考点4 乘法公式在几何图形中的应用-华东师大版八年级上册期中专项（初中数学）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 4 乘法公式在几何图形中的应用 参考答案 1．（a+b）2-2ab = a2+b2 【难度】0.65 【分析】利用各图形的面积求解即可． 【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或 （a+b）2-2ab， 故可得： （a+b）2-2ab = a2+b2 故答案为：（a+b）2-2ab = a2+b2 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积． 2．16 【难度】0.65 【分析】本题考查了整式乘法与图形面积，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影 面积以及用平方差公式求解．根据正方形CEFG面积为 236cm ，得出正方形CEFG边长为6cm， 将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得    1 6 6 10 2 x x   ，即可求解． 【详解】解：∵正方形CEFG面积为 236cm ， ∴正方形CEFG边长为6cm， 设正方形 ABCD边长为 x，则 6DE x  ， ∴  1 1 6 2 2DEB S DE BC x x    ，   1 1 6 6 2 2DEG S DE CG x     ， ∵阴影部分面积为 210cm ， ∴    1 16 6 6 10 2 2 x x x     ， 整理得：    1 6 6 10 2 x x   ， ∴ 236 20x  ，解得： 2 16x  ， ∴正方形 ABCD面积为 216cm ． 故答案为：16． 3．（1）    2 2a b a b a b    （2）①99.91 ② 2 2 24 2m p pn n   【难度】0.65 【分析】本题考查整式的运算法则，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 （1）利用平方差公式即可求解； （2）①利用平方差公式求解即可；②把 p n 看做整体，然后利用平方差公式求解即可； 【详解】解：（1）    2 2a b a b a b    （2）①10.3 9.7    10 0.3 10 0.3    2 210 0.3  100 0.09  100 0.09 99.91   ②   2 2m p n m p n       2 2m p n m p n            224m p n   2 2 24 2m p pn n    4．(1)① 2( )a b ；② 2 22a ab b  (2)阴影部分正方形的边长是 5 (3)    2 22022 2024 1104y y    【难度】0.85 【分析】本题主要考查了完全平方公式解决实际问题， （1）根据正方形的面积公式解答①，再根据大正方形的面积减去 2个长方形的面积加上重叠 的 2个小正方形的面积； （2）根据 2 2 2( ) 2a b a ab b    解答； （3）设2022 y m  ，2024 y n  ，再表示mn，m n ，然后根据 2 2 2( ) 2m n m n mn    ，代 入求值即可. 【详解】（1）① 2( )a b ；② 2 22a ab b  ； （2） 2 2 2( ) 2 31 6 25a b a ab b       ∴ 5a b   . ∵正方形的边长为正数， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ∴ 5a b  . 答：阴影部分正方形的边长是 5； （3）设2022 y m  ，2024 y n  ， 则 550mn  ， 2m n   ， ∴ 2 2 2( ) 2m n m n mn    ， 2( 2) 2 550    4 1100  1104 ． ∴    2 22022 2024 1104y y    ． 5．（1） 2 2 2( ) 2a b a ab b    ；（2）90；（3）种草区域的面积是12． 【难度】0.65 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式变形应用，掌握完全平方公式并灵 活运用是解题的关键． （1）根据图直接作答即可； （2）将 10a b  两边同时平方，利用（1）中得到的等式计算即可； （3）由三角形的面积公式，分别将 ADE 和 BCE 的面积表示出来，根据已知条件得到 2 2 25AE CE  ，由 7AC  得到 7AE CE  ，根据（1）中得到的等式得到 AE CE 的值；再由三角 形的面积公式求得 CDE 与 ABE 的面积之和，将 AE CE 的值代入计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得 2 2 2( ) 2a b a ab b    ． 故答案为： 2 2 2( ) 2a b a ab b    ． （2）将 10a b  两边同时平方， 得 2 2 2( ) 2 100a b a ab b     ， 5ab  ， 2 2 90a b   ． 故答案为：90． （3） AE DE ， BE CE ， 21 1 2 2AED S AE DE AE    ， 21 1 2 2BEC S BE CE CE   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4  2 2 2 21 1 1 252 2 2 2AED BECS S AE CE AE CE        ， 2 2 25AE CE   ， 7AC AE CE   ， 2 2 2( ) 2 49AE CE AE AE CE CE       ， 12AE CE   ， 1 1 2 2ABE S AE BE AE CE   △ ， 1 1 2 2CDE S DE CE AE CE   △ ， 1 1 12 2 2ABE CDE S S AE CE AE CE AE CE        △ △ ， 种草区域的面积是12． 6．（1）  2 2 22a b a ab b    ；  2 2 22a b a ab b    ；（2）    2 2 4a b a b ab    ；（3） 6 ，过程 见解析；（4）20；（5）13． 【难度】0.65 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据（2）所求关系求解即可得到答案； （4）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （5）结合    2023 2024 1m m     和（1）所求关系求解即可． 【详解】解：（1）图 1阴影的面积：  2 2 22a b a ab b    ； 图 2阴影的面积：  2 2 22a b a ab b    ； （2）图 3阴影的面积：    2 2 4a b a b ab    ； （3）根据（2）可知      2 2 24 10 4 16 36a b a b ab         ， ∴ 6a b   ； （4）由题意可知 10AC BC  ， 20ACDE BCFGS S 正方形 正方形 ， ∴ 2 2 20AC BC  ， ∴    2 2 2 210 20AC BC AC BC     ， ∴ 40AC BC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 ∴ 1 1 1 40 20 2 2 2ACF S AC CF AC BC       ； （5）∵    2023 2024 1m m     ，   2023 2024 6m m   ， ∴           22 22023 2024 2023 2024 2 2023 2024m m m m m m            ， 1 2 6   13 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专项 4 乘法公式在几何图形中的应用 1．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等 式为 ． 2．如图，四边形 ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形CEFG面积为 236cm ，若图中阴影部分 面积为 210cm ，则正方形 ABCD面积为 2cm ． 3．（1）通过观察比较甲、乙两图的阴影部分面积，可以得到的整式乘法公式为 （用式子表 示）． （2）运用你得到的公式，计算下列各题： ①10.3 9.7 ； ②   2 2m p n m p n    4．如图，将一个边长为 a的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真 观察图形，解答下列问题： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 (1)请用两种方法表示该图形阴影部分的面积（用含 a b、 的代数式表示）： ①方法一：_____________；②方法二：_____________； (2)若图中 a b、 满足 2 2 31, 3a b ab   ，求阴影部分正方形的边长； (3)若   2022 2024 550y y   ，求    2 22022 2024y y   的值． 5．【教材还原】 （1）如图①，用含字母的等式表示图中图形的面积的运算为______； 【类比探究】 （2）若 10a b  ， 5ab  ，则 2 2a b 的值为______； 【拓展应用】 （3）如图②，某学校有一块梯形空地 ABCD，AC BD 于点 E，AE DE ，BE CE ．该校计划在 ADE 和 BCE 区域内种花，在 CDE 和 ABE 的区域 (影音部分 )内种草．经测量种花区域的面积 为 25 2 ， 7AC  ，请求出种草区域的面积． 6．【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1） 请写出图 1，图 2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 图 1．________________；图 2．_____________． 【拓展探究】 （2）用 4个全等的长和宽分别为 a，b的长方形拼摆成一个如图 3的正方形，请你通过计算阴 影部分的面积，直接写出这三个代数式  2a b ，  2a b ，ab之间的等量关系． （3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知 10a b  ， 16ab   ，求 a b 的值；（写出过程） 【解决问题】 （4）如图 4，C是线段 AB上的一点，分别以 AC，BC为边向两边作正方形 ACDE和BCFG，设 6AB  ，两正方形的面积和为 20，求 AFC 的面积． 【知识迁移】 （5）若   2023 2024 6m m   ，则    2 22023 2024m m    _______．（直接写出结果）