精品解析：广东省茂名市 高州市镇江第一中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期第6周联考 八年级数学试卷 （考试范围：上册1-2.5章，时间：120分钟，满分120分） 一、精心选一选．（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中属于无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 10 D. 13 3. 25的算术平方根( ) A. 只有5 B. 只有-5 C. 有两个，是 D. 是25 4. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A 2，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，10 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 7. 若a和b都是36的平方根，则的值为（ ） A. 36 B. 12 C. D. 0 8. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　　）尺． A. 26 B. 24 C. 13 D. 12 9 有理数，则a等于（ ） A. B. 6 C. 36 D. 10. 在如图所示的平面直角坐标系中，点P是的角平分线上的动点，点对应的数为1，点对应的数为3，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 4 二、耐心填一填．（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________5．（填“”“”或“”） 12. 已知a，b，c是的三边长，且满足，则的形状为____三角形． 13. 64的立方根是_______． 14. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______． 15. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 三、解答题（一）．（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 求满足下列各式的未知数x： （1）； （2）． 17. 荡秋千是孩子们娱乐项目，如图，小明和小红在荡秋千，其中秋千架高2.4米，荡到最低时，秋千座位离地0.4m，小明荡到最高时，座位离地0.8m，此时小红荡出的水平距离是多少？（荡到秋千架两边的最高点之间的距离）其数据图形如图②所示，，． 18. 已知：．求 （1）x、y的值； （2）求的立方根． 四、解答题（二）．（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B处到河岸的距离分别为AC＝400m，BD＝200m，且CD＝800m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？ 20. 在平面直角坐标系中，点、点为轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且． （1）___________；___________． （2）如果在y轴上有一点P，使得的面积等于3，求点P对应的数． 21. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 五、解答题（三），（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：（）， 问题解决：化简：， 解：首先把化，这里，，由于，，即，． ， 模型应用： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用： （3）在中，，，，那么边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简） 23. 【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有 　 　个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期第6周联考 八年级数学试卷 （考试范围：上册1-2.5章，时间：120分钟，满分120分） 一、精心选一选．（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中属于无理数的是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①类，如，等；②开方开不尽的数，如等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0）．根据无理数的定义逐项分析即可． 【详解】A．是分数，属于有理数，故不符合题意； B．3.14是小数，属于有理数，故不符合题意； C．是无理数，故符合题意； D．是整数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 2. 在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 10 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理，计算出斜边长为13． 【详解】解：由勾股定理得，斜边长＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直接代公式就可以求出斜边的长． 3. 25的算术平方根( ) A. 只有5 B. 只有-5 C. 有两个，是 D. 是25 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， 的算术平方根为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，理解定义是解题的关键． 4. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） A. 2，2，3 B. 2，3，4 C. 4，5，6 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、∵，，∴不能组成直角三角形，故A不符合题意； B、∵，，∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、∵，∴，∴不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、∵，∴，∴能构成直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根及平方根，根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. 无意义，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 在中，，，，则的面积为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积公式．勾股定理求出的长，面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴的面积为； 故选：A． 7. 若a和b都是36的平方根，则的值为（ ） A. 36 B. 12 C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根的性质、根据平方根定义，和a，b之间大小关系，确定的值，代入求解即可． 【详解】解：∵a和b都是36的平方根， ∴, ∴， 故选：D． 8. 如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个水池的深度是（　　　）尺． A. 26 B. 24 C. 13 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答． 【详解】解：由题意可知：BC=×10=5（尺） 设水深x尺，则芦苇长（x+1）尺， 由勾股定理得： 解得：x=12， ∴这个水池的深度是12尺． 故选D． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息建立数学模型是解题的关键． 9. 有理数，则a等于（ ） A. B. 6 C. 36 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义求解即可 详解】解：∵ ∴， 故选：D． 10. 在如图所示的平面直角坐标系中，点P是的角平分线上的动点，点对应的数为1，点对应的数为3，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，轴对称的性质，作点关于的角平分线的对称点,连接，交的角平分线于点，此时最小，最小值为的长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示：作点关于的角平分线的对称点,连接，交的角平分线于点， 此时最小，最小值为的长，由题意可得出：， 故选：B． 二、耐心填一填．（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________5．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．根据即可得． 【详解】解：∵， ，即， 故答案为：． 12. 已知a，b，c是的三边长，且满足，则的形状为____三角形． 【答案】等腰直角 【解析】 【分析】根据绝对值和偶次方的性质，可得，由此可得出的形状； 本题考查利用勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，即可作出判断． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角 13. 64的立方根是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可求解. 【详解】解：∵43=64， ∴64的立方根是4， 故答案为：4. 【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义. 14. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，， ∵点C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查实数，勾股定理与数轴的结合．根据直角三角形的勾股定理可知，两直角边已知，求出斜边，再结合数轴，即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为2、1， ∴直角形的斜边长为：， ∴点A所表示的数a的值为：． 故答案为：． 三、解答题（一）．（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 16. 求满足下列各式的未知数x： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了平方根的定义，根据平方根的定义求解即可．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．正数有两个平方根，且互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． （1）根据平方根的定义求解即可． （2）根据平方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴； 【小问2详解】 解： ∴． 17. 荡秋千是孩子们娱乐项目，如图，小明和小红在荡秋千，其中秋千架高2.4米，荡到最低时，秋千座位离地0.4m，小明荡到最高时，座位离地0.8m，此时小红荡出的水平距离是多少？（荡到秋千架两边的最高点之间的距离）其数据图形如图②所示，，． 【答案】小红荡出的水平距离是 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，得到，，利用勾股定理求出的长即可．正确的识图，掌握勾股定理，是解题的关键． 【详解】解：由题意，和图可知：，，， 由勾股定理，得：， ∴小红荡出的水平距离是． 18. 已知：．求 （1）x、y的值； （2）求的立方根． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）运用算术平方根、绝对值的非负性构建方程求解； （2）求解代数式值，然后求解立方根． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：， 立方根为 【点睛】本题考查算术平方根、绝对值的非负性，立方根；理解算术平方根、绝对值的非负性是解题的关键． 四、解答题（二）．（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B处到河岸的距离分别为AC＝400m，BD＝200m，且CD＝800m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？最短路程是多少？ 【答案】见解析 【解析】 【详解】如图所示，作点A关于直线CD的对称点G，连接GB交CD于点E，由“两点之间线段最短”可以知道在E处饮水后再回家，所走路程最短．说明如下： 在直线CD上任意取一异于点E点I，连接AI，AE，BI，GI． ∵点G，A关于直线CD对称，∴AI＝GI，AE＝GE． ∴AI＋BI＝GI＋BI，AE＋BE＝GE＋BE＝GB． 由“两点之间线段最短”或“三角形两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，于是得证． 最短路程为GB的长，过点G作BD的垂线，与BD的延长线交于点H． 在Rt△GHB中， ∵GH＝CD＝800m，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600(m)， ∴由勾股定理得GB2＝GH2＋BH2＝8002＋6002＝1000000． ∴GB＝1000m，即最短路程为1000m． 20. 在平面直角坐标系中，点、点为轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且． （1）___________；___________． （2）如果在y轴上有一点P，使得的面积等于3，求点P对应的数． 【答案】（1）2，3 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了偶次方和算术平方根的非负性以及三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形是解题的关键． （1）根据偶次方和算术平方根的非负性求解即可； （2）设，根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：，， 又， ，， ，； 故答案为：2；3； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， ∴点，， ， 点在轴上， 设点，则， 的面积等于3， ， ， 解得：或， 点对应的数为或． 21. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15m，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17m．牵线放风筝的手到地面的距离为1.8m． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向再上升12m，且长度不变，则他应该再放出多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）9.8米；（2）8米 【解析】 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：（1）由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， （米）． 答：风筝离地面的垂直高度为9.8米； （2）如图，当风筝沿方向再上升12米， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 五、解答题（三），（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. 阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，． 那么便有：（）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里，，由于，，即，． ， 模型应用： 利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用： （3）在中，，，，那么边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 分析】（1）根据完全平方公式变形即可得到答案； （2）根据完全平方公式变形即可得到答案； （3）根据勾股定理进行求解，再根据完全平方公式变形即可得到答案； 【详解】（1），． ，， ，， ． （2）． ，， ，， ，， ． （3）． ， ，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，解题关键是根据已知条件找到根式转变完全平方的规律． 23. 【概念认识】 定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． 【概念运用】 （1）如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，，两点均在格点上，线段上的8个格点中，是，两点的勾股点的有 　 　个． （2）如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． 【拓展提升】 （3）如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当是任意两个顶点的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】（1）4；（2）证明见解析；（3）2，，，8． 【解析】 【分析】（1）根据新定义“勾股点”可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点与，能构成四个直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， 为的中点，， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， 为的中点， ， ． 综上所述，的长为2，，，8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $