考点1 等腰三角形中的分类讨论、规律探究-华东师大版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 1 等腰三角形中的分类讨论、规律探究 1．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则这个等腰三角形的底角度数是 ． 2．若等腰三角形的两边长分别为 3和 5，则等腰三角形的周长为 ． 3．用一条长为 20cm 的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的 2倍，求三角形各边的长； （2）能围成一条边是 5cm 的等腰三角形吗？若能，求出其他两边；若不能，说明理由． 4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知 A、B是两格点，如果 C也是图中 的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则点 C的个数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，坐标平面内一点 A(2，－1)，O 为原点，P是 x轴上的一个动点，如果以点 P、O、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点 P的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，在 ABC 中， 90B  ， 16cmAB  ， 12cmBC  ， 20cmAC  点 Q是 ABC 边上的一个动 点，点 Q从点 B开始沿B C A  方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为 t秒．当点 Q 在边 CA 上运动时，出发 秒后， BCQ△ 是以CQ为腰的等腰三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 7．如图，已知 1AB A B ， 1 1 1 2A B A A ， 2 2 2 3A B A A ， 3 3 3 4A B A A ，…， 1 1 1n n n nA B A A   （ 2n  且 n为 整数），若 50B  ，则 1 1n n nA A B  的度数为 . 8．如图，已知∠MON＝30°，点 1 2 3, .A A A …在射线 ON 上，点 1 2 3, ,B B B 在射线 OM 上，△ 1 1 2A B A ， △ 2 2 3A B A ，△ 3 3 4A B A …均为等边三角形．若 1OA ＝1，则△ 2015 2015 2016A B A 的边长为 ． 9．在 ABC 中， AB AC ，过点 C作CD AB 于 D， (1)在图 1中，若 9AB  ， 6BC  ， 4 2CD  ，则 ABCS  ，边 BC上的高 AE  ； (2)在图 2中，若点 P是 B，C所在直线上的一点（不与点 B，C重合），过点 P作PE AB 于 E， 作PF AC 于 F，请你补齐图形，尝试探究线段CD， PE， PF之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 1 等腰三角形中的分类讨论、规律探究 参考答案 1．65或25/25或65 【难度】0.65 【分析】在等腰 ABC 中， AB AC ，BD为腰 AC上的高， 40ABD  ，讨论：当 BD在 ABC 内 部时，如图 1，先计算出 50BAD  ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出 ACB ； 当 BD在 ABC 外部时，如图 2，先计算出 50BAD  ，再根据等腰三角形的性质和三角形外角 性质可计算出 ACB ． 【详解】解：在等腰 ABC 中， AB AC ， BD为腰 AC上的高， 40ABD  ， 当 BD在 ABC 内部时，如图 1， BDQ 为高， 90ADB  ， 90 40 50BAD     ， AB AC ， 1 (180 50 ) 65 2 ABC ACB        ； 当 BD在 ABC 外部时，如图 2， BDQ 为高， 90ADB  ， 90 40 50BAD     ， AB AC ， ABC ACB  ， 而 BAD ABC ACB    ， 1 25 2 ACB BAD    ， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65或25． 故答案为：65或25． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 2．11 或 13 【难度】0.85 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为 3时，当腰长为 5时，两种情况利用构成三角形的条件进行判断求解即可． 【详解】解：当腰长为 3时，则此时该等腰三角形的三边长为 3，3，5， ∵3 3 5  ， ∴此时能构成三角形， ∴此时三角形的周长为3 3 5 11   ； 当腰长为 5时，则此时该等腰三角形的三边长为 3，5，5， ∵3 5 5  ， ∴此时能构成三角形， ∴此时三角形的周长为3 5 5 13   ； 综上所述，该等腰三角形的周长为 11 或 13， 故答案为：11 或 13． 3．（1）该等腰三角形的各边的长为 8cm、8cm、4cm；（2）能围成一条边是 5cm 的等腰三角 形，其他两边长分别为 7.5cm，7.5cm 【难度】0.85 【分析】（1）设等腰三角形的地边长为 x厘米，则腰长为 2x 厘米，进而根据题意可列方程求 解； （2）由题意可分当 5cm 为该等腰三角形的腰长和为底边长进行分类求解即可． 【详解】解：（1）设等腰三角形的地边长为 x厘米，则腰长为 2x 厘米，由题意得： x+2x+2x=20，解得：x=4， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴该等腰三角形的各边的长为 8cm、8cm、4cm； （2）由题意可分： ①当 5cm 为该等腰三角形的腰长时，则底边长为 20-2×5=10cm， ∵5+5=10， ∴不符合三角形三边关系； ②当 5cm 为该等腰三角形的底边长时，则腰长为（20-5）÷2=7.5cm， ∵5+7.5=12.5＞7.5， ∴符合三角形的三边关系， 综上所述：能围成一条边是 5cm 的等腰三角形，其他两边长分别为 7.5cm，7.5cm． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 4．C 【难度】0.85 【分析】当 AB 为腰时，分别以点 A、点 B为圆心，AB 长为半径画圆，观察此时满足条件的格 点数；当 AB 为底边时，作线段 AB 的垂直平分线，观察此时满足条件的格点数，由此得到答案． 【详解】解：如下图： 当 AB 为腰时，分别以点 A、点 B为圆心，AB 长为半径画圆，观察可知满足条件的格点共 4个； 当 AB 为底边时，作线段 AB 的垂直平分线，观察可知满足条件的格点共 4个，所以 C是图中的 格点，且使得△ABC 为等腰三角形的点数共 8个． 故选 C． 【点睛】本题考查格点图中寻找可与已知两点构成等腰三角形的点，熟练掌握分类讨论思想是 解题的关键． 5．C 【难度】0.85 【分析】根据等腰三角形的性质及垂直平分线的性质作出相应图像，然后即可确定点的个数 【详解】解：以 O点为圆心，OA 为半径作圆与 x轴有两交点，这两点符合题意． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 以 A点为圆心，OA 为半径作圆与 x轴交于两点（O点除外）． 作线段 OA 的垂直平分线与 x轴有一交点．如图所示： 共 4个点符合， 故选 C． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 6． 22或 24 【难度】0.85 【分析】题考查了等腰三角形的性质，分两种情况：当CQ CB 时；当QC QB 时；然后分别进 行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当CQ CB 时，如图： 12cmCB CQ  ，  24 1 CB CQt   (秒)； 当QC QB 时，如图： QC QB ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 C CBQ   ， 90ABC   ， 90C A    ， 90CBQ QBA   ， QBA A   ， BQ QA  ，  1 10 cm 2 CQ QA AC    ，  22 1 CB CQt   (秒)； 综上所述：当点Q在边��上运动时，出发 22或 24秒后， BCQ 是以CQ为腰的等腰三角形， 故答案为： 22或 24． 7． 1 75 2n- ° ． 【难度】0.65 【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度 数，找出规律即可得出∠An-1AnBn-1的度数． 【详解】∵在△ABA1中，∠B=50°，AB=A1B， ∴∠BA1A=75°， ∵A1A2=A1B1，∠BA1A 是△A1A2B1的外角， ∴∠B1A2 A1= 1 75 2 2 BA A   ； 同理可得， ∠B2A3 A2= 1 2 1 2 75 2 2 B A A   ，∠B3A4A3= 3 75 2  ∴∠An-1AnBn-1= 1 75 2n- ° ． 故答案为： 1 75 2n- ° ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B1A2A1，∠B2A3A2 及∠B3A4A3的度数，找出规律是解答此题的关键． 8．2 2014 【难度】0.65 【分析】根据等边三角形的性质可得∠B1A1A2=∠B2A2A3=∠B3A3A4=，…，=60°，得出 B1A1∥B2A2 ∥B3A3∥，…，推得∠OB1A1=∠OB2A2=∠OB3A3=，…，=∠MON=30°，根据等腰三角形性质 B2A2=OA2=A2A3， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 B3A3=OA3==A3A4，B4A4=OA4=A4A5，…，得出 1 1 1 1OA AB  ， 2 1 1 2 12 2A O OA A A OA    ， 3 2 3 2 22AO OA A A OA   ， 34 32 2A O OA  ，得出 OAn=2OAn-1=4OAn-2=2 n-1OA1=2n -1 即可． 【详解】解：∵ 1 1 2A B A△ 是等边三角形， ∴ 1 1 2 1A B A B ， 1 1 2 1 1 2 1 2 1 60A B A B A A A A B       ∴ 2 1 1 1 1 1 130 60A A B MON OB A OB A        ， ∴ 1 1 60 30 30OB A      ， ∴ 1 1 1 1OA AB  ， ∴ 2 1 1 2 1 1 11 1 1 2 2A O OA A A B A OA        ， ∵ 2 2 3A B A△ 、 3 3 4A B A△ 是等边三角形，…, ∴∠B1A1A2=∠B2A2A3=∠B3A3A4=,…=60°, ∴B1A1∥B2A2∥B3A3，…， ∴∠OB1A1=∠OB2A2=∠OB3A3=，…，=∠MON=30°， ∴B2A2=OA2=A2A3，B3A3=OA3==A3A4，B4A4=OA4=A4A5，…， ∴ 23 2 3 2 22 2 4 2 2A O OA A A OA       ， ∴ 34 3 3 4 34 4 8 2 2A O OA A A OA       ， … OAn=2OAn-1=4OAn-2=2 n-1OA1=2n -1 …， △ 2015 2015 2016A B A 的边长=OA2015=2 2015-1 =2 2014 ． 故答案为：2 2014 ． 【点睛】本题主要考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角 形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 9．(1)18 2； 6 2 (2)图形见详解，①当点 P在线段BC上运动时，CD PE PF  ；②当点 P在点 B左边运动时， CD PF PE  ；③当点 P在点C右边运动时，CD PE PF  ．理由见解析． 【难度】0.85 【分析】（1） 1 1 2 2ABC S AB CD BC AE     △ ，据此即可求解； （2）分类讨论当点 P在线段BC上运动、当点 P在点 B左边运动、当点 P在点C右边运动，结合 ABC ABP ACPS S S  ， ， 之间的关系即可求解． 【详解】（1）解： 1 1 9 4 2 18 2 2 2ABC S AB CD       ， ∵ 1 2ABC S BC AE  △ ∴ 1 6 18 2 2 AE   6 2AE  故答案为：18 2； 6 2 （2）解：①当点 P在线段BC上运动时，连接 AP，如图所示： ∵ ABC ABP ACPS S S △ △ △ ， 1 2ABC S AB CD  ， 1 2ABP S AB PE   ， 1 2ACP S AC PF   ， ∴ 1 2 AB CD   1 2 AB PE   1 2 AC PF  ∵ AB AC ∴CD PE PF  ②当点 P在点 B左边运动时，连接 AP，如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 ∵ ABC ACP ABPS S S △ △ △ ， 1 2ABC S AB CD  ， 1 2ABP S AB PE   ， 1 2ACP S AC PF   ， ∴ 1 2 AB CD   1 2 AC PF   1 2 AB PE  ∵ AB AC ∴CD PF PE  ③当点 P在点C右边运动时，连接 AP，如图所示： ∵ ABC ABP ACPS S S △ △ △ ， 1 2ABC S AB CD  ， 1 2ABP S AB PE   ， 1 2ACP S AC PF   ， ∴ 1 2 AB CD   1 2 AB PE  1 2 AC PF   ∵ AB AC ∴CD PE PF  【点睛】本题考查了三角形的高线与三角形面积之间的关系．根据题意作出正确的几何图是解 题关键．