7.3频率与概率（1知识点+5题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

7.3频率与概率 课程标准 学习目标 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 2.会用频率估计概率. 3.理解概率的意义，会用概率的意义解释 1.能够通过随机试验，获得事件发生的频率， 2.知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率; 3.了解频率与概率的区别与联系 知识点01 用频率估计概率 1. 定义∶一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P（A）的估计值为。 2. 性质∶事件A的概率P（A）满足0≤P（A）≤1。特别地，当A是必然事件时，P（A）=1，当A是不可能事件时，P（A）=0。 注意：频率与概率的区别和联系。 ①频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率不同。 ②概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关。 ③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率。在实际问题中，通常事件发生的概率未知，常用频率作为它的估计值。 ④二者都介于0~1之间，若A是不可能事件，则P（A）=0；若A是必然事件，则P（A）=1。 3.概率的统计定义 （1）对频率随机性的理解 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性. （2）对频率稳定性的理解 随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐 渐稳定于事件A发生的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性. 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A 发生的概率P（A）的估计值为，且0≤P（A）≤1. 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下： 出生婴儿数 21840 23070 20094 19982 出生男婴数 11453 12031 10297 10242 (1)试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）； (2)估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）． 【即学即练2】（2024高一下·江苏·专题练习）某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下： 射击次数n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟次数 81 95 120 81 119 127 121 (1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数） (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？ 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一下·云南楚雄·期末）某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 【题型1：概率的定义】 例1．（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 变式1．（23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 变式2．(多选)（23-24高一下·云南曲靖·期末）下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 变式3．(多选)（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的有（　　） A．任何事件发生的概率总是在[0，1]之间 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 变式4．(多选)（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的有（    ） A．频率是反映事件发生的频繁程度，而概率反映事件发生的可能性的大小 B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率 C．频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 变式5．（2024高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 . 变式6．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法 ①某事件发生的频率为 ②不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1 ③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件 ④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 正确的是 .（填写序号） 【方法技巧与总结】三个方面理解概率 （1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值. （2）由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映. （3）正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件. 【题型2：频率与概率概念的理解】 例2．（23-24高一下·四川达州·期末）将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为（    ）． A．20 B．25 C．50 D．无法确定 变式1．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 变式2．（23-24高二上·吉林·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，频率一定越来越接近一个确定数值 B．若随机事件A发生的概率为，则 C．若事件A与事件B互斥，则 D．若事件A与事件B对立，则 变式3．（2023高一·全国·单元测试）将一枚硬币掷10次，正面向上出现了6次，若用表示正面向上这一事件，则（ ） A．发生的概率为 B．发生的概率接近 C．在这十次试验中发生的频率为 D．在这十次试验中发生的频率为6 变式4．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ． 变式5．（2023高二上·新疆·学业考试）对于下列说法： ①设有一批产品，其次品率为0.01，则从中任取200件，必有2件次品； ②抛掷骰子100次，得点数是1的结果是16次，则出现1点的频率是； ③做100次抛硬币的试验，有49次出现正面.因此出现正面的概率是0.49； ④随机事件发生的频率就是这个事件发生的概率； 其中正确的所有序号是 【方法技巧与总结】频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 【题型3：用频率估计概率】 例3．（2024高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 变式2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 变式3．（2024高一下·全国·专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为 颗． 变式4．（23-24高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 变式5．（2024高一下·全国·专题练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 (1)计算并完成表格； (2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？ 变式6．（2024高一下·江苏·专题练习）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：百小时）进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足小时的概率. 【方法技巧与总结】 1.在大量重复试验的情况下，频率会呈现出稳定性，即频率在一个“常数”附近摆动，随着试验次数增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. 2.有时候也可能出现频率偏离“常数”较大的情形，但是随着试验次数的增大，频率偏离" 常数"的可能性会减小. 【题型4：游戏的公平性】 例4．(多选)（2024高一·全国·专题练习）某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两枚骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法（　　） A．公平，每个班被选到的概率都为 B．不公平，6班被选到的概率最大 C．不公平，2班和12班被选到的概率最小 D．不公平，7班被选到的概率最大 变式1．(多选)（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（   ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 变式2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）一只口袋有形状大小质地都相同的只小球，这只小球上分别标记着数字. 甲乙丙三名学生约定： ①每个人不放回地随机摸取一个球； ②按照甲乙丙的次序依次摸取； ③谁摸到球的数字最大，谁就获胜. 用有序数组表示这个试验的基本事件，例如：表示在一次试验中，甲摸取的是数字，乙摸取的是数字，丙摸取的是数字. (1)列出所有基本事件，并指出基本事件的总数； (2)求甲获胜的概率； (3)甲同学对游戏的公平性表示怀疑，于是改变游戏方法，选择红、黄、蓝颜色的球各一个（除颜色外，各球完全相同），放在不透明的盒子中搅拌均匀后按照甲乙丙的顺序依次不放回摸球，摸到红球者获胜，求甲、乙、丙获胜的概率，并判断游戏是否公平. 变式3．（22-23高一·全国·随堂练习）分赌本问题是历史上有名的问题．1654年，职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡（BlaisePascal，1623―1662）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局．他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本．当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博．那么这100法郎如何分才算公平？说说你的想法． 变式4．（22-23高一下·重庆·期末）骰子（tóuzi），中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔（或数字），其相对两面之数字和必为七.中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成shăi.现甲､乙两人玩掷骰子（质地均匀）游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)记“甲､乙两人掷出的点数和为6”，写出事件包含的样本点； (2)现连玩三次，记“甲至少赢一次”，“乙至少赢两次”，试问：与是否为互斥事件？为什么？ (3)这种游戏规则公平吗？试说明理由. 变式5．（22-23高一·全国·随堂练习）甲、乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷3次，游戏规则有下述3种，这3种规则是否公平？对谁更有利？为什么？ (1)若三次掷出的点数之和为奇数，则甲获胜；若三次掷出的点数之和为偶数，则乙获胜． (2)若三次掷出的点数为一奇两偶或两奇一偶，则甲获胜；若三次掷出的点数均为奇数或均为偶数，则乙获胜． (3)若三次掷出的点数之和为3，4，5，6，7，14，15，16，17，18其中之一，则甲获胜；否则乙获胜． 变式6．（2023高一·全国·专题练习）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. (1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？ (3)甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由. 【方法技巧与总结】游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的． (2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较． 【题型5：随机模拟估计概率】 例5．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 变式1．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137  960  197  925  271  815  952  683  829  436  730  257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一下·福建宁德·期末）根据某地天气预报，在今后的三天中，每天下雨的概率均为20%．利用计算机产生1到5之间整数值的随机数，当出现随机数1时，表示下雨，当出现随机数2，3，4，5时，表示不下雨，产生20组随机数： 435  451  132  533  224  344  151  231  424  142 412  414  335  312  123  233  314  254  353  442 据此估计这三天中至少有1天下雨的概率为（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6 变式3．（22-23高一下·广东东莞·期末）利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．利用计算机产生1~5之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下： 354   151   314   432   125   334   541   112   443   534   312   324   252   525   453   114   344   423   123   243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率. 用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 342 241 244 342 142 431 233 214 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（    ） A． B． C． D． 变式5．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为 ． 变式6．（21-22高一下·全国·期末）天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281  9522  0018  7472  0129  3879  5869  2436  8460  3990 9533  7980  2692  8280  0753  8425  8935  3882  7890  5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为 . 【方法技巧与总结】应用随机数估计概率的步骤 (1)明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系． (2)产生随机数． (3)统计试验次数N及所求事件包含的次数n. (4)计算便可．　 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（    ） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5. B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5 2．（23-24高一上·河南周口·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5 B．为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙比甲稳定 3．（23-24高一上·全国·课后作业）经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为，经调查，某市市场上的食用油大约有个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（23-24高一上·全国·课后作业）某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（　　） A．0.80 B．0.65 C．0.40 D．0.25 5．（22-23高一下·海南·期末）每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间（时） 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 6．（22-23高一下·福建厦门·期末）一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 7．（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 8．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 二、多选题 9．（23-24高一上·全国·课后作业）“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是（    ） A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C．北京和上海都可能没降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 10．（22-23高一下·河北衡水·期末）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级每名同学依据自己的兴趣爱好只参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有72名，参加脱口秀社团的有120名，则该年级（    ）    A．参加社团的同学的总人数为480 B．参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25% C．参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多110人 D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35 11．（21-22高一·全国·单元测试）某小组做“用频率估计概率”的试验时，将某一结果绘制成如图所示的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 三、填空题 12．（23-24高一上·福建宁德·开学考试）在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 13．（23-24高一上·全国·课后作业）某制造商今年月份生产了一批乒乓球，随机抽取个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下： 分组 频数 频率 10 0.10 20 0.20 50 0.50 20 0.20 合计 100 1.00 若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为，则这批乒乓球的直径误差不超过的概率是 ． 14．（21-22高一下·山西晋中·期末）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为 . 四、解答题 15．（2024高一·全国·专题练习）某地区有高中生7200人，初中生11800人，小学生12000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层随机抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小学生的近视率分别为80%、70%、36%. (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为310，那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取了多少人？在这种情况下，请估计该地区全体中小学生的近视率（精确到1%）； (2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本量分别为60，100和150，那么在这种情况下，抽取的样本的近视率是多少？该地区全体中小学生的近视率约为多少（精确到1%）? 16．（24-25高一上·全国·课后作业）表1是某两名篮球运动员在中国男子篮球职业联赛（CBA）某个赛季的得分情况统计． 表1 场均得分 总得分 投篮命中率 三分球命中率 罚球命中率 场均时间 参赛场次 运动员甲 33.9 1016 49.7% 41.1% 86% 30.5 30 运动员乙 25.1 752 46.3% 34.4% 80.9% 36.2 30 根据这些数据分析两名运动员的得分水平． 17．（22-23高一·全国·随堂练习）同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和． (1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？ (2)重复抛掷两枚骰子次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率； (3)汇总全班同学的数据，得到至少次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计； (4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？ (5)你认为“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率相等吗？ 18．（22-23高一下·河南商丘·期末）某射击运动员在一次射击训练中共射击10次，这10次命中的环数分别为8，7，9，9，10，6，8，8，7，8. (1)求这名运动员10次射击成绩的方差； (2)若以这10次命中环数的频率来估计这名运动员命中环数的概率，求该运动员射击一次时： （i）命中9环或者10环的概率； （ii）至少命中7环的概率. 19．（21-22高一上·全国·课后作业）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，为下一步教学作参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本.现采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25. (1)用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差； (2)本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3频率与概率 课程标准 学习目标 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性 2.会用频率估计概率. 3.理解概率的意义，会用概率的意义解释 1.能够通过随机试验，获得事件发生的频率， 2.知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率; 3.了解频率与概率的区别与联系 知识点01 用频率估计概率 1. 定义∶一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P（A）的估计值为。 2. 性质∶事件A的概率P（A）满足0≤P（A）≤1。特别地，当A是必然事件时，P（A）=1，当A是不可能事件时，P（A）=0。 注意：频率与概率的区别和联系。 ①频率本身是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率不同。 ②概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次的试验无关。 ③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率。在实际问题中，通常事件发生的概率未知，常用频率作为它的估计值。 ④二者都介于0~1之间，若A是不可能事件，则P（A）=0；若A是必然事件，则P（A）=1。 3.概率的统计定义 （1）对频率随机性的理解 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性. （2）对频率稳定性的理解 随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐 渐稳定于事件A发生的概率P（A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性. 如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A 发生的概率P（A）的估计值为，且0≤P（A）≤1. 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）某市统计近几年婴儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下： 出生婴儿数 21840 23070 20094 19982 出生男婴数 11453 12031 10297 10242 (1)试计算这几年男婴出生的频率（精确到0.001）； (2)估计该市男婴出生的概率（精确到0.1）． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据表中数据计算即可； （2）对（1）中的四组数据取平均值. 【详解】（1）男婴出生的频率分别为； （2）由题意知，所以该市男婴出生的概率约为. 【即学即练2】（2024高一下·江苏·专题练习）某射击运动员进行双向飞碟射击训练，七次训练的成绩记录如下： 射击次数n 100 120 150 100 150 160 150 击中飞碟次数 81 95 120 81 119 127 121 (1)求各次击中飞碟的频率；（保留三位小数） (2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？ 【答案】(1)0.810，0.792，0.800，0.810，0.793，0.794，0.807 (2)0.800 【分析】（1）根据射击次数及击中飞碟次数计算频率即可； （2）根据频率与概率的关系可得解. 【详解】（1）根据表格中数据，击中飞碟的频率依次为 ， . （2）由（1）可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动， 所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800. 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一下·云南楚雄·期末）某大型商超每天以每公斤1元的价格从蔬菜批发行购进若干公斤青菜，然后以每公斤2元的价格出售．如果当天卖不完，那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工 (1)若该商超一天购进800公斤青菜，求当天出售青菜的利润y（单位：元）关于当天青菜需求量x（单位：公斤）的函数解析式 (2)该商超记录了100天青菜的日需求量（单位：公斤），整理得到下表． 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 （ⅰ）假设该大型商超在这100天内每天购进800公斤青菜，求这100天出售青菜的日利润（单位：元）的平均数； （ⅱ）若该大型商超一天购进800公斤青菜，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于780元的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）789元；（ⅱ）0.85 【分析】（1）由题意可知需要对进行分类讨论，很容易得到函数解析式； （2）（ⅰ）根据分层计算出不同日需求量的利润即可求解；（ⅱ）以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率即可求解. 【详解】（1）当时，； 当时，． 故关于的函数解析式为 （2）（i）这100天有5天的日利润为元， 10天的日利润为元， 20天的日利润为元， 65天的日利润为800元， 所以这100天出售青菜的日利润的平均数为元． （ⅱ）若当天的利润不少于780元，则当日需求量不少于790公斤 故当天的利润不少于780元的概率为． 【题型1：概率的定义】 例1．（23-24高一下·江苏淮安·期末）已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（    ） A．患此疾病的病人被治愈的可能性为 B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈 C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈 D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的 【答案】A 【分析】利用概率的意义直接求解． 【详解】某医院治疗一种疾病的治愈率为， 对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确； 对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为， 不一定有一位病人被治愈，故B错误； 对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误； 对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故 D错误． 故选：A. 变式1．（23-24高一下·浙江温州·期末）气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是（    ） A．整个城市明天的平均降雨概率为50% B．明天如果住在郊区不带伞出门将很可能淋雨 C．只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨 D．如果明天降雨，郊区的降雨量一定比中心城区多 【答案】B 【分析】由概率的定义即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，中心城区面积和郊区面积不一定相同，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误； 对于B，明天郊区的降雨概率比中心城区的降雨概率大，故B正确； 对于C，不管郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误； 对于D，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积（即下雨的区域在该所参考区域的面积）会影响降雨量，故D错误. 故选：B. 变式2．(多选)（23-24高一下·云南曲靖·期末）下列说法不正确的是（    ） A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水 【答案】ACD 【分析】根据频率和概率之间的关系、概率的定义可得正确的选项. 【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为， 不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误； 对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确； 对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为， 不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误． 对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为，故D错． 故选：ACD． 变式3．(多选)（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的有（　　） A．任何事件发生的概率总是在[0，1]之间 B．概率是随机的，在试验前不能确定 C．频率是客观存在的，与试验次数无关 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】AD 【分析】由频率和概率的有关概念即可得出答案. 【详解】对于A，任何事件的概率总是在[0，1]之间，其中必然事件的概率是1， 不可能事件的概率是0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A正确； 对于B，概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关， 而事件的结果是随机的，在试验前不能确定，故B错误； 对于C，只有通过试验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的， 一般来说，当试验的次数不同，频率是不同的，它与试验次数有关，故C错误； 对于D，由频率的性质可知，随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故D正确； 综上所述，正确的有A、D， 故选：AD. 变式4．(多选)（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的有（    ） A．频率是反映事件发生的频繁程度，而概率反映事件发生的可能性的大小 B．做次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率就是事件发生的概率 C．频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 【答案】ACD 【分析】根据频率和概率的关系逐项分析即可. 【详解】由频率和概率的关系知ACD正确, 当试验次数足够大，频率才能够当作概率，故B错误, 故选:ACD. 变式5．（2024高一下·全国·专题练习）有以下说法： ①昨天没有下雨，则说明“昨天气象局的天气预报降水概率为95%”是错误的； ②“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖； ③做10次抛硬币的试验，结果3次正面朝上，因此正面朝上的概率为； ④某厂产品的次品率为2%，但该厂的50件产品中可能有2件次品． 其中错误说法的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】根据概率的概念、概率与频率的关系逐一判断即可. 【详解】①中降水概率为95%，仍有不降水的可能，故①错误； ②中“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故②错误； ③中正面朝上的频率为，概率仍为，故③错误； ④中次品率为2%，但50件产品中可能没有次品，也可能有1件或2件或3件…50次品，故④正确. 故答案为：①②③ 变式6．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法 ①某事件发生的频率为 ②不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1 ③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件 ④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 正确的是 .（填写序号） 【答案】② 【分析】利用事件的概念及概率与频率的关系进行判断即可. 【详解】对于①，事件发生的频率为，故①错误； 对于②，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故②正确； 对于③，小概率事件是指发生可能性极小的事件，是可能发生的，并不是不可能发生的事件，大概率事件就是发生可能性很大的事件，也可能不发生，并不是必然要发生的事件，故③错误； 对于④，概率是稳定值，是频率的理想值，并不会随着频率变化而变化，故与试验次数无关，故④错误. 故答案为：②. 【方法技巧与总结】三个方面理解概率 （1）概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值. （2）由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映. （3）正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件. 【题型2：频率与概率概念的理解】 例2．（23-24高一下·四川达州·期末）将两枚质地均匀的骰子同时投掷，设事件“两枚骰子掷出点数均为偶数”，若连续投掷100次，则事件A发生的频数为（    ）． A．20 B．25 C．50 D．无法确定 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系，即可得答案. 【详解】任意一次随机试验中，随机事件的发生具有随机性，即频率(频数与试验次数的比值)具有随机性， 而随试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于概率，具有稳定性， 则投掷100次的试验中，事件A发生的频率有随机性，故无法确定. 故选：D 变式1．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（    ） A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517 B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483 C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5 D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517 【答案】B 【分析】根据概率与频率的关系判断. 【详解】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确； 抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误； 甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误. 故选：B 变式2．（23-24高二上·吉林·阶段练习）下列叙述正确的是（    ） A．随着试验次数的增加，频率一定越来越接近一个确定数值 B．若随机事件A发生的概率为，则 C．若事件A与事件B互斥，则 D．若事件A与事件B对立，则 【答案】D 【分析】选项A，事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并非越来越接近；选项B， ；选项C. 事件A与事件B互斥，；选项D，对立事件的概率和为1. 【详解】选项A，随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小， 即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并不一定越来越接近这个确定数值，故A不正确； 选项B，样本空间Ω的子集称为随机事件， 必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形， 必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，即，故B不正确； 选项C. 若事件A与事件B互斥，则它们不可能同时发生，即发生则一定不发生， 所以，则， 则有，不一定与相等，故C不正确； 选项D. 若事件A与事件B对立，则为必然事件，且事件A与事件B互斥，则，故D正确. 故选：D. 变式3．（2023高一·全国·单元测试）将一枚硬币掷10次，正面向上出现了6次，若用表示正面向上这一事件，则（ ） A．发生的概率为 B．发生的概率接近 C．在这十次试验中发生的频率为 D．在这十次试验中发生的频率为6 【答案】C 【分析】根据概率与频率的关系以及频率公式可得答案. 【详解】概率是频率的稳定值，发生的概率等于，故AB错误； 在这十次试验中发生的频率为，故C正确，D错误. 故选：C 变式4．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为 ． 【答案】/ 【分析】由题意知硬币正反面出现的机会是均等的，即可得答案. 【详解】由题意可知事件A出现的频率为，而概率是大量试验中，频率趋于的一个稳定值， 由于硬币正反面出现的机会是均等的，故事件A出现的概率为， 故答案为： 变式5．（2023高二上·新疆·学业考试）对于下列说法： ①设有一批产品，其次品率为0.01，则从中任取200件，必有2件次品； ②抛掷骰子100次，得点数是1的结果是16次，则出现1点的频率是； ③做100次抛硬币的试验，有49次出现正面.因此出现正面的概率是0.49； ④随机事件发生的频率就是这个事件发生的概率； 其中正确的所有序号是 【答案】② 【分析】依据频率与概率的基本知识进行判断即可. 【详解】对于①，次品率是大量产品的估计值，并不是必有件是次品，故①错误； 对于②，抛掷骰子100次，得点数是1的结果是16次， 则出现1点的频率是，故②正确； 对于③，抛硬币出现正面的概率是，而不是，故③错误； 对于④，频率与概率不是同一个概念，故④错误. 故答案为：②. 【方法技巧与总结】频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 【题型3：用频率估计概率】 例3．（2024高一下·全国·专题练习）众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设该校有a名同学，根据题目条件计算得出每天玩手机不超过2 h的学生中近视人数；再用频率估计概率即可求解. 【详解】设该校有a名同学， 则由题意可得：约有0.4a的学生近视，约有0.3a的学生每天玩手机超过2 h，约有0.7a的学生每天玩手机不超过2 h. 因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h，这些人的近视率约为50% 所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5＝0.15a， 则每天玩手机不超过2 h的学生中有0.4a－0.15a＝0.25a的学生近视， 所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生，该名学生近视的概率为． 故选：B． 变式1．（24-25高一上·广西崇左·开学考试）下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数n 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数m 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90 根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 【答案】 【分析】根据频率与概率之间的关系即可求得； 【详解】在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个数， 在它附近摆动，这个常数就是事件A的概率； 观察表格得到某种植物发芽的频率稳定在附近，进而求解即可. 故答案为： 变式2．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）在一个不透明的纸盒中装有6个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】24 【分析】设袋中红球有个，根据概率的概念列式求解即可. 【详解】设袋中红球有个，根据题意，得，解得：， 经检验：是分式方程的解，所以袋中红球有24个. 故答案为：24 变式3．（2024高一下·全国·专题练习）一个盒子中有若干白色围棋子，为了估计其中围棋子的数目，小明将100颗黑色围棋子放入其中，充分搅拌后随机抽出了20颗，数得其中有5颗黑色围棋子，根据这些信息可以估计白色围棋子的数目为 颗． 【答案】300 【分析】可以利用频率估计总体概率，来估计总体分布. 【详解】设白色围棋子的数目为n，则由已知可得， 解得， 即白色围棋子的数目大约有300颗． 故答案为：300. 变式4．（23-24高一下·安徽亳州·期末）某企业有A，B两个车间生产同一种型号的产品，检验小组对两个车间各生产的100件产品均随机抽取6件检测、获得质量指标值（满分值为10，8分为合格品），如下表所示： A车间产品质量指标 10 9 7 8 10 10 B车件产品质量指标 10 6 10 10 9 9 (1)以频率作为概率，估计A，B两车间生产该批次产品的合格率； (2)分别求出6件产品的平均数与方差，以此为依据，判断哪个车间生产质量更好？ 【答案】(1) (2)B车间,理由见解析 【分析】（1）根据题意算出频率，以频率作为概率即可求解； （2）根据平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）从数据可知，在随机抽取6件产品中， A车间生产该批次产品的合格量为，频率为，B车间生产该批次产品的合格量为，频率为， 以频率作为概率，A，B两车间生产该批次产品的合格率均为； （2）A车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， B车间生产随机抽取6件产品的平均数为， 方差为， 因为，所以A车间生产的产品质量比B车间生产的产品质量更稳定，故选A车间生产的产品更好. 变式5．（2024高一下·全国·专题练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域（不考虑指针落在分界线上的情况）就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据． 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 (1)计算并完成表格； (2)请估计，当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？ 【答案】(1)答案见解析； (2)0.7； (3)0.7. 【分析】（1）根据表格数据，按照频率公式直接计算可得； （2）通过观察表中频率变化可得； （3）根据频率与概率的关系可知. 【详解】（1）通过计算可得： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701 （2）当n很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7. （3）由表格可知，随着转动转盘次数越来越大，频率越来越稳定在0.7附近， 所以，获得铅笔的概率约是0.7. 变式6．（2024高一下·江苏·专题练习）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：百小时）进行了统计，统计结果如表所示： 分组 频数 频率 (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足小时的概率. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据表格中的频数结合样本总数可求每组频率，填入表格即可； （2）根据（1）中的频率可求前4组的频率之和即为所求概率. 【详解】（1） 分组 频数 频率 （2）样本中灯管使用寿命不足小时的频率是, 即灯管使用寿命不足小时的概率约为. 【方法技巧与总结】 1.在大量重复试验的情况下，频率会呈现出稳定性，即频率在一个“常数”附近摆动，随着试验次数增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. 2.有时候也可能出现频率偏离“常数”较大的情形，但是随着试验次数的增大，频率偏离" 常数"的可能性会减小. 【题型4：游戏的公平性】 例4．(多选)（2024高一·全国·专题练习）某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两枚骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法（　　） A．公平，每个班被选到的概率都为 B．不公平，6班被选到的概率最大 C．不公平，2班和12班被选到的概率最小 D．不公平，7班被选到的概率最大 【答案】CD 【分析】利用古典概型计算每个班被选到的概率比较即可. 【详解】设i班被选到的概率为 则， ，， ，，，故AB错误，CD正确. 故选：CD. 变式1．(多选)（2024高一下·全国·专题练习）甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（   ） A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜 B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜 C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜 D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 【答案】ACD 【分析】根据古典概型求解概率即可比较求解. 【详解】A项，P(点数为奇数) P(点数为偶数)； B, 同时抛掷两枚硬币，共有4种情况：正正；正反；反正；正反. 则 P(恰有一枚正面向上)，P(两枚都正面向上)＝；概率不相等，故B错误， C项，P(牌色为红) P(牌色为黑) ； D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同) . 故选：ACD. 变式2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）一只口袋有形状大小质地都相同的只小球，这只小球上分别标记着数字. 甲乙丙三名学生约定： ①每个人不放回地随机摸取一个球； ②按照甲乙丙的次序依次摸取； ③谁摸到球的数字最大，谁就获胜. 用有序数组表示这个试验的基本事件，例如：表示在一次试验中，甲摸取的是数字，乙摸取的是数字，丙摸取的是数字. (1)列出所有基本事件，并指出基本事件的总数； (2)求甲获胜的概率； (3)甲同学对游戏的公平性表示怀疑，于是改变游戏方法，选择红、黄、蓝颜色的球各一个（除颜色外，各球完全相同），放在不透明的盒子中搅拌均匀后按照甲乙丙的顺序依次不放回摸球，摸到红球者获胜，求甲、乙、丙获胜的概率，并判断游戏是否公平. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)甲、乙、丙获胜的概率都为，游戏公平. 【分析】（1）直接列举即可； （2）根据（1）列举出甲获胜的基本事件，由古典概型概率公式可得； （3）使用列举法求出甲、乙、丙三人获胜的概率，即可判断游戏公平性. 【详解】（1）基本事件为： ， ， ， . 基本事件的总数是. （2）事件“甲获胜”所包含的基本事件为： . 甲获胜的概率为：. （3）基本事件为： （红，黄，蓝），（红，蓝，黄），（黄，红，蓝）， （黄，蓝，红），（蓝，红，黄），（蓝，黄，红）. 基本事件总数为6. 甲获胜所包含的基本事件为（红，黄，蓝），（红，蓝，黄）； 乙获胜所包含的基本事件为（黄，红，蓝），（蓝，红，黄）； 丙获胜所包含的基本事件为（黄，蓝，红），（蓝，黄，红）. 所以甲、乙、丙三人获胜概率都是，游戏公平. 变式3．（22-23高一·全国·随堂练习）分赌本问题是历史上有名的问题．1654年，职业赌徒德·梅累向法国数学家帕斯卡（BlaisePascal，1623―1662）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局．他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本．当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博．那么这100法郎如何分才算公平？说说你的想法． 【答案】甲应分（法郎），乙应分（法郎）． 【分析】不妨设一局中甲、乙两人获胜的概率都是，然后求出甲、乙获胜的概率，根据概率进行分配． 【详解】不妨设一局中甲、乙两人获胜的概率都是， 则再赌一局甲获胜的概率是，再赌两局甲才获胜的概率是，所以甲获胜的概率是， 乙连胜两局的概率是， 所以甲应分（法郎），乙应分（法郎）． 变式4．（22-23高一下·重庆·期末）骰子（tóuzi），中国传统民间娱乐用来投掷的博具.早在战国时期就有.通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一颗正立方体，上面分别有一到六个孔（或数字），其相对两面之数字和必为七.中国的骰子习惯在一点和四点漆上红色.骰子是容易制作和取得的乱数产生器.骰经常会被错误念成shăi.现甲､乙两人玩掷骰子（质地均匀）游戏，每人掷同一枚骰子各一次，若两人掷出的点数和为偶数算甲赢，否则算乙赢. (1)记“甲､乙两人掷出的点数和为6”，写出事件包含的样本点； (2)现连玩三次，记“甲至少赢一次”，“乙至少赢两次”，试问：与是否为互斥事件？为什么？ (3)这种游戏规则公平吗？试说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)公平，理由见解析 【分析】（1）用表示甲､乙两人投出的点数，则表示这个实验的一个样本点，用列举法即可求解； （2）根据互斥事件的概念即可求解； （3）利用古典概型概率公式分别计算甲赢，乙赢的概率即可求解. 【详解】（1）用表示甲､乙两人投出的点数，则表示这个实验的一个样本点， 所以该实验的样本空间为，共有36个样本点， 事件包含的样本点共5个，即； （2）与不是互斥事件，由于连玩三次， 则事件与可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意， 所以事件B与C不是互斥事件； （3）这种游戏规则公平， 由题可知甲､乙两人投出的点数和为偶数的样本点有 ， ，共18个. 所以甲赢的概率为，所以乙赢的概率为，所以这种游戏规则公平. 变式5．（22-23高一·全国·随堂练习）甲、乙两人约定玩一种游戏，把一枚均匀的骰子连续抛掷3次，游戏规则有下述3种，这3种规则是否公平？对谁更有利？为什么？ (1)若三次掷出的点数之和为奇数，则甲获胜；若三次掷出的点数之和为偶数，则乙获胜． (2)若三次掷出的点数为一奇两偶或两奇一偶，则甲获胜；若三次掷出的点数均为奇数或均为偶数，则乙获胜． (3)若三次掷出的点数之和为3，4，5，6，7，14，15，16，17，18其中之一，则甲获胜；否则乙获胜． 【答案】(1)公平； (2)不公平，对甲有利； (3)不公平，对乙有利． 【分析】（1）求出概率，根据概率的意义判断； （2）求出概率，根据概率的意义判断； （3）求出概率，根据概率的意义判断． 【详解】（1）把一枚均匀的骰子连续抛掷3次，基本事件的总数是，而中有3个奇数3个偶数， 事件“三次掷出的点数之和为奇数”，即三个奇数或一奇两偶，含有基本事件的个数是，概率， 事件“三次掷出的点数之和为偶数”，即三个偶数或一偶两奇，含有基本事件的个数是，概率， ，该规则公平； （2）事件“三次掷出的点数为一奇两偶或两奇一偶”，含有的基本事件个数为，概率为， 事件“三次掷出的点数均为奇数或均为偶数”含有的基本事件个数为，概率为， ，该规则不公平，对甲更有利； （3）和为3只有，和为4只有，和为5有113和122两种情形，和为6有114，123，222三种情形，和为7有115，124，133，223四种情形，由对称性，和为18，17，16，15，14含有的基本事件个数分别与和为3，4，5，6，7相同， 因此事件“三次掷出的点数之和为3，4，5，6，7，14，15，16，17，18其中之一”含有的基本事件个数是，概率为，显然，因此该规则不公平，对乙更有利． 变式6．（2023高一·全国·专题练习）甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. (1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？ (3)甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)不公平，理由见解析 【分析】（1）根据题意，利用列举法，即可求解基本事件的总数及基本事件的空间； （2）由乙抽到的牌只能是2，4，，进而求得乙抽到的牌的数字大于3的概率； （3）根据古典概率的概率计算公式，分别求得甲、乙获胜的概率，即可得到结论. 【详解】（1）解：甲乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用字母表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2，3，4表示）， 可得基本事件的空间为：（2，3）、（2，4）、（2，）、（3，2）、（3，4）、（3，）、 （4，2）、（4，3）、（4，）、（，2）、（，3）、（，4），共12种不同情况， （2）解：由题意，甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，， 所以乙抽到的牌的数字大于3的概率为. （3）解：根据题意，甲抽到的牌比乙大的有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（，2）、（，3）， 共有5种情况，所以甲胜的概率，乙获胜的概率为， 因为，所以此游戏不公平． 【方法技巧与总结】游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平的． (2)具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较． 【题型5：随机模拟估计概率】 例5．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412  451  312  533  224  344  151  254  424  142 435  414  335  132  123  233  314  232  353  442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（    ） A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6 【答案】C 【分析】找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有： 533  224  344  254  424  435   335   233  232  353  442共11组， 因此，所求概率为. 故选：C. 变式1．（22-23高一下·湖南邵阳·期末）现采用随机模拟的方式估计一运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137  960  197  925  271  815  952  683  829  436  730  257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】依题意在组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个， 所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率， 故选：A． 变式2．（23-24高一下·福建宁德·期末）根据某地天气预报，在今后的三天中，每天下雨的概率均为20%．利用计算机产生1到5之间整数值的随机数，当出现随机数1时，表示下雨，当出现随机数2，3，4，5时，表示不下雨，产生20组随机数： 435  451  132  533  224  344  151  231  424  142 412  414  335  312  123  233  314  254  353  442 据此估计这三天中至少有1天下雨的概率为（ ） A．0.4 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【答案】B 【分析】由题意知经随机模拟产生的20组随机数中表示三天中至少有1天下雨的可以通过列举得到共10组随机数，根据概率公式得到结果. 【详解】20组随机数中三天中至少有1天下雨的有 451，132，151，231，142，412，414，312，123，314，共10组随机数， 所以这三天中至少有1天下雨的概率为. 故选：. 变式3．（22-23高一下·广东东莞·期末）利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．利用计算机产生1~5之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下： 354   151   314   432   125   334   541   112   443   534   312   324   252   525   453   114   344   423   123   243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析随机数中表示甲获胜的数目，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：151，125，112，312，252，114，123，共7种情况， 所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为， 故选：B 变式4．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率. 用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 342 241 244 342 142 431 233 214 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数出满足条件的组数，即可求解. 【详解】组随机数中，满足条件的有221，132，241，142，214，这5组数据满足条件，所以估计恰好抽取三次就停止的概率 故选：C 变式5．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在一次羽毛球男子单打比赛中，运动员甲、乙进入了决赛．比赛规则是三局两胜制．根据以往战绩，每局比赛甲获胜概率为0.4，乙获胜概率为0.6，利用计算机模拟实验，产生内的整数随机数，当出现随机数1或2时，表示一局比赛甲获胜，现计算机产生15组随机数为：421，231，344，114，522，123，354，535，425，232，233，351，122，153，533，据此估计甲获得冠军的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由随机数组来确定胜负情况，根据15组数据中满足条件的数组个数，除以总数即可得解. 【详解】由计算机产生的15组数据中，甲获得冠军的数据有421，231，114，522，123，232，122，共7组， 据此估计甲获得冠军的概率为． 故答案为：. 变式6．（21-22高一下·全国·期末）天气预报7月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.7，现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5，6表示当天下雨，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下20组四位随机数： 3281  9522  0018  7472  0129  3879  5869  2436  8460  3990 9533  7980  2692  8280  0753  8425  8935  3882  7890  5987 据此估计四天中恰有三天下雨的概率为 . 【答案】/0.45 【分析】结合表中数据根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】由表中数据可得四天中恰有三天下雨的有3281，9522，0018，0129，8460，9533，2692，0753，8425，共9组，所以估计四天中恰有三天下雨的概率为. 故答案为： 【方法技巧与总结】应用随机数估计概率的步骤 (1)明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系． (2)产生随机数． (3)统计试验次数N及所求事件包含的次数n. (4)计算便可．　 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（    ） A．大量的试验中，出现正面的频率为0.5. B．不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5 C．试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5 D．试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.5 【答案】B 【分析】根据频率、概率、经验概率的概念分析可得答案. 【详解】对于A，大量的试验中，出现正面的频率越来越接近于0.5，故A不正确； 对于B，事件发生的概率是一个常数，与试验次数无关，所以不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5，故B正确； 对于C，经验概率是指特定的事件发生的次数占总体试验样本的比率，随着试验次数增大，出现正面的经验概率约为0.5，故C不正确； 对于D，试验次数每增加一次，不能判断下一次出现正面的频率比它前一次更接近于0.5，D不正确. 故选：B 2．（23-24高一上·河南周口·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．某人在玩掷骰子游戏，掷得数字5的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字5 B．为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是8 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙比甲稳定 【答案】C 【分析】对于A，根据概率的概念可判断；对于B，根据抽样方法的理解可判断，对于C，根据中位数，众数的概念可判断；对于D，方差越小数据越稳定，可判断. 【详解】A选项，概率表示随机事件发生可能性大小，所以此人掷6次骰子不一定能掷得一次数字5，故A错误； B选项，为了解全国中学生的心理健康情况，应该采取抽样调查更合理，故B错误； C选项，根据中位数，众数的概念可判断其正确； D选项，根据方差越小数据越稳定，故D错误. 故选：C. 3．（23-24高一上·全国·课后作业）经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为，经调查，某市市场上的食用油大约有个品牌，则不合格的食用油品牌大约有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】先求出市场上食用油不合格率，再根据频数样本容量频率可得结果. 【详解】因为市场上食用油合格率为，所以市场上食用油不合格率为， 又市场上的食用油大约有个品牌，所以不合格的食用油品牌大约有个. 故选：C 4．（23-24高一上·全国·课后作业）某地一种植物一年生长的高度如下表： 高度/cm [10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60] 频数 20 30 80 40 30 则该植物一年生长在[30，40）内的频率是（　　） A．0.80 B．0.65 C．0.40 D．0.25 【答案】C 【分析】根据表格中的数据，结合频率的计算公式，即可求解. 【详解】根据表格中的数据，可得该植物一年生长在内的频率. 故选：C. 5．（22-23高一下·海南·期末）每年4月15日为全民国家安全教育日，某学校党委组织党员学习《中华人民共和国国家安全法》，为了解党员学习的情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的学习时间（单位：时）进行调查，统计数据如下表所示： 学习时间（时） 党员人数 8 13 9 10 10 则从该校随机抽取1名党员，估计其学习时间不少于6小时的概率为（    ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式求得样本中学习时间不少于6小时的概率，然后可得. 【详解】由统计表可知，样本容量为人，学习时间不少于6小时有人， 所以学习时间不少于6小时的概率为. 故选：B 6．（22-23高一下·福建厦门·期末）一个袋中装有大小与质地相同的3个白球和若干个红球，某班分成20个小组进行随机摸球试验，每组各做50次，每次有放回地摸1个球并记录颜色．统计共摸到红球619次，则袋中红球的个数最有可能为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据频率与概率之间的关系即可列式子求解. 【详解】设红球的个数为，由题意可知：， 所以红球的个数最可能是5个， 故选：B 7．（23-24高一上·陕西汉中·期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（    ） A．213石 B．152石 C．169石 D．196石 【答案】C 【分析】根据抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，可计算出夹谷的频率，从而可解． 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石， 故选：C 8．（22-23高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（    ） A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率 B．某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票一定能中奖 C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为 D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水 【答案】A 【分析】根据频率与概率的定义以及两者之间的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率，概率是频率的稳定值，故A正确， 对于B, 某种福利彩票的中奖概率为，买1000张这种彩票不一定中奖，故B错误， 对于C, 连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则在100此抛硬币的实验中掷一枚硬币出现反面的频率为，而掷一枚硬币出现反面的概率为，故C错误， 对于D，某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的明天会降水的可能性为70%.故D错误， 故选：A 二、多选题 9．（23-24高一上·全国·课后作业）“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是（    ） A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C．北京和上海都可能没降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 【答案】BCD 【分析】根据概率的定义与含义，即可得到答案. 【详解】北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A不正确． 故选：BCD 10．（22-23高一下·河北衡水·期末）某年级组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该年级每名同学依据自己的兴趣爱好只参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加合唱社团的同学有72名，参加脱口秀社团的有120名，则该年级（    ）    A．参加社团的同学的总人数为480 B．参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25% C．参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多110人 D．从参加社团的同学中任选一名，其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为0.35 【答案】ABD 【分析】对于A，根据参加合唱社团的人数及所占比例可求出总人数； 对于B，根据参加脱口秀社团的人数除以总人数即可判断； 对于C，求出参加朗诵社团的人数，再求出参加舞蹈社团的比例及人数即可判断； 对于D，根据参加舞蹈的占比及参加脱口秀社团的占比即可判断. 【详解】对于A，，故参加社团的同学的总人数为480，故A正确； 对于B，参加脱口秀社团的有120名， 故参加脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，故B正确； 对于C，参加朗诵社团的人数为， 参加舞蹈社团的占比为， 参加舞蹈社团的人数为， 故参加朗诵社团的人数比参加舞蹈社团的多人，故C错误； 对于D，从参加社团的同学中任选一名， 其参加舞蹈或者脱口秀社团的概率为，即0.35，故D正确． 故选:ABD． 11．（21-22高一·全国·单元测试）某小组做“用频率估计概率”的试验时，将某一结果绘制成如图所示的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上 C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D．从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球 【答案】BD 【分析】计算出各个事件的概率，只要概率在0.3到0.4之间即可. 【详解】由频率折线图可知，频率在0.3到0.4之间. 选项A，出现正面朝上的概率为，不符合题意，故A错误； 选项B，掷一个正六面体的骰子，出现3点或6点朝上的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故B正确； 选项C，一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意，故C错误； 选项D，从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，在0.3到0.4之间，符合题意，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 12．（23-24高一上·福建宁德·开学考试）在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有 个. 【答案】 【分析】利用频率结合古典概型的计算公式代入即可得出答案. 【详解】因为摸到红球的频率稳定在0.8附近， 估计袋中红球个数是. 故答案为：. 13．（23-24高一上·全国·课后作业）某制造商今年月份生产了一批乒乓球，随机抽取个进行检查，测得每个乒乓球的直径（单位：mm），将数据分组如下： 分组 频数 频率 10 0.10 20 0.20 50 0.50 20 0.20 合计 100 1.00 若用上述频率近似概率，已知标准乒乓球的直径为，则这批乒乓球的直径误差不超过的概率是 ． 【答案】 【分析】根据表格提供数据以及概率、频率的知识求得正确答案. 【详解】标准尺寸是，并且误差不超过，即直径需落在[39.97，40.03]范围内． 由频率分布表知，频率为， 所以直径误差不超过的概率约为. 故答案为： 14．（21-22高一下·山西晋中·期末）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为 . 【答案】0.3 【分析】确定随机数组中以恰有两个数字是2，4，6，8，再由概率公式计算． 【详解】由题意，随机数组421，292，274，632，478，663共6个，表示恰有两次命中十环， 所以概率为． 故答案为：0.3． 四、解答题 15．（2024高一·全国·专题练习）某地区有高中生7200人，初中生11800人，小学生12000人．当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层随机抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小学生的近视率分别为80%、70%、36%. (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为310，那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取了多少人？在这种情况下，请估计该地区全体中小学生的近视率（精确到1%）； (2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本量分别为60，100和150，那么在这种情况下，抽取的样本的近视率是多少？该地区全体中小学生的近视率约为多少（精确到1%）? 【答案】(1)72；118；120；59% (2)55%；59%. 【分析】（1）利用分层抽样比为，可计算每层抽样的人数：高中生、初中生、小学生中分别抽取了人，人，人．再求样本容量为的学生的近视率为，利用样本估计总体，可以估计该地区全体中小学生的近视率为； （2）如同方法（1）求新样本的近视率约为，求该地区全体中小学生的近视率约为. 【详解】（1）分配比例为，所以在高中生、初中生、小学生中分别抽取了（人），（人），（人）． 总样本量为的学生的近视率为, 在比例分配的分层随机抽样中，我们直接用样本平均数估计总体平均数， 所以可以估计该地区全体中小学生的近视率为. （2）抽取的样本的近视率是, 由于总体中的个体数为， 得该地区全体中小学生的近视率为 即该地区全体中小学生的近视率约为. 16．（24-25高一上·全国·课后作业）表1是某两名篮球运动员在中国男子篮球职业联赛（CBA）某个赛季的得分情况统计． 表1 场均得分 总得分 投篮命中率 三分球命中率 罚球命中率 场均时间 参赛场次 运动员甲 33.9 1016 49.7% 41.1% 86% 30.5 30 运动员乙 25.1 752 46.3% 34.4% 80.9% 36.2 30 根据这些数据分析两名运动员的得分水平． 【答案】运动员甲的各项命中率较高． 【分析】 由表格纵向比较每一组数据即可得解. 【详解】 由上面的数据可以看出，两名运动员的参赛场次相同，每场出场平均时间甲少于乙；甲的场均得分和总得分均高于乙． 从投篮命中率、三分球命中率和罚球命中率来看，甲均高于乙，可以认为运动员甲的各项命中率较高． 17．（22-23高一·全国·随堂练习）同时抛掷两枚均匀的骰子，观察并记录两枚骰子掷出的点数之和． (1)两枚骰子掷出的点数之和有多少种可能？ (2)重复抛掷两枚骰子次，根据试验结果，分别估计“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率； (3)汇总全班同学的数据，得到至少次试验结果，用上述结果对上述概率重新进行估计； (4)为了对上述事件的概率给出比较好的估计，你需要怎么做？ (5)你认为“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率相等吗？ 【答案】(1)有，，，，，，，，，，共种可能 (2)分别约为，， (3)分别约为，，，且比第（2）问结果更加接近，， (4)可增加重复试验的次数 (5)不相等 【分析】动手试验，观察、记录数据，根据题意进行计算，由频率估计出相应概率，依次解答即可. 【详解】（1）同时抛掷两枚均匀的骰子，经过观察、记录，两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能. 实际上，由古典概型知识，抛掷两枚均匀的骰子，用有序数对将可能出现的点数表示为： ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共种可能， 并可由此求得两枚骰子掷出的点数之和有，，，，，，，，，，，共有种可能. （2）重复抛掷两枚骰子次，分别观察、记录， 记“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频数分别为，，，（不同同学得到的结果可能会不一样）. 由此可以分别求出“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的频率分别为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）. 由频率估计概率，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率分别约为（），（），（），（不同同学得到的结果可能会不一样）. 实际上，由古典概型知识可以求得， “掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故， “掷出的点数之和为”有，，，，，共种可能，概率为，故， “掷出的点数之和为”有，，共种可能，概率为，故. （3）汇总全班同学的数据，对“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”进行估计，所得结果会更加接近，，（随着重复试验次数的增加，频率逐渐稳定于概率）. （4）为了对上述事件的概率给出比较好的估计，可以增加重复试验的次数，也可以采用计算机模拟试验的方法实现. （5）由试验结果可知，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”，“掷出的点数之和为”的概率不相等. 实际上，可以由第（2）问中古典概型计算结果进行确认. 18．（22-23高一下·河南商丘·期末）某射击运动员在一次射击训练中共射击10次，这10次命中的环数分别为8，7，9，9，10，6，8，8，7，8. (1)求这名运动员10次射击成绩的方差； (2)若以这10次命中环数的频率来估计这名运动员命中环数的概率，求该运动员射击一次时： （i）命中9环或者10环的概率； （ii）至少命中7环的概率. 【答案】(1)1.2 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由方差的计算公式即可求解， （2）根据互斥事件的概率加法公式即可求解，或者利用对立事件的概率求解. 【详解】（1）平均数， 方差 （2）设该运动员射击一次时，“命中7环”，“命中8环”，“命中9环”，“命中10环”，用频率估计概率，则，，， （i）若“命中9环或者10环”，则； （ii）解法1：若“至少命中7环”，则 解法2：若“至少命中7环”，“命中不超过6环”，则， 所以 19．（21-22高一上·全国·课后作业）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答.某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，为下一步教学作参考依据，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本.现采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目将成绩分为两层.已知该校高三学生有540人选做A题目，有360人选做B题目，选取的样本中，A题目的成绩平均数为5，方差为2，B题目的成绩平均数为5.5，方差为0.25. (1)用样本估计该校这900名考生选做题得分的平均数与方差； (2)本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A题目成绩的中位数和B题目成绩的中位数都是5.5.从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到的两个成绩来自不同题目的概率. 【答案】(1)平均数为5.2，方差为1.36 (2)0.6 【分析】（1）根据已知及平均数求法求样本平均数，应用方差公式求样本方差； （2）应用列举法求古典概率的概率. 【详解】（1）由题意，按照分层随机抽样的方法抽出的样本中， A题目的成绩有6个，按分值降序分别记为， B题目的成绩有4个，按分值降序分别记为， 记样本的平均数为，样本的方差为， 由题意知：， ， ， 所以 所以估计该校900名考生选做题得分的平均数为5.2，方差为1.36. （2）由题意，样本中A题目的成绩大于样本平均值的成绩有3个，设为， B题目的成绩大于样本平均值的成绩有2个，设为. 从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有10种取法,为、、、、、、、、、， 其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有6种，为、、、、、， 记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据，取到的两个成绩来自不同题目”为事件A， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$