精品解析：广东省江门市鹤山市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

鹤山一中2024-2025学年度第一学期第一阶段考试 高二数学试卷 2024.10 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知，，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算即可求解. 【详解】,所以, 所以, 故选：B 2. 为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 8.5 D. 9.5 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数求出 的值，将这组数据从小到大的顺序排列，由百分位数的定义即可求解. 【详解】由题意可得：，解得： ， 将这组数据从小到大的顺序排列为， 因为为整数， 所以这组数据的75百分位数为 ， 故选：C. 3. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面 ， 的法向量（ ， 不重合），则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方向向量和平面法向量的定义，利用向量之间的关系即可判断出直线与平面间的位置关系. 【详解】对于A，因为不重合，由直线方向向量与直线的位置关系可得，即A正确； 对于B，由法向量与方向向量的定义易知或，所以B错误； 对于C，由于 ， 不重合，所以可得，即C正确； 对于D，由平面法向量与平面的位置关系可得，即D正确； 故选：B 4. 如图所示，三棱柱中， 是 的中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】因为. 故选：B 5. 如图，以等腰直角 的斜边BC上的高AD为折痕，把 和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量运算，ABC项利用向量数量积的坐标运算可得，D项分别求两平面的法向量坐标，再利用数量积可得. 【详解】由已知AD为等腰直角 的斜边BC上的高，即， 则 为 的中点 ， 又平面平面，平面平面， ， 平面 ， ∴平面 ，又平面 ， ∴，又， 以D为坐标原点，分别以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 设斜边，则， 所以， 可得， A项，，故A正确； B项，，则，故B正确； C项，，则 ，故C正确； D项，因为平面ADC的一个法向量为， 设平面ABC的法向量为，则， 令 ，则，可得， 则， 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不垂直，故D错误． 故选：D. 6. 一组数据的平均数为，现定义这组数据的平均差.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图 根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均差公式知数据越集中于平均值附近，平均差越小，再结合甲乙数据的频率分布折线图即可得到结果. 【详解】由给定的平均差公式可知：数据越集中于平均值附近，平均差越小. 甲乙两图的纵坐标表示的为频率/组距，即指数据落在此处的概率，甲图中，不同组距区间的概率相差不大，即指数据较为均匀的分布在各区间，而乙图数据较为集中的分布在乙图最高处指代的区间，其他区间分布的比较少，故乙图平均差比较小. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了平均差，解题的关键是理解新定义，弄清楚已知条件折线图的纵坐标表示的是概率，考查学生的转化能力，属于基础题. 7. 已知O为坐标原点，向量，点Q在直线 上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量共线设求出点 坐标，进而表示出，，再利用向量的数量积和二次函数知识解答即可； 【详解】因点Q在直线 上运动，则，有，于是有， 因此，，， 于是得， 则当时，，此时，点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为， 故选：D. 8. 有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ） A. 甲与乙相互独立 B. 甲与丙相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答. 【详解】依题意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球两次的试验的基本事件总数是， 显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为， 事件丙的概率，事件丁的概率， 对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率，甲与乙相互独立，A正确； 对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率，甲与丙不独立，B错误； 对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率，乙与丙不独立，C错误； 对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率，乙与丁不独立，D错误. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为 ，的平均数为 ， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断 的大小， 例如： ，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 在的投影向量的坐标是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，故A正确； ，故B错误； ，所以，故C错误； 又， 所以在的投影向量为，故D正确； 故选：AD 11. 如图，已知正方体的棱长为，点 为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点 的轨迹长度为 B. 满足的点 的轨迹长度为 C. 存在唯一的点 满足 D. 存在点 满足 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点 的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，且 ，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案． 【详解】对于A，取的中点 ，的中点 ，又点 为的中点， 由正方体的性质知，平面， 平面 所以平面，同理平面，，平面， 所以平面平面，又平面，平面， 故点 的轨迹为线段，故A正确； 以 为原点，分别以 ， ，为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， 则，，设且 ，， ，，， 对于B，，即， 又 ，，则点 的轨迹为线段 ， ，且，故B正确； 对于C，， 显然，只有 ，时，，即，故存在唯一的点 满足，故C正确； 对于D，点 关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短， 故，故不存在点 满足，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在空间直角坐标系中，，若 三点共线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线，可得空间向量共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案. 【详解】由题得.， 因为 三点共线，所以存在实数，使得， 即， 所以，解得，所以， 故答案为： 13. 从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= _______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：从2，3，8，9中任取两个数记为，作为作为对数的底数与真数，共有个不同的基本事件，其中为整数的只有两个基本事件，所以其概率. 考点：古典概型. 14. 如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】以点 为坐标原点， 、 、所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设点，其中 、，求出平面的一个法向量，，由因为平面，则，可得，利用二次函数的基本性质结合空间向量的模长公式可求得线段长度的最小值. 【详解】以点 为坐标原点， 、 、所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，设点，其中 、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， ，因为平面，则， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，的长度取最小值. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知空间三点，，. （1）求以 ， 为邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算及夹角公式，结合向量的模公式及平行四边形的面积公式即可求解； （2）利用向量垂直的条件及向量的模公式即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以， 因为， 所以， 所以 ， 为邻边的平行四边形的面积为 . 【小问2详解】 设，因为向量分别与，垂直， 所以,即， 所以消去 得：， 不妨令，则， 因为， 所以，得， ∴，解得或， 所以或. 16. 如图，在四棱锥中，， ，，， ，，. （1）证明：平面； （2）求 与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理，证明出可证得平面. （2）作，垂足为H，连结，证得为 与平面所成的角，在中求即可. 【小问1详解】 ∵， ，， 由勾股定理得：， 中，， ∵，∴， 又因为底面 ，底面 ，所以， 又因为且平面，∴平面， 【小问2详解】 作，垂足为H，连结， 因为平面， 平面，所以 ， 又因为且平面，所以平面， 所以为 与平面所成的角， 中，， ， 所以直线 与平面所成角的余弦值为. 17. 九洪的西瓜脆甜爽口，汁多肉厚，在川南地区久负盛名，其实在九洪还有一种香瓜也非常好吃，由于个小产量也少，往往供不应求，所以不被大家熟悉．九洪某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在，，，，（单位：克）中，经统计绘制频率分布直方图如图所示： （1）估计这组数据的平均数； （2）在样本中，按分层抽样从质量在，中的香瓜中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个香瓜都来自同一个质量区间的概率； （3）某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜20000个，经销商提出以下两种收购方案： 方案①：所有香瓜以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 【答案】（1）克 （2） （3）方案②. 【解析】 【分析】（1）频率分布直方平均数算法：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加； （2）根据分层抽样原则抽取出质量在，中的香瓜个数，按照条件根据古典概型进行计算即可； （3）根据题意分别计算出两个方案获利情况进行比较即可. 【小问1详解】 （克）. 【小问2详解】 质量在的香瓜有个， 质量在的香瓜有个， 分层抽样随机抽取5个，其中质量在的香瓜有2个，标记为和； 在的香瓜有3个，标记为、和； 随机抽取2个香瓜的情况有： 、、、、、、、、、， 10种情况，其中来自同一个质量区间有4种情况， 故概率为； 【小问3详解】 方案①：根据题意可知20000个香瓜中： 200克的有：个， 300克的有：个， 400克的有：个， 500克的有：个， 600克的有：个， 元； 方案②：质量低于350克的香瓜有个， 质量高于或等于350克的香瓜有个， 元，且85200>77400， 综上植园选择方案②获利更多. 18. 已知底面 是正方形，平面 ， ， ，点 、 分别为线段、 的中点． （1）求证：平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值； （3）线段 上是否存在点 ，使得直线与平面 所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：法一：分别取 、 的中点 、 ，连接、 、 ， 由题意可知点 、 分别为线段、 的中点．所以 ， ， 因为 ，所以 ，所以点 、 、 、 四点共面， 因为 、 分别为 、 的中点，所以 ， 因为平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又因为 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 ； 法二：因为 为正方形，且平面 ，所以 、 、 两两互相垂直， 以点 为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，易知平面 的一个法向量， 所以 ，所以， 又因为平面 ，所以平面 ． （2） （3） 假设存在点 ，使得，其中， 则， 由（2）得平面 的一个法向量为， 由题意可得， 整理可得 ．即 ， 因为 ，解得或，所以，或 ． 【解析】 【分析】（1）法一：分别取 、 的中点 、 ，连接、 、 ，证明出平面 平面 ，利用面面平行的性质可证得结论成立； 法二：以点 为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得平面 与平面 夹角的余弦值； （3）假设存在点 ，使得，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解之即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设平面 的法向量，，， 则，取 ，可得， 所以平面 的一个法向量为， 易知平面 的一个法向量，设平面 与平面 夹角为， 则， 所以平面 与平面 夹角余弦值为； 【小问3详解】 略 19. 甲､乙､丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空. （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件 为甲胜乙， 为甲胜丙， 为乙胜丙，然后得出丙被淘汰可用事件，根据互斥事件的概率公式以及事件的独立性，即可得出答案； （2）分最终的冠军为甲，乙，丙，分别求解出概率，然后根据互斥事件的概率公式，即可得出答案. 【小问1详解】 记事件 为甲胜乙，则，则， 事件 为甲胜丙，则，， 事件 为乙胜丙，则，. 则丙被淘汰可用事件来表示， 所以，前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率为 . 【小问2详解】 若最终的冠军为甲，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ； 若最终的冠军为乙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， ； 若最终的冠军为丙，则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示， . 所以，只需四场比赛就决出冠军的概率为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤山一中2024-2025学年度第一学期第一阶段考试 高二数学试卷 2024.10 一．单选题（共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知，，O为坐标原点，若，则点B的坐标应为（ ） A. B. C. D. 2. 为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的75百分位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 8.5 D. 9.5 3. 已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面 ， 的法向量（ ， 不重合），则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，三棱柱中， 是 的中点，若，，，则＝（ ） A. ) B. C. D. 5. 如图，以等腰直角 的斜边BC上的高AD为折痕，把 和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 6. 一组数据的平均数为，现定义这组数据的平均差.下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图 根据折线图，判断甲、乙两组数据的平均差的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 已知O为坐标原点，向量，点Q在直线 上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（       ） A. B. C. D. 8. 有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（ ） A. 甲与乙相互独立 B. 甲与丙相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 10. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. D. 在的投影向量的坐标是 11. 如图，已知正方体的棱长为，点 为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点 的轨迹长度为 B. 满足的点 的轨迹长度为 C. 存在唯一的点 满足 D. 存在点 满足 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在空间直角坐标系中，，若 三点共线，则__________. 13. 从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则为整数的概率= _______． 14. 如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别是棱BC、的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面AEF，则线段长度的最小值是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知空间三点，，. （1）求以 ， 为邻边的平行四边形的面积； （2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标. 16. 如图，在四棱锥中，， ，，， ，，. （1）证明：平面； （2）求 与平面所成角的余弦值. 17. 九洪的西瓜脆甜爽口，汁多肉厚，在川南地区久负盛名，其实在九洪还有一种香瓜也非常好吃，由于个小产量也少，往往供不应求，所以不被大家熟悉．九洪某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在，，，，（单位：克）中，经统计绘制频率分布直方图如图所示： （1）估计这组数据的平均数； （2）在样本中，按分层抽样从质量在，中的香瓜中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个香瓜都来自同一个质量区间的概率； （3）某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜20000个，经销商提出以下两种收购方案： 方案①：所有香瓜以10元/千克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？ 18. 已知底面 是正方形，平面 ， ， ，点 、 分别为线段、 的中点． （1）求证：平面 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值； （3）线段 上是否存在点 ，使得直线与平面 所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由． 19. 甲､乙､丙三人进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为，乙胜丙的概率为，各场比赛的结果相互独立.经抽签，第一场比赛甲轮空. （1）求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率； （2）求只需四场比赛就决出冠军的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $