河北省承德市承德县第一中学等校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学参考答案、提示及评分细则 1.B由A={0,1,2}和B={xx>0},得A∩B={1,2},所以A∩B的真子集个数为2-1=3.故选B. 2.B由题意得=2-i,所以二=C2,巴-22D1出-2(3，+①=3+i故选B x-i2-2i(1-i)(1+i) 2 3D由题意得a,-r+8+3=2m+1是2n十3)-2n2十3所以S=(分-吉)+（号-号）+…十 2 (分高)}-品-器放选D 4.C由1<<3，得受<受r<经.由an受x=0,得受x=,解得x=2,则A(2,0):由am受r=1,得受x=平，解得 x=号，则B(号1).Oi=(2,0),A店=(3,1，所以osi,A= OA.AB 1OA·AB1 =5,故选C 2×号 5.B取AB的中点O,因为D为BC的中点，所以D0=号Ad-合×8=4，所以Di.D成=(D0+O)·(D0+O成 =Dò+OA)·(D0-OA)=D012-1OA2=42-52=-9.故选B 1-3a<0, 6.C由a={aT,且a)为递减数列.得0<a<1, 解得号<a<受.故选C (5(1-3a)十3>a-5, 7,D令1=x一1，则[-33]，且原函数变为y+1+1十a,令g0=十，易知-=一g0.所以 g(1)为[一3,3]上的奇函数，则M=g(t)m十1+a,m=g(t)mm+1十a,所以M+m=g(t)m十g(1)m+2+2a,由奇函数 性质可知g(t)mx十g(t)mm=0,所以M十m=2+2a=6,所以a=2.故选D. 8.A由cos2A+cos2B=2-sinC,可得1-sinA+1-sinB=2-sin(A+B),即sinA十sinB=sin Acos B+cos Asin B, 因为0<A<受，0<B<受，所以当0<A+B<受时，sinA<sin(交-B）=cosB,sinB<cosA,则simA十sinB< sin Acos B+cos Asin B,不符合题意：当号<A十B<r时，cosA<sinB,cosB<sinA,sin Acos B+cos Asin B<sinA 十sirB,不符合题意，所以A+B=受，从而C=受，由S△m=号ubsin C=4,得ab=8,所以△ABC的周长a十b+ √a+≥2√ab+√2ab=42+4,当且仅当a=b=22时取等号.故选A D由题意易求a,=m,所以6”，1十亡当0时，函数)y=1+亡在(-o0,1)和(1，+o∞)上单调递增，所 以数列，}递增，故为其最小项，又当P十时，1十亡，1且1十亡，→1，故6无最大项，故A错误，B正确， 当>0时，y1十亡在(-∞，)和，+o∞)上单调递减，且当x(-∞，)时，1，当x∈(，十o)时，>1，故当 (一∞，1)内存在正整数时，《b.}既有最大项也有最小项，当（一∞，t)内无正整数时，{b,}仅有最大项无最小项，故C、D 均正确.故选PD. 10.AC设x-y=t,则x=y十t,代入x2-4xy十y2=6,整理得2y+2ty十6-=0，由△=(2t)2-8(6-)≥0，解得引t ≥2，即|x-y>≥2，则A正确：6=x2-4xy十y≤x2+y2+2(x2+y)=3(x2+y),即x2+y≥2，则C正确：取x=5, y=19满足x2-4xy+y2=6,此时5-19|=14>12,52+192>12，则B和D错误.综上，故选AC 1l.Af(-x)+f(x)=cos(受-x）-sin(号-x)+(-x）+cosx一sinx+x=受，所以fx的图象关于点 (开，开)对称，故A正确：f(开-x)-牙=cos(牙-x)-sim(开-x）+(开-x）-开=√2sinx一x为奇函数，故 B正确：f)=-血一mx十1=一区n(+晋)+1.则了（受）=0，当音<<受时，音<+<经号< sin(x+）f)<0:当受<<领时，<x+于<，0<m(x+于)<号，f(x)>0,所以受是fx)的极小值 点，故C正确：由x∈(-开，不)，得x+天∈(o,受)又y=一2simx+1在(0，交)上单调递减，所以了(x) -√2sin(x+不)+1在(-平，于)上单调递减，故了(r)在(-牙，开)上无极值，故D错误.放选ABC 12.3x+y十3=0由题意得了()=·e-1=De-1,所以切线斜率k=f(-1D=-3,又f-1D 0,所以曲线y=f(x)在点(-1，f(-1)处的切线方程为y-0=一3(.r+1),即3.x+y+3=0. 【高三10月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 HB 1+1+a 182因为a一a.=4a十1，所以a1=丝所以a=吉g1中2=山，所以a4= I-an I-d+1-Itas 1=a,故 aw+? 1-a 4是{aa)的一个周期，所以a2s=asx+1=a1,又a1=2,所以ags=2. 14.3π如图，设A(0,2),B(π，0)，连接AB交曲线y=cosx+1(0≤x≤π)于点E.根据曲线 y=cosx+1(0≤x≤x)的性质，则A,B关于E(乏，1)对称，曲线y=cOsx十1(0≤x≤x) 关于点E对称，所以可将曲线y=cosx十1(0≤x≤π)与x轴、y轴围成的区域割补为直角 △OAB的区域，于是曲线y=cosx十1(0≤x≤π)与x轴，y轴围成的区域的面积就是直角 △0AB的面积，即Sw=之1OA·OB=之×2×x=x:根据对称性，可得曲线y= 一cosx一1(0≤x≤π)与x,y轴围成的区域的面积也为x,又半圆C1,半圆C2的面积都为 受，故曲线C所围成的心形"区域的面积为x十十受+受=3x 15.)i证明：因为么=02”ar1=2a,+2+1- 所以h1-h=a1n+12-4,-n_2a,十2十1--1-14。-” 2 2 21 2" =a二”+1-a-1=1 .............. …3分 所以{h》是以号为公差的等差数列。… …4分 (②)解：由1)知么)是以号为公差的等差数列，且6=“2 所以么=号+号m一1D=号 …5分 即9。号，所以@。=nX21十， …6分 所以S.=(1×2°+1)+(2×21+2)+(3×22+3)+…+(n×2-1+n) =(1×2°+2×2+3×22+…+n×2-1)+(1+2+3++n), …7分 令T.=1×2+2×2+3×22+…+n×2-1.则 2T.=1×2十2×22+3×2+…十n×2, 两式相减，得-T,=1+2+2+…十21一n×2=二2 1-2 -n×2=(1-n)×2"-1, 所以T。=(7川-1)X2十1，…10分 又1+2+3++n=nm12, 2 12分 所以S=(m-1)X2+号+号+1. …13分 16.解：fx)=sm(受+or)s小m(or+吾）-1=osa(停in)-l 2 …3分 因为f(x)的图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为产， 所以×2万=牙，所以w=1.… …5分 所以fx)=之m(2x+晋）-是， 由-受+2km≤2x+吾≤登+2x(k∈Z),得-吾+≤1≤吾+x(k∈Z), 所以f(x)的单调递增区间为[一琴十kx,晋十标（∈Z).…7分 (2)由题意可知g(x)=sin(2x-), 所以h(x)=2sin(2x-答)-3sin(2x-号）+2m-1. …9分 由题意关于x的方程2m=1-2sim(2x一受)+3sim(2x-吾)在[吾，受]上有解。 因为xe[音]所以2x-吾∈[0.]， 【高三10月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 HB 所以g(x)=sin(2r-于)的值域为[0,1]， 11分 令1=g(x)=sin(2r-吾)1e[0,1门， 则y=-2+3+1=-2(-)'+号的值域为[1，兴】 13分 所以1<2m<号解得号≤m<品 所以m的取值范周为[子，是] 15分 解：C--得smB=a∴smsC-停如CmB-血A 2分 .sin Bcos Csin Csin B=sin(BC)=sin Beos C+cos Bsin …4分 sin Csin B=cos Bsin C. ,sinC≠0，∴. 后nB=cosB.anB=-V3, 6分 又B∈(0，π)B= 3 …7分 (2)因为BD为∠ABC的平分线，B=-子，所以∠ABD=∠CBD- ,…8分 又SAUK=SAwD+SAaD,BD=√3， D 即ac=3(a+c),① 10分 由余弦定理，得份=a+-2aros气，即(a+e0r-ac=36,@ …11分 由①②可得a十c=43(舍去负值)，ac=12. 所以a,c是关于x的方程x2一4v3.x十12=0的两个实根，解得a=c=23. 13分 又因为BD为∠ABC的平分线，所以BD⊥AC, 又AM=MC,AC=6,所以DM=AD-AM=3-2=1,BM=VBD+DM=2, 所以△BDM的周长为3十5。… 15分 18(1)证明a=1时，fx)=ln1-)+r,定义城为(-o,1D, )十x 1分 因为xe(-©，1D所以x-1<0.又2-x+1=(x-号)）'+是>0， 所以(x)<0在（一o∞，1）上恒成立，所以f(x)在（一心，1）上单调递减，…2分 又f(0)=0,所以f(x)只有1个零点.… 3分 2解：/x)的定义减为（合+）小了x)-品+=， 1-a. …4分 令h(x)=-a.zx2+x-a(a<0),则△=1-4a2, 由于a<0. 当△=1-4a2≤0，即a≤-2时，h(r)>≥0.f(x)≥0，所以fx)在（合十∞）上单调递增：…5分 当△=1-4w>0,即一之<a<0时，由k(x)=-ar+a=0,得 1上证∈（会）1+证（日易） 2a 6分 令∫x)>0,即hx)>0,得>1上证或<1+ 2a 2a 令f(x)<0,即hx<0,得l+<r<1二=证 2a 2a …7分 所以)在(+证，上。证)上单调递减，在（日，+区）和（仁证，+）上单调递增。 2a 2a 2a 综上所述：当a≤-时，fx)在（合十∞）上单调递增： 【高三10月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 HB 当-之<a<0时f(x)在（任，1+证），（仁证，十）上单调递增，在(+证，1上证 a' 2a _Za 2a 上单调递减. …9分 （3)证明：若a=-1.则g（x）=f（x)-2r=ln（十1，…10分 1 _>)二2，即证/m++ 1 要证和十十干 ln(.+1)-ln(x+1) (x十1)-(.x2十1) 因为两>≥0，即证鱼+-2》+士少>（仙》， (1+1)(2+1) 12分 设1-名>.则只需证明一2+>加，化简得分十>加， …14分 令p0)=-n>1,则p=5-二D>0在1，十o)上恒成立， 21E 所以g()在(1，十o∞)上单调递增，所以g()>g(1)=0,即己>n,得证. 17分 1区解，设等比数列a,的公比为周价eai十1a= …1分 若g=1.则a1=a2=a=a,又a1十ae十a十a=0,所以a1=a2=ag=a,=0,不合题意；…2分 若-1，由a1十a+a:十a4=0,得42-0，所以g=-1, 1一q …3分 所以|a,|=|ag|=|a|=|a4|, 又a+a+a+a=1.所以4la=1,所以a=子或ai=- 4 …4分 所以数列a为分士子该-子子 …5分 (2)设{an》的公差为d,因为(an3为“2k-1阶0-1数列”. 所以a,十a+as十…+a1=0,所以2张-1Da十ag2-(2k-1Da4=0, 2 所以4=0，所以+1=d…6分 则a,=0,所以|a=0,与空14=1矛盾：… 若dD0,因为空a,=0,所以a:十ae十…十a-1=-（a+1十a+:十…十a-1) …8分 又la=1.所以a+aa+…+aa1=号，即(k-11+--224= 2 所以d=k(k-D' …9分 因为a=0,即a1十(k-1)d-0.所以1=-名， 所以a,=-+(m-1）‘D即a.-2D（n∈Nm2k-1D… 1 10分 同理可求当dK0时，a,=k(k产1十kn∈N,m≤2k-1. 综上所述.当D0时a,一(”Dkn∈N,≤2-1)， 当d0时，aC千n∈Nn≤2h1).…… (3)记a,a,…,a,中非负项的和为A,负项的和为B,由{an)是“n阶0-1数列”，得A十B=0,A一B=1, 所以A=立B=-合 …12分 所以-3=B<S<A=2即1S≤2(k=1,23,n 若存在m∈(12,3…，n,使S=2可知： a≥0aw>0…,a>0a1<0.ae<0am,<0.且a1tatt叶a,=-t 所以1≤k≤m时，a≥0，S≥0：m十1≤k≤n时，a<0,S≥Sn=0, 所以|S|+|S|+|S|+…+|Sm|=S十S+S十…+S,… 16分 又S十S+S+…+S。=0与|S|+|S|+|S|十…+|S|=1不能同时成立， 所以数列(S.》不是“n阶0-1数列”。………… 17分 【高三10月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 HB... 高三数学 考生注意: 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水答字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围:集合与常用逻辑用语,不等式,函数,导数,三角函数,三角恒等变换,解三角形,平 面向量,复数,数列。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A-(0,1,2),B-(xx0),则A0B的真子集个数为 C.4 B3 A.2 D.5 2.已知复数x在复平面内对应的点为(2.-1),则 A.1i C.1-i B.3+i D.3-i 3.已知数列{a.),(b.)满足a.b.-2.b.一4r*+8n十3,则数列(a.)的前30项和S A B D 4.若曲线y-tanx(1<x<3)与x轴,直线y-1的交点分别为A.B.O为坐标原点,则向量OA与AB夹 角的余弦值为 A C B2 D23} 5.已知AB-10,C是以AB为直径的圆上一点,AC-8,D为BC的中点,则DA·DB- B.一9 A.-10 C-8 D.-7 ((1-3a)n十3,n5. 6.已知数列(a.)满足a.= la“-,5. 若(a.)为递减数列,则实数a的取值范围为 A.(1,] B.(1,) C.(,) D.(1,] 【高三10月质量检测·数学 第1页(共4页)】 HB M+m-6,则a- A.6 B4 C3 D.2 8.在△ABC中,角A.B为锐角,△ABC的面积为4.且cos*A十cos^{B-2-sinC.则△ABC周长的最小 值为 A.4/2十4 B.4/2-4 C.2v2十2 D.2/2-2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 A.存在t0,使得/6)既有最小项也有最大项 B.存在t0,使得(b.仅有最小项无最大项 C.存在t0,使得(6.)既有最小项也有最大项 D.存在0,使得(6.)无最小项有最大项 10.若实数x,y满足-*一4xy十*-6,则 A.x-yl二2 B!x-yl<12 C.2+y*>2 D.x2+<12 11.已知函数f(x)-cosx一sinx十x,则 A.f(x)的图象关于点()对称 B./(-x十)一为奇函数 C.吾是/(x)的极小值点 D./(x)在(一吾,吾)上有极值 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 13.已知数列(a.)满足a-2,a.-a.-aa.-+1,则a:os= 14.如图的“心形”曲线C恰好是半圆C,半圆C,曲线y=cosx十1(0 xx),y=-cosx-1(0x) 组合而成的,则曲线C所围成的“心形”区域的面积等于 【高三10月质悬检测·数学 第2页(共4页)】 HB i 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在数列(a.)中,a:-2.a-2a.+2+1-n. (1)若b-“-二”,求证:(6.)为等差数列; (2)求(a.)的前:项和S.. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=sin(+ax)sin(ax+)-1(o>o),且f(x)图象的一个对称中心到与其相邻的 对称轴的距离为吾. (1)求的值及/(x)的单调递增区间; (2)将f(z)图象上的所有点的横坐标向右平移吾个单位长度(纵坐标不变),再向上平移3个单位长 度,再将纵坐标伸长为原来的2倍,得到函数g(x)的图象,若函数h(x)一2g(x)一3g(x)+2m 一1在[吾,]上存在零点,求m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 在△ABC中,角A.B.C的对边分别为a,b,c,beos C-csin B-a. (1)求B; (2)已知b-6,BD为/ABC的平分线,交AC于点D,且BD-3,M为线段AC上一点,且AM- MC,求△BDM的周长. 【高三10月质量检测·数学 第3页(共4页)】 HB 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln(1-ax)+(a≠0). (1)证明;当a一1时,f(x)只有1个零点; (2)当a<0时,讨论f(x)的单调性; (3)若a--1,设g(x)=f(x)-,证明:\x >x→0, -&()-g(2) +x++1 r-12 19.(本小题满分17分) 若n项数列(a.)同时满足2a.-0.2!a:l-1,则称(a.)为“n阶o-1数列”. (1)若等比数列(a.)为“4阶0-1数列”,写出(a.)的各项; (2)若等差数列(a.)为“2k一1阶0-1数列”(k>2且bN),求(a.)的通项公式(用k,n表示); (3)记“n阶0-1数列”(a.)的前项和为S(=1,2,3,.,n),若存在m(1.2,3,.,n),使S= 1.判断数列(S.)能否是“n阶0-1数列”?若是,求出所有这样的数列(a.);若不是,请说明 理由. 【高三10月质量检测·数学 第4页(共4页)】 HB