4.1&4.2对数的概念及运算（4知识点+7题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

4.1对数的概念4.2对数的运算 课程标准 学习目标 1.初步了解对数的概念，体会对数是一类重要的函数模型 2.通过对数运算法则的学习，培养数学运算核心素养 3.通过对数换底公式的学习，提升逻辑推理素养. 重点： 1.对数的概念 2.理解对数的运算性质, 3.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 3.难点： 1.运用对数的概念解决问题 2.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明 知识点01 对数的概念 1.对数的定义：一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． 2.几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 【即学即练1】（21-22高一上·全国·课后作业）若有意义，则实数k的取值范围是 . 【即学即练2】（2021高一·全国·专题练习）下列各式： ①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02指对运算的关系与对数的基本性质 1.对数与指数的关系 当,且时，ax＝Nx=logaN. 2..对数的基本性质 (1)负数和零没有对数，即N>0； (2)loga1＝0(a>0，a≠1)； (3)logaa＝1(a>0，a≠1). 3.对数恒等式：①＝N(a>0且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0且a≠1)． 【即学即练3】（23-24高一下·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【即学即练4】（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 知识点03 对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)=logaM+logaN； ②loga=logaM-logaN； ③logaMn=nlogaM (n∈R)； 【即学即练5】（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）已知，求的值. 【即学即练6】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，，则 ． 知识点04 对数的换底公式 1.换底公式 换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 2.可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 3.对换底公式的理解： 换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【即学即练7】（23-24高一下·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 【即学即练8】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习） 难点：指对运算与基本不等式结合 示例1：（22-23高三上·河北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【题型1：对数的概念与指对互化】 例1．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 变式1．（21-22高一上·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（21-22高一上·天津红桥·期末）有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 变式3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 变式4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 变式5．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【方法技巧与总结】指数式与对数式互化的方法： 1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； 2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【题型2：对数有意义的条件】 例2．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 变式3．（23-24高一上·江苏常州·期中）若有意义，则实数的取值范围是 . 变式4．（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 变式5．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 变式6．（21-22高一上·西藏林芝·期末）求下列各式中的取值范围. (1)； (2) 【方法技巧与总结】 对于对数,一定要注意底数和真数的限制条件:>0且≠1, N>0 【题型3：对数求值】 例3．（24-25高三上·辽宁·开学考试）（    ） A． B． C． D．2 变式1．（21-22高一上·江西九江·阶段练习）已知且，下列式子中，错误的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（22-23高一·全国·课后作业） ． 变式3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 变式4．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2) 变式5．（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 变式6．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式7．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 变式8．（2023高一·江苏·专题练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3) 变式9．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，试求的值． 变式10．（22-23高一上·江苏南京·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 变式11．（21-22高一·全国·课前预习）求下列各式中的值： (1)； (2). 变式12．（20-21高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【方法技巧与总结】求对数式logaNa>0，且a≠1，N>0的值的步骤 1设logaN＝m； 2将logaN＝m写成指数式am＝N； 3将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b. 【题型4：用已知数表示其他数】 例4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 变式1．（24-25高一上·上海·期中）已知正实数x、y满足，则 ． 变式2．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知，，则用，表示 变式3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，则 ．（用a表示） 变式4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则用表示为 ． 变式5．（23-24高一下·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则 .（结果用表示） 变式6．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，则 ．（用a表示） 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，（且）.用及表示下列各式： (1)； (2)； (3). 变式8．（24-25高一上·全国·课前预习）是否对任意的都可以表示成（且；；且）？说出你的理由． 变式9．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，用表示和. 【题型5：对数的运算法则】 例5．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 变式2.（24-25高一上·全国·课后作业）已知x，y为正实数，则（    ） A． B． C． D． 变式3．(多选)（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高三上·全国·阶段练习）设正实数满足，则 ． 变式5．（24-25高一上·全国·随堂练习） . 变式6．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数（且），若，则的值等于 ． 变式7．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 ． 变式8．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 变式9．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 变式10．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【方法技巧与总结】1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． 【题型6：对数的换底公式】 例6．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．1 D． 变式1．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．2 变式2．（24-25高三上·广东梅州·开学考试）化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 变式3．（24-25高一上·全国·随堂练习）的值为（    ） A． B． C．1 D． 变式4．(多选)（24-25高三上·陕西西安·开学考试）下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 变式5．（23-24高一上·上海·阶段练习）设方程，的两个实数根为a和b，则 变式6．（23-24高一下·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 变式7．（23-24高一下·全国·课后作业）求值： (1)． (2)． 变式8．（23-24高一上·浙江宁波·期中）计算下列各式的值. (1) (2) 变式9．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 变式10．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）回答下面两个题： (1) (2) 变式11．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知x，y，z为正数，若，求的值． 变式12.（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【方法技巧与总结】1.(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 2.可用换底公式证明以下结论： ①；②；③；④；⑤. 【题型7：对数的实际应用】 例7．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 变式2．（24-25高一上·全国·随堂练习）近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h 变式3．（24-25高一上·全国·课后作业）一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，答案采取四舍五入精确到） A．2.3 B．3.5 C．5.6 D．8.8 变式4．（25-26高一上·全国·单元测试）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他能驾驶至少要经过的小时数为（参考数据：）（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 变式5．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（    ）（参考数据：） A．70天 B．80天 C．90天 D．100天 变式6．（23-24高一下·广西柳州·期中）假设甲和乙刚开始的“日水平值”相同，之后甲通过学习，“日水平值”都在前一天的基础上进步了，而乙懈怠，“日水平值”都在前一天的基础上退步了，大约经过（    ）天，甲的“日水平值”是乙的10倍．（参考数据，） A．77 B．92 C．100 D．123 变式7．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡．假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍．则该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要（参考数据：）（    ） A．40年 B．30年 C．20年 D．10年 变式8．（22-23高一下·浙江杭州·期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 一、单选题 1．（23-24高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）计算等于（    ） A．－1 B． C．3 D．－5 5．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）若，则等于（    ） A． B．6 C． D．3 7．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知，则（    ） A．3 B．9 C． D． 8．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年的比率衰减，则（    ） 参考数据：，． A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍 B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g C．t年后，这种放射性物质的质量为g D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年 11．（23-24高一上·河北·期末）下列判断正确的有（    ） A． B．（其中，） C．（其中） D． 三、填空题 12．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 13．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）设，若，则 ． 14．（24-25高一上·上海·课后作业）下列各式：①；②；③若，则；④若，则；⑤．其中正确的序号是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）若已知，，求的值； （2）计算； （3）已知．求的值． 16．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2). (3)已知，且，求的最小值. 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知奇函数满足，且当时，． (1)证明：； (2)求的值． 18．（25-26高一上·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 19．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）从①；②这两个条件中任选一个填入题中的横线上，并解答问题． 已知函数________． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1对数的概念4.2对数的运算 课程标准 学习目标 1.初步了解对数的概念，体会对数是一类重要的函数模型 2.通过对数运算法则的学习，培养数学运算核心素养 3.通过对数换底公式的学习，提升逻辑推理素养. 重点： 1.对数的概念 2.理解对数的运算性质, 3.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 3.难点： 1.运用对数的概念解决问题 2.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明 知识点01 对数的概念 1.对数的定义：一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数． 2.几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0且a≠1) logaN 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 【即学即练1】（21-22高一上·全国·课后作业）若有意义，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解. 【详解】若有意义，则满足，解得. 故答案为： 【即学即练2】（2021高一·全国·专题练习）下列各式： ①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据对数的概念和性质，逐项判断，即可得到结果. 【详解】对于①，因为，故①正确； 对于②，因为，故②正确；   对于③，因为，所以，故③错误； 对于④，因为，∴，故④错误. 所以只有①②正确． 故选：B. 知识点02指对运算的关系与对数的基本性质 1.对数与指数的关系 当,且时，ax＝Nx=logaN. 2..对数的基本性质 (1)负数和零没有对数，即N>0； (2)loga1＝0(a>0，a≠1)； (3)logaa＝1(a>0，a≠1). 3.对数恒等式：①＝N(a>0且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0且a≠1)． 【即学即练3】（23-24高一下·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式进行转换： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式与对数式的互化可依次将其转化. 【详解】（1）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （2）根据指数式与对数式的互化，可知可化为. （3）根据指数式和对数式的关系，可化为 （4）根据指数式和对数式的关系，可化为 【即学即练4】（24-25高一上·全国·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化. 【详解】（1），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （2），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （3），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （4），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （5），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. （6），运用指数对数互化规则“底不变，其他换”，可转化为. 知识点03 对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)=logaM+logaN； ②loga=logaM-logaN； ③logaMn=nlogaM (n∈R)； 【即学即练5】（23-24高一下·全国·课堂例题）（1）计算：； （2）化简求值：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）2；（3）4 【分析】（1）根据对数的运算法则进行运算即可. （2）运用对数的运算法则，结合进行化简求值. （3）运用对数的运算法则，结合对数相等的概念，把问题转化成二次方程求解. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）由已知可得， 因为， 所以，化简可得， 解得（舍去），或， 所以 【即学即练6】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】利用对数运算法则计算可得结果. 【详解】易知； 故答案为： 知识点04 对数的换底公式 1.换底公式 换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 2.可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 3.对换底公式的理解： 换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 【即学即练7】（23-24高一下·上海宝山·期末）若，则的值为 ． 【答案】125 【分析】由题意，结合对数的换底公式计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以， 解得. 故答案为：125 【即学即练8】（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习） 【答案】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，以及对函数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由 . 故答案为：. 难点：指对运算与基本不等式结合 示例1：（22-23高三上·河北·阶段练习）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】利用指数函数、对数函数的性质和运算法则，结合基本不等式直接求解. 【详解】因为，所以，即，所以．因为，则，所以，， ， 则，， 当且仅当时，等号均成立． 故选：D． 【题型1：对数的概念与指对互化】 例1．（24-25高一上·全国·课后作业）若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的定义将指数化为对数. 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 变式1．（21-22高一上·全国·课后作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案. 【详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 变式2．（21-22高一上·天津红桥·期末）有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】A 【分析】根据对数的定义即可求得答案. 【详解】由对数定义可知，，①正确；，②正确； 对③，，错误；对④，，错误. 故选：A. 变式3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 变式4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）若，则的值是 . 【答案】16 【分析】将对数式化为指数式可得. 【详解】由可得， 所以. 故答案为：16 变式5．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”，即可转化. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），对数式为； （2），对数式为； （3），指数式为； （4），指数式为. 故答案为：；；；. 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【方法技巧与总结】指数式与对数式互化的方法： 1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； 2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 【题型2：对数有意义的条件】 例2．（24-25高一上·全国·随堂练习）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可. 【详解】因为对数式的底数为大于零不等于1的实数，真数为正实数， 所以有， 故选：C 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数为对数函数，则实数a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义得出，求解出值，需要看是否在底数的取值范围内． 【详解】解：， 所以， ， 所以， 故选：C． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 变式3．（23-24高一上·江苏常州·期中）若有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由对数式底数和真数的限制条件，求算式有意义时实数的取值范围. 【详解】要使有意义， 须，即，解得或，即实数的取值范围是. 故答案为：. 变式4．（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件列出不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 变式5．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式中的取值范围： (1)； (2)（且）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）对数式中，真数是正数，据此求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得，即的取值范围为. （2）依题意，，解得或，即的取值范围为. 变式6．（21-22高一上·西藏林芝·期末）求下列各式中的取值范围. (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据对数式有意义可得出关于的不等式（组），即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由题意得，解得，即的取值范围是. （2）解：由题意可得，解得或， 即的取值范围是. 【方法技巧与总结】 对于对数,一定要注意底数和真数的限制条件:>0且≠1, N>0 【题型3：对数求值】 例3．（24-25高三上·辽宁·开学考试）（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用对数的运算法则即可得解. 【详解】 . 故选：C. 变式1．（21-22高一上·江西九江·阶段练习）已知且，下列式子中，错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数的运算以及对数的运算即可判断． 【详解】若且， 对A、C、D：根据指数的运算可得：，，，A错误，C、D正确； 对B：根据对数的定义可得：，B正确. 故选：A． 变式2．（22-23高一·全国·课后作业） ． 【答案】9 【分析】由对数的概念直接计算即可. 【详解】由对数的概念可得， 故答案为：9 变式3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 变式4．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）应用指数的运算规则，包括负指数、分数指数以及根号与指数的转换，将每个部分化简到最基础的形式，从而可得出结果； （2）利用对数的性质，以及换底公式，将各个对数项转换为同底数对数相加或相减的形式，再进行计算即可. 【详解】（1）由题意可得，，， ，，将上述结果代入原式，可得： ； （2）由对数的运算性质可得， 因为，则， 因为，则 ； 且， 将上述结果代入原式，可得： . 胡最终计算得到：. 变式5．（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)10 【分析】（1）利用分数指数幂与根式的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式. 变式6．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3)5 (4)441 【分析】（1）（2）根据对数的定义运算求解即可； （3）（4）根据对数恒等式结合指数运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：. （2）由题意可得：. （3）由题意可得：. （4）由题意可得：. 变式7．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列各式中x的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)27 (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）将对数化为指数，结合指数运算求解； （3）（4）根据对数的定义逐步去对数，进而可得结果. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，可得， 又因为且，得． （3）因为，得， 则，所以． （4）因为，可得， 则，所以． 变式8．（2023高一·江苏·专题练习）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)5 (2)1000 (3) 【分析】（1）（2）根据对数的定义运算求解； （3）根据对数的定义结合指数运算求解. 【详解】（1）因为，可得，所以. （2）因为，可得，所以. （3）由题意可得. 变式9．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，试求的值． 【答案】 【分析】根据对数的性质，结合对数式与指数式的恒等式进行求解即可. 【详解】， . 变式10．（22-23高一上·江苏南京·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)128 (2)8 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）根据对数和指数的运算性质求解. 【详解】（1）. （2）. 变式11．（21-22高一·全国·课前预习）求下列各式中的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】根据对数的定义及指对数式的互化即可求得答案. 【详解】（1）由题意，. （2）由题意，. 变式12．（20-21高一上·全国·课后作业）求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）令，根据指对数的关系得，求x即可； （2）令，根据指对数的关系得，求x即可； （3）（4）根据对数的性质，即可求值 【详解】（1）设，则，所以； （2）设，则，即，所以； （3）； （4）. 【方法技巧与总结】求对数式logaNa>0，且a≠1，N>0的值的步骤 1设logaN＝m； 2将logaN＝m写成指数式am＝N； 3将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b. 【题型4：用已知数表示其他数】 例4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】将对数式转化为指数式，再结合指数运算公式，即可求解. 【详解】，则，则． 故答案为： 变式1．（24-25高一上·上海·期中）已知正实数x、y满足，则 ． 【答案】e 【分析】利用指数式和对数式互化和指数幂的运算求解. 【详解】解：， 所以． 故答案为：e． 变式2．（21-22高一上·陕西渭南·期末）已知，，则用，表示 【答案】 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 变式3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，则 ．（用a表示） 【答案】 【分析】利用对数的运算性质对化简即可得答案 【详解】因为， 所以． 故答案为： 变式4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则用表示为 ． 【答案】 【分析】根据换底公式及对数运算计算. 【详解】. 故答案为：. 变式5．（23-24高一下·上海·开学考试）设都是非零常数，且满足，则 .（结果用表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化，再利用对数运算法则及换底公式求解即得. 【详解】由都是非零常数，设，则， 所以 故答案为： 变式6．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，则 ．（用a表示） 【答案】/ 【分析】利用对数的运算性质求值. 【详解】 . 故答案为：. 变式7．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，，（且）.用及表示下列各式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】（1） （2） （3） 变式8．（24-25高一上·全国·课前预习）是否对任意的都可以表示成（且；；且）？说出你的理由． 【答案】可以，理由见解析 【分析】依据当，且时，推导得出． 【详解】令， 则， 故， ∴， ∴． 变式9．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，用表示和. 【答案】， 【分析】根据对数的加减法进行求解. 【详解】， . 【题型5：对数的运算法则】 例5．（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 变式1．（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数性质，结合相反数性质计算． 【详解】与互为相反数，则，即，则. 故选：D. 变式2.（24-25高一上·全国·课后作业）已知x，y为正实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：根据指、对数运算分析判断. 【详解】对于选项ABC：例如，则，，可得， 则，即，故A错误； 则，即，故B错误； 则，即，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 变式3．(多选)（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】借助对数定义可得，从而结合对数运算可得，，，再结合对数的运算法则与大小关系计算即可得解. 【详解】由，得， 则，选项A错误； ，选项B正确，选项D错误； ， ， ，选项C正确． 故选：BC． 变式4．（24-25高三上·全国·阶段练习）设正实数满足，则 ． 【答案】 【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解. 【详解】由，得． 所以． 故答案为： 变式5．（24-25高一上·全国·随堂练习） . 【答案】2 【分析】根据对数的运算即可求解. 【详解】,. 故答案为：2 变式6．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数（且），若，则的值等于 ． 【答案】16 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】， ， 故答案为：16 变式7．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】4 【分析】由已知结合对数运算法则可得，接着先由解得和，再由舍去即可得解. 【详解】因为，故， 所以，由得 或， 又，所以舍去，故，则. 故答案为：. 变式8．（24-25高一上·全国·课堂例题）计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据对数的运算计算即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 变式9．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】利用对数的运算性质，结合根式与指数幂的互化即可得解. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4）. （5） . 变式10．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用对数运算性质化简求解即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 【方法技巧与总结】1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． 【题型6：对数的换底公式】 例6．（22-23高三下·重庆北碚·阶段练习）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将指数式化成对数式，再利用换底公式和对数的运算性质计算即得. 【详解】由化成对数式，可得， 则. 故选：D. 变式1．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据对数运算公式，即可求解. 【详解】， 得. 故选：A 变式2．（24-25高三上·广东梅州·开学考试）化简的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据对数的性质及换底公式可求代数式的值. 【详解】原式 . 故选：B 变式3．（24-25高一上·全国·随堂练习）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用对数的换底公式和运算性质，即可求解. 【详解】因为， 故选：D. 变式4．(多选)（24-25高三上·陕西西安·开学考试）下列运算结果为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于AC：根据指数运算分析判断；对于B：根据对数运算分析判断；对于D：利用换底公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D正确； 故选：BCD. 变式5．（23-24高一上·上海·阶段练习）设方程，的两个实数根为a和b，则 【答案】 【分析】转化为一元二次方程求出a和b，然后由对数运算求解可得. 【详解】令，则，解得或， 即或，解得或， 所以，或，， 所以. 同理可求时，结果也为， 故答案为： 变式6．（23-24高一下·全国·课后作业）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用对数的运算法则和对数的换底公式，准确计算，即可求解； （2）根据题意，利用对数的运算法则和性质，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：由对数的运算法则和对数的换底公式，可得： ； （2）解：由对数的运算法则，可得 变式7．（23-24高一下·全国·课后作业）求值： (1)． (2)． 【答案】(1)101 (2)2 【分析】（1）根据对数的运算性质及指数幂的运算即可求解； （2）根据对数的运算性质，结合换底公式即可求解. 【详解】（1） ． （2） . 变式8．（23-24高一上·浙江宁波·期中）计算下列各式的值. (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的运算性质及换底公式计算可得. 【详解】（1） . （2） . 变式9．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）求值：； （2）设，，用m，n来表示． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由对数的运算性质化简求解即可； （2）利用对数的换底公式进行化简求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）， 因为，所以，即， 所以，即，所以， 故. 变式10．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）回答下面两个题： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据分数指数幂的运算公式，化简求值； （2）根据对数运算公式，化简求值. 【详解】（1）原式． （2）原式 . 变式11．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知x，y，z为正数，若，求的值． 【答案】 【分析】指数对数互化，后结合对数的换底公式与运算性质可解. 【详解】令， 所以，，， 因为x，y，z为正数，所以， 所以． 变式12.（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)3； (4). 【分析】（1）（2）（3）（4）利用对数换底公式，结合对数性质及运算法则计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 【方法技巧与总结】1.(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 2.可用换底公式证明以下结论： ①；②；③；④；⑤. 【题型7：对数的实际应用】 例7．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的（   ）倍． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过里氏震级的计算公式求出不同震级对应的最大振幅，然后计算两者的倍数关系.计算时运用对数的性质和公式即可 【详解】由里氏震级的计算公式，可得，进一步变形得到，从而得出. 当时，根据，可得地震的最大振幅为. 当时，同样根据，可得地震的最大振幅为. . 故选：B 变式1．（23-24高一上·安徽·期末）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为1，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（    ）天“进步者”是“退步者"的2倍（参考数据：，） A．33 B．35 C．37 D．39 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：． 变式2．（24-25高一上·全国·随堂练习）近年来，中国加大了对电动汽车的研究与推广，新型动力电池迎来了蓬勃发展的机遇.已知蓄电池的容量C（单位：Ah），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式为，其中.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（    ） A．28h B．28.5h C．29h D．29.5h 【答案】C 【分析】由题意可得出，，利用对数恒等式与指数运算性质可求得结果. 【详解】因为当放电电流时，放电时间，则， 当放电电流时，则， 即，可得. 故选：C 变式3．（24-25高一上·全国·课后作业）一种药在病人血液中的量保持以上才有效，现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（    ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，答案采取四舍五入精确到） A．2.3 B．3.5 C．5.6 D．8.8 【答案】A 【分析】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．根据题意列出指数等式，再利用指对关系和对数的运算性质以及条件进行求解. 【详解】设从现在起经过小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则，故， 两边取对数得，， 所以. 故选：A. 变式4．（25-26高一上·全国·单元测试）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他能驾驶至少要经过的小时数为（参考数据：）（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】设经过小时才能驾驶，则由题意可得，化简后可求得结果. 【详解】设经过小时才能驾驶，则，即， 所以， 又函数在定义域上单调递减， 所以， 所以他至少要经过5小时才能驾驶． 故选：C． 变式5．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（    ）（参考数据：） A．70天 B．80天 C．90天 D．100天 【答案】B 【分析】先根据天后的“进步值”是“退步值”的5倍列方程，应用指对转化求值. 【详解】设天后的“进步值”是“退步值”的5倍，则，即，两边同时取对数得， 化简得， 所以． 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天． 故选:B． 变式6．（23-24高一下·广西柳州·期中）假设甲和乙刚开始的“日水平值”相同，之后甲通过学习，“日水平值”都在前一天的基础上进步了，而乙懈怠，“日水平值”都在前一天的基础上退步了，大约经过（    ）天，甲的“日水平值”是乙的10倍．（参考数据，） A．77 B．92 C．100 D．123 【答案】A 【分析】根据题意列出等式进行求解即可. 【详解】设甲和乙刚开始的“日水平值”为1 ， 则经过天后，甲的“日水平值”为 ， 乙的“日水平值”为， 由题意可得， 即 ， 两边取常用对数得， 即， 所以， 所以 故选：A. 变式7．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡．假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍．则该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要（参考数据：）（    ） A．40年 B．30年 C．20年 D．10年 【答案】D 【分析】设该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要年，由题意列方程求解即可. 【详解】设该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要年， 则由题意得，即， 所以，， 所以， 即该外来入侵植物由入侵的10株变成1万株大约需要10年. 故选：D 变式8．（22-23高一下·浙江杭州·期中）通过科学研究发现：地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为，，则 【答案】1000 【分析】首先根据题意得到，再作差即可得到答案. 【详解】由题知：. 故答案为：1000 一、单选题 1．（23-24高一上·广西河池·期末）若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】根据给定的等式，求出即可计算得解. 【详解】由，得，解得，由，得，解得， 所以. 故选：D 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式. 【详解】把对数式化成指数式，为． 故选：A． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算可以计算A,C选项；根据对数的运算性质可以计算B选项；对数的真数部分要大于0，据此可以判断D选项. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B对； 对于C，，C错； 对于D，对数的真数部分要大于0，D错. 故选：B 4．（24-25高一上·全国·课后作业）计算等于（    ） A．－1 B． C．3 D．－5 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质及对数恒等式计算即可 【详解】 故选：A 5．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 6．（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）若，则等于（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】利用对数的运算法则及指对数互化可得，进而即得. 【详解】由，可得，即， 所以. 故选：C 7．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知，则（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算法则计算出答案. 【详解】，即. 故选：A 8．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据指数幂运算法则，先求出为一个定值，从而可得结果. 【详解】， 所以 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】将指数化为对数可得，，利用换底公式结合对数运算性质逐项分析判断. 【详解】因为，则，， 可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项CD：，故C，D不正确． 故选：AB. 10．（23-24高一下·安徽铜陵·期中）放射性物质质量衰减一半所用的时间叫做半衰期．有一种放射性物质，现在的质量为500g，按每年的比率衰减，则（    ） 参考数据：，． A．10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.1倍 B．2年后，这种放射性物质的质量与现在相比减少了405g C．t年后，这种放射性物质的质量为g D．这种放射性物质的半衰期约为7.5年 【答案】CD 【分析】依题意写出时间与该物质剩余质量的函数关系，逐一判断ABC；令，将指数式转化为对数式，利用换底公式求解可判断D. 【详解】依题意，该物质每经过1年，所剩质量为上一年的， 记t年后该物质的质量为y，则， 对于A，10年后这种放射性物质的质量为9年后这种放射性物质的质量的0.9倍，故A错误； 对于B，2年后，这种放射性物质的质量为（g），故B错误； 对于C，t年后，这种放射性物质的质量为，故C正确； 对于D，令，即，故D正确． 故选：CD 11．（23-24高一上·河北·期末）下列判断正确的有（    ） A． B．（其中，） C．（其中） D． 【答案】ACD 【分析】利用指数幂、对数的运算性质计算即可判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由对数性质可知，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，,所以，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．（23-24高三上·天津·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由对数的定义求出，，代入，利用对数的运算即可求解. 【详解】由，则，， 则， 因此可得， 故答案为：. 13．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）设，若，则 ． 【答案】3 【分析】利用换底公式将已知转化为关于的一元二次方程求解即可. 【详解】由 整理得：，解得或， 即（舍去）或. 故答案为：3 14．（24-25高一上·上海·课后作业）下列各式：①；②；③若，则；④若，则；⑤．其中正确的序号是 ． 【答案】①② 【分析】运用指对互化和对数运算的结论和公式即可解题 【详解】①，则正确； ②，则正确； ③若，则错误； ④若，则错误； ⑤，式子对数的真数为负数，没有意义，则错误. 故答案为：①②. 四、解答题 15．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）若已知，，求的值； （2）计算； （3）已知．求的值． 【答案】（1）；（2）0；（3）； 【分析】（1）利用分数指数幂运算法则计算可得结果； （2）由对数运算法则计算可得答案； （3）利用平方关系计算可得，可得，可得结果. 【详解】（1）由已知，，可得， （2）易知 ； （3）由可得，可得； 所以， 因此可得 16．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）求下列各式的值： (1)； (2). (3)已知，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分数指数幂计算即可. （2）利用对数的运算法则与换底公式计算即可. （3）化解，再利用基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）原式 . （3）由题意，， 则 ， 当且仅当，即取等号. 所以的最小值为. 17．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知奇函数满足，且当时，． (1)证明：； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据结合奇函数的性质证明即可； （2）由（1）可知函数的周期为4，利用周期将函数的自变量化简到内求解即可. 【详解】（1）证明：因为奇函数满足， 所以， 所以， 所以， 即； （2）由（1）可知4为的周期， 因为，所以， 得，所以， 所以 . 18．（25-26高一上·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）借助对数运算可得，，结合对数的运算法则即可用a、b表示； （2）左右同取以为底的对数后结合对数的运算法则计算即可得. 【详解】（1）由，，则，， 则； （2）易得且，由，则， 即，即，即， 则. 19．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）从①；②这两个条件中任选一个填入题中的横线上，并解答问题． 已知函数________． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断． 【答案】(1)选①，选②； (2)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析. 【分析】（1）利用对数运算性质计算，再选择条件求出函数值. （2）选择条件，利用函数单调性定义分段讨论单调性，并进行推理即得. 【详解】（1），， 选①，，则. 选②，，则. （2）选①，，在上单调递减，在上单调递增， ，且，则 ， 当时，，，，所以，， 则，，因此在上单调递增； 当时，，，，所以，， 则，，所以在上单调递减. 选②，，在上单调递减，在上单调递增， ，且， 当时，， ， 因为，则，， 则，，所以在上单调递增； 当时，， ， 因为，则，， 则，，所以在上单调递减. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$