精品解析：山东省枣庄市滕州市第五中学2025届高三上学期第一次单元检测（10月月考）数学试题

滕州五中2024—2025学年高三第一次单元检测 数学试题 2024.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 若正实数a，b满足，则最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 8. 过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数极值点 B. 3是函数的极大值点 C. 在区间上单调递减 D. 1是函数的极小值点 10. 若函数满足，，且，，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 若，则 11. 已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数定义域是_________． 13. 函数在时有极小值0，则_______． 14. 已知函数，，若，则最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分． 15. 已知函数在处取得极值3. （1）求a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）若，求的值； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知，曲线在点处切线方程为． （1）求实数a，b的值； （2）若曲线C：，求曲线C过点的切线方程． 18. 已知函数． （1）求的最小值； （2）设，证明： 19. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滕州五中2024—2025学年高三第一次单元检测 数学试题 2024.10 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】运用幂函数定义，结合单调性可解. 【详解】由幂函数定义知，解得或， 当时，，则在上为常数函数，不符合题意； 当时，，则，在上单调递减，符合题意. 故. 故选：A. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由补集的运算即可求解. 【详解】解：， ， 故选：B． 3. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】函数为定义在上的奇函数，则，，计算得到答案. 【详解】函数为定义在上的奇函数，则，， 故 故选：A 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，代入即可求. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故选：C 5. 曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积. 【详解】由，则， ，所以在处切线的方程为，即， 令，得；令，得， 所以切线与坐标轴围成的三角形面积为. 故选：A. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把带入求值即可. 【详解】由， 则. 又，所以. 故选：C 7. 若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】把化成，再利用求的最小值. 【详解】由， 又 所以（当且仅当即，时取“”）. 故选：C 8. 过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解. 【详解】由得，由得， 设过原点的直线分别与曲线相切于点， 则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为， 所以，所以，所以，即， 代入得. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 是函数的极值点 B. 3是函数的极大值点 C. 在区间上单调递减 D. 1是函数的极小值点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导函数的图象，得出函数的单调区间，进而即可得出函数的极值情况. 【详解】对于A项，由图象可知， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以上单调递减. 所以，在处取得极大值.故A正确； 对于B项，由图象可知， 当时，恒成立，且不恒为0，所以在上单调递减. 所以，3不是函数的极大值点.故B错误； 对于C项，由B可知，在区间上单调递减.故C正确； 对于D项，由B可知，在上单调递减. 所以，1不是函数的极小值点.故D错误. 故选：AC. 10. 若函数满足，，且，，，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】先由函数的对称性可找到对称轴，即可判断A选项；再由题找到函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小，可判定BCD选项. 【详解】由题意可得的图象关于直线对称，且在上单调递增， 则在上单调递减，且的图象关于直线对称， 由偶函数图象的特征得A正确． 结合函数的单调性和图象的对称性得，距离越近，函数值越小，，所以B不正确． 对C，，所以C正确． 对D，若，则直线距离直线更远，即，解得或，所以D不正确． 故选：AC． 11. 已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（ ） A. B. 是偶函数 C. 的图象关于点中心对称 D. 是的一个周期 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 13. 函数在时有极小值0，则_______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在时有极小值0， 所以，① ，② 联立①②解得或， 当时，， 则函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 由解得或，由解得， 函数在单调递增，单调递减，单调递增， 满足函数在时有极小值， 所以， 故答案为：11. 14. 已知函数，，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，求出，构造函数，利用导数求出最小值即得. 【详解】令，即，解得， 则，令，求导得， 函数在上单调递增，，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分． 15. 已知函数在处取得极值3. （1）求a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）的最小值为0，最大值为12 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用极值的性质列方程组，即可求解，的值； （2）由（1）可得函数及其导函数，利用导数求出的单调区间，从而求出极值与端点处的函数值，从而可得最值． 【小问1详解】 依题意，，因为在处取得极值3， 所以，解得，． 此时，显然当和时，， 当时，，故在单调递增，在单调递减， 所以在处取得极大值， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，， 当或时，，当时，， 所以在，，，上单调递增，在上单调递减， ，，，， 所以的最小值为0，最大值为12． 16. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）若，求的值； （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出，从而得到的解析式，再解方程即可； （2）首先判断函数的单调性，结合奇偶性与单调性得到在上恒成立，参变分离可得，恒成立，根据二次函数的性质求出的最小值，即可得解； 【小问1详解】 解：因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，所以， 即，则，符合题意， 又，即，即，即， 即，解得 【小问2详解】 解：因为， 所以在定义域上单调递增，又是定义在上的奇函数， 所以在恒成立， 等价于在上恒成立， 即在上恒成立，即，恒成立， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减，、， 所以，所以，即； 17. 已知，曲线在点处的切线方程为． （1）求实数a，b的值； （2）若曲线C：，求曲线C过点的切线方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）设切点为，写出导数的切线方程，结合题意求得切点坐标，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得， 因为直线的斜率为-2，且过点， 所以，即得，解得 【小问2详解】 由（1）知，则． 设切点为，则切线斜率， 故切线方程为． 由切线过点，代入可得，即， 即，解得或， ∴切点为或， 则切线方程为或． 18. 已知函数． （1）求的最小值； （2）设，证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数，利用导数证得恒成立，从而得证. 【小问1详解】 因为，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. 【小问2详解】 因为，， 所以由，得，即， 令，，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以. 19 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【小问1详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， 【小问2详解】 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 【小问3详解】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $