精品解析：江苏省宜兴市宜兴外国语学校2024-2025学年八年级数学10月月考试卷

宜兴外国语学校初二数学小练习试卷 （时间100分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2. 如图，将折叠，使点C与点B重合，折痕l与边交于点D，连接，则是的（　　） A. 角平分线 B. 高线 C. 中线 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得：D为中点，于是可得是的中线. 【详解】解：∵将折叠，使点C与点B重合， ∴D为中点， ∴是的中线； 故选：C. 【点睛】本题考查了折叠的性质和三角形中线的定义，正确理解题意是关键. 3. 根据下列条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可． 【详解】解：如图， A、根据，不能判断，故本选项错误； B、根据，不能判断，故本选项错误； C、根据，不能判断，故本选项错误； D、，能判断，故本选项正确； 故选：D． 4. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 5. 如图，点F，B，E，C在同一条直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，根据全等三角形对应角相等得到，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断. 【详解】∵第三个图形是三角形， ∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A， ∵再展开可知两个短边正对着， ∴选择答案D，排除B与C． 故选D． 【点晴】此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点. 7. 下列说法：①形状相同的两个三角形是全等三角形；全等三角形的中线相等；成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形以及全等三角形的判断和性质，解题的关键是掌握轴对称定义、 全等三角形的判断方法和性质． ①根据只有形状相同，大小也相等的两三角形才是全等三角形来判断； ②根据全等三角形对应边上的中线相等可判断； ③根据成轴对称图形的性质，即可判断； ④根据全等三角形的判定方法即可判断． 【详解】解：①形状相同的两个三角形是相似三角形，不一定是全等三角形，只有形状相同，大小也相等的两三角形才是全等三角形，故此选项不符合题意； ②全等三角形对应边上的中线相等，故此不选项符合题意； ③成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分，故此选项符合题意； ④两直角三角形的两直角边相等，这两个直角三角形全等，符合全等三角形的判定定理“SAS”，故此选项符合题意． 综上所述，正确的说法有③④共2个． 故选：B． 8. 如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图案的设计，掌握“轴对称的性质”是解题的关键．若两个图形关于某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，根据定义逐一分析可得答案． 【详解】解：符合题意的图案有： 符合要求．的白色小正方形有个， 故选：C 9. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点D作于点E，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 中，，是的角平分线，， ， ， ， 故选A． 10. 在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【详解】如图，最多能画出个格点三角形与△ABC成轴对称． 故选：． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题的难点在于确定出不同的对称轴. 二、填空题（本大题共8小题，8个空，每小空3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 正方形是轴对称图形，它共有_______条对称轴． 【答案】四 【解析】 【详解】试题分析：根据对称轴的定义，直接作出图形的对称轴即可． 解：∵如图所示，正方形是轴对称图形，它共有4条对称轴． 故答案为4． 考点：轴对称图形． 12. 一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出，的值进而得出答案． 【详解】解：一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，且这两个三角形全等， ，， ， 故答案为：． 13. 如图，与关于直线对称，则的度数为___________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键．根据轴对称的性质求出的度数，再利用三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【详解】解：∵与关于直线对称，， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】要判定，已知，，具备了两组边对应相等，故添加，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）． 【详解】解：若添加条件：， 因为，， 所以， 所以； 若添加条件：， 因为，， 所以， 所以； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 15. 如图，从镜子中看到一钟表为2：30，此时的实际时刻是___________． 【答案】9：30 【解析】 【分析】关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果可得答案． 【详解】从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是9：30， 故答案为：9：30． 【点睛】此题主要考查了镜面对称，动手操作可以直观的得到答案． 16. 如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理和倍长中线的数学模型是解题的关键，延长到，使，连接，易证得，在中，利用三角形三边关系即可求得的取值范围． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，，平分，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，运用平行线的性质可判断①；在上截取，连接，证明可判断②；由可得出，分两种情况讨论可判断③；根据全等三角形的性质可判断④ ． 【详解】解：①∵ ∴, ∵平分, ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ②在上截取，连接， ∵平分, ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∵， ∴故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 当时，故③错误； ④∵ ∴，， ∴， 故④正确， 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④ 18. 如图，已知线段m，射线于点A，射线于B，P点从B点沿B—A—B运动，每秒走1m，Q点从B点沿方向运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 _______秒后，在射线上有一点C，使与全等． 【答案】或或 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，由题意得：，当时，；当时，；分类讨论，两种情况即可求解； 【详解】解：由题意得：， 当时，； 当时，； 时： 则， ∴，解得：； 或，解得：（舍）； 时： 则， ∴，解得：； 或，解得：； 综上所述：或或时，可使与全等 故答案为：或或 三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答） 19. 已知：如图，点、在线段上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判断条件是解题的关键． 根据平行线的性质可得，然后利用即可得出结论． 【详解】略． 20. 如图，两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，图中，B，C，E在同一条直线上，连结． （1）求证：． （2）指出线段和线段的关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （2） 线段和线段的关系是：垂直且相等． 证明：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即∴， ∴， ∴线段和线段的关系是：垂直且相等． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据证明即可； （2）线段和线段的关系是：垂直且相等．理由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在正方形网格上有一个． （1）画关于直线MN的对称（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握画轴对称图形的方法是关键． （1）根据网格结构找出点、、关于的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 ． 22. 如图，已知． （1）用直尺和圆规按下列要求作图： ①作的角平分线； ②在的延长线上找一点E， 使； ③作，垂足为F． （2）若是等边三角形（），则与的数量关系为　　． 