河北省邯郸市丛台区育华中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年河北省邯郸市丛台区育华中学九年级（上）第一次月考数学试卷 一、选择题（每题3分，共36分） 1．（3分）若抛物线y＝ax2+4x+5的开口向下，则a的值可以是（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 2．（3分）若x＝4是关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0的一个根，则另一个根是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3 3．（3分）把抛物线y＝3x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是（　　） A．y＝3（x+3）2﹣2 B．y＝3（x+3）2+2 C．y＝3（x﹣3）2﹣2 D．y＝3（x﹣3）2+2 4．（3分）美术绘画小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共送出72个月饼，美术绘画小组的人数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+1上的三点，则下列正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 6．（3分）嘉琪在解一元二次方程●x2﹣4x+2＝0时，不小心把二次项系数沾上了墨水，若这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则被沾上了墨水的二次项系数可能是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．图象关于直线x＝1对称 B．函数的最小值是﹣4 C．﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0的两个根 D．当x＜1时，y随x的增大而增大 8．（3分）某节数学课上，老师让学生解关于x的方程x（x+5）＝2（x+5），下面是三位同学的解答过程： 小逸 小明 小琛 两边同时除以（x+5），得x＝2． 整理得x2+3x＝10， 配方得x2+3x+， ∴， ∴x+， ∴x1＝2，x2＝﹣5． 移项得x（x+5）﹣2（x+5）＝0， ∴（x+5）（x﹣2）＝0， ∴x+5＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣5．x2＝2. 下列选项中说法正确的是（　　） A．只有小明的解法正确 B．只有小琛的解法正确 C．只有小逸的解法错误 D．小逸和小琛的解法都是错误的 9．（3分）如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于y轴对称，按照图中的直角坐标系左面抛物线可以用表示，则右面抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（　　） A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4 11．（3分）如图，正方形OABC与抛物线相交于点B（m，﹣1），则正方形OABC面积为（　　） A．1 B． C． D．3 12．（3分）已知[x]表示不超过实数x的最大整数，函数y＝[x]的部分图象如图所示，若方程[x]＝ax2+在0≤x＜3有2个解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每空3分，共12分） 13．（3分）若（a+1）x|a﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 　． 14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y之间满足下列数量关系，则代数式a﹣b+c的值等于　 　． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … ﹣9 ﹣3 ﹣1 ﹣3 … 15．（3分）方程2x2﹣4x﹣3＝0的两根分别是m，n，则m+n﹣mn的值是 　 　． 16．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 　 　． 三、简答题（共8道小题，共72分） 17．（12分）计算 （1）（x+2）2﹣25＝0； （2）x2﹣6x﹣7＝0； （3）x2﹣2x﹣4＝0； （4）2x2﹣5x﹣3＝0． 18．（6分）在如图所示的数轴上，点P在点Q的左侧．已知点P表示的数为﹣2x2+x﹣6，点Q表示的数为2x2﹣3x+4，且x为整数． （1）点P，Q之间的距离是 　 　；（用含x的代数式表示） （2）若点Q表示的数是3，求点P表示的数． 19．（8分）【观察思考】 【规律发现】填空： （1）第5个图案中，外侧边上“●”的个数为 　 　； （2）第6个图案中，内部“△”的个数为 　 　； 【规律应用】 （3）问第几个图案中，内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍． 20．（8分）杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分．当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点O的水平距离为4米，其高度为米．在离点O水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网BC，以点O为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题． （1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； （2）试通过计算判断此球能否过网． 21．（8分）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，某商场以每件25元的进价购进一批“弗里热”纪念品．当商品售价为每件40元时，一月份可销售256件．二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三月这两个月月平均增长率不变． （1）求二、三月这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客．经调查发现，商品进价为每件25元不变，当商品售价为每件40元时，销售量达到400件，若商品售价每降价1元，销售量就会增加5件．求当商品降价多少元时，商场可以获利4250元？ 22．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）． （1）求该二次函数的解析式； （2）写出该二次函数图象的对称轴 　 　，顶点坐标 　 　； （3）点C（m，m）（其中m＞0）与点D均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求m的值及点D的坐标． 23．（10分）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式y2+4y+8的最小值． 解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4， ∵（y+2）2≥0， ∴（y+2）2+4≥4． ∴当y＝﹣2时，y2+4y+8的最小值是4． （1）【类比探究】 求代数式x2﹣6x+12的最小值； （2）【举一反三】 若y＝﹣x2﹣2x当x＝　 　时，y有最 　 　值（填“大”或“小”），这个值是 　 　； （3）【灵活运用】 已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，则x+y＝　 　； （4）【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，栅栏的总长度为24m．当BF为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接CD，CB，DB，OB＝OC＝3，OA＝1． （1）写出A的坐标 　 　，B的坐标 　 　，C的坐标 　 　； （2）求抛物线的表达式； （3）求△CBD的面积； （4）当m≤x≤m+2时，y的最小值为3，直接写出m的值 　 　． 2024-2025学年河北省邯郸市丛台区育华中学九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每题3分，共36分） 1．【解答】解：∵y＝ax2+4x+5的开口向下， ∴a＜0， 故选：D． 2．【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+mx﹣4＝0的另一个根为x2， 则4•x2＝﹣4， 解得x2＝﹣1， 故选：B． 3．【解答】解：把抛物线y＝3x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是y＝3（x﹣3）2﹣2， 故选：C． 4．【解答】解：设美术兴趣小组人数为x人． x（x﹣1）＝72， 解得x1＝9，x2＝﹣8（不合题意，舍去）， 故选：C． 5．【解答】解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+1上的三点， ∴y1＝﹣（﹣2+1）2+1＝0，y2＝﹣（1+1）2+1＝﹣3，y3＝﹣（2+1）2+1＝﹣8， ∵0＞﹣3＞﹣8， ∴y1＞y2＞y3． 故选：A． 6．【解答】解：∵一元二次方程●x2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×●×2＞0，且a≠0， 解得：●＜2且●≠0， 故选：B． 7．【解答】解：图象关于直线x＝1对称，A说法正确， 故不符合题意； 函数的最小值是﹣4，B说法正确， 故不符合题意； ﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，C说法正确， 故不符合题意； 当x＜1时，y随x的增大而减小，D说法错误， 故符合题意； 故选：D． 8．【解答】解：小逸的解法错误，方程两边不能同时除以（x+5），这样会漏解； 小明利用配方法解方程，计算正确； 小琛利用解一元二次方程﹣因式分解法，计算正确； 故选：C． 9．【解答】解：∵左面抛物线可以用表示， ∴顶点坐标为（﹣20，1）， 则右面抛物线的顶点坐标为（20，1）， ∴右面抛物线的表达式， 故选：A． 10．【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）， ∴对称轴为直线x＝﹣＝1， 所以点O2是原点； 故选：B． 11．【解答】解：∵点B（m，﹣1）在抛物线上， ∴， ∴m＝2或m＝﹣2（舍去）， ∴B（2，﹣1）， ∴， ∵四边形OABC是正方形， ∴， ∴正方形OABC面积为：． 故选：C． 12．【解答】解：当函数y＝ax2+与函数y＝[x]的图象在0≤x＜3有两个交点时[x]＝ax2+在0≤x＜3有两个解， 令y＝ax2+经过（1，1），得a＝， ∴y＝x2+， 令y＝ax2+经过（2，2），得a＝， ∴y＝x2+， 令y＝ax2+经过（2，1），得a＝， ∴y＝x2+， 令y＝ax2+经过（3，2），得a＝， ∴y＝x2+， 如图， 可以看出经过（2，2）的y＝x2+和经过（3，2）的y＝x2+，与函数y＝[x]的图象在0≤x＜3有两个交点， ∴＜a≤， 故选：A． 二、填空题（每空3分，共12分） 13．【解答】解：∵（a+1）x|a﹣1|﹣4＝0是关于x的一元二次方程， ∴|a﹣1|＝2， ∴a﹣1＝±2， ∴a＝3或a＝﹣1， ∵a+1≠0， ∴a≠﹣1， ∴a＝3， 故答案为：3． 14．【解答】解：∵x＝﹣1时y＝﹣1， ∴a﹣b+c＝﹣1． 故答案为：﹣1． 15．【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝﹣＝2，mn＝﹣， 所以m+n﹣mn＝2﹣（﹣）＝． 故答案为：． 16．【解答】解：根据抛物线的图象可知： 抛物线的对称轴为x＝﹣1，已知一个交点为（1，0）， 根据对称性，则另一交点为（﹣3，0）， 所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 三、简答题（共8道小题，共72分） 17．【解答】解：（1）∵（x+2）2﹣25＝0， ∴（x+2）2＝25， ∴x+2＝±5， ∴x+2＝5或x+2＝﹣5， 解得x1＝3，x2＝﹣7； （2）∵x2﹣6x﹣7＝0， ∴（x﹣7）（x+1）＝0， ∴x﹣7＝0或x+1＝0， 解得x1＝7，x2＝﹣1； （3）∵x2﹣2x﹣4＝0， ∴x2﹣2x＝4， ∴x2﹣2x+1＝5， ∴（x﹣1）2＝5， ∴x﹣1＝±， 解得x1＝1+，x2＝1﹣； （4）∵2x2﹣5x﹣3＝0， ∴（2x+1）（x﹣3）＝0， ∴2x+1＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝﹣0.5，x2＝3． 18．【解答】解：（1）∵点P在点Q的左侧， ∴﹣2x2+x﹣6＜2x2﹣3x+4， ∴PQ＝2x2﹣3x+4﹣（﹣2x2+x﹣6）＝4x2﹣4x+10， ∴点P，Q之间的距离是4x2﹣4x+10． 故答案为：4x2﹣4x+10． （2）∵点Q表示的数是3， ∴2x2﹣3x+4＝3， ∴x1＝，x2＝1， ∵x为整数， ∴x＝1． 当x＝1时，﹣2x2+x﹣6＝﹣2+1﹣6＝﹣7， ∴点P表示的数是﹣7． 19．【解答】解：（1）第一个图案，外侧边上有3个“●”， 第二个图案，外侧边上有6个“●”， 第三个图案，外侧边上有9个“●”， 第四个图案，外侧边上有12个“●”， …… 第n个图案，外侧边上有3n个“●”， ∴第五个图案，外侧边上有15个“●”， 故答案为：15； （2）第一个图案，内部“△”的个数为1， 第二个图案，内部“△”的个数为3， 第三个图案，内部“△”的个数为6， 第四个图案，内部“△”的个数为10， …… 第n个图案，内部“△”的个数为， ∴第六个图案，内部“△”的个数为， 故答案为：21； （3）∵×3， ∴n2﹣17n＝0， ∴n＝0（舍去），n＝17， 答：第17个图案时，内部“△”的个数是外侧边上“●”的个数的3倍． 20．【解答】解：（1）根据题意设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+， 将点（0，1）代入可得：1＝a（x﹣4）2+， 解得：a＝﹣， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+； （2）此球能过网，理由： 当x＝5时，y＝﹣（5﹣4）2+＝4， ∵4＞1.55， ∴此球能过网． 21．【解答】解：（1）设二、三月这两个月的月平均增长率为x， 根据题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：二、三月这两个月的月平均增长率为25%； （2）设商品降价y元，则每件的销售利润为（40﹣y﹣25）元，月销售量为（400+5y）件， 根据题意得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250， 整理得：y2+65y﹣350＝0， 解得：y1＝5，y2＝﹣70（不符合题意，舍去）． 答：当商品降价5元时，商场可以获利4250元． 22．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x﹣6． （2）∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣10）． 故答案为：直线x＝2；（2，﹣10）． （3）∵点C（m，m）函数图象上， ∴m＝m2﹣4m﹣6， 解得：m1＝﹣1，m2＝6， ∵m＞0， ∴m1＝﹣1舍去， ∴m＝6． ∵点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线x＝2， ∴D（﹣2，6）． 23．【解答】解：（1）x2﹣6x+12 ＝（x2﹣6x+9）+3 ＝（x﹣3）2+3， ∵（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+3≥3， ∴当x＝3时，x2﹣6x+12的最小值为3； （2）y＝﹣x2﹣2x ＝﹣x2﹣2x﹣1+1 ＝﹣（x+1）2+1， ∵（x+1）2≥0， ∴﹣（x+1）2≤0， ∴﹣（x+1）2+1≤1， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x有最大值，最大值为1． 故答案为：﹣1；大；1； （3）解：∵x2﹣4x+y2+2y+5＝0， ∴（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0， ∴（x﹣2）2+（y+1）2＝0， ∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0， ∴（x﹣2）2＝（y+1）2＝0， ∴x﹣2＝0，y+1＝0， ∴x＝2，y＝﹣1， ∴x+y＝2﹣1＝1． 故答案为：1； （4）解：设BF＝x m，则CF＝2BF＝2x m， ∴BC＝3x m， ∴， ∴ ＝﹣3x2+24x ＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵（x﹣4）2≥0， ∴﹣3（x﹣4）2≤0， ∴﹣3（x﹣4）2+48≤48， ∵AD＝BC＝3x≤15， ∴0＜x≤5， ∴当x＝4时，S矩形ABCD最大，最大值为48， ∴当BF＝4m，矩形养殖场的总面积最大，最大值为48m2． 24．【解答】解：（1）由题由题A（1，0），B（3，0），C（0，3）； 故答案为：（1，0），（3，0），（0，3）； （2）∵OB＝OC＝3，OA＝1． ∴点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3）， 将点C（0，3）得代入a＝1， 即抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3； （3）∵抛物线y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点D（2，﹣1）， 连接OD，如图： ∵S△CBD＝S△OBC+S△OBD﹣S△OCD， ∴S△CBD＝×3×3+×3×1﹣×3×2＝3； （4）由顶点坐标可知抛物线的对称轴为x＝2， ①当m≥2时，m≤x≤m+2位于对称轴右侧，y随着x的增大而增大， 此时当x＝m时，y＝x2﹣4x+3取最小值，即y＝m2﹣4m+3＝3， 解得m1＝4，m2＝0（舍去）； ②当m+2≤2时，即m≤0时，m≤x≤m+2位于对称轴左侧，y随着x的增大而减小， 此时当x＝m+2时，y＝x2﹣4x+3取最小值，即y＝（m+2）2﹣4（m+2）+3＝3， 解得m1＝﹣2，m2＝2（舍去）； 当时，即0＜m＜2时， 此时当x＝2时，y＝x2﹣4x+3取最小值， 即y＝﹣1，不符合题意，舍去． 综上所述，m的取值为4或﹣2． 故答案为：4或﹣2． 学科网（北京）股份有限公司 $$