期中复习（压轴题50题）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

期中复习（压轴题50题） 一、单选题 1．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结．已知，，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．12 3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（  ） A．47 B．62 C．79 D．98 5．若的三边长a、b、c满足，那么是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 6．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（　　） A．50 B．50 C．100 D．100 7．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 8．如图，在平面直角坐标系中，有一点N自处向右运动1个单位至，然后向上运动2个单位至处，再向左运动3个单位至处，再向下运动4个单位至处，再向右运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：根据这个规律，第2022个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动一个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 11．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． 则下列结论： ①A，B两城相距300千米；                ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 13．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 14．如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 15．A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①乙车出发1.5小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地20km；③甲的速度是40km/h，乙的速度是km/h；④当乙车出发2小时时，两车相距13km．其中正确的结论是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 16．正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 17．把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 18．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm． 19．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ． 20．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．    21．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 22．如图，在中，，，，点D为边的中点，点P为边上任意一点，若将沿折叠得，若点E在的中位线上，则的长度为 ． 23．如图，已知中，，，，点是的中点，给出以下结论： ①图中只有两对全等三角形； ②， ③， ④， ⑤的最小值为， ⑥， 当在内绕顶点旋转时（点不与、重合）上述结论始终正确的有 （填序号）．    24．a，b为有理数，且，则 ． 25．已知的小数部分是，的小数部分是，则 ． 26．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中点，，．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到，点在正方形的内部或边上，则称点P为正方形的“和谐点”，若在直线上存在点Q，使得点Q是正方形的“和谐点”，则k的取值范围是 ．​ 27．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：yx与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是 ． 28．如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，，P为直线上一点，将线段绕点C顺时针旋转得，则线段的最小值为 ．    29．在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，已知经过点的直线将矩形分成的两部分面积比为时，则的值为 ． 30．如图①，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．如图②，若把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为 cm；如图③，若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为ycm，则y与x之间的关系式是 ． 三、解答题 31．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G． （1）求证：； （2）求证： （3）若，求的面积． 32．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°． （1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长． 图1                              图2                            图3 33．【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，求长． 34．细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)_____； (2)用含（是正整数）的等式表示上述面积变化规律：_____，_____； (3)若一个三角形的面积是，则它是第______个三角形； (4)求出的值． 35．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 36．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 37．阅读下列解题过程： ＝＝-1； ＝＝-； ＝＝-＝2-； … 解答下列各题： （1）＝　　； （2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　． （3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）． 38．如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．    (1)直接写出点的坐标，和位置关系是　 　； (2)如图（1）当分别在线段上时，连接，，使，求出点的坐标； (3)在的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 39．如图，长方形中，点A，C在坐标轴上，其中A点的坐标是，C点的坐标是且满足，点P在y轴上运动（不与点O，C重合） (1)______，______，B点的坐标为______． (2)点P在y轴上运动的过程中，是否存在三角形的面积是长方形面积的，若存在，请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． (3)点P在y轴上运动的过程中，与、之间有怎样的数量关系，请直接写出． 40．为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． (1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 41．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 42．【探索发现】 如图1，在等腰直角三角形中，，若点C在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限，如图2． ①直接填写：　　，　　； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，若，点C的坐标为．设点P，Q分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标．    43．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图： (1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ． (2)慢车出发多少小时候，两车相距200km． 44．要从甲、乙两仓库向，两工地运送水泥．已知甲、乙两个仓库分别可运出吨和吨水泥；，两工地分别需要水泥吨和吨．从两仓库运往，两工地的运费单价如下表： 工地(元吨) 工地(元吨) 甲仓库 乙仓库 (1)设甲仓库运往工地水泥吨，求总运费关于的函数表达式及自变量的取值范围． (2)当甲仓库运往工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？ (3)若甲仓库运往工地的运费下降了元吨 ，则最省的总运费为多少元？ 45．如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点． （1）直线AB的解析式为　 　； （2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标； （3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长． 46．如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、（，）．    (1)求的值和点的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标； (3)将直线绕点旋转得到，求的函数表达式． 47．为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 48．如图，已知直线经过，两点． （1）求直线的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上 ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．    49．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　 　； ②点C的坐标是 ； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 50．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点D．直线交x轴于点，点P为直线上的动点． (1)求直线的关系式； (2)连接，当线段时，直线上有一点动M，x轴上有一动点N，直接写出周长的最小值； (3)若，直接写出点P的纵坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（压轴题50题） 一、单选题 1．如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将沿着向左平移使与重合，得到，根据动点最值问题“将军饮马”模型，作关于的对称点，连接，此时的最小值为线段长，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：将沿着向左平移使与重合，得到，如图所示：    由平移性质得到， ， 作关于的对称点，连接，如图所示：   由对称性得到， ， 由图可知，，此时，当三点共线时，有最小值，为线段长， ， ， 在长方形中，，，由矩形性质可得， ， 是的中点， ， 与关于的对称， ， 在长方形中，， 在中，，，，由勾股定理得到， 的最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及平移性质、对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型题型的识别及做题方法步骤是解决问题的关键． 2．如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结．已知，，则的面积为（    ） A． B． C．24 D．12 【答案】D 【分析】连接，设交于点，交于点，证明 ，进而证明，根据勾股定理得出，，过点作于点，勾股定理求得，根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 连接，设交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ 即， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， ∴ ∴     又∵， ∴ 又∵， 解得：，， ， 过点作于点， 设 ∴ 即， 解得： ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 3．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可． 【详解】设中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求解． 4．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（  ） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值. 【详解】解：由题可得：…… 当 故选：C 【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键. 5．若的三边长a、b、c满足，那么是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可． 【详解】解：， 移项得，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长． 6．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（　　） A．50 B．50 C．100 D．100 【答案】B 【分析】根据题意过D作DN⊥BF于N，连接DI，进而结合全等三角形的判定与性质得出S1+S2+S3+S4+S5＝Rt△ABC的面积×4进行分析计算即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10， ∴BC＝AB＝5，AC＝＝5， 过D作DN⊥BF于N，连接DI， 在△ACB和△BND中， ， ∴△ACB≌△BND（AAS）， 同理，Rt△MND≌Rt△OCB， ∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC， ∴EM＝DO， ∴DN＝BC＝CI， ∵DN∥CI， ∴四边形DNCI是平行四边形， ∵∠NCI＝90°， ∴四边形DNCI是矩形， ∴∠DIC＝90°， ∴D、I、H三点共线， ∵∠F＝∠DIO＝90°，∠EMF＝∠DMN＝∠BOC＝∠DOI， ∴△FME≌△DOI（AAS）， ∵图中S2＝SRt△DOI，S△BOC＝S△MND， ∴S2+S4＝SRt△ABC．S3＝S△ABC， 在Rt△AGE和Rt△ABC中， ， ∴Rt△AGE≌Rt△ACB（HL）， 同理，Rt△DNB≌Rt△BHD， ∴S1+S2+S3+S4+S5 ＝S1+S3+（S2+S4）+S5 ＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积 ＝Rt△ABC的面积×4 ＝5×5÷2×4 ＝50． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． 7．在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为2﹣6，则较小的正方形面积为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为2﹣6， ∴一个空白长方形面积=， ∵大正方形面积为12，重叠部分面积为3， ∴大正方形边长=，重叠部分边长=， ∴空白部分的长=， 设空白部分宽为x，可得：，解得：x=， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+阴影部分边长=， ∴小正方形面积==10， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，有一点N自处向右运动1个单位至，然后向上运动2个单位至处，再向左运动3个单位至处，再向下运动4个单位至处，再向右运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意得，点向右运动个单位至点， 向上运动个单位至点 ，， 向左运动个单位至点 ，， 向下运动个单位至点 ，， 向右运动个单位至点 ，， 向上运动个单使至点 ，， 向左运动个单位至点 ，， 综上所述，每四个点在四个象限循环， 点在第二象限，横坐标为负，纵坐标为正， 第一象限的点的坐标分别为 ， ， 第二象限的为点向左运动个单位至，即 ， ， 即 故选：C 【点睛】本题考查了点的坐标规律，是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：根据这个规律，第2022个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右下角的点横坐标n的平方，且横坐标n为奇数时最后一个点在x轴上，n为偶数时，最后一个点坐标为（1，n-1),求出与2022最接近的平方数为2025，然后根据上述规律写出第2022个点的坐标即可． 【详解】解：由图形可知，图中各点分别组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右下角点横坐标的平方，且当正方形最右下角点的横坐标为奇数时，这个点可以看做按照运动方向到达x轴，当正方形最右下角点的横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴， ∵452=2025， ∴第2025个点在x轴上坐标为（45，0）， 则第2022个点坐标为（45，3）， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键，解答时除了注意点坐标的变化外，还要注意点的运动方向． 10．如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动一个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依次规律跳动下去，点A第2024次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的坐标规律问题，设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可得出点的坐标，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”是解题的关键． 【详解】设第n次跳动至点， 观察，发现：，，，，，，，，，，…， ∴，，，（n为自然数）． ∵， ∴，即， 故选：B． 11．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． 则下列结论： ①A，B两城相距300千米；                ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，确定甲，乙的函数解析式，求交点坐标；分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出发，乙出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可． 【详解】∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离， ∴①正确； ∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时， ∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ∴②正确； 设， ∴300=5m， 解得m=60， ∴； 设， ∴ 解得， ∴； ∴ 解得t=2.5， ∴2.5-1=1.5， ∴乙车出发后1.5小时追上甲车； ∴③错误； 当乙未出发时，， 解得t=； 当乙出发，且在甲后面时，， 解得t=； 当乙出发，且在甲前面时，， 解得t=； 当乙到大目的地，甲自己行走时，， 解得t=； ∴④错误； 故选B． 【点睛】本题考查了函数的图像，一次函数的解析式确定，交点的意义，熟练掌握待定系数法，准确捕获图像信息是解题的关键． 12．如图，已知直线a：，直线b：和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，…，按此作法进行下去，则点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，写出前几个坐标的横坐标，推导一般性规律为：的横坐标为，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，，，，，， ∴的横坐标为， 的横坐标为 ， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， …… ∴可推导一般性规律为：的横坐标为， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， ∴的横坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了点坐标的规律探究，一次函数等知识．解题的关键在于根据题意推导一般规律． 13．在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围. 【详解】∵， ∴当y=0时，x=；当x=0时，y=2t+2， ∴直线与x轴的交点坐标为（，0），与y轴的交点坐标为（0，2t+2）， ∵t>0， ∴2t+2>2， 当t=时，2t+2=3，此时=-6，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1， 当t=2时，2t+2=6，此时=-3，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2， 当t=1时，2t+2=4，=-4，由图象知：直线（）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3， ∴且， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键. 14．如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点G，根据，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线的解析式为：，把，代入，求出解析式，根据点C在平移的直线，即可得解． 【详解】解：过点B作轴于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点； 设直线的解析式为：， ∴， 解得， ∴； 设向右平移n个单位长度得到， ∴直线的解析式为：， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴向右平移个单位长度得到， ∴点， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标系下的平移，掌握函数平移的性质，勾股定理的运用是解题的关键． 15．A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①乙车出发1.5小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地20km；③甲的速度是40km/h，乙的速度是km/h；④当乙车出发2小时时，两车相距13km．其中正确的结论是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 乙车出发1.5小时后甲已经出发一段时间，故①错误； 两人相遇时，他们离开A地20km，故②正确； 甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），乙的速度是40÷3＝（km/h），故③正确； 当乙车出发2小时时，两车相距：[20＋40×（2﹣1.5）]﹣×2＝（km），故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出点的坐标，并根据有理数的乘方运算找出规律，由此即可求解． 【详解】解：∵点，，，…在直线， ∴当时，，即的纵坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴当时，，，即的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，则纵坐标为， ∴，则 ∵是正方形是正方形， ∴，则， ∴， ∴当时，，，则的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， 同理，，的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象与结合图形的综合的规律题，理解图示，掌握一次函数图像，正方形的性质确定点的坐标是解题的关键． 17．把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移特征：向上平移个单位后可得：，再根据与直线的交点，组成方程组，解关于x，y的方程，得到x,y关于m的代数式，二象项的点横坐标小于0.纵坐标大于0,组成不等式组，即可得到答案. 【详解】解：直线向上平移个单位后可得：， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为，， 交点在第二象限， ， 解得：． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于0． 二、填空题 18．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm． 【答案】17 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 19．如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为 ． 【答案】3或6 【分析】分两种情况分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝45′，得DE＝AD＝6； （2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D，AD′＝AD，DE＝D′E，得A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得AC＝10，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，根据勾股定理得，D′E2＋D′C2＝EC2，代入相关的值，计算即可． 【详解】解：当∠CED′＝90°时，如图（1）， ∵∠CED′＝90°， 根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝×90°＝45°， ∵∠D＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AD＝6； （2）当∠ED′A＝90°时，如图（2）， 根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E为直角三角形， 即∠CD′E＝90°， ∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°， ∴A、D′、C在同一直线上， 根据勾股定理得， ∴CD′＝10−6＝4， 设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x， 在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2， 即x2＋16＝(8−x)2， 解得x＝3， 即DE＝3； 综上所述：DE的长为3或6； 故答案为：3或6． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键． 20．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．    【答案】5 【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】展开图如图所示：    由题意，在Rt△APQ中，PD=10cm，DQ=5cm， ∴蚂蚁爬行的最短路径长=PQ==5（cm）， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 21．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，这时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，根据“两点之间线段最短”可知的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，根据勾股定理即可求出的值． 本题考查了求圆柱体表面上两点之间的最短距离．将几何体展开成平面图形，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】如图， 将杯子侧面展开，作A点关于的对称点，连接，则的长即为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离， 延长，过点作于D点， 则，，， 由题意得，， 由勾股定理得． 故答案为：． 22．如图，在中，，，，点D为边的中点，点P为边上任意一点，若将沿折叠得，若点E在的中位线上，则的长度为 ． 【答案】或3． 【分析】分别画三角形的三条中位线，根据题意点E只能落和上，分别画出图形，进行分析，利用折叠的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：在中，，，， ①如图，设边中点为M，连接， ，， 当E在上时， 由折叠可知，，，， ， 在中， 即： 解得： ②如图，设边的中点为N，连接， 当E点落在上时， ，， 由折叠可知， ， 四边形是正方形 ③如图，设、中点分别为M、N，作射线， ， 点D到的距离为 由折叠可知， 故E点不可能落在上, 综上所述， 故答案为：或3． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，能够分类讨论并画出适合的图形是解题的关键． 23．如图，已知中，，，，点是的中点，给出以下结论： ①图中只有两对全等三角形； ②， ③， ④， ⑤的最小值为， ⑥， 当在内绕顶点旋转时（点不与、重合）上述结论始终正确的有 （填序号）．    【答案】②③④⑥ 【分析】根据全等三角形的判定定理得到≌，≌，≌，再利用全等三角形的性质得到题中的边角关系，即可得到相关结论． 【详解】 ，， ， 点是的中点， ， ， ， ，， 在和中， ， ≌ ， ≌，≌，①错误； ≌， ，②正确； ≌， ，④正确； ≌， ，又， 是等腰直角三角形， 则， 当时，取最小值，最小值,⑤错误； 当取最小值时，取最小值， 的最小值为， ，， ， ，③正确； ，， ， ， ，⑥正确； 故答案为：②③④⑥． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24．a，b为有理数，且，则 ． 【答案】2 【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即，且a，b为有理数，求出，进而得到． 【详解】解： a，b为有理数 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形． 25．已知的小数部分是，的小数部分是，则 ． 【答案】1 【分析】根据4＜7＜9可得，2＜＜3，从而有7＜5+＜8，由此可得出5+的整数部分是7，小数部分a用5+减去其整数部分即可，同理可得b的值，再将a，b的值代入所求式子即可得出结果． 【详解】解：∵4＜7＜9， ∴2＜＜3，∴-3＜-＜-2， ∴7＜5+＜8，2＜5-＜3， ∴5+的整数部分是7，5-的整数部分为2， ∴a=5+-7=-2，b=5--2=3-， ∴12019=1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出各数的小数部分是解题关键． 26．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中点，，．给出如下定义：若点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到，点在正方形的内部或边上，则称点P为正方形的“和谐点”，若在直线上存在点Q，使得点Q是正方形的“和谐点”，则k的取值范围是 ．​ 【答案】或 【分析】由在直线上存在点，使得点是正方形的“和谐点”，可知在直线上，求得直线经过点和时的的值，即可求得的取值范围． 【详解】解：直线向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到， 把代入得，解得， 把代入得，解得， 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化平移，能够理解题意是解题的关键． 27．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：yx与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】先根据解析式求得B的坐标，即可求得AB＝1，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为，进而得到An的纵坐标为，据此可得点A2020的纵坐标． 【详解】∵直线l：yx与x轴交于点B， 令y=0，即yx=0，解得：x=−1 ∴B（﹣1，0）， ∴OB＝1， ∵A（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∴AB＝1， ∵△ABA1是等边三角形，过A1点作于 ，如图所示， 则，， ∴， ∴A1（，）， ∵∥AB， ∴把y代入yx，求得x， ∴B1（，）， ∴A1B1＝2， 过A2点作于 ， ∵△是等边三角形 则是的中点，且 ∴C2点的横坐标为：， ∵， ∴A2（，），即A2（，）， ∵A3B3∥AB， ∴把y代入yx，得x， ∴B2（，）， ∴A2B2＝4， 过A3点作于 ， ∵△是等边三角形， 则是的中点，且 ∴C3点的横坐标为：， ∵， ∴A3（，）， 即A3（ ，）， 一般地，An的纵坐标为， ∴点A2020的纵坐标是， 故答案为． 【点睛】本题是规律探索题，考查了一次函数的图象，等边三角形的性质，从特殊出发得到一般性结论是本题的关键． 28．如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，，P为直线上一点，将线段绕点C顺时针旋转得，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，过作轴于，过作轴于，设，证明，可得，，则，证明在直线上运动，记直线与x轴的交点为，与y轴的交点为N，连接，当时，最短，再利用等面积法可得答案． 【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，设，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 令，则， 即在直线上运动，记直线与x轴的交点为，与y轴的交点为N， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， 连接， ∴， 当时，最短， ∴， ∴； 即的最小值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，确定即在直线上运动是解本题的关键． 29．在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点分别作轴于点，轴于点，已知经过点的直线将矩形分成的两部分面积比为时，则的值为 ． 【答案】或 【分析】将点代入得，得，设直线与轴交于，与交于，分两种情况画图讨论：①当时，②当时；当直线过时，可以验证此时将矩形分成的两部分面积比为． 【详解】解：将点代入直线，得， ， 直线， 当直线与线段、相交时，如图，设直线与轴交于，与交于， 则，， ，， 直线将矩形分成的两部分面积比为， ①当时，则， ， 解得； ②当时，， ， 解得（此时直线与边无交点，舍去）， 当直线过点时，如图： 由、可得直线解析式为， 令得， ， ，， ，此时， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、两点间距离公式、梯形面积等知识，解题的关键是分类讨论． 30．如图①，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．如图②，若把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为 cm；如图③，若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为ycm，则y与x之间的关系式是 ． 【答案】 14 y＝6x+2． 【分析】根据题意和图形可以分别求得把2个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度和把x个这样的圆环扣在一起并拉紧的长度. 【详解】解：由题意可得，把2个这样的圆环扣在一起并拉紧，则其长度为：8+（8-1-1）=14cm，把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为y与x之间的关系式是：y=8+（8-1-1）（x-1）=6x+2，故答案为14，y=6x+2. 【点睛】本题考查函数关系式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答. 三、解答题 31．如图，点C为线段上一点，都是等边三角形，与交于点与相交于点G． （1）求证：； （2）求证： （3）若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据SAS即可证明△BCE≌△ACD； （2）由△ACD≌△BCE可得∠CBG=∠CAF，从而利用ASA可证明△ACF≌△BCG； （3）求出CG=CF=4，过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N，求出GM，FN，根据S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF可求出答案． 【详解】解：（1）证明：∵△ABC，△CDE是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE， 即∠BCE=∠DCA， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． （2）由（1）得△ACD≌△BCE， ∴∠CBG=∠CAF， 又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC， 在△ACF和△BCG中， ， ∴△ACF≌△BCG（ASA）； （3）∵△ACF≌△BCG， ∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8， ∴CG=CF=4， 过G作GM⊥BD于M，过点F作FN⊥BD于N， 又∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴GM=CG=，FN=CF=， ∴S△ACD=S△ACF+S△CDF =S△BCG+S△CDF =BC•GM+CD•FN =（BC+CD） =BD =． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质得出CG=CF是解答此题的关键． 32．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°． （1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长． 图1                              图2                            图3 【答案】（1），理由见解析；（2）13；（3） 【分析】（1）证明即可得； （2）方法同（1）证明，从而 ，最后由勾股定理即可求得 （3）根据（1）（2）的方法作点关于对称点则，连接，证明=，通过证明 得，在 中用勾股定理求得的长． 【详解】（1）如图 △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° (SAS) ． （2）如图 △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° , (SAS) ， 在中， ． （3）如图：作点关于对称点，连接 则,， 又 在与中 （AAS） 在 中 =， ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键． 33．【知识感知】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)【性质探究】如图1，试探索垂美四边形两组对边与之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，求长． 【答案】(1)是，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【详解】（1）如图2，四边形是垂美四边形． 证明：连接交于点E， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂美四边形； （2）猜想结论． 如图1，已知四边形中，∵， ∴， 由勾股定理得，， ， ∴； （3）如图3，连接， ∵， ∴，即， 在B和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 34．细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题． ，， ，， ，， …… (1)_____； (2)用含（是正整数）的等式表示上述面积变化规律：_____，_____； (3)若一个三角形的面积是，则它是第______个三角形； (4)求出的值． 【答案】(1) (2)； (3)20 (4) 【分析】（1）观察上述结论，可以发现，再开方即可求解； （2）观察上述结论，可以发现，即可求解； （3）根据，即可求解； （4）的值就是把面积的平方相加即可． 【详解】（1）， ∴， 故答案为： （2）∵，， ∴（是正整数） 故答案为：； （3）∵， ∴， 故答案为：20 （4） 【点睛】根据考查了勾股定理、算术平方根．解题的关键是观察，观察题中给出的结论，由此结论找出规律进行计算． 35．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值； （2）将（1）中的值代入，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ， ； ，即 的整数部分是3， ， 解得 故答案为：，， （2）把代入， 3的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的概念和平方根的性质，解题关键是一个正数的两个不同的平方根的和为0；一个数算术平方根的整数部分的确定方法：找到与被开方数最接近的两个平方数，较小的这个平方数的算术平方根即是它的整数部分；易错点是一个正数的算术平方根只有一个，它的平方根有两个，且一正一负． 36．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为.从而达到化去一层根号的目的． 例如化简，且， . (1)填上适当的数：＝______． (2)能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)正整数的最小值是10，最大值是25； (3)． 【分析】（1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将写成，将写成，或，或，或分别求出，，，，即可得出正整数的最小值和最大值． 【详解】（1） 故答案为：， （2） ， ，或，或， 或． ∴正整数的最小值是10，最大值是25． （3） 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 37．阅读下列解题过程： ＝＝-1； ＝＝-； ＝＝-＝2-； … 解答下列各题： （1）＝　　； （2）观察下面的解题过程，请直接写出式子＝　　． （3）利用这一规律计算：（+…+）×（+1）． 【答案】（1）；（2）；（3）2020 【分析】（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案； （2）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式和二次根式的性质计算，即可得到答案； （3）根据（1）和（2）的结论，先分母有理化，经加减运算后，再利用平方差公式计算，即可得到答案． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ 故答案为：； （2） 故答案为：； （3）（+…+）×（+1） ＝（+…+）×（+1） ＝（）×（+1） ＝ ＝2020． 【点睛】本题考查了二次根式和数字规律的知识：解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算、数字规律、平方差公式的性质，从而完成求解． 38．如图，在平面直角坐标系中，点，且满足，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．    (1)直接写出点的坐标，和位置关系是　 　； (2)如图（1）当分别在线段上时，连接，，使，求出点的坐标； (3)在的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)，平行 (2) (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出，得到点的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）过点作于，根据三角形的面积公式求出，得到点的坐标； （3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ，，， 的纵坐标相同，点在轴上， ， 故答案为：平行； （2）：过点作于，     ， 设时间经过秒，， 则，，，， ，， ， ， 解得，， ， ， 点在上， 点的坐标为； （3）解：或， 理由如下： 当点在点的上方，过点作，   ，， ， ， ， ， ， 即； ②当点在点的下方时，过点作，   ，， ， ， ， ， ， 即， 综上所述，或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 39．如图，长方形中，点A，C在坐标轴上，其中A点的坐标是，C点的坐标是且满足，点P在y轴上运动（不与点O，C重合） (1)______，______，B点的坐标为______． (2)点P在y轴上运动的过程中，是否存在三角形的面积是长方形面积的，若存在，请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． (3)点P在y轴上运动的过程中，与、之间有怎样的数量关系，请直接写出． 【答案】(1)2，3， (2)存在，点P的坐标是 (3)当点P在点C上方时，；当点P在点之间时，；当点P在点下方时，； 【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性直接计算即可得到答案； （2）根据（1）可得，，设点，根据面积关系列式求解即可得到答案； （3）过P作，分点在上方，的下方，之间三类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， 故答案为：2，3，； （2）解：假设存在，由（1）得， ，， ∴， 设点， ∴， ∵三角形的面积是长方形面积的， ∴，解得：， ∴假设成立存在点P使三角形的面积是长方形面积的： ，； （3）解：过P作， ①当点在之间时，如图所示， ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当点在的下方时，如图所示， ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ③当点在上方时，如图所示， ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查根据平行线的性质与判定探究角度关系，绝对值与算术平方根非负性及坐标系中动点围城三角形面积问题，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0它们分别等于0，探究角度关系注意分类讨论，面积问题注意点到坐标轴的距离与坐标关系． 40．为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． (1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 【答案】(1)． (2)；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． (3)的最大值为． 【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论； （3）根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于15000，可得出的取值范围． 【详解】（1）当时，设，根据题意可得，， 解得， ； 当时，设， 根据题意可得，， 解得， ． ． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ， 当时，， ， 当时，的最大值为； 当时，， ， 当时，的最大值为（元， 综上，；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． （3）根据题意可知，降价后，， 当时，取得最大值， ，解得． 的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式． 41．某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装件，两种服装全部售完，商场获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元? (3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠元的价格进行优惠促销活动，乙种服装每件进价减少元，售价不变，且，若最大利润为4000元，求的值． 【答案】(1) (2)当时取最大值4500元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键． （1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式． （2）先求解自变量x的取值范围，再根据一次函数增减性求最值． （3）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，建立关于a，b的方程组求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得：， ∴， ∵中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，(元)． （3）解：∵， ∴， 由题意得： ． ∵， ∴当时，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴，符合题意． 当时，， 不合题意． 当时，， y随x的增大而减小． ∴当时，， ∴，不合题意，舍去． 综上，． 42．