精品解析：重庆市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

重庆一中高2027届高一上期月考 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题.“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 使得“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 函数满足对且，都有，则实数取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知均为正实数，且，则下列选项错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 8. 含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知；则下列不等式一定成立的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 B. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 C. 若不等式解集为，则不等式的解集为 D. “”为假命题的充要条件为 11. 已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，恒有，且为非零常数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，反比例函数与在上的图象有且仅有6个交点 C. 当时，在区间上单调递减 D. 当时，在上值域为 三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则集合有__________个子集. 13. 已知集合，若且，则实数的取值范围是__________. 14. 若正实数，满足，则的最小值为__________. 四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数的定义域为，集合. （1）求； （2）集合，若为的子集，求实数的取值范围. 17. 已知二次函数的图象过原点，且对任意，恒有. （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）记函数，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 18. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 19. 已知定义在上的函数同时满足下列四个条件： ①； ②对任意，恒有； ③对任意，恒有； ④对任意，恒有. （1）求的值； （2）判断在上单调性，并用定义法证明； （3）若对任意，恒有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2027届高一上期月考 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算法则运算即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：. 2. 命题.“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定形式回答即可. 【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“”的否定是“”. 故选：B 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域为， 则对于函数，需满足， 解得，即函数的定义域为. 故选：D. 4. 使得“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于全称量词命题，我们需要先求出使得该命题为真时的取值范围，然后再根据充分不必要条件的定义来判断选项. 详解】令，. 对于二次函数，其对称轴为. 因为，所以函数在上单调递增. 那么在上的最大值为. 因为为真命题，即在上恒成立，所以. 是的充分而不必要条件，即值，. 当时，一定满足，所以是的充分不必要条件. 而时，不能保证一定满足，时，也不能保证一定满足. 故选：C. 5. 若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式和常值代换法求得的最小值，依题得到不等式，解之即得. 【详解】因，由 ，当且仅当时取等号， 即当时，取得最小值6. 因不等式恒成立，故， 即，解得. 故选：C. 6. 函数满足对且，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求解. 【详解】由对且，都有，得函数在R上单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 7. 已知均为正实数，且，则下列选项错误的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断AC的正误，利用“1”的代换可判断B的正误，利用换元法结合常数代换可判断D的正误. 【详解】选项A：时取等， 得的最大值为，故A对； 选项B：， 当且仅当时取等，故的最小值为，故B错 选项C：时取等， 故最大值为，故C对； 选项D：换元，令，则， 故 ， 当且仅当取等号，故的最小值为，故D正确； 故选：B. 8. 含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将集合的子集两两配对：使且，从而有集合与集合的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有个，即可求解. 【详解】由题知， 将集合的子集两两配对：使且，则符合条件的集合对有个， 又由题设定义有集合与集合的交替和之和为4， 所以交替和的总和为. 故选：A. 二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知；则下列不等式一定成立的有（ ） A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用特殊值验证AC是错误的，利用作差法判断B的真假，利用配方法证明D是正确的. 【详解】对A：令，，则且，但不成立，故A错误； 对B：当时，，所以成立，故B正确； 对C：令，，，，则，但不成立，故C错误； 对D：因为，所以成立，故D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若是的必要不充分条件，是的充要条件，则是的充分不必要条件 B. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 C. 若不等式的解集为，则不等式的解集为 D. “”为假命题的充要条件为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A，分类讨论求出k的范围判断B，根据数轴穿根法及不等式的解集求出及解不等式判断C，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于的不等式恒成立即可判断D. 【详解】对A，若是的必要不充分条件，是的充要条件， 则，但是不能推出， 所以，但是不能推出，所以是的充分不必要条件，故A正确； 对B，当时，原不等式为，恒成立满足题意， 当时，由题意需满足，解得， 综上，实数的取值范围是，故B错误； 对C，由不等式的解集为， 结合数轴穿根法知，，且， 所以不等式可化为，解得，故C正确； 对D，由题意知为真命题， 则在时恒成立， 令，只需， 则，解得，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为，且满足当时，，当时，恒有，且为非零常数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时，反比例函数与在上的图象有且仅有6个交点 C. 当时，在区间上单调递减 D. 当时，在上的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给函数解析式直接求解判断A，根据的性质及图象判断B，归纳出在上的解析式判断C，根据规律，归纳值域特点判断D. 【详解】选项A：， ， 则，所以选项A正确； 选项B：由知， 时，， 由于， 但， 作的图象，如图， 结合图象可知上有个交点，在上无交点，故选项B正确； 选项C：时，， 故在上单增，故C错误； 选项D：因为，所以当时，值域为； 当时，值域为；当时，值域为； 当时，值域为；当时，值域为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：根据所给函数解析式，可知函数类似周期特点，图象形状类似，振幅有规律变化，据此可归纳函数的性质是解题的关键所在. 三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则集合有__________个子集. 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，列举出集合的子集即可. 【详解】因， 故集合的子集有共4个. 故答案为：4. 13. 已知集合，若且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的包含关系，讨论和两种情况，求集合，再比较端点值，即可求解. 【详解】因为，所以，因为，且： 当时，，符合题意； 当时，，则， 综上，. 故答案为： 14. 若正实数，满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性可知，代入可得，根据基本不等式可得最值. 【详解】由题可知， 因为在上单调递增， 所以在上单增， 所以上式可表示为， 则，即， 因此， 当且仅当即，时等号成立， 故答案为：. 四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合函数解析式解方程即可； （2）可得或，解之即可求解. 【小问1详解】 由可得： （i）（舍去）； （ii）. 综上，或； 【小问2详解】 由可得： （i）； （ii）. 综上可得． 16. 已知函数的定义域为，集合. （1）求； （2）集合，若为的子集，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，先求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）由（1）可得，再根据条件，分和两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由,即，得到或，所以或， 又由，得到或，即或，所以或， 所以或. 【小问2详解】 因为或，所以， ①当，即时，此时为子集，所以满足题意， ②当，即时，由题有，解得， 综上，实数的取值范围是. 17. 已知二次函数的图象过原点，且对任意，恒有. （1）求的值； （2）求函数的解析式； （3）记函数，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令即可求出. （2）根据条件，先设出二次函数的解析式，再根据恒成立，可求待定系数. （3）问题转化成在区间的最小值不小于在上的最小值求参数的取值范围. 【小问1详解】 在不等式，令. 【小问2详解】 因为为二次函数且图象过原点，所以可设， 由，于是， 由题：恒成立 ， 检验知此时满足，故. 【小问3详解】 函数，开口向上，对称轴，所以在区间上单调递增，因此，时，，即， 而在上单调递减，所以时， 因为对任意，均存在，使得， 等价于 18. 教材中的基本不等式可以推广到阶：个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.也即：若，则有，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，求的最小值； （2）若，求的最大值，并求取得最大值时的的值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【答案】（1） （2）最大值为， （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解； （2）由，结合四阶基本不等式可得最值； （3）猜测，成立，验证不等式成立；结合推广公式证明结论成立. 【小问1详解】 因为，所以由三阶基本不等式可得：， 当且仅当即时取等号， 因此最小值为； 【小问2详解】 当时，由四阶基本不等式可得： ， 当且仅当即时取等号， 因此的最大值为； 【小问3详解】 大小关系为，， 证明如下： 由条件可知：时，， 当时，左边，右边，左边右边，不等式成立； 当，时，由阶基本不等式，可知： 不等式左边 而，因此上式的不等号取不到等号， 于是， 综上，原不等式得证. 19. 已知定义在上的函数同时满足下列四个条件： ①； ②对任意，恒有； ③对任意，恒有； ④对任意，恒有 （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义法证明； （3）若对任意，恒有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令可得，再由，即可得出答案； （2）由单调性的定义证明即可； （3）由单调性和奇偶性列出不等式，再结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 在中令； （或令). 而. 【小问2详解】 在上单调递减. 下证明： 由④知：对任意，恒有. 证一：任取， 于是 因为，所以 ， 而对任意时恒有，故， 即，所以在上单调递减，证毕； 证二：任取，设 ， 因为，所以，即， 也即在单调递减,证毕； 【小问3详解】 在中： 令， 而，于是 令， 由（2）知在上单调递减， 又，可得上也单调递减，如图， 可知不等式等价于： 对任意，不等式 ……① 或者恒成立，……② 法一：令立，因为开口向下，由图像可知： 不等式① 对于②，当时，由， 即一定不存在满足②. 综上取并，得 法二： 令开口向下，对称轴为， 且， 当即时，问题等价于或,解得； 当即时，等价于或 当即时，问题等价于或， 解得； 当即时，问题等价于或， 解得； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $