浙江省宁波市海曙区四校2023-2024学年下学期八年级数学月考联考试卷

浙江省宁波市海曙区2023-2024学年第二学期八年级下册数学四校月考联考试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．函数中自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是 A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是 A． B． C． D． 4．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 7 8 8 7 方差（环2） 0.9 1.1 0.9 1 则这四人中成绩好且发挥最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．若是整数，则满足条件的自然数共有 个． A．2 B．3 C．4 D．5 6．将根号外的因式移到根号内，得 A． B． C． D． 7．若关于x的一元二次方程2x2+4x+m-1=0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知数据，，，的方差是4，则一组新数据，，，的方差是 A．4 B．5 C．9 D．16 9．电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国上映，第一天票房约4亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．4（1+x）＝6 B．4（1+x）2＝6 C．4+4（1+x）＝6 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝6 10．方程；，其中，则以下四个结论： ①若ac<0，则方程P有两个不相等的实数根；②若方程P有两个不相等的实数根，则方程Q必定也有两个不相等的实数根；③若5是方程P的一个根，则是方程Q的一个根；④若方程P和方程Q有相同的根，则. 正确的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．计算： ＝　 　 12．数据1、3、3、5、5、5、7的众数为　 　． 13．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　． 14．已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是　 　． 15．若与互为倒数，则　 　． 16．　 　． 17．三角形的三边长分别为、、，求其面积的问题，中外数学家曾进行过深入研究，古希腊的数学家海伦给出的海伦公式，其中；我国古代数学家秦九韶提出的秦九韶公式.现已知△ABC三边长为1，，3．则△ABC的面积为　 　． 18．方程的解为　 　． 三、解答题（第19，20题每题6分，第21，22，23题每题8分，第24题10分，共46分） 19．计算： （1）； （2） ． 20．解方程： （1） （2） 21．小明在本学期的数学成绩如下表所示（成绩均取整数） 测验 类别 平时 期中 考试 期末 考试 测验1 测验2 测验3 课题练习 成绩 88 70 96 86 85 （1）计算小明本学期的平时平均成绩； （2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，那么本学期小明的期末考试成绩至少为多少分才能保证达到总评成绩90分的最低目标？ 22．阅读下列解题过程： ， . 请回答下列问题： （1）观察上面的解答过程，请写出； （2）请你用含（为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律：； （3）利用上面的解法，请化简：． 23．某商店从工厂购进A、B两款玩具，进货价和销售价如表： 类别 价格 A款玩具 B款玩具 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 42 35 （1）该商店用1720元从工厂进货A、B两款玩具共60件，求两款玩具分别购进个数； （2）商店销售第一天，B款玩具便已售完，A款玩具只售出4件，因此商家决定对A款玩具降价销售，经调查发现，A款玩具每下降1元，平均每天可多销售2件，要想第二天A款玩具的利润为66元，则商家需降价多少元？ 24．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于的代数式的不动值是　 　． （2）证明：关于的代数式没有不动值； （3）已知关于的代数式（）. ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，直接写出正整数的值． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】函数自变量的取值范围 【解析】【解答】解：由题意得，x-1≥0， 解得：x≥1． 故答案为：C． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件.根据函数表达式是二次根式时，被开方数非负，即被开方数大于等于0，据此可列出不等式，解不等式可求出答案． 2．【答案】D 【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法 【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能直接相加，故选项A错误； B、 ，故选项B错误； C、 ，故选项C错误； D、 ，故选项D正确. 故答案为：D． 【分析】本题考查二次根式的加法、二次根式的性质、二次根式的运算法则、二次根式的乘法．二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断A选项；根据二次根式的性质可以判断B选项；根据二次根式的运算法则，据此可判断C选项；根据二次根式的乘法法则可判断D选项． 3．【答案】A 【知识点】配方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：x2+2x=1， x2+2x+1=2， （x+1）2=2． 故答案为：A． 【分析】本题考查解一元二次方程-配方法．先把常数项移到方程右侧，再进行配方：等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全平方公式分解因式，后边合并同类项可得答案． 4．【答案】C 【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数） 【解析】【解答】∵乙的平均数=丙的平均数=8＞甲的平均数=丁的平均数=7， ∴乙、丙成绩比甲、丁成绩好， ∵丙的方差=0.9，乙的方差=1.1，丙的方差＜乙的方差， ∴丙的成绩好且发挥最稳定. 故答案为：C. 【分析】根据平均数大的可知乙、丙成绩比甲、丁成绩好，再由丙的方差比乙的方差小，可知丙的成绩好且发挥最稳定. 5．【答案】C 【知识点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：∵ ∴ 又∵是整数，n为自然数 ∴为完全平方数且 的最大值为 ∴或1或4或9 ∴或或或0． ∴满足条件的自然数共4个 故答案为：C． 【分析】本题考查二次根式的化简．先根据二次根式有意义的条件求出n的取值范围：，根据是整数，可得或1或4或9，解方程可求出n的值，进而求出答案. 6．【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解：∵≥0， ∴a＜0， ∴ 故答案为：C. 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的性质，二次根式的乘法法则.根据二次根式有意义的条件易得a＜0，再根据二次根式的性质可得，最后根据二次根式的乘法法则进行计算可求出答案． 7．【答案】B 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． 故答案为：B． 【分析】本题考查根的判别式.根据“当时，一元二次方程有实数根”，据此可列出关于的一元一次不等式，解不等式可求出实数的取值范围． 8．【答案】D 【知识点】方差 【解析】【解答】解：设这组数据x1，x2，x3，…xn的平均数为，则另一组新数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…2xn＋1的平均数为， ∵， ∴ = = 故答案为：D． 【分析】本题考查方差的性质．先设这组数据x1，x2，x3，……，xn的平均数为，方差S2＝4，则另一组新数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…2xn＋1的平均数为，方差为，代入公式进行推导可求出答案． 9．【答案】B 【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题 【解析】【解答】解：某地第一天票房约4亿元，且以后每天票房的增长为x， 第二天票房约为4（1+x）亿元，第三天票房约亿元. 故答案为：B. 【分析】根据题意得到第二天的增长率为（1+x），第三天增长率为，列出等式即可. 10．【答案】D 【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：①若ac＜0，那么方程p中△=b2-4ac＞0，则方程P有两个不相等的实数根，故①正确； ②由①如果方程P有两个不相等的实数根，则ac<0，则方程Q的根的判断式△=(-b)2-4ca=b2-4ac＞0，所以方程Q必定也有两个不相等的实数根，故②正确； ③如果5是方程P的一个根，那么25a+5b+c=0， 方程两边同时除以25，得 ，即 所以是方程Q的一个根，故③正确； ④如果方程P和方程Q有一个相同的根，那么ax2+bx+c= ， 解得：x=1，b=0，所以，故④正确， 综上，正确的有①②③④，共4个. 故答案为：D． 【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根，据此可判断①和②；③如果5是方程P的一个根，反代回方程，通过变形得，据此可判断③；解方程ax2+bx+c= ，解方程可判断④． 11．【答案】 【知识点】算术平方根 【解析】【解答】解： ； 故答案为：2. 【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解. 12．【答案】5 【知识点】众数 【解析】【解答】解：5的次数出现3次，次数最多，据此可判断众数为5. 故答案为：5. 【分析】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可得答案. 13．【答案】5 【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理 【解析】【解答】解： 则， 解得， ∴直角三角形两条直角边的长分别是3和4， 则这个直角三角形斜边的长是， 故答案为：5. 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理．先解一元二次方程得到两条直角边的长，再利用勾股定理可求出斜边． 14．【答案】2.5 【知识点】中位数；方差 【解析】【解答】解：由方差的计算公式知，这组数据为0，3，2，8，排序可得：0，2，3，8 所以这组数据的样本容量为4，中位数为． 故答案为：2.5． 【分析】本题考查方差，中位数的定义．由方差的计算公式得出这组数据为0，3，2，8，中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可得答案. 15．【答案】 【知识点】有理数的倒数；平方差公式及应用；直接开平方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：因为与互为倒数 所以 即 解得： 故答案为：． 【分析】本题考查解一元二次方程的解，平方差公式，倒数的意义.两个数互为倒数，则两个数相乘等于1，据此可列出方程，利用平方差公式化简后，利用直接开平方法解一元二次方程可求出答案. 16．【答案】 【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；积的乘方运算 【解析】【解答】解：原式 故答案为：． 【分析】本题考查二次根式和乘方的运算法则，平方差公式．先把原式化成，再利用平方差公式进行化简，再进行运算可求出答案． 17．【答案】 【知识点】二次根式的化简求值 【解析】【解答】解：将1，，3，代入公式得出： 故答案为：． 【分析】直接将三角形三边代入秦九韶公式，再进行化简可求出答案. 18．【答案】， 【知识点】无理方程 【解析】【解答】解：设 则 观察可得： 化简可得： 所以 即 两边同时平方可得： 解方程可得：， 【分析】本题根式方程的解.先采用换元法令，则，观察可得：，再进行化简可得：，再平方可得方程，解方程可求出方程的解. 19．【答案】（1）解：原式=6-5+3 =1+3 =4. （2）解：原式= = = = . 【知识点】二次根式的混合运算 【解析】【分析】(1)先将二次根式化简，然后进行有理数的加减混合运算，即可得出结果； (2)先进行二次根式的化简，再去括号，进行二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式，即可得出结果。 20．【答案】（1）解：， ， 则或， 解得，； （2）解：，，， △， 则， 即，. 【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程 【解析】【分析】（1）对原方程进行因式分解可得(x-1)(x-3)=0，据此求解； （2）首先求出判别式的值，然后借助求根公式进行计算. 21．【答案】（1）解：小明该学期的平时平均成绩为：； （2）解：按照如图所示的权重，小明该学期的总评成绩为：， 依题意得： 解得：． 答：小明期末考试成绩至少需要94分． 【知识点】加权平均数及其计算 【解析】【分析】本题考查加权平均数的应用． （1）先求出平时成绩的总和，再除以次数4，可求出平时平均成绩； （2）根据扇形统计图所表示的占比，再利用加权平均数公式列出等式，解方程可求出答案． 22．【答案】（1）解： （2）解： （3）解：反复运用得 【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算 【解析】【分析】本题考查分母有理化. （1）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，再进行化简可求出答案； （2）根据题意，将分子和分母同时乘以，进行分母有理化，然后合并化简即可得到答案； （3）根据，把所求式子的每一项进行化简，然后再相加可求出答案. 23．【答案】（1）解：设购进款玩具件，款玩具件， 依题意得：， 解得： 答：购进款玩具44件，款玩具16件. （2）解：设商家需降价y元， 依题意得：（4+2y）×（42-30）＝66． 解得y＝0.75． 答：商家需降价0.75元． 【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题 【解析】【分析】（1）设购进A款玩具x件，B款玩具y件，根据总费用为1720元可得30x+25y=1720；根据共60件玩具可得x+y=60，联立求解即可； （2）设商家需降价y元，则每天的销售量为(4+2y)，根据(售价-进价)×销售量=利润可得关于y的方程，求解即可. 24．【答案】（1）4，－3. （2）证明：令，则有， 其判别式， ∴此方程无解， ∴ 关于的代数式没有不动值； （3）解：①令， 则有， ∵此方程只有一个实数根， ∴则， 解得. ②，，. 【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算 【解析】【解答】解：（1）解：依题意，得：，即 解得：，， 故答案为：和4； （3）②令， 则有， 因式分解可得： 解得： ∵此方程至少有一个是整数 ， ∴只要a是3或5的约数即可，即. 所以，，. 【分析】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式． （1）根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解方程可求出的值，据此可求出答案； （2）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断该方程没有实数根，据此可证明代数式没有不变值； （3） ① 先令，化简后再根据，可求出实数a的值； ②先令，化简后可求出方程的根为：，再根据此方程至少有一个是整数，可得a是3或5的约数，进而可求出a的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$