第11讲：初中数学基本思想方法讲义 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第十一讲 数学基本思想方法 1、 常见的数学思想有：分类思想、整体思想、数形结合思想、转化与化归思想、代换思想、方程思想、函数思想等。 2、 基本的数学方法有：等积法、构造法、换元法、截长补短法、倍长中线法、待定系数法、配方法、特殊化法、参数法等。 [例题选讲] 【例1】 （整体思想）大矩形被分割成四个小矩形，其中三个小矩形面积如图中数据的示，求第四个小矩形的面积。 解：设AE、DE、DH、HC长分别为线x、y、m、n 有xm=10 xn=6 ny=12，三式相乘（xn）2my=720 my＝=20 即第四个小矩形面积为20 【例2】 (代换思想)计算+× 解: =a,则原式=10n+a＋a2=a(a+1)+10n=a×10n+10n=10n(a+1)= 102n 【例3】 (分类思想)由等腰△ABC的点A引BC边的高AD恰好等于BC的一半,求∠BAC。 解:分BC为底边和腰两种情况分别求解 (1) 当BC为底边时，AB=AC ，BD=DC=AD 易求∠B= ∠C=45° 则∠BAC=90° (2) 当BC为腰时,又有△ABC为锐角、钝角、直角、三角形三类 ①△ABC为锐角三角形时，BC=BA AD=ABD ∠B=30° 则∠BAC==75° ②△ABC为钝角三角形时，BC=BA，AD=BC=AB 有∠ABD=30°则∠ABC=150°，那么∠BAC==15° ③△ABC为直角三角形，不合题意。 综上所述，∠BAC为90°、75°、15° 【例4】 （数形结合）计算+++++++ 解：直接通分将非常困难，构造面积为1的正方形，使问题迎刃而解（如图所示） 原式=1-= 【例5】 （函数思想）已知方程（X-2）（X-3）=1， 不解方程证明该方程总有两个不相等的实数根， 且一根大于3，另一根小于2。 证明：设ｙ=（X-2）（2-3）-1 ｙ＝X2-5X+5=（X- ）2- 该抛物线开口向上，对称轴X=，顶点（，-）在第四象限，草图如右，显然它与X轴总有两个交点，即方程（X-2）（2-3）-1总有两个不相等实根 同时X=3时，ｙ=-1＜0 X=2时，ｙ=-1＜0 图象与X轴交点一个在2的左侧，一个在3的右则，即方程一根大于3，一根小于2。 【例6】 （方程思想）凸ｎ边形内有ｍ个点，以为（ｍ＋ｎ）个点为顶点能组成多个互不重叠的三角形？ 解：设能组成X个互不重叠的三角形，则X个三角形内角和为180X，ｍ个点处各内角和为360°，合计360ｍ，n边形内角和（ｎ-2）180° 则180X=360ｍ+（ｎ-2）180 有X=2ｍ+ｎ-2（个） [点评归纳] 1、 灵活运用合适的思想方法是解决问题的关键，我们要熟练驾驭这些数学思想方法，形成解题技能。 2、 有的问题要结合使用某几种思想与方法，当然可能还存在其它解法，我们可比较其优劣，做到触类旁通。 3、 很多思想与方法在前面我们断断续续的遇见过，同学们应主动归类，自觉地把有关的思想方法纳入这个知识体系中，形成一个完整的思想方法体系，加固自己的思维链条。 [巩固练习] 1、 化循环小数0. 为分数______ 2、若x2+xy+y=14 y2+ xy+x=28 则x+y= 3、一个六位数，最左边一位为1，若将1移到最末位，则所得六位数是原数的3位，则原六位数是 4、求自然数a1a2…an，使下式成立12×2a1a2…an1=21×1a1a2…an2 5、解方程组 6、计算+（+）+（++）+……+（++……） 7、若1+X+X2+ X3+ X4=0 求1+X+ X2+……+ X2007的值 8、计算 9、已知X= 50 则（ ） A、X是完全平方数 B、X-25是完全平方数 C、X-50是完全平方数 D、X+50是完全平方数 10、求|X-1|+|X-2|+|X+1|+|X+3|的最小值 11、计算1+ 12、不等式组 的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数a、b有序数对（a、b）共有（ ） A、17个 B、64个 C、72个 D、84个 13、分解因式（ｘ+ｙ-2xy）（ｘ+ｙ-2）+（1-ｘy）2 14、解方程组 15、把（X2-X+1）6展开后得a12 X12+a11X11+ a10X10+……a1X+a0 则a12+a10+a8+……a2+a0 = 16、化简 （分类讨论） 17、解方程 18、方程X2+（ｍ-2）X+2ｍ-1=0两根中一根在0和1之间另一根在1和2之间，求ｍ的范围。 19、图中三角形有 个。 20、化简 21、已知方程|X|=ax+1有一个负根而且没有正根，那a的取值范围是（ ） A、a＞-1 B、a=1 C、a≥1 D、无法确定 22、解方程 x2-|2x-1|-4=0 23、求代数式 2-的最小值 24、已知ax３=by3=cz３， ++=1求证： 25、实数ａ、ｂ、ｃ满足（ａ＋ｃ）（ａ+ｂ+ｃ）＜0，求证（ｂ-ｃ）2＞4a（ａ+ｂ+ｃ） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$