【答案】（1） 如图所示：，点E，F即为所求 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图以及含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，掌握相关结论即可； （1）①根据要求即可作图；②作即可；③根据要求即可作图； （2）由题意得,进而可得；根据可推出 ，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的角平分线， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 23. 如图，已知，点A是射线上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，设运动时间为，其中． （1）当与全等时，求t的值； （2）四边形的面积为　　． 【答案】（1）的值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，根据三角形全等的判定方法，只有当为等腰直角三角形时，与全等，所以，即，然后解方程即可； （2）利用得到，，则可判断四边形为正方形，所以，即，于是可求出，然后利用四边形的面积进行计算． 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质与判定，正方形的性质与判定：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 为等腰直角三角形， 而为公共边， 当为等腰直角三角形时，与全等， ， 即，解得， 即的值为； 【小问2详解】 解：过点作于，于，如图， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，过点作于，于， ∴四边形为矩形， ∵， 四边形为正方形， ， ， 即， ， 四边形的面积． 故答案为． 24. 我们规定：有两组边相等，且它们所夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： （1）和　　（“是”或“不是”）兄弟三角形． （2）“取的中点，连接，试说明．”聪明的小井同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明：； ②求证： （3）聪明的小井同学进一步研究了与位置关系，请你证明：． 【答案】（1）是 （2） ①证明：如图，延长至，使，      为的中点， ． 又， 在和中， ， ， ； ②， ，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3） 证明：如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义“兄弟三角形”，全等三角形的判定与性质等知识．正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由“兄弟三角形”的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出；②由可得，，推出，根据平行线的性质和可得，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）延长交于点，由全等三角形的性质可得：，根据平角的定义得到，则，最后根据三角形的内角和定理以及垂直的定义即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 又，， 和是兄弟三角形， 故答案为：是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； （2）如图，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，则 ． 【答案】（1） 证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 证明：如图，过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）由可证得，于是可得； （2）过点作，交的延长线于点，由可证得，于是可得，然后利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）设，则，分三种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点；由全等三角形的判定与性质可求得相应线段的长，由三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分三种情况： 当点在线段上时， 如图： ， 设，则， 由（1）得：， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时， 如图， 由图可得：，不可能， 此种情况不存在； 当点在的延长线上时， 如图，过点作，交的延长线于点， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，利用邻补角互补求角度，三角形的面积公式，线段的和与差等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜兴外国语学校初二数学小练习试卷 （时间100分钟，满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 2023亚运会在中国杭州举行，下列图形中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，将折叠，使点C与点B重合，折痕l与边交于点D，连接，则是的（　　） A. 角平分线 B. 高线 C. 中线 D. 无法确定 3. 根据下列条件，能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点F，B，E，C在同一条直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（　　） A. B. C. D. 7. 下列说法：①形状相同的两个三角形是全等三角形；全等三角形的中线相等；成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的说法有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（ ）个． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是的角平分线，若，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 在4×4的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与△ABC关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共8小题，8个空，每小空3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 正方形是轴对称图形，它共有_______条对称轴． 12. 一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则_________． 13. 如图，与关于直线对称，则的度数为___________． 14. 如图，已知点A、D、B、F在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是_____． 15. 如图，从镜子中看到一钟表为2：30，此时的实际时刻是___________． 16. 如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是_________． 17. 如图，，平分，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是_________． 18. 如图，已知线段m，射线于点A，射线于B，P点从B点沿B—A—B运动，每秒走1m，Q点从B点沿方向运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发 _______秒后，在射线上有一点C，使与全等． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答） 19. 已知：如图，点、在线段上，，，．求证：． 20. 如图，两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，图中，B，C，E在同一条直线上，连结． （1）求证：． （2）指出线段和线段的关系，并说明理由． 21. 如图，在正方形网格上有一个． （1）画关于直线MN的对称（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为，求的面积． 22. 如图，已知． （1）用直尺和圆规按下列要求作图： ①作的角平分线； ②在的延长线上找一点E， 使； ③作，垂足为F． （2）若是等边三角形（），则与的数量关系为　　． 23. 如图，已知，点A是射线上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，设运动时间为，其中． （1）当与全等时，求t的值； （2）四边形的面积为　　． 24. 我们规定：有两组边相等，且它们所夹角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，，回答下列问题： （1）和　　（“是”或“不是”）兄弟三角形． （2）“取的中点，连接，试说明．”聪明的小井同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明：； ②求证： （3）聪明的小井同学进一步研究了与位置关系，请你证明：． 25. 已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图，当点在线段上时，过点作于，连接．求证：； （2）如图，当点在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； （3）当点在直线上时，连接交直线于，若，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $