4.3对数函数（3知识点+11题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

4.3对数函数 课程标准 学习目标 1.掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力; 2.通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质; 3.在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯 重点:对数函数的图象和性质; 难点:对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质 知识点01 对数函数的定义 1．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 【即学即练1】（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练2】（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 知识点02对数函数的图像与性质 对数函数的图象与性质列表如下： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【即学即练3】（21-22高一上·陕西渭南·期中）若，且函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【即学即练4】（24-25高一上·上海·课堂例题）画出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)．   知识点03 反函数 定义：对数函数表示为 (a>0,且a≠1),指数函数表示为(a>0,且a≠1).因此,指数函数是对数函数 的反函数,对数函数也是指数函数 的反函数.即它们互为反函数, 【即学即练5】（23-24高一上·上海·阶段练习）下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【即学即练6】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 难点：换元思想的运用 示例1：（23-24高一下·湖北·开学考试）已知函数定义域为． (1)求的取值范围； (2)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求的取值范围． 难点：子集思想的运用 示例2：（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数为奇函数. (1)解不等式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【题型1：对数函数的概念】 例1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 变式1．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 变式4．（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 变式5．（2023高一·全国·专题练习）指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤． 变式6．（20-21高一上·吉林长春·阶段练习）若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 变式7．(多选)（23-24高一上·全国·课后作业）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 变式8．（24-25高一上·全国·课后作业）函数为对数函数，则 ． 【方法技巧与总结】判断一个函数是否为对数函数的方法 对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)对数式系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 【题型2：对数函数求值】 例2．（23-24高一下·广东湛江·期末）设函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 变式1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·全国·课后作业）若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式3．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 变式4．（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知函数，则 ． 变式5．（23-24高一上·北京大兴·阶段练习）已知函数，则 ； ． 变式6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则 ． 变式7．（24-25高一上·上海·随堂练习）设（且），若图象经过和，则 ． 变式8．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则当时， ． 变式9．（24-25高一上·上海·课前预习）对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 变式10．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若函数在上满足恒成立，则 ． 变式11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知对数函数（且）的图象经过点，若点为此函数图象上的点，求实数b的值． 【题型3：对数函数的定义域】 例3．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·山西长治·期末）“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 变式3．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 变式4．（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为 ． 变式5．（24-25高一上·上海·单元测试）函数的定义域是 ． 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的定义域为 ． 变式7．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）若，，则 ； （3）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 变式8．（2024高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则的范围为 . 变式9．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 变式`10．（23-24高一上·上海·假期作业）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【方法技巧与总结】求对数型函数的定义域时应遵循的原则 1分母不能为0. 2根指数为偶数时，被开方数非负. 3对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【题型4：对数函数过定点问题】 例4．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 变式1．（23-24高一上·广东茂名·期中）若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2021高一·全国·专题练习）若点在函数的图象上，则下列点中，不在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高三上·上海·开学考试）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 变式4．（22-23高一上·福建莆田·期中）函数的图象恒过定点 . 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）过点，则经过点 . 变式6．（23-24高一上·湖北·期末）函数的图象恒过，则 变式7．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数，（且），则图象恒过定点的坐标为 . 变式8．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数（，）的图象经过定点，若点也在函数 的图象上，则 . 变式9．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于、的方程，则的最小值为 . 【方法技巧与总结】y＝logax (a>0，且a≠1)图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 【题型5：对数函数图像问题】 例5．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23高一下·河南·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   变式3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   变式4．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   变式5．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 变式6．（2023高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 变式7．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 变式8．(多选)（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式9．（多选）（22-23高一上·江西·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 变式10．（22-23高一·全国·课堂例题）如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．    【题型6：对数比较大小】 例6．（23-24高二上·湖南常德·开学考试）下列三个数：，，，大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23高二下·山东聊城·期末）设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 变式3．（22-23高一上·山东枣庄·期中）已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 变式4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）如果，那么，，的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 变式5．(多选)（23-24高一上·广东茂名·期末）下列各式比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式6．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）令，，，则三个数，，的大小顺序是 .（用“<”连接） 变式7．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 变式8．（2023高一·全国·课后作业）设，，，比较a，b，c大小 ． 变式9．（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数（，且）的图象关于坐标原点对称 (1)求实数的值 (2)比较与的大小，并请说明理由. 【方法技巧与总结】比较对数值大小的常用方法 1同底数的利用对数函数的单调性. 2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. 3底数和真数都不同，找中间量. 注意：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小. 【题型7：对数不等式】 例7．（23-24高一下·全国·课堂例题）若，则实数x的取值范围是 ． 变式1．（20-21高一上·云南楚雄·期末）已知函数(，且)，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24高一上·四川·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式4．（2021高一上·江苏·专题练习）若关于的不等式且在上恒成立，则的取值范围为 ． 变式5．（23-24高一上·天津南开·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 ． 变式6．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）设函数，则不等式的解集为 . 变式7．（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为 ． 变式8．（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）若函数，则关于的不等式的解集是 . 变式9．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是减函数，则不等式的解集是 变式10．（23-24高一下·河南·阶段练习）设，且，若，则实数a的取值范围是 ． 变式11．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，若，则实数的取值范围为 . 变式12．（20-21高一·全国·课后作业）已知函数在上恒有成立，求实数a的取值范围． 变式13．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，且． (1)判断的奇偶性并予以证明； (2)求使的的解集． 【方法技巧与总结】(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 【题型8：对数函数的单调性】 例8．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 变式4．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列函数既是奇函数又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 变式5．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 变式6.（24-25高三上·四川成都·开学考试）函数的单调递增区间为 . 变式7．（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 变式8．（2024高一上·江苏·专题练习）函数的单调递增区间为 . 变式9．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若的最小值为0，求a的值. 变式10．（2024高一·全国·专题练习）试求函数的单调区间． 变式11．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，求出函数的单调增区间． 【方法技巧与总结】求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域． (2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性． (3)判断出函数的增减性求出单调区间． 【题型9：对数函数的值域与最值】 例9．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）“”是“函数的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1．（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一上·天津·阶段练习）函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．D． 变式3．（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 变式4．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5．(多选)（23-24高一下·江苏镇江·期中）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 变式6．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的值域是 . 变式7．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 变式8．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ． 变式9．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 变式10．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 变式11．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知定义在上的奇函数，其中. (1)求函数的值域； (2)解不等式：. 变式12．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 变式13．（23-24高一上·浙江宁波·期中）设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 变式14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 变式15．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值． 【方法技巧与总结】 1.求解最值问题： ①求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题： 一般要转化为求二次函数的最值问题，求二次函数的最值时常用配方法，配方时注意自变量的取值范围. 1. 求形如y=logaf（x）（a>0，且a≠1）的复合函数值域的步骤∶ ①分解成两个函数y=logau，u=f（x）； ②求f（x）的定义域； ③求u的取值范围； ④利用单调性求解y=logau（a>0，且a≠1）的值域. 【题型10：对数函数的奇偶性与对称性】 例10．（22-23高一上·山东枣庄·期中），若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）若是偶函数，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 变式3．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，有，则（    ） A．0 B．1 C． D． 变式4．(多选)（22-23高一上·云南红河·阶段练习）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（        ） A． B． C． D． 变式5．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知函数 (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由. 变式6．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数为偶函数，且不为常值函数． （ⅰ）求实数，的值； （ⅱ）判断并利用单调性的定义证明的单调性． 变式7．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间： (2)若的值域为，求实数a的取值范围． 变式8．（20-21高一上·四川成都·期中）已知函数， 且． (1)求的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 变式9．（23-24高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【题型11：对数函数的最值与恒成立问题】 例11．（23-24高一上·广东深圳·期末）设函数，对任意给定的，都存在唯一的，使得成立，则a的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 变式1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 变式2．（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为 . 变式3．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 变式4．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 变式5．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)当时，求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 变式6．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若，，使得不等式成立，求的取值范围； (3)若函数的图象经过点，且函数在上的最大值为，求的值． 变式7．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数 且的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． (1)若，求的值； (2)若使得不等式成立，求实数的取值范围． 变式8．（23-24高一上·福建三明·期末）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 变式9．（21-22高一上·浙江金华·期中）已知函数与函数，函数的定义域为. (1)求的定义域和值域； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心. 变式10．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 变式11．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知，. (1)求函数在区间上的最小值. (2)对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（21-22高一上·陕西渭南·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）使对数有意义的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 6．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，则（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 7．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 二、多选题 9．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）下列选项正确的是（   ） A．的定义域是 B．若函数的定义域为， 则函数的定义域为 C．函数在的值域为 D．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 10．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若函数定义域为，则函数的定义域为 B．若定义域为R的函数值域为，则函数的值域为 C．函数与的图象关于直线对称 D．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为 11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知是上的减函数，那么a的取值范围是 13．（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 14．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为 . 四、解答题 15．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对于恒成立，求实数m的范围. 16．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)解不等式 17．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 18．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， (1)求实数a的值以及函数的解析式； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 19．（23-24高一上·安徽·期末）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3对数函数 课程标准 学习目标 1.掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力; 2.通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质; 3.在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯 重点:对数函数的图象和性质; 难点:对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质 知识点01 对数函数的定义 1．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2.两种特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 【即学即练1】（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 【即学即练2】（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数， 所以只有选项C满足定义. 故选：C. 知识点02对数函数的图像与性质 对数函数的图象与性质列表如下： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 注意：掌握对数函数的图象和性质，其关键是理解图象的特征，利用几何直观掌握函数的性质. 【即学即练3】（21-22高一上·陕西渭南·期中）若，且函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质可得，再根据函数图像平移判断即可. 【详解】因为，且，故，故为减函数，且过， 又的图像为的图像向右平移1个单位，则A满足. 故选：A 【即学即练4】（24-25高一上·上海·课堂例题）画出下列函数的图像： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）利用描点法作出函数图象. （2）（3）利用变换法作出函数图象. 【详解】（1）函数的定义域为，列表如下： x 1 3 y 0 1 描点、连线，作出图象：    （2）作出函数的图象，把函数的图象向右平移1个单位长度得的图象，如图：    （3）作出函数的图象，把函数的图象在x轴下方部分沿x轴向上翻折得的图象，如图：    知识点03 反函数 定义：对数函数表示为 (a>0,且a≠1),指数函数表示为(a>0,且a≠1).因此,指数函数是对数函数 的反函数,对数函数也是指数函数 的反函数.即它们互为反函数, 【即学即练5】（23-24高一上·上海·阶段练习）下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】取特例结合反函数定义和性质判断即可. 【详解】对①，取函数，显然存在反函数，但不单调，①错误； 对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误； 对③，取奇函数函数，当时有和与之对应， 即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误. 故选：A 【即学即练6】（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算函数的值域，可求出原函数的反函数的定义域. 【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为， 则反函数的定义域为. 故选：D. 难点：换元思想的运用 示例1：（23-24高一下·湖北·开学考试）已知函数定义域为． (1)求的取值范围； (2)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数定义域确定对恒成立，转化为，求出的最小值即可； （2）根据已知条件，先判断复合函数、的单调性，结合题意确定，自定义域内，分别求出、结合，构造不等式组，解出的范围即可. 【详解】（1）对恒成立， 即，∵则， 即． （2）根据已知条件有：对恒成立， 令，单调递增， 也单调递增， 单调递增； 令，单调递增， 单调递减， 单调递减； ， 是单调减函数时， 是单调增函数时， ， 即，结合定义域有：， 即 . 难点：子集思想的运用 示例2：（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知函数为奇函数. (1)解不等式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】 （1）根据题意，求得，得到，列出不等式，即可求解； （2）根据题意，转化为函数的值域是函数的值域的子集，结合对数的运算，求得，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1） 解：由的定义域为， 因为为奇函数，可得，解得，所以， 又由不等式，可得，整理得，解得， 所以不等式的解集为. （2） 解：因为，总有，使得成立， 所以函数的值域是函数的值域的子集， 而， 令，所以， 所以，又由在上递增， 所以，所以，解得，所以的取值范围为. 【题型1：对数函数的概念】 例1．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 变式1．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用对数函数概念可判断. 【详解】根据对数函数概念，形如且的函数是对数函数.结合选项知道为对数函数. 故选：D. 变式2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 变式3．（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ． ①；②；③；④． 【答案】② 【分析】根据对数函数的定义进行判断即可． 【详解】由对数函数的定义：形如（且）的形式，则函数为对数函数，只有②符合. 故答案为：②. 变式4．（2023高一上·上海·专题练习）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2) (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是对数函数 (2)不是对数函数 (3)不是对数函数 (4)不是对数函数 (5)是对数函数 【分析】利用对数函数的定义判断. 【详解】（1）该函数解析式中真数不是自变量，不是对数函数． （2）该函数解析式中对数式后加2，所以不是对数函数． （3）该函数解析式中真数为，不是，系数不为1，故不是对数函数． （4）该函数解析式中底数是自变量，并非常数，所以不是对数函数． （5）该函数解析式中底数是6，真数为，符合对数函数的定义，故是对数函数． 变式5．（2023高一·全国·专题练习）指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①； ②； ③； ④； ⑤． 【答案】④ 【分析】由对数函数定义可得. 【详解】对数函数定义：函数叫做对数函数. ①是指数函数，不是对数函数； ②的系数为，所以不是对数函数； ③真数为，所以不是对数函数； ④满足定义，是对数函数； ⑤真数是，所以不是对数函数. 故④是对数函数. 变式6．（20-21高一上·吉林长春·阶段练习）若函数为对数函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义，令直接计算即可. 【详解】由题可知：函数为对数函数 所以或，又且 所以 故选：B 变式7．(多选)（23-24高一上·全国·课后作业）函数中，实数的取值可能是（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】AC 【分析】利用对数函数的定义列出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据对数函数的定义得：， 即：，所以或， 故选：AC. 变式8．（24-25高一上·全国·课后作业）函数为对数函数，则 ． 【答案】3 【分析】利用对数函数的定义，列式计算即得. 【详解】函数为对数函数， 则，且，所以. 故答案为：3 【方法技巧与总结】判断一个函数是否为对数函数的方法 对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)对数式系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. 【题型2：对数函数求值】 例2．（23-24高一下·广东湛江·期末）设函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定的分段函数，判断代入求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 变式1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 变式2．（24-25高一上·全国·课后作业）若点都在同一个对数函数的图象上，则t等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据点求得对数函数为，再代入点运算即可. 【详解】设对数函数为（且）， 代入点可得，则，解得， 所以， 代入点可得，则， 可得，所以. 故选：C. 变式3．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】 由偶函数性质以及对数运算即可求解. 【详解】已知是定义在上的偶函数，当时，，则. 故选：C. 变式4．（23-24高一下·湖南长沙·期中）已知函数，则 ． 【答案】0 【分析】根据函数解析式，直接求出即可. 【详解】由题意知，． 故答案为：0 变式5．（23-24高一上·北京大兴·阶段练习）已知函数，则 ； ． 【答案】 1 /0.5 【分析】根据函表达式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以， 故答案为：，. 变式6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，求得对数函数解析式，再将代入计算即可. 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 变式7．（24-25高一上·上海·随堂练习）设（且），若图象经过和，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 变式8．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则当时， ． 【答案】 【分析】先根据已知得出，再代入运算即可得解. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，、 所以，即， 当时，. 故答案为：. 变式9．（24-25高一上·上海·课前预习）对数函数的图像过点，则此对数函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】结合对数函数的定义即可得出. 【详解】设，由题意可得，解得. 所以此对数函数的表达式为. 故答案为：. 变式10．（23-24高一下·河北保定·开学考试）若函数在上满足恒成立，则 ． 【答案】 【详解】分析题意，列出方程组，求解即可. 设，则，即①， 由得，则②， 由①②可得，即， 因为不恒为0，所以， 所以，经验证，符合题意． 故答案为： 变式11．（23-24高一·上海·课堂例题）已知对数函数（且）的图象经过点，若点为此函数图象上的点，求实数b的值． 【答案】9 【分析】根据点在图象上可求出，进而可求解． 【详解】将代入得，，则，解得或（不合题意舍去）， 所以，又点为此函数图象上， 所以，则． 【题型3：对数函数的定义域】 例3．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不为0，对数真数正数构造不等式组求解即可. 【详解】由题意得：得定义域为. 故选：D. 变式1．（23-24高一上·山西长治·期末）“”是“函数的定义域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出对数复合函数定义域为的充要条件，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由于函数的定义域为，则在上恒成立， 故满足，解得，由成立得一定成立， 反之成立时，不一定成立， 所以“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件. 故选：B 变式2．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】. 【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，故， 因为有意义， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 变式3．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在R上恒成立，且，即在R上成立，且，然后结合基本不等式可求得结果. 【详解】解：根据题意，不等式在R上恒成立，且， 即在R上成立，且． 因为，当且仅当时，即时等号成立， 所以，解得， 所以k的取值范围是． 故答案为：． 变式4．（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由对数的性质列不等式求定义域即可. 【详解】由解析式知，解得， 所以的定义域为． 故答案为：. 变式5．（24-25高一上·上海·单元测试）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的定义域列不等式，解不等式即可. 【详解】由， 得，解得或， 故答案为：. 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的定义域为 ． 【答案】 【分析】要使对数函数有意义，则由真数部分大于0可列出不等式求解. 【详解】，所以． 故答案为：. 变式7．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）若，，则 ； （3）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 （，且） 【分析】（1）根据幂函数，根式，分式和对数函数的定义要求求解即可； （2）根据分式定义域化简求解即可； （3）根据抽象函数定义域求法解即可. 【详解】（1）依题意，，解得且， 所以定义域为. （2）有意义满足，即， 有意义满足， 所以（，且）. （3）函数的定义域为，所以， 又， 故解得， 所以定义域为. 故答案为：（1）；（2）（，且）；（3）. 变式8．（2024高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则的范围为 . 【答案】 【分析】将条件转化为不等式的任意性问题，然后取特殊值得到的取值范围，再验证该范围下的都符合条件. 【详解】由于函数的定义域是， 故条件即为，这等价于对任意实数成立. 若对任意实数成立，取知，即； 若，则对任意实数都有， 故对任意实数成立. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 变式9．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由抽象函数定义域以及复合型对数函数定义域的求法，列出不等式组即可求解. 【详解】由题意函数的定义域为，所以要使函数有意义， 则，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：. 变式`10．（23-24高一上·上海·假期作业）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)； (6) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）求出使函数有意义的的范围即可； 【详解】（1）要使函数有意义，只须 ，解得， 所以的定义域为； （2）要使函数有意义，只须 ，解得， 所以的定义域为； （3）要使函数有意义，只须 ，解得，或， 所以的定义域为； （4）要使函数有意义，只须 ，解得， 所以的定义域为； （5）要使函数有意义，只须 ，解得，或 所以的定义域为； （6）要使函数有意义，只须 ，解得， 所以的定义域为； 【方法技巧与总结】求对数型函数的定义域时应遵循的原则 1分母不能为0. 2根指数为偶数时，被开方数非负. 3对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【题型4：对数函数过定点问题】 例4．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】由真数等于，求出定点的坐标，设幂函数，将点的坐标代入幂函数，求出的值，可得出幂函数的解析式，由此可计算出的值. 【详解】令，得，当时，，所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入，得，则， ，因此，. 故选：C. 变式1．（23-24高一上·广东茂名·期中）若函数且的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出，再结合指数函数、二次函数单调性求出递增区间. 【详解】在函数且中，令，得， 因此函数的图象恒过定点，依题意，2，函数定义域为R， 令，函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上递增， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 变式2．（2021高一·全国·专题练习）若点在函数的图象上，则下列点中，不在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再由对数的运算即可求解. 【详解】因为点在的图象上，所以， 所以，，， 故选：B． 变式3．（24-25高三上·上海·开学考试）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 【答案】 【分析】令，计算即可求解. 【详解】由题意知，令，得， 将代入解析式中，得， 则函数的图象恒定点，即. 故答案为： 变式4．（22-23高一上·福建莆田·期中）函数的图象恒过定点 . 【答案】 【分析】根据对数的性质即可令求解. 【详解】令，解得，所以， 故函数的图象恒过定点， 故答案为： 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）过点，则经过点 . 【答案】 【分析】先求出经过的定点，再证明与是一对反函数，即可得到经过的定点. 【详解】由（且）可知，时，，则点为， 由可得，两边取对数得，，交换可得，， 即与是一对反函数，图象关于轴对称， 故经过点. 故答案为： 变式6．（23-24高一上·湖北·期末）函数的图象恒过，则 【答案】 【分析】根据对数函数的知识求得正确答案. 【详解】当时，. 故答案为： 变式7．（23-24高一上·陕西汉中·期末）已知函数，（且），则图象恒过定点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据对数函数、指数函数的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ，所以定点为. 故答案为： 变式8．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数（，）的图象经过定点，若点也在函数 的图象上，则 . 【答案】 【分析】根据对数型函数的性质求得，代入的解析式，求得，进而求得. 【详解】由，解得，，所以， 所以， 所以，所以. 故答案为： 变式9．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，若点的坐标满足关于、的方程，则的最小值为 . 【答案】 【分析】求出点的坐标，可得出，然后将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】令，可得，则， 所以，函数的图象恒过定点， 由已知条件可得，即， 又因为、都为正数，则 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】y＝logax (a>0，且a≠1)图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 【题型5：对数函数图像问题】 例5．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 变式1．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D. 变式2．（22-23高一下·河南·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】 根据奇偶性排除AB，根据函数值符号排除C，故可得正确的选项. 【详解】 函数的定义域为， 因为，所以函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除AB； 当时，，故C错误，D正确. 故选：D. 变式3．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意求出a的值，可得的具体表达式，判断其图象性质，结合选项，即可得答案. 【详解】由于函数，且的图象过点， 故， 则， 该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且上单调递减，在上单调递增， 只有B中图象符合该函数图象特点， 故选：B 变式4．（23-24高一上·福建宁德·期末）已知且，函数与的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数的定义域和单调性进行排除即可. 【详解】对函数得 ，故函数的图象应该在轴的左侧，排除BC选项； 对D：由的图象看，函数单调递减，所以，但从的图象看：，所以有矛盾，D选项错误； 对A：当时，与的图象都吻合，故A正确. 故选：A 变式5．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】由图象可得，指数函数为减函数， 对数函数为增函数， 所以， 即. 故选：B 变式6．（2023高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解. 【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D 变式7．（22-23高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由幂函数、指数函数、对数函数性质确定函数图象对应的函数式，确定的范围后，再确定，，的范围，从而得它们的大小关系． 【详解】由图象知最上方的图象是的图象，过点的是的图象，过点的是的图象， 因此，，， ，，，即， 故选：C． 变式8．(多选)（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据函数图象，由单调性可判断，结合时，，可判断正负. 【详解】由函数图象可得在上单调递减，所以， 又时，，即，故A，D正确. 故选：AD. 变式9．（多选）（22-23高一上·江西·阶段练习）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先观察的函数图象，根据单调性得出或.然后结合直线与轴交点的纵坐标，即可得出正确答案. 【详解】曲线为的图象，直线为的图象. 对于A，对于，函数单调递增知，.对于，当时，，显然，矛盾，所以A项错误； 对于B，对于，函数单调递增知，.对于，当时，，所以B项正确； 对于C，对于，函数单调递减知，.对于，当时，，显然，所以C项正确； 对于D，对于，函数单调递减知，.对于，当时，，矛盾，所以D项错误. 故选：BC. 变式10．（22-23高一·全国·课堂例题）如图所示的曲线分别是对数函数，，，的图象，则，，，，1，0的大小关系为 （用“＞”号连接）．    【答案】 【分析】由对数函数的图象与性质判断 【详解】由题图可知，，，． 直线与四个函数图象交点的横坐标从左向右依次为，，，， 故答案为： 【题型6：对数比较大小】 例6．（23-24高二上·湖南常德·开学考试）下列三个数：，，，大小顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数、对数的知识确定正确答案. 【详解】， ，，所以， 所以， ， 所以. 故选：C 变式1．（22-23高二下·山东聊城·期末）设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性结合中间值可得出、、的大小关系. 【详解】，即. 故选：A. 变式2．（23-24高三上·江苏镇江·开学考试）设，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各数都同乘以，将作为中间量，再通过对数运算与对数函数单调性比较大小即可. 【详解】， ，又， ，即. 故选：D. 变式3．（22-23高一上·山东枣庄·期中）已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指对数函数性质判断的大小即可. 【详解】由， 所以. 故选：B 变式4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）如果，那么，，的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助指数函数和对数函数的性质确定范围，即可解决. 【详解】设，由指数函数图像性质可知， 当时，函数值大于1，所以， 设，由指数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于1，所以， 设，由对数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于0，所以， 所以. 故选：C 变式5．(多选)（23-24高一上·广东茂名·期末）下列各式比较大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由指数函数的性质确定ABC，乘后由对数的运算确定D. 【详解】A：由于在上是单调递增函数，故，故A错误； B：，因为在上是单调递增函数，所以，故B正确； C：，，故，故C正确； D：，所以 ，故D错误； 故选：BC 变式6．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）令，，，则三个数，，的大小顺序是 .（用“<”连接） 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可确定大小关系. 【详解】，. 故答案为：. 变式7．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较 的大小（填”<”或”>”或”=”） 【答案】< 【分析】根据糖水不等式的知识求得正确答案. 【详解】依题意. 故答案为： 变式8．（2023高一·全国·课后作业）设，，，比较a，b，c大小 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的性质比较的大小，然后得出的大小即可. 【详解】因为是增函数， 所以 ， 又， 所以. 故答案为： 变式9．（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知函数（，且）的图象关于坐标原点对称 (1)求实数的值 (2)比较与的大小，并请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据函数解析式，由奇函数定义可求得满足题意； （2）利用对数函数单调性对底数进行分类讨论即可比较出与的大小. 【详解】（1）∵，∴. 又函数的图象关于坐标原点对称， ∴，∴， ∴，即，可得， 解得或. 验证知不成立， 所以 （2）据（1）求解知，， 因此，. 当时，函数在上单调递增，∴； 当时，函数在上单调递减，∴； 综上可知，当时，；当时，. 【方法技巧与总结】比较对数值大小的常用方法 1同底数的利用对数函数的单调性. 2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. 3底数和真数都不同，找中间量. 注意：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小. 【题型7：对数不等式】 例7．（23-24高一下·全国·课堂例题）若，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数单调性及定义得到不等式，求出x的取值范围. 【详解】由，得，解得， 所以实数x的取值范围为. 故答案为：. 变式1．（20-21高一上·云南楚雄·期末）已知函数(，且)，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得到，根据恒成立，得到，即可求解. 【详解】令，可得函数表示开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以， 因为恒成立，所以，即，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A. 变式2．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数性质可将转化为，由函数单调性计算即可得. 【详解】， 则， 由，故， 故， 又，随增大而增大， 故在上单调递减，又， 故可转化为， 则有，即，即，故. 故选：D. 变式3．（23-24高一上·四川·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性、奇偶性画出的大致图象，结合图象来求得不等式的解集. 【详解】根据题意可得在上单调递增，因为是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增． 令，解得或（舍去），则． 画出的大致图象，则由不等式，得或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 变式4．（2021高一上·江苏·专题练习）若关于的不等式且在上恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意，令，则，对分情况讨论，结合单调性即可求解． 【详解】解：不等式，在时恒成立， 令， ， 当时，，不满足题意 当，此时在内单调递减， ， ， ， 故答案为：． 变式5．（23-24高一上·天津南开·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由二次函数、对数函数的性质判断、对应值域范围，即可得解集. 【详解】由题设，开口向下且对称轴为， 在上，在上递增，在上递减，且恒过点， 所以，上，上， 又，上，上， 综上，的解集为. 故答案为： 变式6．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）设函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式分析得为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】函数，定义域为， ，函数为偶函数， 当时，在上单调递增， 则在上单调递减， 不等式，则有，解得且， 所以不等式解集为. 故答案为： 变式7．（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】结合函数的定义域和单调性列不等式组，解不等式组求得不等式的解集. 【详解】由于函数在上递减， 所以解得， 所以原不等式的解集为， 故答案为： . 变式8．（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）若函数，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据题意，令，分析可得为定义域在上的奇函数，且在上单调递减，根据奇偶性和单调性可将不等式等价于，解不等式即可得到答案. 【详解】令 因为，即，可知函数的定义域为， 且， 所以为上的奇函数， 因为， 且，在内单调递增， 则在内单调递增，可知在内单调递减， 又因为在定义域内单调递增，则在内单调递减， 由奇函数可知在内单调递减，所以在上单调递减， 综上所述：为定义在上奇函数，且在上单调递减， 由，则， 可得， 则，解得：， 所以不等式的解集是 故答案为：. 变式9．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是减函数，则不等式的解集是 【答案】 【分析】通过奇偶性和单调性并结合对数不等式进行计算即可 【详解】因为定义在实数集R上的偶函数在区间上是减函数， 所以函数在区间上是增函数， 所以由不等式，得 所以，即或，解得或 即不等式的解集是 故答案为：. 变式10．（23-24高一下·河南·阶段练习）设，且，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将原不等式转化为，然后分和两种情况求解即可. 【详解】由，得， 得，所以， 当时，，所以， 解得，或（舍去）， 所以，得； 当时，，所以 所以，所以． 综上，实数a的取值范围是． 故答案为： 变式11．（23-24高一上·湖南·期末）已知函数，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集. 【详解】， 令，由于，所以的定义域为， 又， 所以是奇函数，当时，为增函数，则， 由是奇函数可知，在上单调递增， 则， 于是，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为： 变式12．（20-21高一·全国·课后作业）已知函数在上恒有成立，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质，结合换底公式进行求解即可. 【详解】因为函数在上恒有成立， 所以有， 由， 即不等式在上恒成立，只需， 综上所述：，所以实数a的取值范围为. 变式13．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数，且． (1)判断的奇偶性并予以证明； (2)求使的的解集． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【分析】（1）由奇函数的定义判断即可；（2）利用对数函数的单调性可得. 【详解】（1）是奇函数， 证明如下：因为，所以，解得，即的定义域为． ， 故是奇函数． （2）由得，即， 当时，且，解得，故使的的解集为； 当时，且，解得，故使的的解集为． 【方法技巧与总结】(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论． (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解． 【题型8：对数函数的单调性】 例8．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知在分别单调递增，再结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】当时，单调递增， 则由题意可得 化简得,即得, 解得，故a的取值范围是. 故选：A. 变式1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解. 【详解】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间,上单调递增， 在区间,上单调递减, 故选：A 变式2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可. 【详解】在区间上单调递增， 则在区间上单调递减且恒为正， 所以且，所以. 故选：C. 变式3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A 变式4．（24-25高一上·北京·阶段练习）下列函数既是奇函数又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性的定义和判定方法，以及初等函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由幂函数的性质，可得函数在区间上是减函数，不符合题意； 对于B中，由对数函数的性质，可得在区间上是减函数，不符合题意； 对于C中，由函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 又由函数在为增函数，所以在区间上也是增函数，符合题意； 对于D中，由函数，当时，， 根据二次函数的图象与性质，可得在区间上是减函数，不符合题意. 故选：C. 变式5．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用排除法.先判断函数的奇偶性，排除AB，再分析函数的单调性，排除C，可得问题答案. 【详解】是奇函数，既不是奇函数也不是偶函数，排除AB； C，D中函数都是偶函数，时，是减函数，排除C． 对于D，，当时，为增函数且, 而在为增函数，故在上为增函数， 故D正确． 故选：D． 变式6.（24-25高三上·四川成都·开学考试）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据对数型函数的定义域，结合对数型函数的单调性的性质进行求解即可. 【详解】由，或， 二次函数的对称轴为， 因为函数是正实数集上的增函数， 所以当函数单调递增时，则有， 所以函数的单调递增区间为， 故答案为： 变式7．（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合函数是定义在上的增函数得在上单调递增且在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 而函数是定义在上的增函数， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为：. 变式8．（2024高一上·江苏·专题练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】求出原函数的定义域，求出内函数的增区间，结合复合函数的单调性得答案. 【详解】解：由，得或. 内层函数在上为增函数， 外层函数为增函数， 函数的单调递增区间为. 故答案为：. 变式9．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若的最小值为0，求a的值. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2) 【分析】（1）先根据求出的值，再由复合函数单调性可得单调区间； （2）的最小值为0，转化为的最小值为，结合二次函数图象与性质即可求解的值. 【详解】（1）因为，所以，因此，则. 这时 由得，即函数f（x）的定义域为. 令，由，， 则在上单调递增，在上单调递减. 又在上单调递增， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）若的最小值为0，则有最小值，且最小值为1， 因此有，解得 故a的值为. 变式10．（2024高一·全国·专题练习）试求函数的单调区间． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】利用对数型复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】函数的定义域为． 令，则． 因为函数在内单调递减， 且当，即时，函数单调递减， 当，即时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 变式11．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，求出函数的单调增区间． 【答案】答案见解析 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】， 则， 可知是对称轴为，开口向上的二次函数， 且的解集为， 故在上单调递减，在单调递增. 当时，函数是增函数，故函数在上单调递减，在单调递增； 当时，函数是减函数，函数在上单调递增，在单调递减. 【方法技巧与总结】求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域． (2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性． (3)判断出函数的增减性求出单调区间． 【题型9：对数函数的值域与最值】 例9．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）“”是“函数的值域为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】假设函数的值域为，借助对数的性质及二次函数的性质可得的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解. 【详解】若的值域为， 则对有，解得或， “”是“或”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 变式1．（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 变式2．（23-24高一上·天津·阶段练习）函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】由函数的值域为R，得的取值包含所有正实数， 因此，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 变式3．（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 变式4．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断时，，无最大值，由判断在时的单调性，可得单调性，确定最大值，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】当时，在上单调递增，此时，无最大值； 又因为在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 结合题意可得，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 变式5．(多选)（23-24高一下·江苏镇江·期中）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举出反例即可判断A；利用基本不等式即可判断BC；根据二次函数的性质即可判断D. 【详解】当时，，此时，故A错误； 对于B，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号， 又因为，所以，故C错误； 对于D，， 当且仅当时，取得最小值，故D正确. 故选：BD. 变式6．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用整体思想先求真数的范围，再根据对数函数的单调性计算即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递增， 所以. 故答案为：. 变式7．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数，则的定义域是 ；的最小值是 . 【答案】 2 【分析】根据对数真数大于0，求定义域；对函数变形，再结合对数函数单调性和基本不等式求最值即可. 【详解】第一个空：根据题意得到，，解得，即，则的定义域是. 第二个空：由于函数. 继续化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值. 所以，则的最小值是2. 故答案为：；2. 变式8．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可. 【详解】令，则，. 又在上单调递增， 所以 ，此时. 故答案为： 变式9．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数和对数函数的性质得到与的单调性，再利用复合函数单调性的求法得到，再求解最值即可. 【详解】令，， 则由与复合而成， 首先令，解得， 则定义域为， 而对称轴为，其开口向下， 由二次函数性质得在单调递增，在单调递减， 由对数函数性质得在上单调递减， 由复合函数单调性得在单调递减， 在单调递增，所以当时，取得最小值， 此时最小值为. 故答案为： 变式10．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 变式11．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知定义在上的奇函数，其中. (1)求函数的值域； (2)解不等式：. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义可得的值，再利用指数函数的性质即可得其值域； （2）原不等式可化为，借助换元法计算可得的取值范围，再利用指数函数的性质计算即可得解. 【详解】（1）为定义在上的奇函数， ，， 当时，，符合题意， ， ，， ， 的值域为； （2）由（1）有， 原不等式可化为， 令，则， ，即， ，， 不等式的解集为. 变式12．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【详解】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2） ， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 变式13．（23-24高一上·浙江宁波·期中）设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可； （2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围. 【详解】（1）当时，，不等式， 即，所以，即，等价于， 解得或； 所以不等式的解集为； （2）因为，，所以当时，函数为减函数， 所以函数在区间上单调递减， 又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1， 所以， 即，即 所以， 即存在使成立，只需即可， 考虑函数，，令， ， 设，其中， 任取，且，则， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以函数在上单调递减， 所以在单调递减，所以， ，所以， 所以的取值范围为. 变式14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，则在定义域内为减函数，再根据已知条件列方程可求出的值； （2）由得，对函数化简后换元得，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以在上为严格减函数， 因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即，解得． （2）因为，所以， 所以， 令，则，， 所以当，即时，取最小值为． 变式15．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数且． (1)若，解不等式； (2)若在上的最大值与最小值之差为1，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由可求出a的值，即得函数解析式，根据对数函数的单调性解不等式，即得答案； （2）由题意列方程求解，即可求得a的值. 【详解】（1）由可得，解得， 即，则，即， 即， 故不等式的解集为； （2）由于在上的最大值与最小值之差为1， 故，即或， 即的值为或. 【方法技巧与总结】 1.求解最值问题： ①求与对数函数有关的二次函数的最大值、最小值问题： 一般要转化为求二次函数的最值问题，求二次函数的最值时常用配方法，配方时注意自变量的取值范围. 1. 求形如y=logaf（x）（a>0，且a≠1）的复合函数值域的步骤∶ ①分解成两个函数y=logau，u=f（x）； ②求f（x）的定义域； ③求u的取值范围； ④利用单调性求解y=logau（a>0，且a≠1）的值域. 【题型10：对数函数的奇偶性与对称性】 例10．（22-23高一上·山东枣庄·期中），若实数，满足，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先利用定义判断出函数是奇函数，且为增函数，由奇函数的定义可求出的值. 【详解】对任意，，函数的定义域为， ，则函数为奇函数， 当时，由于函数为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由于该函数为奇函数，则函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数，由，得， 可得出，故A正确. 故选：A. 变式1．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合偶函数的定义利用对数的运算性质即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 所以，即， ，即， 即，即， 化简得，解得. 故选：C. 变式2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）若是偶函数，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性列方程来求得的值. 【详解】的定义域为， 由于是偶函数，所以， 所以， ， ， 所以. 故选：A 变式3．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）函数是定义在R上的奇函数，满足，当时，有，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先结合已知及奇函数性质求得函数的周期为6，然后利用周期性代入对数函数求解即可. 【详解】由题意，函数是R上的奇函数，所以，所以， 又，所以， 所以，因此函数为周期函数，周期， 所以. 故选：C 变式4．(多选)（22-23高一上·云南红河·阶段练习）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（        ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数奇偶性和单调性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为，可知不为奇函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，且， 可知为奇函数，且在定义域内单调递减，故B正确； 对于选项C：因为的定义域为，不关于原点对称， 可知不为奇函数，故C错误； 对于选项D：因为的定义域为，且， 可知为奇函数，且在定义域内单调递减，故D正确； 故选：BD. 变式5．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知函数 (1)求的定义域； (2)判断的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 【分析】（1）根据对数函数定义域列式求解即可； （2）根据题意结合偶函数的定义分析判断. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以的定义域为. （2）为偶函数，理由如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 且， 所以的为偶函数. 变式6．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的奇偶性； (2)若函数为偶函数，且不为常值函数． （ⅰ）求实数，的值； （ⅱ）判断并利用单调性的定义证明的单调性． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ），（ⅱ）减函数，证明见解析 【分析】（1）分、、三种情况讨论，分别判断函数的奇偶性； （2）（ⅰ）利用特殊值得到方程组，求出参数的值，再代人检验即可；（ⅱ）由（ⅰ）得到函数解析式，再利用定义法证明函数在上的单调性，即可得解. 【详解】（1）①当时，令，则. 所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性； ②当时，，为奇函数；     ③当时，，所以不是奇函数， 又，所以不是偶函数. 综上，当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. （2）由（1） 知，若为偶函数，则， 所以的定义域为. （ⅰ）因为为偶函数，所以. 即， 所以，所以， 化简得・所以或. 当时，，不合题意； 当时，， 所以，为偶函数， 综上. （ⅱ）由（ⅰ）得， 在为减函数，在为增函数， 下面证明在为增函数， 设是的任意两个数，且， ， 因为， 因为，所以，. 所以， 所以，. 所以在为增函数， 因为为偶函数，所以在为减函数. 变式7．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间： (2)若的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为. (2). 【分析】（1）先求出对数型函数的定义域，然后由复合函数的单调性原理求解即可； （2）对进行分类讨论，结合一元二次函数的开口方向与判别式求解的取值范围即可. 【详解】（1）当时，， 由，由于，所以， 所以的定义域为：， 的对称轴为：， 所以在上单调递减，在上单调递增； 在整个定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若的值域为，则对能取到全部正实数， ①当时，即， 若，不符合题意； 若，，符合题意； ②当时，由题意得：， 解得， 综上： 变式8．（20-21高一上·四川成都·期中）已知函数， 且． (1)求的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)定义域为，奇函数 (2)答案见解析 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0建立关系式可求解函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性； （2）讨论与的大小关系，根据对数函数的单调性建立关系式，解之即可，需注意函数的定义域. 【详解】（1）由， 可得，解得：， 所以的定义域为，的定义域关于原点对称， 又， 所以是奇函数， （2），即， 当时，，解得：， 当时，，解得：. 综上，当时，得取值范围为， 当时，得取值范围为 变式9．（23-24高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意得，从而可求出函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义分析判断； （3）由，得，然后利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域为， （2）函数为奇函数，证明如下： 因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 因为， 所以为奇函数. （3）由，得， 所以， 因为在定义域内为减函数，所以，解得， 所以不等式的解集为. 【题型11：对数函数的最值与恒成立问题】 例11．（23-24高一上·广东深圳·期末）设函数，对任意给定的，都存在唯一的，使得成立，则a的最小值是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】令，结合二次函数性质求上的值域，画出的大致图象，根据已知及图象有是的子集，求a的范围即可. 【详解】令，开口向上且对称轴为， 则在上递增，故对应值域为， 由解析式可得函数大致图象如下， 令，则或时有一个解；时有两个解，结合图象， 当，则，此时有两个解； 当，则或，此时有两个解； 当，则，此时有一个解； 任意给定的，存在唯一的使成立， 所以，且是的子集，所以，即. 故选：C 【点睛】关键点点睛：将问题化为在上的值域为的子集为关键. 变式1．（23-24高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，设函数．若对任意都有成立，求实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】首先由题意转化为，讨论两个函数的单调性，求函数的最值，即可求解. 【详解】， 若对任意都有成立，则， ， 当时，，设， ， 当，，，则，即， 则，即， 所以在区间上单调递增，即， 所以的值域为， 即在区间的最大值为2， ， 当时，在单调递增，的最小值为， 当时，函数的图象如下图，函数在上单调递增，的最小值为，      当时，的图象如下图，    当时，函数在上单调递增，的最小值为， 当时，函数的最小值为， 所以，当时，的最小值为，， 即，解得：或，即； 当时，函数的最小值为，，即 ，解得：或，即； 综上可知，或 故答案为：或 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求函数的最小值，需讨论，结合函数的图象，判断单调性，求函数的最值. 变式2．（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数，若对任意，总存在，使成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为，利用函数单调性求出，然后列不等式求解即可. 【详解】解：对任意，总存在，使成立, 对成立 当时，， 在上是增函数， 当时，， ， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 变式3．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知在上单调递减，令，则由复合函数单调性可知二次函数在上单调递减，由此列不等式组即可求解. 【详解】由题意可知，在上单调递减， 令，则在上单调递减，且在上恒成立， 所以，解得， 故答案为： 变式4．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质列方程求解即可； （2）先利用分离常数法结合指数函数性质求得在的值域，然后利用换元法结合对数函数性质，利用二次函数性质求得的值域，最后利用值域关系列不等式求解即可. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以， 即在定义域上恒成立，整理得，故； （2）由（1）得，则， 因为，所以，所以， 所以在的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立，即， 所以，解得. 变式5．（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数. (1)当时，求函数在区间上的最小值； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利于换元法，把函数转化为二次函数，配方后，可直接求得最小值； （2）令，转化为方程存在大于零的解，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，， 当时，设， 则， 所以当，即时， ， 即函数在区间上的最小值为1. （2）若时，， 则，可化为， 即方程存在大于零的解， 则或， 解得或， 故的取值范围.为. 变式6．（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的值； (2)若，，使得不等式成立，求的取值范围； (3)若函数的图象经过点，且函数在上的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)由奇函数的性质可得，解方程可得所求值； (2)由，解得的取值范围，判断的单调性，去掉不等式两边的““，参变分离后，求函数的最小值即可. (3)求得，运用换元法和分类讨论思想，结合对数函数和二次函数的性质，可得最大值，解方程可得所求的值． 【详解】（1）因为，所以； 经检验，当时，为上的奇函数, 故为所求. （2）由，解得． 易知是上的单调递减函数． 又是定义在上的奇函数， 由， 故，使得成立． 即，使得成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故. （3）因为， 解得或舍去． 由， 令， 则． 当时，在上的最大值为， 即，解得，不成立． 当时，在上的最大值为， 即，解得或舍去． 综上所述，． 变式7．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数 且的图象恒过定点，且点又在函数的图象上． (1)若，求的值； (2)若使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据指数函数过定点，结合定点在图象上可得，再代入，换元令求解即可； （2）参变分离可得在上有解，再根据函数的单调性求解最值即可. 【详解】（1）函数且，则函数图象恒过定点. 又在函数图象上，即，解得（负值舍去）. 则，由，得，令，则. 即，也即. ，，即，解得． （2）因为， 则不等式在上有解， 即在上有解. 令，，则函数在上单调递增， 故当时，， 所以，即实数的取值范围为． 变式8．（23-24高一上·福建三明·期末）已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数定义得恒等式，化简变形即可求解. （2）首先通过换元法得，进一步，由此即可得解. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以， 又因为 ， 所以， 所以， 所以. （2）由（1）可知， 令，因为，则，所以， 存在，使得成立， 则，所以， 则，又因为，则， 所以， 所以的取值范围为． 变式9．（21-22高一上·浙江金华·期中）已知函数与函数，函数的定义域为. (1)求的定义域和值域； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数.利用上述结论，求函数的对称中心. 【答案】(1)定义域为，值域为 (2) (3) 【分析】（1）写出的解析式，求解即可； （2）原问题可转化为．利用二次函数性质求解； （3）设的对称中心为，则函数是奇函数， 即是奇函数，利用奇函数性质列式求解即可． 【详解】（1）由题意可得． 由，得，故． 又，且， 的值域为； （2），即，则． 存在，使得成立，． 而， 当，即时，取得最小值， 故； （3）设的对称中心为， 则函数是奇函数，即是奇函数， 则恒成立， 恒成立， 所以恒成立， 所以， 因为上式对任意实数恒成立， 所以，得， 所以函数图象的对称中心为． 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数值域和定义域的计算，考查了不等式恒成立以及对称关系的应用，第（3）问解题的关键是根据题意设的对称中心为，则函数是奇函数，然后列等式求解即可，属于较难题． 变式10．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式得到，从而求出的解集； （2）换元后得到对于能成立，利用函数单调性求出，得到答案. 【详解】（1），令， 则原不等式可化为，解得，即 所以，不等式的解集． （2）当时，令，可得， 原不等式可化为对于能成立， 即可得对于能成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增，所以， 因此只需即可，得； 即的取值范围是． 变式11．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知，. (1)求函数在区间上的最小值. (2)对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由指数函数值域以及基本不等式即可求解. （2）由题意将原问题转换为恒成立，首先由初步得出的一个范围，进一步利用对数函数单调性，得到对于任意恒成立，由此即可进一步求解. 【详解】（1）由题意当时，， 所以，等号成立当且仅当，即， 所以函数在区间上的最小值2. （2）对于任意，都有成立， 则只需，由（1）可知， 所以只需恒成立， 首先有，即， 由得，所以， 进一步可以化为， 所以恒成立，即， 即对于任意恒成立， 因为， 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 所以， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：对于第（2）问中双变量求解参数取值范围问题，由于双变量是针对不同函数而言，因此可以对不同函数分别求最值进行单独处理，不需要得出之间的关系式. 一、单选题 1．（21-22高一上·陕西渭南·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质逐个选项判断即可. 【详解】对A，在上单调递减，在上单调递增，故A正确； 对B，在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对C，在上单调递增，故C错误； 对D，在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：A 2．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性确定范围即可比较大小. 【详解】依题意， ， ， 所以. 故选：A 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）使对数有意义的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用真数为正，列不等式可解. 【详解】令，解得. 故对数有意义的x的取值范围为. 故选：C. 4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 5．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可. 【详解】依题意，函数的图象分别过定点， 它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一. 故选：D 6．（23-24高一上·湖南益阳·期末）已知，则（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】D 【分析】利用给定的分段函数，判断代入求出函数值. 【详解】依题意，. 故选：D 7．（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据已知条件先画出在不同定义域内的图象，需要求解函数的零点个数，令，利用函数的图象求解和两个函数图象交点个数即可. 【详解】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示. 故选：C． 8．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数,则. 故. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）下列选项正确的是（   ） A．的定义域是 B．若函数的定义域为， 则函数的定义域为 C．函数在的值域为 D．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 【答案】AD 【分析】对于A，根据函数有意义的条件求解函数定义域；对于B，根据抽象函数的定义域求解；对于C先把二次函数写成顶点式，然后根据二次函数的性质来求解；对于D，由对数式的真数包含所有正数，分类讨论求解. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 所以的定义域是，A选项正确； 对于B，若函数的定义域为，则，有， 由函数对应法则可知，函数的定义域为，B选项错误； 对于C，由， 则有，， 函数在的值域为，C选项错误； 对于D，若函数的值域为R，则函数的值域包含所有正数， 时满足题意， 时，有，解得， 综上可知，实数a的取值范围是，D选项正确. 故选：AD. 10．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．若函数定义域为，则函数的定义域为 B．若定义域为R的函数值域为，则函数的值域为 C．函数与的图象关于直线对称 D．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则时，函数解析式为 【答案】AC 【分析】根据函数定义域和值域的定义及求法即可判断AB的正误；根据互为反函数的两函数的图象关于对称即可判断C的正误；根据奇函数的定义即可判断D的正误． 【详解】A，函数定义域为,，则满足，解得，即的定义域为,，A正确； 对于B，定义域为的函数的值域为,，则的值域也是,，B错误； 对于C, 与互为反函数，图象关于对称，C正确； 对于D，当时，，且为奇函数， 设，，D错误． 故选：AC． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据为增函数，可得，进而根据指数函数和对数函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数为增函数，，即， 所以，则， 所以，故A正确； 由，得， 所以，故B错误； ，所以，故C正确； ，所以，故D错误． 故选：AC. 三、填空题 12．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知是上的减函数，那么a的取值范围是 【答案】 【分析】利用函数的单调性求解即可. 【详解】是上的减函数， 故，解得. 故答案为： 13．（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】, 【分析】先将方程变形为变形为，再利用程在,上有解，可得的不等式，从而可确定实数的取值范围． 【详解】方程可变形为，由于方程在上有解， 而当,时，，所以，解得， 即实数的取值范围是,． 故答案为：,． 14．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于， 所以， 所以原函数的值域为 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对于恒成立，求实数m的范围. 【答案】(1)奇函数；见解析. (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可； （2）利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）判断函数为奇函数. 由函数, 知即或， 且， 故函数为奇函数. （2）， 时，为增函数，故为增函数， 所以， 若对于恒成立， 则. 16．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知函数满足 (1)求的解析式； (2)解不等式 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）用换元的方法求解即可； （2）因为，所以原不等式变为，再利用对数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）令，则， 则，，故， （2）因为， 所以不等式等价于 因为在上单调递增， 所以，即，解得， 故不等式解集为 17．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）代入得，再代入点得，联立即可； （2）利用二次函数单调性和对数函数单调性复合即可得到函数单调增区间. 【详解】（1）由函数的图象经过点，得，① 由函数的图象经过点，得， 即，② 解①②得（舍去）． （2）由（1）知， 因为， 所以函数的定义域为R，再根据复合函数单调性知其在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为． 18．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， (1)求实数a的值以及函数的解析式； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意，得到，求得，再结合函数的奇偶性性，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合函数在为单调递减函数，求得其最小值，即可求解. 【详解】（1）解：因为当时，，可得， 又因为函数是上的奇函数，所以，即，解得， 即当，且时，， 由时，则，因为函数是上的奇函数， 可得， 所以函数的解析式为. （2）不等式在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 因为和在为单调递减函数， 所以函数在为单调递减函数， 当时，的最小值为， 所以实数的取值范围为. 19．（23-24高一上·安徽·期末）对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减，②存在区间，使在上的值域为.则我们把称为闭函数，且区间称为的一个“好区间”，其中. (1)若是函数的好区间，求实数m，n的值； (2)若函数为闭函数，求实数k的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分为增函数和减函数两种情况讨论，构造关于、的方程组，解可得答案；（2）根据题意，分析的单调性，可得和是方程，即的两根，利用换元法分析可得方程有两个不等的正根，利用二次函数的性质分析可得答案． 【详解】（1）若是函数的好区间， 分2种情况讨论： 若在上单调递增．则，解可得， 此时 在上单调递增，符合条件； 若在上单调递减，则，解可得， 此时，符合题意， 综合可得：或. （2）函数为闭函数，易得在定义域上单调递增， 则有，故和是方程，即的两根， 令，原方程等价于， 则方程有两个不等的正根， 则有，解可得，即的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！83 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$