【探索发现】 如图1，在等腰直角三角形中，，若点C在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限，如图2． ①直接填写：　　，　　； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，若，点C的坐标为．设点P，Q分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标．    【答案】（1）①2，3；②点E的坐标为； （2）是定值，详见解析； （3）点Q的坐标为（）或（4，）． 【分析】（1）①已知，代入可直接写出解析式，分别令，，即可求解； ②过点作轴垂线，运用全等三角形的性质证明边长相等，即可求得点坐标． （2）过点N作轴垂线，运用全等三角形的性质表示出点坐标，再用三角形边长表示出三角形面积，即可判断． （3）分两种情况，当点在点左边时过点作轴于，过点作于，证明．由全等三角形的性质证明边长相等，表示出点Q的坐标；当点在点右边时，同理用全等三角形的性质证明边长相等，可得点的坐标，将点Q的坐标代入直线解析式，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，则直线， 令时，y＝3， 令时，， ∴， 即， 故答案为：2，3． ②过点作于点D，    ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴（全等三角形的对应边相等） ∴ ∴点E的坐标为． （2）当k变化时，的面积是定值，理由如下： 过点N作轴于点M，    ∵ ∴ ∴， ∴k变化时，的面积是定值，且定值为． （3）①当点在点左边时，过点P作轴于S，过点Q作于T， 设，，，   （等角的余角相等） ∵ ∴， ∴， ∴点， 将点Q的坐标代入 解得． ∴点Q的坐标为； ②当点在点右边时，同理过点P作轴于S，过点Q作于T，    可证 ∴，， ∴， 则点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入 解得， ∴点Q的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、动点求面积问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形及利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 43．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图： (1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 ． (2)慢车出发多少小时候，两车相距200km． 【答案】（1）100，（8,480）；（2）1.75h和4.875h． 【分析】（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km， 0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶，进而求出慢车速度，然后再求出快车的速度；A、B段为快车已维修好，两车共同行驶且快车在B点到站，BC段仅为慢车行驶；则可求出B点坐标，进而求出C点的横坐标即可解答； （2）分快车出现故障前和故障后两种情况解答即可． 【详解】解：（1）由图像可知，甲乙两地的距离为480km 在0-3小时快车和慢车一起行驶了3小时，3-4小时快车出现故障停止前行、仅有慢车行驶 则慢车速度为=60km/h 设快车速度为v，则有：（v+60）×3=480，解得v=100km/h ∴B点的横坐标为+1=5.8，从坐标为60+（60+100）×（5.8-4）=348，即B（5.8,348） ∴慢车行驶时间为h， ∴C点的横坐标为8 ∴C点的坐标为（8,480）； （2）在快车出现故障前，两车相距200km 所用时间为：（480-200）÷（100+60）=1.75h； 在快车出现故障后，慢车1小时行驶了60km，然后两车共同行驶了200-60=140km 共同行驶时间为140÷（100+60）=0.875h ∴两车相距200km 所用时间为4+0.875=4.875h． 答：两车相距200km 所用时间为1.75h和4.875h． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息和行程问题，从函数图象中获取有用的信息成为解答本题的关键． 44．要从甲、乙两仓库向，两工地运送水泥．已知甲、乙两个仓库分别可运出吨和吨水泥；，两工地分别需要水泥吨和吨．从两仓库运往，两工地的运费单价如下表： 工地(元吨) 工地(元吨) 甲仓库 乙仓库 (1)设甲仓库运往工地水泥吨，求总运费关于的函数表达式及自变量的取值范围． (2)当甲仓库运往工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？ (3)若甲仓库运往工地的运费下降了元吨 ，则最省的总运费为多少元？ 【答案】(1) (2)甲仓库运往工地吨水泥时，总运费最省，最省的总运费是元 (3)甲仓库运往工地的运费下降了元吨，，则最省的总运费为元 【分析】(1)设甲仓库运往A工地水泥x吨，则甲仓库运往B工地水泥吨，乙仓库运往A工地水泥吨，乙仓库运往B工地水泥吨，根据表格列出函数表达式，根据实际情况列出不等式求得的范围； （2）根据一次函数的性质即可求解； （3）若甲仓库运往工地的运费下降了元吨．则 ，根据一次函数的性质结合的范围即可求解． 【详解】（1）设甲仓库运往A工地水泥x吨，则甲仓库运往B工地水泥吨， 乙仓库运往A工地水泥吨，乙仓库运往B工地水泥吨， ∵ ， 由题意可得，， ∴， ∴总运费关于的函数表达式为 （2）∵ ， 随的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 故甲仓库运往工地吨水泥时，总运费最省，最省的总运费是元； （3）若甲仓库运往工地的运费下降了元吨．则 ， 当，即时， ∴当，时，取得最小值为， 当，即时， 此时，随的增大而减小，且越小，随的增大而减小得越多， 当，时， 取得最小值，最小值为， 综上，若甲仓库运往工地的运费下降了元吨，，则最省的总运费为元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 45．如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点． （1）直线AB的解析式为　 　； （2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标； （3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长． 【答案】（1）y＝x+2；（2）点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或4 【分析】（1）先求出点A，点C坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）设点P（m，m+2），分两种情况讨论，利用面积关系列出方程可求m的值，即可求解； （3）分两种情况讨论，由“ASA”可证△AOB≌△COH，可得OH＝OB＝2，可求点H坐标，利用待定系数法可求CH解析式，联立方程组可求点P坐标，由两点距离公式可求解． 【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C， ∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 由题意可得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝x+2， 故答案为：y＝x+2； （2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2）， ∴OA＝OC＝4，OB＝2， ∴BC＝6， 设点P（m，m+2）， 当点P在线段AB上时， ∵S△APC＝S△AOC， ∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4， ∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8， ∴m＝﹣， ∴点P（﹣，）； 当点P在BA的延长线上时， ∵S△APC＝S△AOC， ∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4， ∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8， ∴m＝﹣， ∴点P（﹣，﹣）， 综上所述：点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）； （3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H， 在△AOB和△COH中， ， ∴△AOB≌△COH（ASA）， ∴OH＝OB＝2， ∴点H坐标为（﹣2，0）， 设直线PC解析式y＝ax+c， 由题意可得， 解得：， ∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4， 联立方程组得：， 解得：， ∴点P（﹣，）， ∴， 当点P'在AB延长线上时，设 CP'与x轴交于点H'， 同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4， 联立方程组， ∴点P（4，4）， ∴， 综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 46．如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、（，）．    (1)求的值和点的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标； (3)将直线绕点旋转得到，求的函数表达式． 【答案】(1)，点(，) (2)点的坐标为(， (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，平面直角坐标系，三角形全等的判定及性质，解题的关键是正确利用模型并作出正确的辅助线． （1）由待定系数法即可求解，将点(，)代入解析式中即可求出的值，令解析式的即可求点的坐标； （2）过点作轴交于点，证明，据此即可求解； （3）当直线绕点顺时针旋转得到时，过点作交直线于点，过点作轴交于点，证明，求得，利用待定系数法即可求解，当直线绕点逆时针旋转得到时，同理可得的函数表达式． 【详解】（1）解：将点的坐标代入中得：，解得：， 则该函数的表达式为：， 令，则， 点， 即，点(，)； （2）过点作轴交于点， ，， 由型全等模型可得， ，，则， 点的坐标为(，)； （3）当直线绕点顺时针旋转得到时，过点作交直线于点，过点作轴交于点， ，， ， 由型全等模型可得， 与轴的交点(，)，(，)， ，， (，)， 设直线的解析式为， ， 解得： ， ； 当直线绕点逆时针旋转得到时， 同理可得． 综上所述：直线的解析式为或． 47．为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值． 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 48．如图，已知直线经过，两点． （1）求直线的解析式； （2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转得到CD，此时点D恰好落在直线AB上 ①求点C和点D的坐标； ②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，否则说明理由．    【答案】（1）； （2）①C ，D ；②存在，，或 【分析】（1）由题意根据点A，B的坐标，利用待定系数即可求出直线的解析式； （2）①根据题意过点D作于点E，利用全等三角形的判定先证△BOC≌△CED，可求出DE、OC的长，进而即可得出点C和点D的坐标； ②根据题意设点Q的坐标为（n，- n+3），分CD为边和CD为对角线两种情况考虑：当CD为边时，由C，D的坐标及点P的横坐标可求出n值，进而可得出点Q，Q′的坐标；当CD为对角线时，由C，D的坐标及点P的横坐标，利用平行四边形的对角线互相平分可求出n值，进而可得出点Q″的值． 【详解】解：（1）将，代入得： 解得 直线AB得表达式为． （2）①过点D作于点E，    ，， ．又， ， ，． 设，则点D得坐标为， 点D在直线AB上， ， ， 点C得坐标为，点D得坐标为． ②存在点Q得坐标为，或． 理由如下： 设点Q的坐标为（n，- n+3）． 分两种情况考虑，如图2所示：    当CD为边时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴0-n=4-1或n-0=4-1， ∴n=-3或n=3， ∴点Q的坐标为（3，），点Q′的坐标为（-3，）； 当CD为对角线时， ∵点C的坐标为（1，0），点D的坐标为（4，1），点P的横坐标为0， ∴n+0=1+4， ∴n=5， ∴点Q″的坐标为（5，）． 综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（3，），（-3，）或（5，）． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出直线AB的表达式以及分CD为边和CD为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点Q的坐标． 49．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）    【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　 　； ②点C的坐标是 ； (2)如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①3，6；② (2)的面积是定值，定值为18，理由见解析 (3)2或 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点Q作于E，交于F，分两种情况：当点Q在下方时；当点Q在上方时，分别 求出a值即可． 【详解】（1）解：①若，则直线为， 当时，， ， 当时，， ， ，； ②作于，    ， ， 是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点C的坐标为； （2）解：当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于，如图，    ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ． 变化时，的面积是定值，定值为18． （3）解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，， 过点Q作于E，交于F， 分两种情况：当点Q在下方时，如图，    ∵，， ∴， 由“k型全等”可得， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：； 当点Q在上方时，如图，    同理得： ， ∴， ∵，， ∴，， ∴ 解得：； 综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形， 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，一次函数图象性质，坐标与图形，掌握“k型全等”模型是解题的关键． 50．如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点D．直线交x轴于点，点P为直线上的动点． (1)求直线的关系式； (2)连接，当线段时，直线上有一点动M，x轴上有一动点N，直接写出周长的最小值； (3)若，直接写出点P的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点，设直线的关系式为，把代入，即可求解； （2）设，根据，可得，从而得到， 作P关于x轴的对称点S，连接交x轴于R，延长交直线于K，过K作，取，可得，再由，可得，从而得到，进而得到P，T关于直线对称，连接交于M，交x轴于N，则此时周长的最小，最小值即为的长，即可求解； （3）分两种情况：当P在y轴左侧时，当P在y轴右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：在中，令得：， ∴， 设直线的关系式为，把代入得： ，解得， ∴直线的关系式为； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得（与B重合，舍去）或， ∴， 作P关于x轴的对称点S，连接交x轴于R，延长交直线于K，过K作，取，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴P，T关于直线对称， 连接交于M，交x轴于N，则此时周长的最小，最小值即为的长， 在中，令得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为； （3）解：当P在y轴左侧时，过P作轴于H，在H下方取，连接，若此时，则，如图： ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴P的纵坐标为； 当P在y轴右侧时，过P作轴于F，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴P的纵坐标为， 综上所述，P的纵坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，对称变换等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$