特训07 期中解答压轴题 （上海最新精选）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训07期中解答压轴题 （上海最新精选） 一、解答题 1．（23-24九年级上·上海金山·期中）在中，，，，点D是斜边上一点，过点A作，垂足为点E，交直线于点F． (1)当时，求线段的长； (2)当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式，及其定义域； (3)当时，求线段的长． 2．（20-21九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，中，，，．是边上的一点，（与、不重合）连接，作，交于点，交于点    (1)求、的长 (2)设，，求与的函数关系式，并写出定义域 (3)连接，当与相似时，求的长 3．（2020·上海杨浦·一模）如图，已知在中， ， ，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为上一点， ，过点E作，垂足为点G，交射线于点F． (1)如果点D为边的中点，求的正切值； (2)当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求线段的长． 4．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，梯形中，，，，，．点M在射线上，点N在射线上，且，联结，交射线于点G．    (1)求线段的长； (2)设线段，，当点N在线段上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)联结，当时，求线段的长． 5．（22-23九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在平行四边形中，，，，E为上一动点，作，射线交射线于点G． (1)如图1当时，求的长； (2)如图2，当点G在线段上时，射线交射线于点F，设，，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 6．（23-24九年级上·上海宝山·期中）已知中，，，E是射线上一点（不与点B重合），线段的垂直平分线与边交于点D. (1)点E在边上， ①如图1，连接，如果平分，求的长； ②如图2，射线交射线于点F，设，，求y关于x的的数解析式，并写出定义域. (2)如果是直角三角形，求的长. 7．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图1，在梯形中，，，，，，点在边上，且，过点作交于点，点、分别在射线和线段上．    (1)求线段的长； (2)如图2，当点在线段上（点与点不重合），且，设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如果为等腰直角三角形，求线段的长． 8．（22-23九年级上·上海普陀·期中）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是线段BD上的一动点（不与点B、D重合），过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，联结BE． (1)如图1，当点E与点C重合时，求BP的长； (2)当直线BE与直线AD交于点F时，设BP＝x，AF＝y； ①如图2，点F在线段DA的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ②如果△BPE与△BAF相似，求BP的长． 9．（2022·云南临沧·二模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且，． (1)若AD⊥BC于点D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形； (2)若AE＝AF＝1，求的值； (3)设△BDE、△CDF、四边形AEDF的面积分别为、、S，求证：． 10．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． (1)求的值； (2)当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； (3)在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 11．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结. (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 12．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知，点P是内一点，，垂足为点C，，，A是延长线上一点，连接并延长与射线交于点B． (1)当点P恰好是线段的中点时，试判断的形状，并说明理由； (2)当的长度为多少时，是等腰三角形； (3)设，是否存在适当的k，使得，若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由． 13．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在菱形中，，E是边上一点，过点E作，垂足为点H，点G在边上，且，连接，分别交、于点M、N．      (1)已知， ①当时，求的面积： ②当时，求的值； (2)延长交边于点P，当设，请用含x的代数式表示的值． 14．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图（1），在直角三角形中，，，．，点是边上的动点，作，交于点，与相交于点．    (1)求证：． (2)如图2，将沿翻折，点落在处，直线交于点． ①当时，求的长． ②当时，求的长． 15．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，交于点，联结、，延长交于点．    (1)求证：； (2)当时， ①若，，求的长； ②若，联结，求的值． 16．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图1，在正方形中，点P在上，分别过点C、D作于点E、G，联结，过点C作于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的值； (3)如图2，若，经过的中点K，求的长． 17．（23-24九年级上·上海松江·期中）（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接 ，，若，若，且、恰好将三等分，求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点 G在 上，若，求的值．        18．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 19．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，在矩形中，是对角线上一点（与不重合），平分交边于点，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当与相似时，求的正切值； (3)如果的面积是面积的2倍，求的长． 20．（22-23九年级上·上海虹口·期中）在矩形中，，，P是射线上的一个动点，作，交射线于点E，射线交射线于点F，设，． (1)当时，求的长； (2)如图，当点P在边上时（点P与点B、C不重合），求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； (3)当时，求的长． 21．（23-24九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训07期中解答压轴题 （上海最新精选） 一、解答题 1．（23-24九年级上·上海金山·期中）在中，，，，点D是斜边上一点，过点A作，垂足为点E，交直线于点F． (1)当时，求线段的长； (2)当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式，及其定义域； (3)当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，求出的长，勾股定理求出的长，同角的余角相等，得到，求出的长，再用求出的长； （2）过点作，交的延长线与点，证明，得到，利用，得到，进而推出y关于x的函数解析式，及其定义域即可； （3）分点在线段上和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【解析】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； （2）过点作，交的延长线与点， 则：，， ∴，即：① 由（1）知：， ∴， ∴，即：②， 由①②，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； （3）①当点在线段上时， ∵，， ∴，解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ②当点在线段的延长线上时， 设，同法（2）可得：，解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，求函数表达式．本题的综合性强，难度较大，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，添加辅助线，构造相似三角形． 2．（20-21九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，中，，，．是边上的一点，（与、不重合）连接，作，交于点，交于点    (1)求、的长 (2)设，，求与的函数关系式，并写出定义域 (3)连接，当与相似时，求的长 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先证，，再用三角函数解和即可； （2）先证，推出，即可求出与的函数关系式，根据是边上的一点可得，根据交于点，可得，由此可得定义域； （3）分两种情况①，②，然后利用相似三角形的性质求解． 【解析】（1）解：中，， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴； （2）解：∵，， ∴，即， 同理可得， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （3）解：∵， ①当，时，， ∴，即， 解得（负值已舍去）．    ②当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件找出相似三角形，注意分情况讨论． 3．（2020·上海杨浦·一模）如图，已知在中， ， ，点D为边上一动点（与点B、C不重合），点E为上一点， ，过点E作，垂足为点G，交射线于点F． (1)如果点D为边的中点，求的正切值； (2)当点F在边上时，设，，求y关于x的函数解析式及x的取值范围； (3)连接，如果与相似，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）过点D作于H，解直角三角形求出，即可解决问题． （2）如图2中，过点A作，延长交于T，直线交于K，交的延长线于R．想办法证明，再证明，可得，推出，可得结论． （3）利用与相似，可得或，由此构建方程求出，当点F在下方时，同法可求． 【解析】（1）解：如图1中，过点D作于H， ，， ， ，，， ， ， ． （2）解：如图2中，过点A作，延长交于T，直线交于K，交的延长线于R． ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图3中，连接，作于H． ，， ， 与相似， 与相似， 或， 或， 整理得：或， 解得：，或， 或， 当点F在下方时，同理可求，， 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 4．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）如图，梯形中，，，，，．点M在射线上，点N在射线上，且，联结，交射线于点G．    (1)求线段的长； (2)设线段，，当点N在线段上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)联结，当时，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点A作于点H，过点D作于点E，根据锐角三角函数和勾股定理求出，则，根据勾股定理可得，由得到，，由得到，则，即可得到答案； （2）延长交的延长线于点F，由平行线分线段成比例可得，设，则，得到在，，即可得到函数关系式； （3）分点N在上和点N在的延长线上两种情况，利用解直角三角形与相似三角形的判定和性质分别列方程进行求解即可． 【解析】（1）解：过点A作于点H，过点D作于点E，    在中，， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得到， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）延长交的延长线于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点N在上，如图，    ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 即， 当点N在的延长线上时，，    延长交射线于点P， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是分式方程的解， 即， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解分式方程、解一元一次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题的基础，分类讨论是解题的关键． 5．（22-23九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在平行四边形中，，，，E为上一动点，作，射线交射线于点G． (1)如图1当时，求的长； (2)如图2，当点G在线段上时，射线交射线于点F，设，，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)16 (2) (3)的长为或或． 【分析】（1）根据，求出，由勾股定理求出，再求出，根据，得出，即可求出答案； （2）证明，得出，作，由，得出，进而得出，根据勾股定理得出，从而得出，即可得出答案，当时，求出x的值，即可得出取值范围； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【解析】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作， 由（1）可得：， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，即时，， ∴， 综上，． （3） 分三种情况： ①当时，， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据等腰三角形三线合一，， ∴ ∴， ∴； ②当时， ，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，   过A作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，注意（3）要分情况讨论． 6．（23-24九年级上·上海宝山·期中）已知中，，，E是射线上一点（不与点B重合），线段的垂直平分线与边交于点D. (1)点E在边上， ①如图1，连接，如果平分，求的长； ②如图2，射线交射线于点F，设，，求y关于x的的数解析式，并写出定义域. (2)如果是直角三角形，求的长. 【答案】(1)① ② (2)或 【分析】（1）①连接，在BC上截取，连接，过A点作于点N，证得，然后表示出长，利用得到，代入计算解题即可；②过点作于点，点作于点，根据相似三角形用，表示得到，和的长，然后利用得到关系式； （2）分和两种情况分别画图解题即可． 【解析】（1）①连接，在BC上截取，连接，过A点作于点N， ∴， ∴， 设， ∵线段的垂直平分线与边交于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：，即； ②过点作于点，点作于点， 由①得， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即∴， ∴，， ∴， 又∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，， 又∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 又∵， ∴， 即， ∵点在边上， ∴， ∴ ∴定义域为； （2）解：如图，过点作于点， 根据②可得：，， ∴ ∴， 当时，， 即， 解得：（舍去），， 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， 综上所述，当的长为或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，掌握作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 7．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图1，在梯形中，，，，，，点在边上，且，过点作交于点，点、分别在射线和线段上．    (1)求线段的长； (2)如图2，当点在线段上（点与点不重合），且，设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； (3)如果为等腰直角三角形，求线段的长． 【答案】(1) (2) (3)为或或 【分析】（1）过A作，于是得到，解直角三角形即可得到结论； （2）过M作于P，于K，反向延长交于Q，则，解直角三角形求得，，，于是得到，，推出，根据相似三角形的性质列方程即可得到结论； （3）①当M在线段上时，根据全等三角形的性质和等量代换得到，列方程得到，解方程即可得到结论；②当M在的延长线上时，根据已知条件得到，由全等三角形的性质得到，由（2）知，，，列方程即可得到结论．③当时，过点N作交，于点P，H，作交的延长线于点R，交直线于点Q．利用全等三角形的性质求解． 【解析】（1）解：过A作，    ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：过M作于P，于K，反向延长交于Q，      则， 在中， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 当N与D重合是时， ， 整理，， 解得，（点不在线段上，不符合题意，舍去） 因为点与点不重合 所以 则； （3）解：①当M在线段上时， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 则 由（2）知 ∴ 由（1）知， 故， 则， 故， ②当M在的延长线上时，    ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 由（2）知，，， ∴， ∴ ∴， ∴ ③当时，过点N作交，于点P，H，作交的延长线于点R，交直线于点Q    由， 可得，， 设，则，， ∴， 由，可得， ∴， ∴ 综上所述，为或或． 【点睛】本题考查了四边形综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，求函数的解析式，要求有较强的作辅助线能力，证明以及分类讨论是解题的关键． 8．（22-23九年级上·上海普陀·期中）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是线段BD上的一动点（不与点B、D重合），过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，联结BE． (1)如图1，当点E与点C重合时，求BP的长； (2)当直线BE与直线AD交于点F时，设BP＝x，AF＝y； ①如图2，点F在线段DA的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ②如果△BPE与△BAF相似，求BP的长． 【答案】(1)； (2)①；②的值为4或8． 【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质求解； （2）①证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； ②分两种情形：a、点F在线段的延长线上（如图2中），b、点F在线段的延长线上（如图3中），分别求解即可． 【解析】（1）∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，且点F不可能在线段上， ∴与相似有两种可能： a、点F在线段的延长线上（如图2中）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． b、点F在线段的延长线上（如图3中）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，的值为4或8． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 9．（2022·云南临沧·二模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且，． (1)若AD⊥BC于点D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形； (2)若AE＝AF＝1，求的值； (3)设△BDE、△CDF、四边形AEDF的面积分别为、、S，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行线的性质可得∠EDA＝∠CAD，从而可得∠BAD＝∠EDA，进而可得EA＝ED，即可解答； （3）根据A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，从而可得，，然后把两个式子相加进行计算，即可解答； （3）设△BDE的边DE上的高为，CF长为a，△CDF的边CF上的高为，利用平行得到，可知，表示出、、S即可得证． 【解析】（1）解：∵，， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵， ∴∠EDA＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠EDA， ∴EA＝ED， ∴四边形AEDF是菱形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形AEDF是平行四边形， ∴DE＝AF，DF＝AE， ∵AE＝AF＝1， ∴DE＝DF＝1， ∴； （3）解：设△BDE的边DE上的高为，CF长为a，△CDF的边CF上的高为，如图所示： ∴， ∵，， ∴∠C＝∠BDE，∠CFD＝∠EDF＝∠DEB， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵四边形AEDF是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积和平行四边形面积等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键． 10．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． (1)求的值； (2)当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； (3)在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作，，根据等腰三角形三线合一的性质，及勾股定理，得到，，由三角形面积公式，得到，代入正弦函数即可求解， （2）作，，当时，，根据角平分线性质定理，设，根据面积公式，代入解得：，根据锐角三角函数，即可求解， （3）由，得到，结合，得到，，当时，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，在中，根据锐角三角函数及够谷歌定理得到，，，即可求解，当时，由，，得到，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，由，可设设，在中，根据勾股定理得到，即，由，解得：，由，得到，代入即可求解， 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：分情况讨论，找到相似三角形． 【解析】（1）解：过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， （2）解：作，， ∵， 当时，，可设， ，即：，解得：， ∴， （3）解：∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 作， ∴， 在中，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 作， ， ∵， ∴设，则， 在中，，即：，解得：， ∴， ∵，即：，解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 11．（23-24九年级上·上海·期中）如图，已知：在中，，，是上一点，作，，、相交于点，与相交于点，联结. (1)求证：； (2)如果，求的长； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)6或. 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、分情况讨论是解题的关键． （1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，设，则，则，解得x的值，即可得到答案； （3）分和两种情况分别进行解答即可． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得，，（经检验都是原方程的解，且都符合题意）， ∴的长为或 （3）如果， ∵， ∴， ∵E， ∴， ∴， ∴； 如果， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长为6或. 12．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知，点P是内一点，，垂足为点C，，，A是延长线上一点，连接并延长与射线交于点B． (1)当点P恰好是线段的中点时，试判断的形状，并说明理由； (2)当的长度为多少时，是等腰三角形； (3)设，是否存在适当的k，使得，若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)的值为或或1 (3)存在，k的值为 【分析】（1）如图，作于，证明，则，即，解得，，，由，可得，解得，，由，可得，由，可得，然后作答即可； （2）设，，则， ，，，由勾股定理得，证明，则，即，解得，，，，由题意知，当是等腰三角形时，分①，②，③，三种情况，根据等量关系进行求解即可； （2）同理（2），则，，，由，，可得，，则，结合，计算求出满足要求的的解，进而可求． 【解析】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵点P恰好是线段的中点， ∴， 如图，作于， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得，，， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，，则， ，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即，解得，， ∴，， 由题意知，当是等腰三角形时，分①，②，③，三种情况求解； ①当时，则，解得，； ②当时，则，解得，； ③当时，则，解得，或（舍去）； 综上所述，的值为或或1； （3）解：同理（2），则，， ∴， ∵，， ∴，解得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴存在，k的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正切，三角形内角和等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正切是解题的关键． 13．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，在菱形中，，E是边上一点，过点E作，垂足为点H，点G在边上，且，连接，分别交、于点M、N．      (1)已知， ①当时，求的面积： ②当时，求的值； (2)延长交边于点P，当设，请用含x的代数式表示的值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）①连接交于点O，根据菱形的性质可得，再由锐角三角函数可得的长，再由，可得，即可求解； ②在菱形中，，可得，从而得到，进而得到，，再由，可得，过点H作轴，点R为垂足，设，则，，，，在中，根据勾股定理可得，，即可求解； （2）先证明．．取中点Q，连接，再证明，可得，即可求解． 【解析】（1）解：①连接交于点O，    ∵四边形是菱形， ∴． 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴； ②在菱形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点H作，点R为垂足，    设， ， ， ，，， ， 在中，， ， 即，解得， ， ， ， ； （2）解：∵，，， ∴． ∴． 取中点Q，连接，    由（1）得：，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了菱形性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，平行线段分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 14．（23-24九年级上·上海崇明·期中）如图（1），在直角三角形中，，，．，点是边上的动点，作，交于点，与相交于点．    (1)求证：． (2)如图2，将沿翻折，点落在处，直线交于点． ①当时，求的长． ②当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质并能够熟练应用是解本题的关键， （1）证明，即可得到结论； （2）①如图2中，过点作于，证明,推出，可得结论；②分两种情况：当点在的上方时，如图3，过点作于，设，当点落在的下方时，如图4中，分别利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）证明：如图1所中：      ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图2中：    ∵沿翻折， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ②当点在上方时，如图3中，过点作于，设．    ∵沿翻折， ∴，，，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，． ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 当点落在下方时，如图4中，    同法可得， ∴或（舍去）， ∴． ∵， ∴此种情形不符合题意，舍去． 综上所述，． 15．（23-24九年级上·上海长宁·期中）如图，已知在中，，平分，交边于点，是边上一点，且，过点作，交于点，联结、，延长交于点．    (1)求证：； (2)当时， ①若，，求的长； ②若，联结，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据条件可证得，即可证明结论． （2）①根据，求得，证明出四边形是菱形，得出，证明，得出比例式，解方程，即可求解； ②由条件可得，由相似比可得，由，得到点是的黄金分割点，可得出，即可得出结论． 【解析】（1）证明：平分， ， ，， ， ， ， ， 即． （2）①， ，，， 在和中， ， ， 四边形是菱形， 即， 解得： ②， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点是的黄金分割点， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定，相似三角形的性质与判定及黄金分割点等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键． 16．（23-24九年级上·上海奉贤·期中）如图1，在正方形中，点P在上，分别过点C、D作于点E、G，联结，过点C作于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的值； (3)如图2，若，经过的中点K，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）先证明四边形是矩形，再证明，则，即可证明四边形是正方形； （2）连接交于点O，证明. 则.又由得到 再证明. 即可得到； （3）证明，则.设，则，在中，由勾股定理得，则，证明，进一步得到是等腰直角三角形，，由得到，即可得到答案． 【解析】（1）证明∵， ∴四边形是矩形. 在正方形中， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ∴. ∴四边形是正方形. （2）连接交于点O，由（1）可得. 又， ∴. ∴. 又， ∴ ∴，. ∴ ∴. ∴； （3）连接. 由题意得，则. 由（2）可知，， ∵， ∴.      所以. 设，则，在中，由勾股定理得， 则， 又， ∴， 则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴. 所以． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 17．（23-24九年级上·上海松江·期中）（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点，点是上任意一点，连结交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接 ，，若，若，且、恰好将三等分，求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点 G在 上，若，求的值．        【答案】（1）见解析（2）（3） 【分析】（1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可； （2）利用条件证明，，由（1）知，，设则由得，，（负值舍去），； （3）利用相似转化线段之间的关系，设根据，得，，由，得到，，最后代入． 【解析】解：（1）， ， ， 同理， ， ； （2）解：∵恰好将三等分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， 设则 由得，， ∴（负值舍去）， ∴； （3）解：过G点作的平行线，分别交于E、F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ 由（1）中结论知，， 设， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2) (3)，（） 【分析】（1）由题意，可求得，由勾股定理求，再由可得，即，则可求的长度； （2）证明可求得，由可知，则，解得，,四边形的面积为解得四边形的面积为． （3）分别证明和，故可得由相似分别得到，．再由可证，代入得到，则问题可证． 【解析】（1）∵四边形是矩形，，， ，，． 又， ． 在中，，，， ． ∵， ． ． ． （2）∵，， ． ． ∵，， ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴, 四边形的面积为 四边形的面积为． （3）过点作交于点，则．    ∵四边形是矩形， ． ∵，， ． ． ． ． ∵，， ，． ∵， ． ∵，，， ． ． ∵，， ． ． 即． 整理得，（）． 【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，解答过程中要根据各问中的条件，利用相似三角的性质形构造方程或等式． 19．（23-24九年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，在矩形中，是对角线上一点（与不重合），平分交边于点，交于点．    (1)当时，求的长； (2)当与相似时，求的正切值； (3)如果的面积是面积的2倍，求的长． 【答案】(1)； (2)或1； (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的性质可得，可得，再根据，，可得，进而证明，即可求解； （2）分为当时及当时两种情况进行讨论，再求解即可； （3）过F作，根据的面积是面积的2倍和平分可得，进而证明，，设，即可求解． 【解析】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， （2）满足（1）的条件， 由（1）得：，， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或1； （3）解：过F作，如图，    在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ①式可化成：， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴H为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，，解得：； 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确地作出辅助线是解题关键． 20．（22-23九年级上·上海虹口·期中）在矩形中，，，P是射线上的一个动点，作，交射线于点E，射线交射线于点F，设，． (1)当时，求的长； (2)如图，当点P在边上时（点P与点B、C不重合），求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)3或． 【分析】（1）根据锐角三角函数定义和勾股定理求出和，证明，根据相似三角形对应边成比例即可求得的长； （2）根据，可得，利用相似三角形的性质求出，再根据（1）中的相似三角形推出，从而求得y关于x的函数关系式； （3）分情况讨论：①当点P在线段上时，E在线段上，②当P在C点的右侧时，E在线段的延长线上，分别根据，利用相似三角形的性质求出的长，再证，利用相似三角形的性质求出即可． 【解析】（1）解：在中，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 则， ∴， 整理得：， 即y关于x的函数关系式为； （3）解：①当点P在线段上时，E在线段上， ∵， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得； ②当P在C点的右侧时，E在线段的延长线上，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 综上，的长为3或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 21．（23-24九年级上·上海静安·期中）在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【答案】(1)； (2)；的值为或. 【分析】()证明，利用相似三角形的性质求解； ()证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； 分两种情形：当点在线段的延长线上；当点在线段的延长线上，分别求解即可． 【解析】（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且点不可能在线段上， ∴与相似有两种可能: 当点在线段的延长线上 (如图中) ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点在线段的延长线上 (如图中)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的值为或. 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． ( 第 1 页 共 16 页 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