精品解析：江苏省镇江市丹阳高级中学2025届高三上学期模拟一考试数学试题

江苏省丹阳高级中学高三年级模拟一考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 设公差的等差数列中，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 4. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（ ） A. B. 弦的中点到轴的距离为 C. D. 点的坐标为 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 10. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点A，B和点D，E，其中点A，D在第一象限，过抛物线C上一点分别作的垂线，垂足分别为M，N，O为坐标原点，若，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则直线的倾斜角为 C. 四边形的面积的最小值为64 D. 四边形的周长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列的前n项和为，若，则的公差______． 13. 已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________． 14. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，， （1）记，写出，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和． 16. 已知圆O： （1）过圆外一点引圆的切线，求切线方程； （2）设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 17. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． （1）若，，求椭圆C的方程 （2）若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 19. 已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． （1）若到抛物线准线的距离为，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省丹阳高级中学高三年级模拟一考试数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 2. 设公差的等差数列中，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，根据求解即可. 【详解】因为公差的等差数列中，成等比数列， 所以，即，解得， 所以. 故选：A. 3. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行求得的值，再根据两平行直线的距离公式计算求得的值即得. 【详解】因直线与直线平行，则，即 又因直线与直线的距离为， 则有，即解得或（舍去）， 故. 故选：D 4. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 5. 已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 6. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 7. 已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，有对称性得到另外一条渐近线的斜率，从而得到正确答案. 【详解】由为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率， 因此双曲线的渐近线的方程为. 故选:C． 8. 抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（ ） A. B. 弦的中点到轴的距离为 C. D. 点的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由抛物线的方程可得焦点的坐标，进而可得的值；对于D，由向量关系和抛物线定义可得点的横坐标，代入抛物线的方程可得点的纵坐标，从而判断D；求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，对于B，根据中点坐标公式，可求中点到轴的距离；对于C，再由抛物线的性质可得焦点弦的长度，从而判断C． 【详解】对于A，因为抛物线：的焦点为， 由题意，所以，即，故A正确； 对于D，如图：过点作垂直于轴， 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入可得，故D错误； 不妨设点在轴下方， 则，所以直线的方程为：，即， 由得， 所以， 对于B，弦的中点到轴的距离为，故B正确； 对于C，，故C正确. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知数列是等比数列，则（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 数列是等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，设的公比为q，则 ，由等比数列的定义依次判断AB；举反例判断CD. 【详解】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则  对于选项A：因为，所以数列是等比数列，故A正确； 对于选项B：因为 ，所以数列为等比数列，故B正确； 对于选项CD：例如，则，所以数列不是等比数列，故C错误； 则，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：AB. 10. 已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 直线与直线斜率乘积为定值 B. 存在点，使得 C. 有最小值 D. 的范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据椭圆的方程，以及斜率公式化简运算，可得判定A；根据椭圆的几何性质，结合正切函数的性质，可判定B；根据椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用，可判定C；设直线与椭圆相交于，结合椭圆的定义和三角形的性质，可得判定D. 【详解】对于A，由椭圆，可得，则， 设，则，可得， 所以，故A正确； 对于B，设椭圆的上顶点为C，由，可得， 则，故B错误； 对于C，由椭圆的定义，可得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 即有最小值，故C正确； 对于D，因为，则点Q在椭圆外，由 如图所示，设直线与椭圆相交于，又， 则， 因为，且， 可得，即， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的两条互相垂直的直线分别与抛物线C交于点A，B和点D，E，其中点A，D在第一象限，过抛物线C上一点分别作的垂线，垂足分别为M，N，O为坐标原点，若，则（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 若，则直线的倾斜角为 C. 四边形的面积的最小值为64 D. 四边形的周长的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线和抛物线的位置关系结合韦达定理，结合向量数量积可得，得，判断A，结合向量坐标运算可判断B，根据弦长公式结合抛物线焦半径性质判断C选项．根据基本不等式判断D选项. 【详解】对A，由题意得，准线方程为， 设直线，与联立得， 设,，,，故， 则，所以，解得， 故准线方程为，A正确； 对B，由A选项可知，， 因为，所以，代入，得，即， 因为点在第一象限，所以，解得， 故直线的斜率为，设直线的倾斜角为， 则，解得B正确； 对D，抛物线的焦点的坐标为，．且四边形为矩形， 因为，， 所以，由， 即，当且仅当时，等号成立， 所以四边形周长的最大值为，故D正确； 对C，由A选项，得，， 则，同理得， ， 所以，当且仅当时，等号成立， 此时，故C错误． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设等差数列的前n项和为，若，则的公差______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，结合，可得，与相减可求公差的值. 【详解】由， 所以公差. 故答案为：3 13. 已知椭圆：的上顶点为，两个焦点为，，线段的垂直平分线过点，则椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出线段的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得，再结合可求得离心率. 【详解】 如图，设的垂直平分线与交于点， 由题，，，，则， ，， ， ，化简得，， 由，解得， ，即. 故答案为：. 14. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为.若分别是椭圆的上，下顶点，分别为椭圆的上，下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据长轴及离心率列式求出得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点的坐标，最后计算面积即可. 【详解】根据题意有：，所以椭圆的方程为：， 设，则，，， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，， （1）记，写出，，证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和． 【答案】（1），，证明见解析，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，依次代入求出，赋值计算得，利用等差数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）由递推公式，结合（1）的结论，利用等差数列前n项和公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，，， 显然，因此， 所以数列是等差数列，其首项为1，公差为4，通项 【小问2详解】 当n为奇数时，， 所以的前20项和为 16. 已知圆O： （1）过圆外一点引圆的切线，求切线方程； （2）设点P是直线上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求的面积最小值以及此时点P的坐标． 【答案】（1）和 （2）点P 的坐标为，面积最小值为 【解析】 【分析】（1）设过点的切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出切线方程，注意直线斜率不存在的情况． （2）由圆的几何性质可知，当的面积最小时，，求出OP的方程后即可得到点P的坐标，进一步可求的最小面积． 【小问1详解】 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离是2， ，解得， 切线方程为，即 当切线斜率不存在时，易知与圆也相切， 故所求切线方程为和 【小问2详解】 由圆的几何性质可知，当时，的面积最小值． 又因为， 所以直线OP的方程为 由解得 即点P 的坐标为 此时的面积最小值为 17. 已知双曲线，斜率为的直线过点. （1）若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； （2）双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线与双曲线只有一个公共点，所以联立方程组，若相切则即可，若不相切则直线与渐近线平行即可； （2）根据双曲线的定义和余弦定理即可求得三角形的面积. 【小问1详解】 当时，，则直线l的方程为， 当时，联立方程组，得， 由直线和双曲线相切的条件，可得，解得； 双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点. 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； 【小问2详解】 由双曲线，则， 又点P在双曲线上，即，即， 在中，由余弦定理， 即，解得， 所以的面积. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P． （1）若，，求椭圆C的方程 （2）若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值． 【答案】（1） （2） 证明：依题意，令，直线，由，得， 直线AB的斜率，直线AP的斜率， 则，即，有，得，， 于是得点，，， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）由和在椭圆上求出，即可. （2）求出直线BF的方程，并与椭圆方程联立求得点坐标，再由给定条件结合面积公式求解即可． 【小问1详解】 由，，得：，解得， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 19. 已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． （1）若到抛物线准线的距离为，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点的横坐标，代入抛物线方程即可求解； （2）先通过中点在抛物线上求出点的坐标，进一步求出直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （3）设，联立方程求出点的坐标，根据恒成立，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 抛物线：的准线为，由于到抛物线准线的距离为， 则点的横坐标为，则，解得； 【小问2详解】 当时，点的横坐标为，则， 设，则的中点为， 由题意可得，解得， 所以，则， 由点斜式可得，直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为； 【小问3详解】 如图， 设，则， 故直线的方程为，令，可得， 即， 则，依题意，恒成立， 又，则最小值为， 即，即， 则，解得， 又当时，，当且仅当时等号成立， 而，即当时，也符合题意．故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $