第1讲 全等三角形综合讲义 2024—2025学年苏科版数学八年级上册

第1讲 全等三角形综合 一、知识链接 全等三角形常见辅助线的作法有以下几种： (1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“翻折”． (2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题) 见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见． (3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“翻折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． (4) 过图形上某点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” (5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 【例1】 已知：如图，、、三点在同一直线上，、为等腰直角三角形，和是直角，求证：=和。 【例2】 如图，已知是沿边中线翻折得到的，若且，求的度数。 【例3】 都是等腰直角三角形，是各自的斜边，是的中点。求证：BC=EM+FN 【例4】 如图所示，已知均为正三角形，，，分别为和的中点，求证：为正三角形。 【例5】 如图，在中，已知，．若，则的大小为_________（度）． 　 【例6】 如图所示，在中，，为三角形内一点，，，求证：. 【例7】 已知，以其各边为底边，向的外部作等腰三角形；使顶角都等于，求证：是正三角形。 【例8】 已知，，、在上（靠近），且 ，求。 【例9】 已知，如图所示，在中，，是的中点，在边上，在边上，且，如果，，求的长。 【例10】 如图，是等腰直角三角形，，点，分别是边和的中点，点在射线上，且，点在射线上，且，求证：． 【例11】 中，，，，，是中点，分别在上（可落在端点），满足，求的最小值（用表示）。 【例12】 如图所示，，是的中点，，，求证． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$