= ． 9．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，过边长为10的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ． 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连接交边于D，则下面结论：①；②D为的中点；③；④；其中正确的结论有： ． 11．（23-24江西八年级期中）如图,在等边△ABC中,过A,B,C三点在三角形内分别作∠1=∠2=∠3,三个角的边相交于D,E,F,（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明． （2）△DEF是否为正三角形？请说明理由． 12．（23-24浙江八年级上期中）如图，是等边三角形，点，，分别在边，，上运动，且满足．求证：是等边三角形． 13．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 14．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F， DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G． 求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）若AB＝5，BC＝6，求△ABC的面积． 15．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，与直线相交于点D，求证：． 16．（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 17．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，当点P运动到A时，点P、Q随即停止运动，若点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图①，当点P自点B出发在线段BA上运动时，过点P作AC的平行交BC于点F，连接PC、FQ，判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论． （2）如图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请说明在点P、Q在移动的过程中，DE长度保持不变． 18．（23-24八年级上·河北承德·期末）在中，，点M从点B出发沿射线移动，同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同，与相交于点D． （1）如图1，过点M作，交于点E； ①图中与相等的线段________、_________；②求证：； （2）如图2，若，当点M移动到的中点时，求的长度； （3）如图3，过点M作于点F，在点M从点B向点A（点M不与点A，B重合）移动的过程中，线段与的和是否保持不变？若保持不变，请直接写出与的长度和；若改变，请说明理由． 19．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足．(1)如图1，当点在边上时，连接相交于点．①求证：．②求的度数．(2)如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由． 20．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）学完“等边三角形”一节后，老师布置了一道思考题：如图，点M、N分别在正的边，上，且，，所在直线相交于点Q．求证：． (1)请完成这道思考题的证明；(2)做完（1）后，爱动脑筋的同学提出了如下问题：若将题中的点M，N分别移动到，的延长线上，是否仍能得到?请作出判断，并说明理由． 21．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是等边三角形，点分别在边上，且，连接交于点F．(1)如图1，求证：；(2)如图1，求的度数； (3)如图2，连接，当时，求证：． 22．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为秒． （知识储备：一个角是的等腰三角形是等边三角形．直角三角形中角所对的边等于斜边的一半．）． (1)当时，求证：是直角三角形． (2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值． (3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点到达终点时点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？ 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在等边的，上各取一点D，E，使，，相交于点M，过点B作直线的垂线，垂足为H． (1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的面积．    24．（23-24八年级·浙江·期末）如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使ADCE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H． （1）求证：△ACE≌△BAD；（2）若BE2EC4．①求△ABC的面积；②求MH的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 等腰（等边）三角形中重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 2 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 2 模型2.等边截等长模型（定角模型） 3 模型3.等边内接等边 4 8 模型1.等腰三角形中的重要模型-帽子模型（长短手模型） 帽子模型，其实是等腰三角形独特性质的应用，因为模型很像帽子，学习知识点的同时也增加了趣味性。 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 例1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F． (1)求证：EF＝DF；(2)如图2，过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG． 【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解 【分析】（1）过点D作DM∥AC，则∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，进而可得：CE=MD，可证得∆DMF≅ ∆ECF，即可得到结论；（2）过点D作DM∥AC，由（1）得∆DMF≅ ∆ECF，可得到MF=CF，根据等腰三角形三线合一，可得：BG=MG，进而可得到结论． 【详解】（1）证明：过点D作DM∥AC，如图，∴∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF， ∵AB＝AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DMB，∴BD=MD，∵CE＝BD，∴CE=MD， 在∆DMF和∆ECF中，∵， ∴∆DMF≅ ∆ECF（AAS），∴EF＝DF； （2）证明：过点D作DM∥AC，如图，由第（1）题得：BD=MD，∆DMF≅ ∆ECF，∴MF=CF， ∵DG⊥BC，∴BG=MG（等腰三角形三线合一），∴BC=BM+CM=2(GM+FM)=2FG， 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理以及等腰三角形的性质定理，添加合适的辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 例2．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论；（3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； ②∵，∴，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴，∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点，∴，∵，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，∴，∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 例3．（23-24八年级上·重庆·期中）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形，∴． 又∵，∴． ∴是等边三角形．∴．又∵，∴． 在和中，，∴．∴． ∵，∴，∴， ∵，∴．故答案为：． 例4．（23-24八年级上·云南临沧·期中）如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于点F，过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H． (1)求证：AG＝AD；(2)求证：DF＝EF；(3)若CF＝CE，S△ADG＝2，求△DGF的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6 【分析】（1）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求证． （2）根据平行线的性质可得及等边三角形的性质，利用AAS可证得△DHF≌△ECF，根据全等三角形的性质即可求证结论． （3）根据等边三角形的性质可得AG＝GH，再根据全等三角形的性质可得HF＝CF，利用等量关系可得GF＝3AG，利用等高三角形面积之间的关系即可求解． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°， ∵DG⊥AC，∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，∴． （2）∵，∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E， ∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°， ∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH＝AD， ∵AD＝CE，∴DH＝CE，在△DHF和△ECF中， ，∴△DHF≌△ECF（AAS），∴DF＝EF， （3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，AD＝DH，∴AG＝GH， ∵△DHF≌△ECF，∴HF＝CF，∵CF＝CE，DH＝CE，∴HF＝AH，∴GF＝3AG， ∵△DGF和△ADG等高，∴S△DGF＝3S△ADG＝6． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质，此题难度适中，注意数形结合思想的应用． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 例1．（23-24八年级下·广东惠州·期中）请补充完成以下证明过程： 如图，已知在等边三角形中，D、E分别是上的点，且． 求证：． 证明：为等边三角形，（已知）， （ ）． （ ）． （已知）， （ ）． ． 【答案】等边三角形的性质；等边三角形的性质； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】证明：为等边三角形，（已知） ，（等边三角形的性质） （等边三角形的性质） （已知） （） ． 故答案为：等边三角形的性质，等边三角形的性质，． 例2．（23-24浙江嘉兴八年级期末）如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O．则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】根据等边三角形的性质可得：，根据全等三角形的判定可得，继而可得，根据三角形外角与不相邻的两个内角的关系及对顶角相等可得，即可求解． 【详解】∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴．故答案为 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，外角与不相邻的两个内角的关系，对顶角，解题的关键是是证得． 例3．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图1，在等边的、边上各取一点、，、相交于点，．(1)求证：；(2)如图2，过点作于点． ①若，求的长；②若，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）①过点A作于，利用等边三角形的性质与勾股定理，求出、，然后由三角形面积公式可求出的长；②连接、，先由直角三角形性质求得，又因，从而求得，则，继而可证，得到，，则，，所以，又由，即可由求解． 【详解】（1）解：∵等边，∴，，∴， ∵，， 在和中，，∴，∴； （2）解：①过点A作于， ∵，∴，，∵等边，， ∴，，，∴， ∴，∴， ∵，∴∵∴，∴； ②连接、， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，由（1）知：，， ∴，，即，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∵∴，  ∴， ∵，∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积，本题属三角形综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 例4．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，点，分别在等边三角形的边，上，，连接，交于点，连接，以下结论：①；②；③的面积是面积的2倍；④；一定正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由SAS证得，可得，可得①正确，由外角性质可得，故②正确，由面积差可求，故③正确，延长至，使，连接，，过点作于，可证，再由面积差关系求得，且，证得四边形是矩形即可求解． 【详解】∵    ，∴， ∵，，∴，， ∴，且，，∴(SAS) ∴，故①正确． ∵，∴，故②正确． ∵，∴，， ∴，∴，故③正确． 如图，延长至，使，连接，，过点作于， ∵∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴，且，，∴(SAS)， ∴，，，设，则，， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∵是等边三角形，， ∴，∴， ∴，∴四边形为平行四边形，且， ∴四边形是矩形，∴，故④正确．故选：A． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 模型3.等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 例1．（2024八年级上·重庆·专题练习）如图，过等边三角形的顶点、、依次作、、的垂线、，三条垂线围成，若，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，先证明是等边三角形．得出．根据直角三角形的性质求出，证明，得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，∴，∵是等边三角形，∴， ∴，∴，同理：， ∴是等边三角形．∴．在中，， ∴，∴，∵，∴， 在与中，，∴ ∴，∴，∴的周长为．故选：B． 例2．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，，∴，∴， 同理得：，∴， ∵的周长为15，∴，∴，故选：B． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键． 例3．（23-24八年级下·广东云浮·期中）如图，点P，M，N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N．(1)求证：是等边三角形；(2)若，求的长．    【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先求得．得．则，再求得．即可得到结论； （2）由得到．由得到，则．由得到．即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴． ∵，∴． ∴． ∴．∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形，∴． 在和中，，∴．∴． ∵，∴．∴． ∵，∴．∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 例4．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，点、、分别是等边各边上的点，且，．（）求证：是等边三角形．（）若，求等边的周长． 【答案】（1）详见解析；（2）18 【分析】（1）由等边三角形的性质易得AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，由已知易得BD=CE=AF，∠DEB=∠EFC，可得△BDE≌△CEF≌△AFD，由全等三角形的性质可得DE=FD=EF，证得结论； （2）首先由∠DEC=150°，易得∠FEC=90°，可得△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，可得∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°，由直角三角形的性质可得CF=AD=BE=2BD=4，可得AB，易得结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵BD=CE，∴BD=CE=AF， 在△BDE与△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE=EF， 同理可得△BDE≌△AFD，∴DE=FD，∴DE=FD=EF，∴△DEF为等边三角形； （2）解：∵∠DEC=150°，∠DEF=60°，∴∠FEC=90°， ∴△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，且∠CFE=∠ADF=∠BDE=30°， ∵BD=CE=2，∴CF=AD=BE=2BD=4，∴AB=BC=AC=6，∴等边△ABC的周长为：6×3=18 【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定和全等三角形的性质及判定，综合利用各定理是解答此题关键． 1．（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图，点、是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点，则在、运动过程中，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．当第2秒或第4秒时，为直角三角形 D．的度数不变，始终等于 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等等，先由等边三角形的性质得到，根据题意可得，则，证明，得到，利用三角形内角和定理可证明，则；设运动时间为t秒，则，，当时，则，即，解得；当时，则，即，解得；故当第2秒或4秒时，为直角三角形；当时，则，可证明此时是等边三角形，即，又点M不在上，即不成立，则不成立． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， 在和中， ， ∴，故B结论正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∴，故D结论正确，不符合题意； 设运动时间为t秒，则，， 当时， ∵， ∴ ∴，即，解得； 当时， ∵， ∴， ∴，即，解得； ∴当第2秒或4秒时，为直角三角形，故C结论正确，不符合题意； ∵， ∴当时，则， ∴此时是等边三角形，即， 又∵点M不在上，即不成立， ∴不成立，故A结论错误，符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且，AE与CD交于点F，于点G，下列结论：①：②；③是等腰三角形；④，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④ 【答案】C 【分析】对于①，根据等边三角形的性质，得，，然后利用“边角边”定理，证明和全等，根据全等三角形对应边相等，对①作出判断；对于②，根据全等三角形对应角相等，得，求出，利用三角形的内角和定理，求出的度数，可对②作出判断；对于③，由，计算得出的度数，结合，，判断三个内角的大小关系，结合等腰三角形的判定方法，即可对③作出判断；对于④，根据，求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，可得到与的数量关系，据此可对④作出判断． 【详解】解：为等边三角形， ，． 在和中， ， ， ，①正确． ， ， ． ， ，②正确． ． 又，， 的三个内角均不相等， 不是等腰三角形，③错误． ，， ， ， ，④正确． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键． 3．（23-24八年级上·重庆万州·期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交AC边于D，则DE的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考擦全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是作辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得的长． 【详解】作，交的延长线于点F， 则， ∵是等边三角形，于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（    ） A．PD=DQ B．2DE=AC C．2AE=CQ D．PQ⊥AB 【答案】D 【分析】利用平行线的性质结合全等三角形的判定与性质得出即可． 【详解】解：过P作PFCQ交AC于F， ∴∠FPD=∠Q，∠AFP=∠ACB ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ACB=60°， ∴∠A=∠AFP=60°， ∴AP=PF， ∵PA=CQ， ∴PF=CQ， 在△PFD与△DCQ中， ∴△PFD≌△QCD， ∴PD=DQ，DF=CD， ∴A选项正确， ∵AP=PF，PE⊥AC ∴AE=EF， ∴2DE=AC， ∴B选项正确，不符合题意； ∵PE⊥AC，∠A=60°， ∴2AE=AP=CQ， ∴C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能推出PQ⊥AB 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 5．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如图，已知等边ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE＝CG，DE＝FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP＝∠GFP，EP＝PG，得出PC＋BE＝PE，就可以得出PE＝1，从而得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠GCF，∵DE⊥BC，FG⊥BC，∴∠DEB＝∠FGC＝∠DEP＝90°． 在△DEB和△FGC中， ，∴△DEB≌△FGC（AAS），∴BE＝CG，DE＝FG，故①正确； 在△DEP和△FGP中， ，∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确； ∴PE＝PG，∠EDP＝∠GFP≠60°，故③错误；∵PG＝PC＋CG，∴PE＝PC＋BE． ∵PE＋PC＋BE＝2，∴PE＝1，故④正确．故答案为：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明三角形全等． 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在等边的，上各取一点，，使，，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为．若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，由“”可证，由全等三角形的性质可得，可证，由直角三角形的性质可求解． 【详解】是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 如图，过点作于，    ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 29．（23-24八年级上·山东日照·期末）如图，在等边的边AB上一点P，作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连PQ交AC边于D，且DE长为1，则BC长为 ． 【答案】2 【分析】过P作交AC于F，得出等边三角形APF，推出，根据等腰三角形性质求出，证≌，推出，推出即可． 【详解】过P作交AC于F， ，是等边三角形， ，是等边三角形， ， ， ， ，， ． 在和中，， ≌， ， ， ， ， ， ， 故答案为2 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键. 7．（23-24八年级上·广东韶关·期中）如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，得出是本题的关键． 根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；根据全等三角形的性质得到，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】解：是等边三角形，， ，，，， ，， 是等边三角形，，， ，，， 在中，，， ，，，故答案为：4． 8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）在中，，，点M从点B出发沿射线移动（运动到A点停止），同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同（且同时停止），与相交于点D．过点M作于点F，线段+= ． 【答案】4 【分析】过点N作，交的延长线于点H，然后由题意易得，进而可证，最后根据全等三角形的性质可求解． 【详解】解：过点N作，交的延长线于点H，如图所示： 由题意得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为4． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键． 9．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，过边长为10的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为 ． 【答案】5 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可． 【详解】过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=10， ∴DE=5． 故答案为：5． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 10．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，过边长为2的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连接交边于D，则下面结论：①；②D为的中点；③；④；其中正确的结论有： ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点的应用，过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，进而逐一判断即可． 【详解】解：如图，过作交于． ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ，， ∴是等边三角形，， ， ， ， ， ，故①错误； ，， ， ，故③正确； 在和中， ， ∴， ，， 为的中点，故②正确； ， ， ，故④正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故答案为：②③④． 11．（23-24江西八年级期中）如图,在等边△ABC中,过A,B,C三点在三角形内分别作∠1=∠2=∠3,三个角的边相交于D,E,F,（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明． （2）△DEF是否为正三角形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论； 【详解】（1）∵△ABC是正三角形，∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC， ∵∠ABD=∠ABC-∠2，∠BCE=∠ACB-∠3，∠2=∠3，∴∠ABD=∠BCE， 在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（ASA）； （2）△DEF是正三角形；理由如下： ∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB=∠BEC=∠CFA， ∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，∴△DEF是正三角形； 【点睛】此题考查正三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正三角形的判定与性质， 12．（23-24浙江八年级上期中）如图，是等边三角形，点，，分别在边，，上运动，且满足．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键，由是等边三角形，得，．进而证明．从而证明（），得，同理可证，即可证明结论成立． 【详解】证明∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 13．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）6cm 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形； （2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出CM的长． 【详解】解：（1）是等边三角形， ， ，，， ． ， ， 是等边三角形； （2）根据题意可得： ∵△PMN是等边三角形， ∴PM=MN=NP， 在△PBM、△MCN和△NAP中， ， ∴（AAS）， ，； ， ， ． 是正三角形， ，而， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质等知识；证出∠NPM=∠PMN=∠MNP是本题的关键． 14．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F， DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G． 求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）若AB＝5，BC＝6，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】试题分析：（1）利用平行线的性质得出，进而利用ASA得出； 由（1）得，由于，于是得到，求得，根据平行线的性质得到，等量代换得到，过A作于H，根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理得到，于是求出的面积． 试题解析：（1）在和中， 由（1）得， 过A作于H， 考点：1、全等三角形的判定与性质；2、平行线的性质；3、等腰三角形的性质与判定． 15．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，点P从点B出发沿线段移动，同时，点Q从点C出发沿线段的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，与直线相交于点D，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定定理，全等三角形的性质与判定定理，解决本题关键作出合适的辅助线． 过点P作交于点F，根据等腰三角形的判定和性质准备条件，再证即可． 【详解】证明：如图，过点P作交于点F， ∵点P和点Q同时出发，且速度相同， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 16．（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，等边△ABC的边长为6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D. （1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； （2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由. 【答案】（1）；（2）线段ED的长度保持不变. 【分析】(1)过P点作PF//AC交BC于F，由题意可证△BPF是等边三角形，△PFD≌△QCD，即可求CD的长； (2)分点P在线段AB上，点P在线段BA的延长线上两种情况讨论，利用全等三角形的性质和判定可得DE的长度不变． 【详解】解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F， ∵点P和点Q同时出发，且速度相同， ∴BP=CQ， ∵PF∥AQ， ∴∠PFB=∠ACB=60°，∠DPF=∠CQD， 又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB， ∴BP=PF， ∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC， ∴△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形 ∴，BF=PB ∵P是AB的中点，即， ∴BF=3 ∴; （2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段 如图，如果点P在线段AB上， 过点P作PF∥AC交BC于F， 由（1）证得△PFD≌△QCD，且△PBF是等边三角形 ∴ ∴ ∴ED为定值 同理，如图，若P在BA的延长线上， 作PM∥AC的延长线于M， ∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB=60°， ∴∠B=∠PMC=60°， ∴PM=PB，且PE⊥BC ∴，△PBM是等边三角形 ∴PM=PB=CQ ∵PM∥AC ∴∠PMB=∠QCM，∠MPD=∠CQD且PM=CQ ∴△PMD≌△QCD（ASA）， ∴， ∴ 综上所述，线段ED的长度保持不变. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的性质，灵活利用全等三角形的判定，等边三角形的性质，并作辅助线是解题的关键. 17．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，在ABC中，AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，当点P运动到A时，点P、Q随即停止运动，若点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． （1）如图①，当点P自点B出发在线段BA上运动时，过点P作AC的平行交BC于点F，连接PC、FQ，判断四边形PFQC的形状，并证明你的结论． （2）如图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，请说明在点P、Q在移动的过程中，DE长度保持不变． 【答案】（1）四边形PFQC是平行四边形，见解析；（2）见解析 【分析】（1）如图①中，四边形PFQC是平行四边形．只要证明PF∥CQ，PF＝CQ即可解决问题； （2）如图②中，过点P作PF∥AC交BC于F，首先证明BE＝EF，根据DF＝FC，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图①中，四边形PFQC是平行四边形． 理由：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵PF∥AQ， ∴∠PFB＝∠ACB＝∠B，∠DPF＝∠DQC， ∴PB＝PF＝CQ， ∴四边形PFQC是平行四边形； （2）如图②中，过点P作PF∥AC交BC于F， ∵△PBF为等腰三角形， ∴PB＝PF， ∵PE⊥BF， ∴BE＝EF， 由（1）可知FD＝DC， ∴ED＝EF+FD＝BF+FC＝（BF+FC）＝BC＝3， ∴ED为定值， 【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用相关知识解题． 18．（23-24八年级上·河北承德·期末）在中，，点M从点B出发沿射线移动，同时点N从点C出发沿线段的延长线移动，点M，N移动的速度相同，与相交于点D． （1）如图1，过点M作，交于点E； ①图中与相等的线段________、_________；②求证：； （2）如图2，若，当点M移动到的中点时，求的长度； （3）如图3，过点M作于点F，在点M从点B向点A（点M不与点A，B重合）移动的过程中，线段与的和是否保持不变？若保持不变，请直接写出与的长度和；若改变，请说明理由． 【答案】（1）①CN、EM； ②见解析；（2）的长度为2；（3）保持不变；BF+CD=4． 【分析】（1）①根据移动过程分析和等腰三角形的性质即可解答；②由平行的性质、等腰三角形的性质进行等边和等角转换，最后运用AAS即可证明结论；（2）由（1）的结论和等边三角形的性质，通过等量转换即可得解；（3）首先过点M作ME//AC，由等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，即可求得BF与CD的长度保持不变． 【详解】(1) ①∵点M、N同时移动且移动的速度相同，∴BM=CN，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB 又∵ME//AC，∴∠N=∠DME，∠ACB=∠MEB， ∴∠MEB=∠B，∴BM=ME，故答案是：CN、EM； ②∵BM=ME，BM=CN.∴ME=CN， ∵MN与BC相交于点D，∴∠MDE=∠NDC， 在△DME和△DNC中∠MDE=∠NDC，∠DME=∠N，ME=NC ∴△DME≌△DNC（AAS）； (2) 如图:过点M作ME//AC，交BC于点E ∵∠A=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60° ∵ME//C，∴∠BEM=∠ACB=60°，∴△BEM是等边三角形，∴BE=BM. ∵M是AB的中点，∴ ∴BE=CE=4.由（1）可证△DME≌△DNC ∴DE=CD，∴CD=CE=2，∴CD的长度为2； (3)保持不变，理由如下：如图:过点M作ME//AC，交BC于点E 由（1）可证△DME≌△DNC，BM=ME，∴DE=CD，△MBE是等腰三角形。 ∵MF⊥BC，∴MF是△MBE的中线，∴BF=EF， ∴BF+CD=EF+DE=BC=4，∴BF与CD的长度和保持不变 【点睛】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质以及动点综合问题，掌握全等三角形的判定与性质成为解答本题的关键 19．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点沿的边从点运动到点，再从点运动到点，点是边上一点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点在边上时，连接相交于点．①求证：．②求的度数． (2)如图2，当点在边上时，延长至点，使，连接．判断与是否相等？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②(2)，见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质和判定， （1）①根据等边三角形的性质得，再根据，可得，然后根据全等三角形对应边相等得出答案； ②根据全等三角形的对应角相等得，再根据得出答案； （2）在上截取，连接，可得，再根据等边三角形的性质证明，进而得出答案. 【详解】（1）证明：①如图1，是等边三角形，． ，，． ②解：，． ，． （2）解：．理由如下：如图，在上截取，连接，则． 是等边三角形，． ．是等边三角形． ，，． 20．（23-24八年级上·浙江绍兴·期中）学完“等边三角形”一节后，老师布置了一道思考题：如图，点M、N分别在正的边，上，且，，所在直线相交于点Q．求证：． (1)请完成这道思考题的证明；(2)做完（1）后，爱动脑筋的同学提出了如下问题：若将题中的点M，N分别移动到，的延长线上，是否仍能得到?请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)见详解(2)仍能得到 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识．（1）由等边三角形的性质得，，而，即可证明，得，则； （2）可证明，得，则，可见仍能得到． 【详解】（1）证明：如图1，∵是等边三角形， 在和中， （2）证明： 如图2，是等边三角形， 在和中， 21．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，是等边三角形，点分别在边上，且，连接交于点F． (1)如图1，求证：；(2)如图1，求的度数； (3)如图2，连接，当时，求证：． 【答案】(1)见解析(2)(3)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质及判定，运用截长补短法构造全等三角形是解题关键．（1）由三角形为等边三角形得可求证，从而得到；（2）由全等三角形的性质得即可求解； （3）运用截长补短方法，构造，再通过三角形全等证明，即可求证. 【详解】（1）证明：为等边三角形，， ，，； （2），，， ，，． （3）在上截取，连接，如图所示： 由（1）知，， ，，， ，，由（2）知，，，， ，，， ，． 22．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图1，在中，，动点以每秒的速度从点出发，沿线段向点运动．设点的运动时间为秒． （知识储备：一个角是的等腰三角形是等边三角形．直角三角形中角所对的边等于斜边的一半．）． (1)当时，求证：是直角三角形． (2)如图2，若另一动点在线段上以每秒的速度由点向点运动，且与点同时出发，点到达终点时点也随之停止运动．当是直角三角形时，直接写出的值． (3)如图3，若另一动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，且与点同时出发．当点到达终点时点也随之停止运动，连接交于点，过点作于．在运动过程中，线段的长度是否发生变化？为什么？ 【答案】(1)见解析(2)或(3)线段的长度不变，为定值，理由见解析 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）分两种情况：①当时，则，由直角三角形的性质得，由题意得出方程，解方程即可；②当时，则，由直角三角形的性质得，由题意得出方程，解方程即可； （3）过点作，交的延长线于，先证，得，再证，得，进而得出答案． 【详解】（1）证明∵是等边三角形， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：分两种情况： ①当时，如图所示： 则， ∴， 由题意可得：，则， ∴， 解得； ②当时，如图所示： 则， ∴， ∴， 解得：； 综上，当或时，△PAQ是直角三角形； （3）解：线段DE的长度不变化，理由如下： 过点作Q，交的延长线于，如图3所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，   ∴， ∵， ∴， ∴， 即线段的长度不变，为定值． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、直角三角形的性质以及动点问题等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在等边的，上各取一点D，E，使，，相交于点M，过点B作直线的垂线，垂足为H．    (1)求证：；(2)求的度数；(3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据角的和差关系可得答案； （3）过点作于，由勾股定理及三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴； （2）∵， ∴， ∴； （3）如图，过点A作于F，    ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 24．（23-24八年级·浙江·期末）如图，在等边△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使ADCE，AE，BD相交于点M，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H． （1）求证：△ACE≌△BAD；（2）若BE2EC4．①求△ABC的面积；②求MH的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质，直接运用SAS证明即可； （2）①作AF⊥BC于F点，利用“三线合一”的性质结合已知条件先求出AF的长度，从而根据即可求解； ②先在Rt△AFE中求解出AE的长度，再求出△ABE的面积，结合等面积法即可求出BH的长度，然后根据（1）的结论进一步证明∠BMH=60°，则在Rt△BMH中即可求解MH的长度． 【详解】（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=CA，∠BAD=∠ACE=60°， 在△BAD和△ACE中， ∴△ACE≌△BAD（SAS）； （2）如图所示，作AF⊥BC于F点， ①由“三线合一”知，∠BAF=30°， ∵BC=BE+EC=4+2=6， ∴AB=6，BF=3， 由勾股定理可得：， ∴； ②由①可知，，FE=1， ∴根据勾股定理可得，， ∵， ∴， 由（1）可得，∠ABD=∠CAE， ∴∠ABD+∠BAM=∠CAE+∠BAM=60°， 即：∠BMH=∠ABD+∠BAM=60°， 则在Rt△BHM中，∠MBH=30°， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质综合运用，灵活运用全等三角形的性质以及等面积法求高是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$