精品解析：江苏省无锡市辅仁高级中学2025届高三上学期10月月考数学试题

无锡市辅仁高中2024-2025学年高三年级第一学期10月 数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 1 B. i C. 3 D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ） A. 或15 B. 15 C. 或 D. 6. 定义矩阵运算，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，点是边的中点，是边的三分之一分点，（靠近点的）， 与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列是公比为的等比数列，前项和为．数列是公差为的等差数列，前项和为，下列说法错误的有（ ） A. 一定是关于的二次函数． B. 若，则． C. ，是为单调递增数列的充分不必要条件． D. 数列一定是等比数列． 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 在上单调递增 C. 对任意的，，有 D. 对任意的，，，，则 三、填空题：每小题5分，共15分 12. “”是“”的______．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空） 13. 已知，则的最小值为______． 14. 已知对任意，都有，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15. 已知且，函数在R上是单调递增函数，且满足下列三个条件中的两个： ①函数为奇函数；②；③． （1）从中选择的两个条件的序号为______，说出你的理由；依所选择的条件求出a和b． （2）设函数，，若对，总，使得成立，求实数m的取值范围． 16. 已知函数，且相邻两个极值点的差的绝对值为. （1）当时，求函数的值域； （2）若，求的值. 17. 已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，． （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 18. 在中，角所对的边分别为，，，且． （1）若，求的周长； （2）若，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不相等的实根，，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市辅仁高中2024-2025学年高三年级第一学期10月 数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的虚部为（ ） A. 1 B. i C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算，先化简复数，再根据复数的概念得到其虚部. 【详解】，虚部为3． 故选：C 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解出集合B，再进行集合的并集运算. 【详解】因为，所以. 故选：C 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过函数奇偶性的，再取图象上的特殊点进行排除即可. 【详解】由图象可知为奇函数，且， 对于A：，则，为偶函数；排除 对于C：则，排除； 对于D: 可得：，排除； 对于B: ，则， 且当时，，时，取到等号， 而，取到等号，所以符合. 故选:B 4. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和正弦函数的性质进行比较即可. 【详解】因为， 而，则， 又，即，即， 所以. 故选：A. 5. 各项均为正数的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ） A. 或15 B. 15 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由，，为等差数列，则，即，即， 解得或（舍去），又，所以. 故选：B 6. 定义矩阵运算，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合指、对数运算求解. 【详解】由题意可得：． 故选：B. 7. 若函数在内恰好存在8个，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数式为，题意说明，得，由正弦函数图象与直线的交点个数得的范围． 【详解】， 由，得， 因为，，所以， 依题意可得，，解得． 故选：D． 8. 设函数，若，则a的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值. 【详解】函数定义域为，而，，， 要使，则二次函数，在上，在上， 所以为该二次函数的一个零点，易得， 则，且开口向上， 所以，只需，故a的最小值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，点是边的中点，是边的三分之一分点，（靠近点的）， 与交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，点是边的中点，是边的三分之一分点， 可得，所以A正确； 设为的中点，连接，则， 在中，因为分别为的中点，可得且， 在中，由分别为的中点，且，可得， 所以，所以， 所以，所以B正确； 由，可得且， 则，且， 所以，所以C不正确； 由，， 且， 所以，所以D正确. 故选：ABD. 10. 已知数列是公比为的等比数列，前项和为．数列是公差为的等差数列，前项和为，下列说法错误的有（ ） A. 一定是关于的二次函数． B. 若，则． C. ，是为单调递增数列的充分不必要条件． D. 数列一定是等比数列． 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列等比数列的概念及性质分别判断各选项. 【详解】A选项：当时，是关于的一次函数，A选项错误； B选项：当，为定值，所以不能确定，B选项错误； C选项：当，则为单调递增数列，当为单调递增数列时也可能，，C选项正确； D选项：当时，，数列不是等比数列，D选项错误； 故选：ABD． 11. 已知函数，则（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 在上单调递增 C. 对任意的，，有 D. 对任意的，，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数，结合切线、单调性、不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A.由题意可知：，，则， 则曲线在处的切线方程为.故A错误； B.令，则， 令， 则， 则在上单调递增，则， 则，则在上单调递增，故B正确； C.令，则， 则在上单调递增， 则，则， ∴，故C正确； D.令，则， 令，则， 则在上单调递增﹐则，则， 则在上单调递增，则，则，故D正确. 故选：BCD 【点睛】求解切线有关问题，关键点有3个，第一个是要判断已知点是在曲线上还是在曲线外；第二个是切点的坐标，切点既在曲线上，也在切线上；第三个斜率，斜率可利用导数求得，也可以利用直线上两点坐标来求得. 三、填空题：每小题5分，共15分 12. “”是“”的______．（在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选择一个填空） 【答案】充分不必要条件 【解析】 【分析】分别从充分性、必要性两个方面，结合特殊值法判断条件间的关系即可. 【详解】由，即同号， 当，则； 当，则； 所以充分性成立， 由，存在或使之成立， 但此时不成立， 所以必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件 13. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，，通过指数式与对数式互化用表示出，再借助基本不等式进行求解即可. 【详解】令，，则，， ， 令，，则，当且仅当，即时等号成立， ，即. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14. 已知对任意，都有，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用参变分离出恒成立，再利用恒成立，求解的最小值，即求出的取值范围. 【详解】根据题意可知，， 由，可得恒成立， 令，则， 现证明恒成立，设， ，当时，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故时，函数取得极小值即最小值，， 所以，即恒成立， ， ， 当且仅当（该方程显然有解）时取等号，所以，即. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，本题的关键是利用不等式的放缩，即利用，转化 ，求函数的最小值. 四、解答题 15. 已知且，函数在R上是单调递增函数，且满足下列三个条件中的两个： ①函数为奇函数；②；③． （1）从中选择的两个条件的序号为______，说出你的理由；依所选择的条件求出a和b． （2）设函数，，若对，总，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）①②，，理由如下： 选择的两个条件的序号为①②， 因为在上是单调递增函数， 故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数， 因为函数的定义域为，所以，则，，故一定满足②， 选择①②，由，解得， 所以，解得． （2） 【解析】 【分析】（1）因为在上是单调递增函数，得到②，③不会同时成立，得到函数为奇函数，再由，，得到满足②，进而求得的值； （2）设，根据题意转化为，结合函数的单调性求得，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 因为对，总，使得成立，所以， 由函数在时单调递增，可得， 即即集合， 又由，则满足，解得， 所以实数的取值范围为． 16. 已知函数，且相邻两个极值点的差的绝对值为. （1）当时，求函数的值域； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数二倍角公式以及辅助角公式化简，结合其性质求得参数，可得的表达式，根据，确定，结合正弦函数性质即可得答案； （2）化简可得，继而将化为三角函数齐次式，代入求值即得答案. 【小问1详解】 因为 ， 由题意相邻两个极值点的差的绝对值为，得的最小正周期为， 而，所以，即， 所以. 当时，，所以， 所以，故函数的值域为. 【小问2详解】 由，得，所以， 所以 . 17. 已知为等差数列，为公比的等比数列，且，，． （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）在（2）的条件下，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等差和等比数列通项公式可构造方程组求得，由此可得； （2）采用分组求和的方式，根据等比数列求和公式和裂项相消法可求得； （3）将恒成立的不等式转化为，令，利用作差的方式可求得的单调性，得到，由此可得的取值范围. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由得：，又，， ，. 【小问2详解】 由（1）得：， . 【小问3详解】 由（2）得：对任意的，恒成立， 对任意的，恒成立； 令，则； 则当时，；当时，； ，，即实数的取值范围为. 18. 在中，角所对的边分别为，，，且． （1）若，求的周长； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意由向量平行并利用正弦定理可得，由余弦定理可解得，可得周长为； （2）利用正弦定理以及边的比例关系可得，再由辅助角公式以及角的范围即可求得的取值范围为. 【小问1详解】 因为，故 由正弦定理得 又，则， 即， 又，，而， 故，所以可得； 由余弦定理得，， 即，整理得， 解得或（舍去），， 故的周长为． 【小问2详解】 如下图所示： 设． 由正弦定理得，即 可得， 所以， 其中， 又， 又，则当时，取得最大值， 又， 所以， 可得的取值范围为 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个不相等的实根，，证明： 【答案】（1） 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） 方程即，即， 即， 令，则 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以． 因为，是方程的两个实根，所以，是方程的两个实根， 即，所以，是方程的两个实根． 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增； ，，当时， 令，，不妨设，则， 要证，即证，即证， 令， 则，在上单调递增， 且，所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 因为在单调递增，所以，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，分情况讨论导函数的正负情况，进而讨论原函数的单调性； （2）由已知可将方程转化为，构造函数，根据导数判断其单调性可得，所以，是方程的两个实根，即，是方程的两个实根，构造函数，判断单调性，令，，不妨设，则，要证，即证，再构造，根据导数可判断所以在上单调递减，即可判断，所以，即，即. 【小问1详解】 由， 得， 且函数的定义域为 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 略 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $