专题02 直线和圆的方程（18种题型）（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

专题2 直线和圆的方程（17种题型） 【题型1】直线的倾斜角与斜率 【题型2】 直线与线段相交求斜率范国 【题型3】五种直线方程的求解 【题型4】 直线过定点问题 【题型5】 两直线的平行与垂直 【题型6】 直线的交点与方程组的解 【题型7】三种距离公式的应用 【题型8】点与直线的对称问题 【题型9】求圆的标准方程与一般方程 【题型10】直线与圆的位置关系及应用 【题型11】直线与圆相交的弦长向题 【题型12】圆的切线与切线长问题 【题型13】 圆与圆的位置关系及应用 【题型14】两圆的公共弦问题 【题型15】两圆的公切线问题 【题型16】与圆有关的最值问题 【题型17】圆的轨迹问题 知识点1 倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点 ②直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角的范围 （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在. 记作 ⑴当直线与轴平行或重合时, , ⑵当直线与轴垂直时, ,不存在. ②经过两点的直线的斜率公式是 。 ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 知识点2 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 知识点3 5种方程式 1．点斜式方程：过点(x0，y0)且斜率k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)． 2．斜截式方程：纵截距b且率k的直线方程为y＝kx＋b． 3．两点式方程：过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程为＝． 4．截距式方程：横截距a纵截距b的直线方程为＋＝1． 5.（1）一般式方程：Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0． （2）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． 知识点4 直线过定点问题 1．如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成． 2．假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m． 知识点5两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 知识点6两点间距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 知识点7 圆的标准方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点8 点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点8 圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点9 用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点10轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 知识点11 直线与圆的位置关系及判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 知识点12圆的切线与切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点13 圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： （1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. （2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点14 圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 【题型1】直线的倾斜角与斜率 1．若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 3．已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 直线与线段相交求斜率范围 5．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 8．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3】五种直线方程的求解 9．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．已知直线经过点，且法向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 11．直线在轴上的截距是（      ） A． B． C． D． 12．直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（    ） A．，6 B．， C．，6 D．， 13．过点且与直线垂直的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 14．在平行四边形中，，，，点是线段的中点． (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 15．已知直线经过点． (1)若经过点，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距． 16．已知的三个顶点是． (1)求AB边的高所在直线的方程； (2)若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程． 17．根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，截距是4； (3)经过点，点； (4)经过点，且在两坐标轴上截距的和为5． 18．在中，，，． (1)求边的高线的方程； (2)过点A的直线l与直线的交点为D，若，求D的坐标． 19．已知的三个顶点的坐标分别为．求： (1)过点且与直线平行的直线方程一般式； (2)边的中垂线的一般式方程． 20．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 【题型4】 直线过定点问题 21．无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 22．已知直线 过定点A，则A的坐标为 . 23．直线过定点 . 24．无论实数λ取何值，直线恒过定点 . 【题型5】 两直线的平行与垂直 25．已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 26．已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 28．若直线与直线平行，则 . 29．若直线，平行，则实数的值为 . 【题型6】 直线的交点与方程组的解 30．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．直线l1：和l2：的交点的坐标为 ． 32．三条直线与相交于一点，则的值为 . 33．已知直线：与：相交于点，则 . 【题型7】三种距离公式的应用 34．已知，则线段中点坐标为（     ） A． B． C． D． 35．在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 36．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（    ） A． B． C． D． 37．点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 38．若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 39．平行线与之间的距离为（   ） A． B． C． D．5 40．已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 50．已知，及轴上的动点，则的最小值为 . 【题型8】点与直线的对称问题 51．点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 52．已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 . 【题型9】求圆的标准方程与一般方程 53．已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 54．已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 55．过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 56．已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为 ． 57．已知直线与均与相切，点在上，则的方程为 . 【题型10】直线与圆的位置关系及应用 58．轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 59．已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【题型11】直线与圆相交的弦长向题 60．若直线与圆交于两点，则（    ） A．1 B． C．2 D． 61．过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 62．已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 63．若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 64．若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 65．如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 【题型12】圆的切线与切线长问题 66．以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 67．已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 68．已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 69．过点作圆的两条切线，切点分别为，则劣弧的长度是（    ） A． B． C． D． 70．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型13】 圆与圆的位置关系及应用 71．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 72．若圆与圆外切，则（    ） A．9 B．11 C．19 D．21 73．已知圆的方程为，圆的方程为，若圆与圆外切，则的值为（    ） A．1 B．9 C．10 D．16 74．已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 【题型14】两圆的公共弦问题 75．已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 76．圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 77．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ． 78．已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 79．已知圆过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于两点，求两个圆公共弦的长. 【题型15】两圆的公切线问题 80.已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 81．多选题若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（      ） A．1 B．121 C．36 D．126 82．多选题圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 83．多选题与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 84．已知圆与圆只有一条公切线，则 . 85．已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 【题型16】与圆有关的最值问题 86．已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，，切点分别为，，则最小时，原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 87．当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 88．过点的直线与圆交于，两点，则当弦长最短时的面积为（    ） A． B． C． D． 89．点在圆：上，，，则最小时，（    ） A． B． C． D． 【题型17】圆的轨迹问题 90．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 91．由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 92．已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)设为上的一个动点，求中点的的轨迹方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 直线和圆的方程（17种题型） 【题型1】直线的倾斜角与斜率 【题型2】 直线与线段相交求斜率范国 【题型3】五种直线方程的求解 【题型4】 直线过定点问题 【题型5】 两直线的平行与垂直 【题型6】 直线的交点与方程组的解 【题型7】三种距离公式的应用 【题型8】点与直线的对称问题 【题型9】求圆的标准方程与一般方程 【题型10】直线与圆的位置关系及应用 【题型11】直线与圆相交的弦长向题 【题型12】圆的切线与切线长问题 【题型13】 圆与圆的位置关系及应用 【题型14】两圆的公共弦问题 【题型15】两圆的公切线问题 【题型16】与圆有关的最值问题 【题型17】圆的轨迹问题 知识点1 倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点 ②直线与轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角的范围 （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在. 记作 ⑴当直线与轴平行或重合时, , ⑵当直线与轴垂直时, ,不存在. ②经过两点的直线的斜率公式是 。 ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 知识点2 两条直线的位置关系 1、两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. ②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. （2）两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2. 知识点3 5种方程式 1．点斜式方程：过点(x0，y0)且斜率k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)． 2．斜截式方程：纵截距b且率k的直线方程为y＝kx＋b． 3．两点式方程：过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线方程为＝． 4．截距式方程：横截距a纵截距b的直线方程为＋＝1． 5.（1）一般式方程：Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0． （2）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． 知识点4 直线过定点问题 1．如果一条直线经过某一定点，那么这条直线就是过该定点的直线．这里面可以看出，过一个定点的直线是不唯一的，事实上是由无数条直线组成． 2．假如有一定点A的坐标为（m，n），那么过该定点的直线的表达式为y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m． 知识点5两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点的求法 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 知识点6两点间距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. （2）点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. （3）两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝. 知识点7 圆的标准方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、确定圆的基本要素是：圆心和半径 3、圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为 4、几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程的标准形式 圆心在原点 圆过原点 圆心在轴 圆心在轴 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 圆与轴相切 圆与轴相切 圆与两坐标轴都相切 知识点8 点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 知识点8 圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 知识点9 用待定系数法求圆的方程的步骤 求圆的方程常用“待定系数法”．用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程． （2）根据已知条件，建立关于或的方程组． （3）解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 知识点10轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 知识点11 直线与圆的位置关系及判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 知识点12圆的切线与切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 ①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . ②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝. 【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 知识点13 圆的弦长 直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： （1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. （2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 知识点14 圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含 图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论． 【题型1】直线的倾斜角与斜率 1．若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程得到直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A 2．平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角的定义得到答案. 【详解】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为. 故选：C 3．已知直线经过点，且不经过第三象限，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据图像观察可得直线斜率的取值范围. 【详解】因为直线经过点，且不经过第三象限 所以， 又， 所以. 故选：D. 4．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 【题型2】 直线与线段相交求斜率范围 5．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围. 【详解】 ，而， 故直线的取值范围为， 故选：A. 6．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 7．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 8．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形及斜率定义可得答案. 【详解】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负， 当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正， 当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在O点时，直线l的斜率不存在. 综上，直线l的斜率的取值范围是. 故选：C      【题型3】五种直线方程的求解 9．经过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由倾斜角得到直线的斜率，再利用直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，即. 故选：B. 10．已知直线经过点，且法向量，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的法向量求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意知直线 的法向量是，可得其斜率为 ， 所以直线 的方程为 ，即 . 故选：C 11．直线在轴上的截距是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据截距的意义直接得解. 【详解】由已知， 令，得， 所以直线在轴上的截距为， 故选：A. 12．直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（    ） A．，6 B．， C．，6 D．， 【答案】B 【分析】根据直线方程求出斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角，然后令可求出直线在y轴上的截距. 【详解】由直线可得其斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以，即倾斜角为， 当时，，得， 所以直线在y轴上的截距为， 故选：B 13．过点且与直线垂直的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的垂直关系,结合已知直线的斜率可得所求直线的斜率，由直线的点斜式方程结合已知条件即可求解. 【详解】因为直线的斜率为1，由题意，所求直线l的斜率为-1， 又直线l过点，所以由点斜式方程可知直线l的方程为：， 即， 故选：C 14．在平行四边形中，，，，点是线段的中点． (1)求直线的方程； (2)求过点且与直线垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据求出点的坐标，再利用点斜式即可得解； （2）先求出点的坐标及直线的斜率，进而可求得所求直线的斜率，再根据点斜式即可得解. 【详解】（1）设点的坐标为，则， 由题意，，又， 故，解得，，， 所以点的坐标为， 则， 所以直线的方程为， 即； （2）设所求直线为， 点是线段的中点，则， 直线的斜率为， 由于直线与垂直，故直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即． 15．已知直线经过点． (1)若经过点，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为，求在轴上的截距． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式求解斜率，即可由点斜式求解； （2）根据截距式代入即可求解. 【详解】（1）由题意得，则的方程为， 其斜截式方程为． （2）设的截距式方程为， 由题意得得， 所以在轴上的截距为． 16．已知的三个顶点是． (1)求AB边的高所在直线的方程； (2)若直线l过点C，且点A，B到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点斜式求得边的高所在直线的方程. （2）对是否与直线平行进行分类讨论，由点斜式或斜截式求得直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率为， 所以边的高所在直线的斜率为， 所以边的高所在直线的方程为. （2）直线的斜率为， 若直线与直线平行，则直线的方程为. 线段的中点坐标为， 若直线过，则直线的方程为. 17．根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，截距是4； (3)经过点，点； (4)经过点，且在两坐标轴上截距的和为5． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由直线平行可知斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式 ； （2）截距为分为在轴上截距为和在轴上的截距为，根据条件写出直线方程； （3）写出直线的两点式方程，化为一般式； （4）分析直线在轴、轴上的截距，写出直线的截距式方程，化为一般式. 【详解】（1）由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得. （2）由直线倾斜角是得直线斜率为， 当直线在上截距是4，即过点时，直线方程为，整理得， 当直线在上截距是4时，直线方程为，整理得， 综上得，直线方程为. （3）由条件得直线的两点式方程为：，整理得. （4）由题意得，直线在轴上的截距为，故在轴上的截距为， 所以直线的截距式方程为，整理得. 18．在中，，，． (1)求边的高线的方程； (2)过点A的直线l与直线的交点为D，若，求D的坐标． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用两直线的垂直关系及点斜式计算即可； （2）利用向量的坐标表示计算即可. 【详解】（1）易知，所以边的高线的斜率为， 所以该高线方程为：； （2）设，由， 解方程得，即. 19．已知的三个顶点的坐标分别为．求： (1)过点且与直线平行的直线方程一般式； (2)边的中垂线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两直线平行的斜率关系及点斜式计算直线方程，再化为一般式即可； （2）利用两直线垂直的斜率关系及中点坐标公式、点斜式计算直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）由知，边所在直线的的斜率为， 又因为直线过， 则为，化为一般式为； （2）设线段的中点为，则点，即， 由上可知，所以其中垂线斜率为， 则可得中垂线的方程为． 整理得边的中垂线的一般式方程是． 20．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､垂心､重心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为， (1)求三角形外心的坐标； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得边的垂直平分线的所在的直线方程为，结合题意联立方程求解即可； （2）设，根据题意结合重心坐标公式可得，由外心可得，联立方程求解即可. 【详解】（1）由题意可知：边的中点坐标为，， 边的垂直平分线的所在的直线方程为，即， 联立方程，解得 所以的外心的坐标为. （2）设，则的重心为， 代入欧拉线方程得，整理得， 由（1）可知：的外心坐标为， 可知，则， 整理得， 联立方程，解得或， 当时，点B，C重合，舍去， 所以顶点C的坐标是. 【题型4】 直线过定点问题 21．无论为何值，直线都过一个定点，则该定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程整理成即可求得定点坐标. 【详解】将直线方程整理成， 令，解得，即直线经过定点. 故选：C. 22．已知直线 过定点A，则A的坐标为 . 【答案】 【分析】将直线化成，即可求解. 【详解】直线 可化为， 联立，解得，所以点A的坐标为. 故答案为：. 23．直线过定点 . 【答案】 【分析】首先整理可得，解方程组即可得解. 【详解】由可得： ， 所以， 解得，所以定点坐标为， 故答案为：. 24．无论实数λ取何值，直线恒过定点 . 【答案】 【分析】 将直线方程化为，进而分析求解. 【详解】由，可得， 令，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为：. 【题型5】 两直线的平行与垂直 25．已知直线与垂直，则实数a的值是（   ） A．0或3 B．3 C．0或 D． 【答案】D 【分析】利用两条直线垂直的性质，即可求出 的值 【详解】直线与直线互相垂直， ， 即， 解得或不满足直线，舍去 故选：D. 26．已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值． 【详解】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 27．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先由两直线平行求得参数的值，再进行充要条件判断即得. 【详解】直线和平行，则， 等价于，即， 故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 28．若直线与直线平行，则 . 【答案】 【分析】利用两直线平行各系数的关系列式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得. 故答案为：. 29．若直线，平行，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】根据直线平行的性质直接得解. 【详解】由已知直线，平行， 则， 解得或， 故答案为：或. 【题型6】 直线的交点与方程组的解 30．若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和讨论，当时求出交点，根据交点位于第一象限列不等式组求解可得. 【详解】当时，，此时，不满足题意； 当时，解方程组得， 由题知，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：A 31．直线l1：和l2：的交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】联立两直线方程解方程组即可. 【详解】解方程组得 所以两条直线交点的坐标为. 故答案为： 32．三条直线与相交于一点，则的值为 . 【答案】3 【分析】联立直线方程求交点坐标，再将点坐标代入含参直线方程求参数. 【详解】由，即三条直线交于， 代入，有. 故答案为：3 33．已知直线：与：相交于点，则 . 【答案】 【分析】将交点代入直线方程求参数a、b，即可得结果. 【详解】由题设，可得， 所以. 故答案为： 【题型7】三种距离公式的应用 34．已知，则线段中点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点坐标公式直接求解即可. 【详解】因为， 所以线段中点坐标为. 故选：D 35．在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出的交点坐标，然后根据点到点的距离公式求解出结果. 【详解】因为，所以，所以交点坐标为， 所以原点到交点的距离为， 故选：C. 36．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用法向量与所过点的坐标求得直线方程，利用点到直线的距离可求距离. 【详解】由题意可求得直线的方程为，所以原点O到l的距离为． 故选：D. 37．点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式计算即可得. 【详解】. 故选：D. 38．若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 39．平行线与之间的距离为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据平行线间距离公式计算． 【详解】由已知所求距离为. 故选：A． 40．已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项. 【详解】因为，所以，故，故. 故之间的距离为， 故选：D. 50．已知，及轴上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作点关于轴的对称点，则为所求最小值，从而得解. 【详解】如图，过点作轴的对称点， 此时，即为所求最小值， 又，，所以， 所以. 故答案为：. 【题型8】点与直线的对称问题 51．点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点关系可得，根据斜率关系可得，解方程组求解，即可． 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 可得，① 斜率，②． 由①②解得：． 则点关于直线的对称点坐标为． 故选：B． 52．已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 . 【答案】 【分析】先根据两直线相交联立方程组求出点A的坐标；再设出对称点的坐标；最后列出关系式求解即可. 【详解】因为直线与直线交于点A， 所以联立，解得，即. 设点关于直线的对称点坐标为， 则的中点坐标为，， 故，解得，即点A关于直线的对称点坐标是. 故答案为：. 【题型9】求圆的标准方程与一般方程 53．已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 54．已知圆过点，且与轴相切，圆心在轴上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆心为，半径为，根据条件，建立方程组且，求出，即可求出结果. 【详解】由题可设圆心为，半径为， 所以且，解得， 故圆的方程为，即， 故选：B. 55．过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出以为直径的圆的方程可得正确的选项. 【详解】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 56．已知圆M经过点，，，则圆M的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设圆M的一般式方程为：，将点代入即可求解. 【详解】解：设圆M的一般式方程为：， 因为圆M经过点，，， 所以，解得， 得圆M的一般式方程为：， 故圆M的标准方程为：. 故答案为： 57．已知直线与均与相切，点在上，则的方程为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行以及之间的距离可得半径，根据为切点，联立直线方程可得另一个切点，即可求解圆心为. 【详解】由于直线与平行，且均与相切， 两直线之间的距离为圆的直径，即， 又在上，所以为切点， 故过且与垂直的直线方程为， 联立， 所以与相切于点， 故圆心为与的中点，即圆心为， 故圆的方程为， 故答案为： 【题型10】直线与圆的位置关系及应用 58．轴与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】C 【分析】是以为圆心为半径的圆，根据圆心到轴的距离可判断. 【详解】因为是以为圆心为半径的圆， 圆心到轴为， 所以与轴关系是相离. 故选：C 59．已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】求出直线过的定点坐标，然后判断定点与圆的位置关系，进而可得直线与圆的位置关系. 【详解】由直线，可得，所以直线过定点， 又，所以点在圆内部，所以直线与圆相交. 故选：A. 【题型11】直线与圆相交的弦长向题 60．若直线与圆交于两点，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以. 故选：D. 61．过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】结合图形可知，当时取得最小值，然后可解. 【详解】将圆化为， 圆心，半径， 因为，所以点在圆C内， 记圆心C到直线l的距离为d，则， 由图可知，当，即时，取得最小值， 因为， 所以的最小值为. 故选：A    62．已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果． 【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意得，， 因为，所以， 所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即， 故选：B． 63．若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，利用垂径定理可求得，继而求出圆的半径，写出圆的方程. 【详解】    如图，过点作于，依题意，,因,故， 从而，圆的半径为：, 故所求圆的方程为：，即. 故选：A. 64．若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可化为，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：. 65．如果直线被圆截得的弦长为，那么实数 . 【答案】5或 【分析】先将圆的一般方程化成圆的标准方程，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出. 【详解】由题意知可化为， 可知圆心坐标为，半径， 根据点到直线的距离公式和弦长关系可得 解之可得或. 故答案为：5或 【题型12】圆的切线与切线长问题 66．以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出交点，得到圆心坐标，由点到直线距离得到半径，从而得到圆的方程. 【详解】联立方程组，解得，即所求圆的圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离， 故所求圆的方程为． 故选：A 67．已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心与半径,利用两点间的距离公式求得从而切线长为,计算求解即可. 【详解】圆:,即圆心半径 切线长为 故选:B. 68．已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据长度表示出，然后根据向量的数量积计算公式求解，结合基本不等式求解出的最小值. 【详解】如图， 设，则， 因为， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为， 故选：C. 69．过点作圆的两条切线，切点分别为，则劣弧的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用点到圆心的距离结合切线的几何性质，可得劣弧所对的圆心角，进而可求. 【详解】，即，则圆心，， 则，则中，， 则，则. 故选：A.    70．已知圆与圆的公切线条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 【题型13】 圆与圆的位置关系及应用 71．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到，得到两圆外切. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆，故圆心，半径为， 则， 所以圆与圆的位置关系是外切. 故选：D 72．若圆与圆外切，则（    ） A．9 B．11 C．19 D．21 【答案】A 【分析】先求出两圆圆心和半径，再根据两圆外切可得两圆圆心距等于半径之和，进而列出方程求解即可. 【详解】由圆，则圆心，半径， 由圆，即， 则圆心，，， 所以， 因为两圆外切，则， 即，解得. 故选：A. 73．已知圆的方程为，圆的方程为，若圆与圆外切，则的值为（    ） A．1 B．9 C．10 D．16 【答案】B 【分析】求出两圆的圆心和半径，再由两圆外切列方程可求得结果. 【详解】由，得， 所以圆心，半径， 由，得， 所以圆心，半径， 因为圆与圆外切， 所以，即， 所以，得， 故选：B 74．已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意确定两圆的圆心和半径，利用圆与圆的位置关系建立不等式组，解之即可. 【详解】由题意知，，则， 因为圆与圆有公共点，所以，即， 解得，所以实数a取值范围是. 故答案为：. 【题型14】两圆的公共弦问题 75．已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】圆与圆相减得 ，化简为， 两圆的公共弦所在直线方程为. 故选：B 76．圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的公共弦所在直线，利用圆中半径、半弦长、圆心距之间的关系求弦长. 【详解】两圆方程作差可得：， 即两圆公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到公共弦所在直线距离， 故弦长为. 故选：B 77．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ． 【答案】 【分析】根据两圆的方程作差可得弦所在直线方程，利用圆的几何性质求出弦长即可. 【详解】由题意所在的直线方程为：，即. 将圆转化为标准方程得，即圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 由圆的几何性质可得． 故答案为：. 78．已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程； （2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程. 【详解】（1）解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为． （2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 79．已知圆过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆：相交于两点，求两个圆公共弦的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）通过解方程组求出交点坐标，结合两点间距离公式进行求解即可.. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 所以有； （2）由，或，即， 所以.    【题型15】两圆的公切线问题 80.已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 81．多选题若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（      ） A．1 B．121 C．36 D．126 【答案】AB 【分析】由与圆相内切，结合圆与圆的位置关系，求解即可. 【详解】由圆与圆， 则圆， 可得，且，则， 若圆与圆有且仅有一条公切线，则与圆内切， 则满足，即，解得或， 故选：AB. 82．多选题圆与圆的公切线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据圆心距和半径的关系可判断两圆相交，结合圆的半径相等，可得切线斜率，即可由点到直线的距离公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径， 由题意得，圆与圆的半径之和为，半径之差为0， 因为，所以圆与圆的位置关系为相交． 由题意得，因为圆与圆的半径相等，所以公切线的斜率为2． 设公切线的方程为，即，由，得， 所以公切线的方程为或． 故选：CD 83．多选题与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据圆的公共切线的求法求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ，所以两圆相离， 画出图象如下图所示， 由图可知，直线是两个圆的公切线.所以AD选项正确. 直线即直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由解得，设， 设直线的方程为， 到直线的距离，解得， 所以，C选项正确. 由，解得，设， 设直线的方程为， 到直线的距离，解得， 所以，B选项错误. 故选：ACD    84．已知圆与圆只有一条公切线，则 . 【答案】16 【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意可知两圆相内切，即可得到，从而得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为圆与圆只有一条公切线， 所以两圆相内切，所以，即， 所以. 故答案为： 85．已知圆，圆. (1)求两圆的公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求两圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)和 【分析】（1）联立两圆方程可得公共弦直线方程，求出点到的距离，利用性质在直角三角形中勾股定理求解半弦长即可； （2）由形可知一条公切线为；求出直线与的交点，设另一条公切线的方程为，利用点到此公切线的距离等于半径，解即可得. 【详解】（1）易知圆的圆心，半径为1，圆的圆心，半径为3， 已知圆，圆，即， 两圆方程相减可得公共弦直线方程为， 所以点到的距离为， 所以公共弦长为， 故两圆公共弦直线方程为，公共弦长为； （2）因为圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径为， 由图象可知，有一条公切线为：， 直线与的交点为， 设另一条公切线的方程为，即， 则点到此公切线的距离，解得， 所以另一条公切线的方程为，即 综上，两圆的公切线方程为和． 【题型16】与圆有关的最值问题 86．已知圆：，直线：，若在直线上任取一点作圆的切线，，切点分别为，，则最小时，原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将最小转化为，根据点到直线的距离公式可求得结果. 【详解】由得， 所以圆心，半径， 在中， ， 当最小时，最小，最大，最小，此时， 的最小值为圆心到直线的距离：，此时，， 因为，所以，所以圆心到直线的距离为， 所以两平行直线与之间的距离为， 因为原点到直线的距离为， 所以原点到直线的距离为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：将最小转化为是解题关键. 87．当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先求出直线必过的定点，分析该定点在圆内，结合弦长最短建立方程求解即可. 【详解】将直线的方程变形为，由，可得， 所以，直线经过定点， 圆的标准方程为，圆心为， 因为，即点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短， ，直线的斜率为，所以，，解得． 故选：B． 88．过点的直线与圆交于，两点，则当弦长最短时的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断已知点与圆的位置关系，再结合圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径，记为点，， 即点在圆内，则当时，弦长最短，此时， 所以的面积. 故选：A 89．点在圆：上，，，则最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的几何性质，运用数形结合思想进行求解即可. 【详解】 如图所示，由题意圆：的圆心，半径， 当直线与圆相切时，即为切点时，最小， 此时与轴平行，，. 故选：C 【题型17】圆的轨迹问题 90．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可. 【详解】设，，由中点坐标公式得， 所以，故， 因为A在圆上运动， 所以， 化简得，故B正确. 故选：B 91．由动点向圆引两条切线，切点分别为，若四边形为正方形，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形可得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，求出方程即可. 【详解】因为四边形为正方形，且,所以, 故动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为. 故选：B 92．已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)设为上的一个动点，求中点的的轨迹方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据直线方程可得直线恒过点，再分截距为和不为两种情况，即可求解； （2）设，，根据条件得到，代入即可求解. 【详解】（1）因为直线恒过定点， 若截距为，即直线经过原点，则，此时直线的方程为， 若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，此时直线方程为， 则求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． （2）设，，则，得到，所以， 又点在上，所以，整理得， 故的轨迹方程为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$